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Me10 moment cinetique force centrale .pdf



Nom original: Me10 moment cinetique force centrale.pdf
Titre: Me10 moment cinetique force centrale.key

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Moment cinétique
d’un point matériel

La force que vous appliquez sur les deux cl´es est pourtant la
mˆeme.
1.
Définitions
La seule chose qui change c’est qu’avec une poign´ee plus
1.1vous
Moment
d’une
force
longue,
pouvez exercer
la force
pluspar
loin rapport
de la pince.à un point
Cette force est alors plus efficace.
Il est plus facile d’ouvrir une porte tr`es lourde en poussant loin des gonds. Si vous poussez
mauvais cˆ
ot´e, vous r´eussirez peut-ˆetre `
a ouvrir la porte, mais vous savez bien que ce sera be
coup plus dur. Ces exp´eriences montrent que pour faire tourner un objet, il faut non seulem
appliquer une force, mais faire attention `
a l’endroit o`
u on l’applique.


♦ D´
efinition : Par d´efinition, le moment ´evalu´e en un point O de la force F exerc´ee
en M est :
−−→ −

−−→ −

MO ( F ) = OM × F

1. Définitions
1.2 Moment d’une force par rapport à un axe
I. Moment d’une force et moment cin´etique

M6

I.2

Moment d’une force par rapport `
a un axe

2008-

➜ Cf Cours

♦ D´
efinition : Soit (∆), un axe passant par O, orient´e selon la direction de son
vecteur unitaire −
e→
∆.


On appelle moment de la force F par rapport `a l’axe (orient´e) ∆ la projection scalaire
−−→ −

−−→ −
→ −


de MO ( F ) selon e∆ : M∆ = MO ( F ) ! e→


❚ Propri´
et´
e : Cette grandeur est ind´ependante du choix du point O, point quelconque de l’a
∆.

I.3

a

Moment cin´
etique d’un point mat´
eriel

efinition

➜ Cf Cours

♦ D´
efinition : Par d´efinition, le moment cin´etique ´evalu´e en un point O, dans le

1. Définitions
❚ Propri´
et´
e : Moment
Cette grandeur
est ind´ependante
du choix
du point O, point quelconque de
1.3
cinétique
d’un point
matériel
∆.

I.3

a

b

I.4

Moment cin´
etique d’un point mat´
eriel

efinition

➜ Cf Cours

♦ D´
efinition : Par d´efinition, le moment cin´etique ´evalu´e en un point O, dans le
r´ef´erentiel R, du point mat´eriel M de masse m est⎧:




OM
en m

−−−→
−−→ −−−→ −−→

−−→
−→
−1
p
en
kg.m.s
LO/R (M ) == OM × pM/R = OM × m−
v−
M/R
M/R

−−→
⎩ →−
LO/R (M ) en kg.m2 .s−1

Cas particuliers : mouvement plan et mouvement circulaire

➜ Cf Cours

Moment cin´
etique par rapport `
a un axe
♦ D´
efinition : Soit (∆), un axe passant par O, orient´e selon la direction de son
vecteur unitaire −
e→
∆.
On appelle moment cin´etique de M par rapport `a l’axe (orient´e) ∆ la projection
−−−→
−−−→





4

r´ef´erentiel R, du point mat´eriel M de masse m est⎧:
I.3 Moment cin´
etique d’un point mat´
eriel




OM

−−


−−→
−−→
Définitions

−−→




−→
a 1.

e
finition

Cf
Cours
p
LO/R (M ) == OM × pM/R = OM × m−
v−
M/R
M/R

−−−→

1.4
Moment
cinétique
par
rapport
à
un
axe
♦ D´
efinition : Par d´efinition, le moment cin´etique ´evalu´
point
→e en
L un
(M
)
O/R

en m
en kg.m.s−1
O,
le 2 .s−1
endans
kg.m

r´ef´erentiel R, du point mat´eriel M de masse m est⎧:
−−→

en m
⎨ OM











−−→
−→ = OMplan

−−→
Cas particuliers
: mouvement
et
mouvement
circulaire
−1 Cf
p
en kg.m.s➜
LO/R (M ) == OM
×−
p−
×
m
v
M/R
M/R
M/R

