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Cours Traitement de Signal

AII21

Chapitre 1 : La tra
nsformée de Laplace

Généralités sur les signaux

I.

Introduction

Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l'élaboration ou
l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est donc de réussir à extraire un maximum
d'information utile sur un signal perturbé par du bruit en s'appuyant sur les ressources de l'électronique
et de l'informatique.
II.

Définitions

II .1. Signal
Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son destinataire.
La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre les moyens
d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information.
II .2. Bruit
Un bruit est un phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation d'un signal.
II .3. Le traitement de signal
C’est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources de l’électronique, de l’informatique et
de la physique appliqué, a pour objet l’élaboration ou l’interprétation des signaux porteurs de
l’information.
Son application se situe dans tous les domaines concernés par la transmission ou l’exploitation des
informations transporter par ces signaux.
Un système de mesure a de façon générale la structure de la figure I-1 ci-dessous, le phénomène
physique que l’on veut étudier est présenté à un capteur qui le transforme en un signal électrique
tension ou courant, à ce niveau un bruit s’ajoute. Le signal transmit à travers le canal de transmission
atteint le récepteur, puis il subit un traitement pour extraire l’information utile sans bruit.
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Figure (1.1) : Chaine de transmission d’un signal analogique.

III. Classification des signaux
On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés.
III .1. Classification phénoménologique
III .1. 1. Définitions

On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il apparaît deux types de signaux :
Les signaux déterministes : ou signaux certains, leur évolution en fonction du temps peut être
parfaitement modélisé par une fonction mathématique. On retrouve dans cette classe les signaux
périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires, etc…
Les signaux aléatoires : leur comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel à leurs
propriétés statistiques pour les décrire. Si leurs propriétés statistiques sont invariantes dans le
temps, on dit qu'ils sont stationnaires.
III .1.2. Sous classes de signaux déterministes

Parmi les signaux déterministes, on distingue :
Les signaux périodiques, satisfaisant à la relation :
x(t) = x(t + kT)
avec k entier qui obéissent à une loi de répétition cyclique régulière, de période T.
Les signaux non périodiques, qui ne jouissent pas de cette propriété.
III .1.3. Exemples de signaux déterministes

Les signaux sinusoïdaux sont un cas particulier de ces signaux qui sont périodiques :
s(t) = A.sin[(2.π/T)t + ϕ]
Les signaux non périodiques suivant sont des cas particuliers :
x(t) = e-at pour t>0 sinon x(t) = 0 ;
y(t) = t pour t>0 sinon t<0 ;
z(t) = 1

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x(t
)

y(t)

s(t)

z(t)

A

1
1
t

1

t

t

t

1

-A
T

Figure (1.2) : Exemples de signaux déterministes.

III .2. Classification énergétique
On considère l'énergie des signaux. On distingue :
Les signaux à énergie finie : il possède une puissance moyenne nulle et une énergie finie.
Les signaux à puissance moyenne finie : il possède une énergie infinie et sont donc
physiquement irréalisable.
Rappels :
Energie d'un signal x(t) ⇒ W X =

+∞

∫ x(t )

2

dt

−∞

1
Puissance d'un signal x(t) ⇒ PX = lim
T
T →∞

T /2

∫ x (t )

2

dt

−T / 2

III .3. Classification morphologique
On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux dont
l'amplitude est discrète ou continue.

Figure (1.3) : Classification morphologique.

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On obtient donc 4 classes de signaux :
Les signaux analogiques dont l'amplitude et le temps sont continus.
Les signaux quantifiés dont l'amplitude est discrète et le temps continu.
Les signaux échantillonnés dont l'amplitude est continue et le temps discret.
Les signaux numériques dont l'amplitude et le temps sont discrets.
III .3.

Autres classes importantes

III .3.1. Classification spectrale
Un signal peut être classé suivant la distribution Φx (f) de son énergie ou de sa puissance en fonction
de sa fréquence (spectre du signal).
La largeur de bande ∆F d’un signal est le domaine principal des fréquences (positives ou négatives)
occupé par son spectre. Elle est définie par la relation :
∆F = Fmax -Fmin

Φx (f)
∆F

f
fmin

fmax

Figure (1.4) : Distribution spectrale d’un signal avec la largeur de bande ∆F.

