2016 06 23 DS3 Rattrapage .pdf


Nom original: 2016-06-23-DS3-Rattrapage.pdf
Titre: 2016-06-23-DS3-Rattrapage
Auteur: Volker Mayer

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Licence de Math´
ematiques

Universit´
e Lille 1
M41 Suites et s´
eries de fonctions

Examen de rattrapage – Dur´
ee 3h, le 23 juin 2016, 8h-11h
SANS DOCUMENT NI CALCULATRICE
(Le barˆeme est indicatif)
EXERCICE I. (2 points) (Questions de cours)
(a) Donner la d´efinition de la convergence uniforme d’une suite de fonctions (un (x)) d´efinies sur I.
P
(b) Donner la d´efinition du rayon de convergence d’une s´erie enti`ere n 0 an xn .
P
P+1
n
n
(c) Soit +1
eries enti`eres de rayons de convergence
R1 et R2 respectivement
n=0 an x et
n=0 bn x deux s´
P
n
tels que 0 < R1 < R2 . Montrer que le rayon de convergence de +1
(a
+
b
n )x est R1 .
n=0 n
EXERCICE II. (4 points) Pour tout entier n > 0 et ↵ 2 R, on pose fn (x) = n↵ xe

nx ,

pour x

0.

a) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur [0, +1[ vers une fonction f que l’on
d´eterminera.
b) Calculer

sup
x2[0,+1[

|fn (x)

f (x)|, puis d´eterminer les valeurs de ↵ pour lesquelles la convergence de (fn )

est uniforme sur [0, +1[.
c) Soit a > 0. Montrer que pour tout ↵, la suite de fonctions (fn ) converge uniform´ement sur [a, +1[.
EXERCICE III. (3 points) D´eterminer le rayon de convergence des s´eries suivantes et ´etudier leur
convergence sur le cercle de convergence.
X en
X
2
2n
a)
z
;
b)
n!z n ;
2
n
n 1

n 1

xn
EXERCICE IV. (6 points) Soit f0 (x) = 12 , et pour tout entier n 1, fn (x) =
.
1 + x2n
P
P
(1) Etudier la convergence de la s´erie n 0 fn (x) sur R. On pose f (x) = n 0 fn (x). En d´eduire que
le domaine de d´efinition de f est D = R\{ 1, 1}.
P
(2) Calculer sup |fn (x)|. La convergence de la s´erie
fn (x) est-elle uniforme sur [0, 1[ ?
x2[0,1[

(3) Montrer que f est continue sur ]

1, 1[.

(4) Montrer que pour tout 0 < a < 1 et |x|  a on a |fn0 (x)|  2nan
est convergente.
(5) Montrer que f est de classe C 1 sur ]

1.

Montrer que la s´erie

P

n 1 na

n 1

1, 1[.

EXERCICE V. (5 points) On consid`ere l’´equation di↵´erentielle
x2 y 00 + 4xy 0 + (2

x2 )y = 1.

(a) Trouver une solution de l’´equation sous forme de s´erie enti`ere f (x) =

+1
X

n=0

on distinguera le cas pair n = 2k du cas impair n = 2k + 1, k
(b) D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie obtenue.
(c) Calculer f (x) `
a l’aide de fonctions usuelles.

0.)

an xn . (Pour d´eterminer an


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