−−→
⎩ →−
LO/R (M ) en kg.m2 .s−1

Cours

Moment cin´
etique par rapport `
a un axe

b Cas particuliers : mouvement plan et mouvement circulaire ➜ Cf Cours
♦ D´
efinition : Soit (∆), un axe passant par O, orient´e selon la direction de son

vecteur
unitaire
e→
.
I.4
Moment
cin´
e∆tique
par rapport `
a un axe
On appelle moment cin´etique de M par rapport `a l’axe (orient´e) ∆ la projection
♦ D´
efinition
axe passant −
par
O, orient´e−
selon la direction de son
−−−→: Soit (∆), un
−−→




scalaire
de unitaire
LO/R (M
) selon e∆ : L∆ = LO/R (M ) ! e∆
vecteur
e→
∆.
On appelle moment cin´etique de M par rapport `a l’axe (orient´e) ∆ la projection
−−−→
−−−→


scalaire de LO/R (M ) selon e∆ : L∆ = LO/R (M ) ! −
e→


❚ Propri´
et´
e : Cette grandeur est ind´ependante du choix du point O, point quelconque de l
∆.

5

❚ Propri´
et´
e : Cette grandeur est ind´ependante du choix du point O, point quelconque de l’axe
∆.
Interpr´
etation et notion de moment d’inertie (H.P.)

e Th´
me du emoment
etique de
(➜moment
Cf §II ) montre
le moment cin´
etique est analog
I.5eor`eInterpr´
tation etcin´
notion
d’inertieque
(H.P.)
a quantit´
e de mouvement.
Le Th´eor`eme du moment cin´etique (➜ Cf §II ) montre que le moment cin´
etique est analogue `
a

Moment d’une force

Moment cinétique
O

O

F

M

M

mf

OM

p

F

L OM

Rappel : p

Moments

p

mV

70

1.5 Interprétation physique et notion de moment d’inertie

Le moment cinétique est analogue à la quantité de
mouvement.
p=m .v ou m est la masse mesure l’inertie d’un corps c’est-àdire la résistance qu’il oppose à toute modification de son état
de mouvement.
De même, le moment cinétique d’un corps comme le produit
de sa vitesse angulaire par une grandeur qui mesure son
inertie de rotation, c’est-à-dire sa résistance à toute
modification de son état de rotation.

Moment d’une force
Définition vectorielle

Module
mf = l . F . sin( )

O
O

F

d

l
F
M

M

mf = d . F
d: bras de levier

mf = OM

F

Si OM et F sont dans le plan de la feuille,
le moment est perpendiculaire à la feuille,
ici dirigé vers le lecteur

l.sin( ) .F

Il existe en fait
2 possibilités
de projection:

l. F .sin( )

Moment d’un couple
-F
M2

Moment force / axe

M1

F
mf

O
mf = OM1

-F + OM2 F = M1M2

F

n

M1
O

d

moment / axe = mf . n

M2

mf = F . d

Si scalaire >0, le moment entraîne
un mouvement dans le sens
du tire bouchon lié à n.

at de mouvement. De la mˆeme fa¸con, nous d´efinirons le moment cin´etique d’un corps comm
oduit
de Interprétation
sa vitesse angulairephysique
par une grandeur
qui mesure
son inertie de
rotation, c’est-`
a1.5
et notion
de moment
d’inertie
r´esistance `
a toute modification de son ´etat de rotation.
♦ D´
efinition : (Hors Programme ; cf. Math Sp´e) On appelle moment d’inertie
d’un corps, not´e J, la grandeur qui mesure la r´esistance `a toute modification de l’´etat
de rotation de ce corps.
En g´en´eral, le moment d’inertie J = J∆ d’un objet d´epend de l’axe (∆) autour
duquel on essaye de le faire tourner. Alors : L∆ = J∆ .ω

http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/

Le moment d’inertie d’un corps change si l’on modifie la façon dont sa
masse est répartie autour de l’axe de rotation.
Illustré par le phénomène du patineur qui trouverait les bras écartés avant
de les ramener le long du corps.
Les bras écartés sont moment d’inertie est plus grand, une partie de sa
masse est située plus loin de l’axe de rotation.

Qadri J

I

.1

2.0
Moment
cinétique
dans
un
référentiel
galiléen
Th´
eor`
eme du moment cin´
etique dans un r´
ef´
eren

galil´
een
´
Enonc´
e
❏ M´
ethode 1.— Comment ´
etablir le Th´
eor`
eme du Moment Cin´
etique ?






