2016 05 17 DS2 .pdf


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Licence de Math´
ematiques

Universit´
e Lille 1
M41 Suites et s´
eries de fonctions

DS2 – Dur´
ee 3h, le 17 mai 2016, 14h-17h
SANS DOCUMENT NI CALCULATRICE
(Le barˆeme est indicatif)
EXERCICE I. (2 points) (Questions de cours)
P
(a) Donner la d´efinition du rayon de convergence d’une s´erie enti`ere n≥0 an xn .
P
P
(b) Soit n≥0 an xn une s´erie enti`ere de rayon de convergence fini R > 0. Montrer que la s´erie n≥0 nan xn
a le mˆeme rayon de convergence.
EXERCICE II. (5 points) On consid`ere l’´equation diff´erentielle
xy 00 (x) − y 0 (x) + 4x3 y(x) = 0
(a) On cherche toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle sour forme de s´erie enti`ere f (x) =
D´eterminer a1 , a3 , et une relation de r´ecurrence sur les coefficients an pour n ≥ 4.

P+∞

n=0 an x

n.

(b) D´eterminer la suite an . On distinguera les cas o`
u n = 4p + 1, 4p + 2, 4p + 3 du cas n = 4p o`
u p est
un entier positif ou nul.
(c) D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres obtenues.
(d) D´eterminer f (x) `
a l’aide de fonctions usuelles.
EXERCICE III. (6 points) On consid`ere la s´erie de fonctions S(x) =


X

(−1)n xn+1 ln x, pour x > 0.

n=0

(i) Calculer la somme S(x) lorsque la s´erie est convergente.
P
n n+1 ln x et en d´
eduire que, pour tout b ∈]0, 1[, la
(ii) Calculer le reste de la s´erie RN (x) = ∞
n=N (−1) x
s´erie converge uniform´ement sur ]0, b].
(iii) A-t-on convergence normale de la s´erie


X

(−1)n xn+1 ln x sur ]0, 1]?

n=0

(iv) Montrer que la s´erie


X

(−1)n xn+1 ln x converge uniform´ement sur ]0, 1].

n=0

EXERCICE IV. (7 points)
P
P+∞
n
n
(1) Soit +∞
eries enti`eres de rayons de convergence
R1 et R2 respectivement
n=0 an x et
n=0 bn x deux s´
P
n
tels que 0 < R1 < R2 . Montrer que le rayon de convergence de +∞
(a
+
b
n
n )x est R1 .
n=0
(2) D´eterminer les rayons de convergence et la somme de la s´erie enti`ere

+∞
X

(

n=2



1
1
+ )xn .
n(n − 1) n!



2 0 1

0 0 −2 .
(3) Soit A =
0 1 3
(a) D´eterminer une base de solutions du syst`eme diff´erentiel Y 0 (x) = AY (x).
+∞
X
tn
(b) Calculer
An , en indiquant le domaine de validit´e pour t.
n(n − 1)
n=2


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