Calculs de primitives .pdf

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1

´ Saad Dahlab Blida
Universite
Premi`ere Ann´ee LMD TCST
2016/2017

S´
erie d’Exercices no : 6

Module: Maths II

´
PRIMITIVES & INTEGRALES
Exercice (1):(Int´egration par changement de variables):
I)D´eterminer les primitives des fonctions suivantes:
x
√
2 1 − x4

(1)

(5)

; (2) ex sin(ex )
cos(x) sin4 (x)

;

;

cos(x)

(3)

(6)

√

q
1

x+

;

2

(4) esin

(x)

sin(2x);

2

9 − sin (x)

√

x3

;

(7)

1
√
.
x x2 − 1

II)Calculer les int´egrales suivants:
e

Z
(1)
1

dx
; (2)
x + x ln2 (x)

Z

1

0

Z

arcsin(x)dx
√
; (3)
1 − x2

1

0

dt
dx ; (4)
t
e +1

Z

1

−1

x2

dx
dx.
+ 4x + 7

Exercice (2):(Int´egration par parties):
I)D´eterminer les primitives des fonctions suivantes:
(1)

(x2 + 3x + 1)e−x

; (2)

(4x − 1) sin(x)

(5)

e2x cos(3x)

;

;

(x2 − x + 1) sinh(x);

(3)
(6)

(4)

ln(x)
;
x

arctg(x).

II)Calculer les int´egrales suivants:
1

Z
(1)

Z
x arctg(x)dx; (2)

0

e

xn ln(x)dx (n ∈ N); (3)

1

1/2

arcsin(x)dx ;
0

π/2

Z
(4)

Z

Z

x

x sin(x)dx ; (5)
0

1

et
√
dt (x > 1).
(3 + et )( et − 1)

Exercice (3):(Int´egration des fonctions rationnelles):
I)D´eterminer les primitives des fractions rationnelles suivantes:
x2 − 5x + 9
x2 − 5x + 6

(1)
(5)

3x + 1
x2 − 2x + 10

;

(6)

; (2)

x3
x2 − 4

x+1
(x2 + 1)(x2 + 3)

;

;
(7)

x+1
x3
;
;
(4)
x(x − 2)2
x2 + 4x + 4
4x2
3x + 1
; (8)
; (9)
x4 − 1
(x2 − 2x + 10)2

(3)

II)Calculer les int´egrales suivants:
Z 1
Z 1/2
dx
x4 + 1
dx
;
(3)
dx; (2)
;
2
2
2 x(x − 1)
−1/2 1 − x
0 x +2
Z 1
Z 3
2x + 1
dx
(4)
dx ; (5)
.
2+x+3
2 + x + 1)2
x
(x
2
0

Z
(1)

4

x7 + x3 − 4x − 1
x(x2 + 1)2

2

Exercice (4):(Int´egration des fonctions trigonom´etriques):
I)D´eterminer les primitives des fonctions suivantes:
(1)

cos(x) cos(2x) + sin(x) sin(3x)
cos4 (x)

(5)
(8)

sin3 (x)
;
1 + cos2 (x)

(9)

;

; (2)

sin3 (x) cos2 (x)

;

(6)

sin5 (x) cos3 (x);

(7)

1
;
1 + cos2 (x)

(3)

cos5 (x);

cos2 (x) sin4 (x);

cos(x)
;
1 + sin2 (x)

1
;
4 sin(x) − 3 cos(x)

(10)

(4)

(11)

1
.
4 − 5 sin(x)

II)Calculer les int´egrales suivants:
Z
(1)
0

π/2

Z π/4
Z π/2
sin3 (x)
dx
dx
dx;
(3)
; (2)
;
2
2 + sin(x)
1 + cos (x)
0
π/3 sin(x)
Z π/4
Z π/2
dx
cos(x)dx
(4)
; (5)
.
4 (x)
cos
1
+ cos2 (x)
0
0

Exercice (5): On veut trouver les primitives de la fonction suivante:
√
23x−2+x−2
.
f (x) = p
(x − 2)3 − 8x + 16
1. D´eterminer toutes les primitives de la fraction
1
t2 + 2t + 4
2. D´ecomposer en des ´el´ements simples la fraction
t5 + 2t
t3 − 8
3. En utilisant le changement de variable x − 2 = t6 , d´eterminer les primitives de f .
Exercice (6)Soit en fonction de n ∈ N, les l’int´egrales suivantes:
Z nπ
Z nπ
In =
ex cos(2x)dx, Jn =
ex sin(2x)dx.
0

0

1. A l’aide d’int´egration par parties, trouver les relations suivantes:
1
In = − Jn ,
2

Jn =

2. En d´eduire les valeurs de In et Jn .
On pose maintenant;
Z π
A=
ex cos2 (x)dx,
0

1 − enπ
1
+ In .
2
2

Z
B=

π

ex sin2 (x)dx,

0

3. Montrer que A − B = I1 , puis calculer A + B (utiliser: cos2 (α) − sin2 (α) = cos(2α), α ∈ R.)
4. En d´eduire les valeurs de A et B.



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