- choisir un point O fixe de R (si possible ; alors : vO/R = 0 )
- d´eriver la d´efinition du moment cin´etique de M ´evalu´e en O dans le r´ef´erentiel
galil´een R = Rg
- exprimer, dans cette expression de la d´eriv´ee, l’acc´el´eration du point M dans
−−→
Fext





R `a partir du P.F.D. : aM/Rg =
m
- reconnaˆıtre la d´efinition du moment des forces ext´erieures

−−−−→
−−→
−−→, on ´etablit :
Ainsi, a` partir de LO/Rg (M ) = OM × m−
v−
M/Rg
! −−−−→
"
dLO/Rg (M )
dt

Rg

! −−→ "
dOM
=
dt

Rg

! −−→ "

! −−−−→
"
dvM/Rg (M )
−−→





× mvM/Rg + OM × m
dt

Rg







- choisir un point O fixe de R (si possible ; alors : vO/R = 0 )
Moment
cinétique
underéférentiel
galiléen
-2.0
d´eriver
la d´efinition
du momentdans
cin´etique
M ´evalu´e en O
dans le r´ef´erentiel
galil´een R = Rg
- exprimer, dans cette expression de la d´eriv´ee, l’acc´el´eration du point M dans
−−→
Fext





R`
a partir du P.F.D. : aM/Rg =
m
- reconnaˆıtre la d´efinition du moment des forces ext´erieures
−−−−→
−−→
−−→, on ´etablit :
• Ainsi, a
` partir de LO/Rg (M ) = OM × m−
v−
M/Rg
! −−−−→
"
dLO/Rg (M )
dt

Rg

! −−→ "
dOM
=
dt

Rg

! −−→ "
dOM
• dans le cas le plus g´en´eral :
dt

! −−−−→
"
dvM/Rg (M )
−−→





× mvM/Rg + OM × m
dt

Rg

−−→ − −
−−→
=−
v−
v
M/Rg
O/Rg

Rg

• Hyp : On se place dans le cas particulier o`
u O est fixe dans Rg :
"
! −−−−→
dLO/Rg (M )
dt

✭ −−→
−−→ −−→ −−→ −−→


















=✭
vM/R
×✭mvM/Rg + OM × maM/Rg = OM × Fext = MO (Fext )
✭✭g✭

Rg

Th´
eor`
eme du Moment Cin´
etique (T.C.M.) : Pour un point mat´eriel M
−−→
soumis `
a la r´esultante des forces Fext dans un r´ef´erentiel galil´een Rg , observ´e

M/Rg
dLO/Rg (Mdt
)
dvdt
dt



dOM
M/Rg (M )






Rg
g mv
=Rg
M/Rg + OM × m
dt
2.0dtMoment cinétique
!dt
"dans un référentiel galiléen

−−→ Rg
dOM

−−−→ − −
−−→
• dans le cas le plus g´en´eral
:
=
v
v
M/R
O/R
! −−→dt"
g
g
Rg

Rg

Rg
dOM
−u−−
→est

−−→
le• cas
en´eral
: le cas particulier
=−
vo`

v
Hyple: plus
On seg´
place
dans
O
fixe
dans
Rg :
M/Rg
O/R
g
dt

Rg
"
! −−−−→
LO/Rg (M
) le cas−−particulier

−−
→ fixe
−−
→: −−→ −−→ −−→

: On sedplace
dans
o`
u
O
est
dans
R














g


=✭
vM/R
× mvM/Rg + OM × maM/Rg = OM × Fext = MO (Fext )
✭g✭

dt

"
! −−−−→
Rg
dLO/Rg (M )
✭ −−→
−−→ −−→ −−→ −−→



















=✭
vM/R
×✭mvM/Rg + OM × maM/Rg = OM × Fext = MO (Fext

g

(T.C.M.) : Pour un point mat´eriel M
dt Th´eor`eme du Moment Cin´etique
−−→
R

soumis g`
a la r´esultante des forces Fext dans un r´ef´erentiel galil´een Rg , observ´e
depuis un point O fixe dans Rg :
! −−−−→
# −−−−→
"
−−

Th´
eor`
eme
Moment
Cin´
e
tique
(T.C.M.)
:
Pour
un
point
mat´
e→riel M

−−−
dLdu
(M
)
−−→ −−→
L
(M
)
=
OM
×
m
v
O/Rg
O/Rg
M/Rg



avec
=
M
(
F
)
−−→
−e−→
−−→een−−
→g , observ´
ext
O
soumis `
a la r´edt
sultante des forces
Fext dans un

e

rentiel
galil´
R
e
M
(
F
)
=
OM
×
F
ext
ext
O
R

depuis un point O fixeg dans Rg :
! −−−−→
# −−−−→
"
−−→
−−→
dLO/Rg (M )
−−→ −−→
LO/Rg (M ) = OM × m−
v−
M/Rg
Rq : Il y a donc bien analogie
entre
le
T.C.M.
et
le
P.F.D.
:
= MO (Fext ) avec
−−→ −−→
−−→ −−→
dt
M
(
F
)
=
OM
×
F
ext
ext
O
R
g

−−−−→
dLO/Rg (M ) −−→ −−→
T.C.M.
= MO (Fext )
dt
−−−−→
etique
LO/Rentre
(M ) le T.C.M. et
g
Il yMoment
a donccin´
bien
analogie
−−→ −−→
Moment d’une force MO (Fext )

−−→
d−
p−
−−→
M/Rg
←→
= Fext P.F.D.
dt

−−−→ Quantit´e de mouveme
←→
p
le P.F.D. : M/R
−−→g
←→
Fext Force

l’origine du repèr
sa cinétique
forme dérivée,
Théorème duSous
moment
L(t+dt)

dL
dt

ce

mf

Il est extrêmement
pra
mf.dt
L'application
la
plus
spec
L(t)
roue de vélo en amphi).
mouvement à force centr
Moments

72

eor`
eme du Moment
Cin´
etique
(T.C.M.)
: Pour un point
mat´eriel M
2.0Th´
Moment
cinétique
dans
un
référentiel
galiléen
−−→

soumis `a la r´esultante des forces Fext dans un r´ef´erentiel galil´een Rg , observ´e
depuis
un point
O fixe dans
Rg :
Analogie
entre
moment
cinétique
principe
de
la
dynamique
! −−−−→
# et
"
−−−−→
−−→
−−→
dLO/Rg (M )
−−→ −−→
LO/Rg (M ) = OM × m−
v−
M/Rg
= MO (Fext ) avec
−−→ −−→
−−→ −−→
dt
MO (Fext ) = OM × Fext
R
g

Rq : Il y a donc bien analogie entre le T.C.M. et le P.F.D. :
−−−−→
dLO/Rg (M ) −−→ −−→
T.C.M.
= MO (Fext ) ←→
dt
−−−−→
Moment cin´etique
LO/Rg (M )
←→
−−→ −−→
Moment d’une force MO (Fext )
←→
Qadri J.-Ph.

−−→
d−
p−
−−→
M/Rg
= Fext P.F.D.
dt

−−→ Quantit´e de mouvement
p−
M/Rg
−−→
Fext Force

http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/

3

peut alors ´ecrire :

O/Rg

dt

!−
e→
∆ =

2.0 Moment cinétiqueRgdans

=

dt
dt
⎩ −−→ −−→
un référentiel
MO (Fext ) ! −
e→
≡ M∆
∆galiléen

Th´
eor`
eme du Moment Cin´
etique selon un axe fixe ∆ de Rg : Pour un
−−→
point mat´eriel M soumis a` la r´esultante des forces Fext dans un r´ef´erentiel
galil´een Rg :
(
−−−−→
dL∆
L∆ = LO/Rg (M ) ! −
e→

= M∆ avec
−−→ −−→ −
dt
M∆ = MO (Fext ) ! e→

M6
II. Th´eor`eme du moment cin´etique

• Th´
eor`
eme du moment cin´
etique en projection selon un axe (∆) passant par O
Int´
erˆ
et du th´
eor`
eme du moment cin´
etique
Hyp : on suppose l’axe ∆ fixe dans Rg .
! −
"

−→
dcin´
e∆etique −
→➜ Cf Cours


nservation
du
moment
= 0
→ alors e∆ = Cte, soit :
dt Rg
−−→ −

Fext = 0⎧ −−
:−
M
est (pseudo-)isol´
e


$
#


−→
−−→
−−→ −−→−−−−→


d
L
(M
)
!
e

dL

O/Rg

d
L
(M
)
ou
bien
(M
)
=
Cte

M
(
F
)
=
0

ext
O
O/Rg
/Rg
=
−−→



!−
e→
=
→ on peut alors ´ecrire :

dt
dt cen
⎩ −−→
dt
Fext // OM
: M−−→
soumis
a
`
une
force
Rg
MO (Fext ) ! −
e→
≡ M∆



erience de cours et patinage artistique

➜ Cf Cours

Th´
e
or`
e
me
du
Moment
Cin´
e
tique
selon
un
axe
fixe

de
R
:
Pour
u
g
entaire de l’exp´
erience :
−−→

.2

Th´
eor`
eme du Moment Cin´
etique selon un axe fixe ∆ de Rg : Pour un
−−→
mat´eriel M soumis
a la r´esultante
`
des forces Fext dans un r´ef´erentiel
2.2 point
Conservation
du moment
cinétique
galil´een Rg :
(
−−−−→
dL∆
L∆ = LO/Rg (M ) ! −
e→

= M∆ avec
−−→ −−→ −
dt
M∆ = MO (Fext ) ! e→


Int´
erˆ
et du th´
eor`
eme du moment cin´
etique
Conservation du moment cin´
etique

➜ Cf Cours

−→
−−−−→
−−→ −−→


LO/Rg (M ) = Cte ⇔ MO (Fext ) = 0 ⇔

−−→ −

Fext = 0
ou bien
−−→ −−→
Fext // OM

Exp´
erience de cours et patinage artistique

: M est (pseudo-)isol´e
: M soumis `
a une force centrale

➜ Cf Cours

ommentaire de l’exp´
erience :
n choisit comme syst`eme S = {masse dans la main de l’´el`eve assis sur le tabouret d’inertie}.
n ´etablit en cours, par application du Th´eor`eme Scalaire du Moment Cin´etique :
L∆ = Cte ⇔ L∆ (ti ) = L∆ (tf ) ⇔ mRi2 ωi = mRf2 ωf ⇒ comme Ri > Rf , on a ωi < ωf

insi, lorsqu’on rapproche la masse de l’axe de rotation, son moment cin´etique selon ∆ = Oz
ant constant, sa vitesse angulaire augmente.

autour des planètes. Dans la leçon M10, nous verrons comment réutiliser ces résultats dans le cas où le centre de force
n’est pas fixe.

Comète Hale-Bopp vue de la Terre en

Forces centrales conservatives

I Champ
Forcesdecentrales
conservatives
forces centrales
I.1 Champ de forces centrales
♦ D´
efinition : Soit O un point fixe du r´ef´erentiel R d’´etude.
• Lorsqu’en tout point M de l’espace, un point


mat´eriel est soumis `a une force F (M ) colin´eaire au
−−→
vecteur OM , on parle de champ de forces cen(R) z
trales :

er
M

∀M ∈ E
−−→ −





OM × F (M ) = 0 ⇔ F est une force centrale
• On appelle O le centre de force.

• Avec la d´efinition du vecteur unitaire −
er des coor−−→
OM


donn´ees sph´eriques er =
, on peut ´ecrire :
OM



F (M ) = F (M ) −
er

I.2

F

ez

O
x

ex

ey

y

Champ de forces centrales conservatives

−−

OM



F (M ) = F (M ) −
er

Champ de forces centrales conservatives
I.2

Champ de forces centrales conservatives

−−→


OM




❚ Propri´
et´
e : Un champ de forces du type F (M ) = F (r) er , avec r = OM et er =
OM
est un champ de forces centrales conservatives.


Alors, F d´erive de l’´
energie potentielle Ep telle que
M7



dEp −
dEp

er
⇔ F =−
F (r) = −
dr
dr

II. Propri´et´es des mouvements `a force centrale

2008-20


emonstration : On revient `a la d´efinition d’une force conservative :




F est conservative ⇔ δW ( F ) = −dEp
−−→
−−→








Comme OM = r er , on a dOM = dr−
er + rd−
er , avec −
er ⊥d−
er — c’est-`a-dire −
er ! d−
er = 0 1



Donc, pour une force centrale du type F (M ) = F (r) −
er :



→ −−→ −




δW ( F ) = F ! dOM = F (M ) = F (r) −
e ! (dr−
e + rd−
e ) = F (r)dr
r

Par identification, on en d´eduit :

I.3

r

r

dEp
F (r) = −
dr

Exemples de forces centrales conservatives :

(1) Force de rappel ´
elastique : un ressort (ou un ´elastique toujours tendu), de longue
l = OM = r, dont une extr´emit´e est fixe en O exerce sur un mobile attach´e a` son au




→ −−→ −




δW ( F ) = F ! dOM = F (M ) = F (r) −
er ! (dr−
er + rd−
er ) = F (r)dr
dEp
Exemples
de
forces
centrales
conservatives
F (r) = −
Par identification, on en d´eduit :
dr

I.3

Exemples de forces centrales conservatives :

(1) Force de rappel ´
elastique : un ressort (ou un ´elastique toujours tendu), de longueur
l = OM = r, dont une extr´emit´e est fixe en O exerce sur un mobile attach´e `a son autre
extr´emit´e M une force :
dEp,el −
−→
1
1
Cte=0 pour



2
er ⇔ Ep,el = k(r − l0 ) + Cte −−−−−−−−−→ Ep,el = k(r − l0 )2
Fel = −k(r − l0 ) er = −
dr
2
2
avoir Ep (l0 )=0
(2) Force coulombienne : un noyau d’or, de charge Q = Ze, plac´e en O exerce sur un ion
h´elion, de charge q = 2e, localis´e en M , une force :


Fe =

dEp,e −
1 q.Q −
1 q.Q
1 q.Q
Cte=0 pour


e

E
=
E
=
e
=

+
Cte










r
p,e
p,e
r
4πϵ0 r2
dr
4πϵ0 r
4πϵ0 r
avoir Ep (∞)=0

(3) Force gravitationnelle : un astre de sym´etrie sph´erique, de masse mO , de centre O, de
rayon R, exerce sur un point mat´eriel M , de masse m, restant `a la distance r = OM > R, une
force :


dEp,g −
m.mO −
m.mO
m.mO
Cte=0 pour


Fg = −G
er = −
+ Cte −−−−−−−−−→ Ep,g = −G
er ⇔ Ep,g = −G
2
r
dr
r
r
avoir Ep (∞)=0

II

Propri´
et´
es des mouvements `
a force centrale

II.1

Conservation du moment cin´
etique

• Syst`
eme, r´
ef´
erentiel et bilan des forces : Soit S = {M, m}, un point mat´eriel de masse m,
´etudi´e dans un r´ef´erentiel galil´een R, soumis `a une r´esultante des forces qui s’assimile `a une



(3) Force gravitationnelle : un astre de sym´etrie sph´erique, de masse mO , de centre O, de
rayon R, exerce sur un point mat´eriel M , de masse m, restant `a la distance r = OM > R, une
force :


dEp,g −
m.mO −
m.mO
m.mO
Cte=0 pour


Fg = −G
E
=
−G
e
=

+
Cte










e

E
=
−G
p,g
r
r
p,g
r2
dr
r
r
avoir Ep (∞)=0

Propriétés des mouvements à force centrale

Conservation du moment cinétique
II

Propri´
et´
es des mouvements `
a force centrale

II.1

Conservation du moment cin´
etique

• Syst`
eme, r´
ef´
erentiel et bilan des forces : Soit S = {M, m}, un point mat´eriel de masse m,
´etudi´e dans un r´ef´erentiel galil´een R, soumis `a une r´esultante des forces qui s’assimile `a une



force centrale F = F (M )−
er , de centre de force O (O est donc fixe dans R).
• Le Th´
eor`
eme du Moment Cin´
etique appliqu´e `a M :
! −−−→
"
dLO/R (M )
−→
−−→ −

−−→ −
→ −
−−−→

= MO ( F ) = OM × F = 0 ⇔ LO/R (M ) = Cte
dt
R

❚ Propri´
et´
e 1 : Pour un point mat´eriel subissant seulement une force centrale de centre O, il
−→
−−−→
y a conservation du moment cin´
etique ´
evalu´
e en O : LO/R (M ) = Cte
−−−→ −
Rq1 : Pour connaˆıtre ce vecteur constant, il suffit de connaˆıtre les conditions initiales (OM0 , →
v0 )
du point M :
−→ −−−→
−−−→

L
(M ) = Cte = OM × m−
v
O/R

0

0



Rq2 : On peut d´efinir un vecteur C (appel´e par certains, « vecteur cinématique ») tel que
−−−→

→ LO/R (M ) −−→ −−−→
= OM × vM/R .
C =

• Le Th´
eor`
eme du Moment Cin´
etique appliqu´e `
aM :
! −−−→
"
dLO/R (M )
−→
−−→ −

−−→ −
→ −
−−−→

= MO ( F ) = OM × F = 0 ⇔ LO/R (M ) = Cte
dt

Propriétés des mouvements à force centrale
R

Conservation
du moment cinétique
❚ Propri´
et´
e 1 : Pour un point mat´eriel subissant seulement une force centrale de centre O, il
y a conservation du moment cin´
etique ´
evalu´
e en O :

−→
−−−→
LO/R (M ) = Cte

−−−→ −
Rq1 : Pour connaˆıtre ce vecteur constant, il suffit de connaˆıtre les conditions initiales (OM0 , →
v0 )
du point M :
−→ −−−→
−−−→

L
(M ) = Cte = OM × m−
v
O/R

0

0



Rq2 : On peut d´efinir un vecteur C (appel´e par certains, « vecteur cinématique ») tel que
−−−→

→ LO/R (M ) −−→ −−−→
= OM × vM/R .
C =
m

→ −−→ −−−→ −
Ce vecteur est également constant, et fixé par les C.I. : C = Cte’ = OM0 × →
v0





1. En effet, pour un vecteur unitaire →
er , on a ∥ →
er ∥2 = 1 ⇒ d ∥ →
er ∥2 = d(→
er ! →
er ) =

2

http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/

#

d1 = 0


2→
er ! d→
er

Qadri J.-Ph.

74

Mouvement à force centrale
1)

2)

L = OM

p

OM
est perpendiculaire
àL

O
F

L = Cte

O
M
mf = OM

F=0

M(t)

L = Cte
(cf. fig. théorème du moment cinétique)

Conclusion:
Le mouvement est plan

Mouvement à force centrale:
coordonnées polaires

z

L0
k

O

u
u

d

d

y

M d
x
Moments

74

OM 0 mVmV0
initialesL L0 OM
initiales
0
0
0

Mouvement
à force
centrale
passant
Mouvement
à force
centrale
passant
par Opar O

OM mVmV L0 L0
OM

(5)

(5)

Conséquences
Conséquences
: :
1/1/Le
(5)(5)
implique
queque
OMOM
soit soit
toujours
perpendiculaire
au vecteur
L0 , L0 ,
Leproduit
produitvectoriel
vectoriel
implique
toujours
perpendiculaire
au vecteur
constant.
immobile,
uneune
première
conséquence
est que
trajectoire
est est
constant.SiSiO Oestestsupposé
supposé
immobile,
première
conséquence
est la
que
la trajectoire
contenue
unun
plan,
perpendiculaire
à L0à . L .
contenuedans
dans
plan,
perpendiculaire
0

2/2/ Plaçons
dans
ce ce
plan.
Plaçonsnous
nous
dans
plan.
En choisissant un système de coordonnées cylindrique (plan z = 0) nous pouvons écrire :
En choisissant un système de coordonnées cylindrique (plan z = 0) nous pouvons écrire :
d
d
2 d
2 d
d
d
d
L 0 OM mV
u m(
u
u ) m
u m
k2 d
2u
L 0 OM mV
u mdt(
u dt
u ) mdt
u u mdt
k

dt

dt

dt

dt

Le moment cinétique étant perpendiculaire au plan de la trajectoire il s'écrit:
Le moment cinétique étant perpendiculaire au plan de la trajectoire il s'écrit:
L 0 L0 k
L 0 L0 k
Donc nécessairement:
Donc
nécessairement:
2 d
m
d L0
2dt
m
L0
dt
2
2 d
(
) est constant
La deuxième conclusion est donc que le produit
d
2
(
) est constant
La deuxième conclusion est donc que le produit dt 2
Cette loi s'appelle la loi des aires car:
dt

Cette loi s'appelle la loi des aires car:


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