On peut distinguer deux types de signaux :

* Les signaux de Basses fréquences ;
* Les signaux de Hautes fréquences ;
*Les signaux à bande étroite avec (fmax ≈ fmin ) ;
*Les signaux à large bande avec (fmax >> fmin ) .

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Φx (f)
fmin =0 ou proche de zéro

f
fmax

Figure (1.5) : signaux de Basses fréquences.

Φx (f)

f

-fmax

fmin

-fmin

fmax

Figure (1.6) : signaux de Hautes fréquences.
Φx (f)

f
fmin

-fmax -fmin

fmax

Figure (1.7) : signaux de Bande étroite
Φx (f)

f

-fmax

-fmin

fmin

fmax

Figure (1.8) : signaux à large Bande

III .3.2. Signaux pairs ou impairs
Un signal est pair si
x(t) = x (-t)
Un signal est impair si
x(t) = - x (-t)
III .3.2. Signaux de durée finie
Les signaux dont l’amplitude s’annule en dehors d’un intervalle de temps T prescrit
x(t)= 0 pour t ϵ T
sont appelés signaux de durée limitée ou à support borné.

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IV. Signaux particuliers
Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment
rencontrés en traitement du signal dispose d'une modélisation propre.
IV. 1. Fonction signe

− 1 pour t < 0
sgn(t ) = 
 1 pour t > 0
Figure (1.9) : Fonction signe.

Par convention, on admet pour valeur à l'origine : sgn (t) =0 pour t=0.
IV .2. Fonction échelon
0 pour t < 0
u(t ) = 
1 pour t ≥ 0

u(t)

t
Figure (1.10) : Fonction échelon.

IV .3. Fonction rampe
Cette fonction est définie par :

r (t ) = t.u(t )
0 pour t ≤ 0
D’où r (t ) = 
 t pour t > 0

Figure (1.11) : Fonction rampe.

IV.4 .Fonction rectangulaire ou porte
Cette fonction est définie par :

1 pour
rect (t ) = 
0 pour


T
2
T
t >
2

t <

Figure (1.12) : Fonction rectangulaire

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La deuxième écriture du signal rectangulaire est :
T
T
T
T
rect (t ) = u(t − ( − )) − u (t − ( )) = u(t + ) − u (t − )
2
2
2
2

D’une manière générale pour une impulsion rectangulaire d’amplitude A, de durée T centré
en t = τ :

x(t)

x(t) = A rect[( t – τ )/ T]

A

t

τ

τ -T/2

τ +T/2

T

Figure (1.13) : Fonction rectangulaire
décalé.

IV.5. Fonction triangulaire

tri (t) =1 - t si t < 1
tri (t) =0

tri (t)

si t > 1
1
t
-1

1

Figure (1.14) : Fonction triangulaire.

IV.6. Impulsion de Dirac
IV.6.1. Définition

L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont la largeur T tendrait vers 0 et dont l'aire est
égale à 1.

1 pour t = 0
δ (t ) = 
0 pour t ≠ 0

Figure (1.15) : Impulsion de Dirac.

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IV.6.2. Propriétés

Intégrale
+∞

∫ δ (t )dt = 1

−∞
+∞

∫ x(t ).δ (t )dt = x(0)

−∞
+∞

∫ x(t ).δ (t − t )dt = x(t )
0

0

−∞

Produit
x(t ).δ (t ) = x(0).δ (t ) = x(0)
x(t ).δ (t − t 0 ) = x(t0 ).δ (t − t 0 ) = x(t 0 )
Identité
x(t ) * δ (t ) = x(t )
Translation
x(t ) * δ (t − t0 ) = x(t − t0 )
x(t − t1 ) * δ (t − t 0 ) = x(t − t1 − t 0 )
IV.7. Peigne de Dirac

On appelle peigne de Dirac une succession
périodique d’impulsions de Dirac.

δ T (t ) =

+∞

∑ δ (t − kT )

k = −∞

Figure (1.16): Peigne de Dirac.

T est la période du peigne.
Cette suite est parfois appelée fonction d'échantillonnage ou train d'impulsions.
IV.8. Fonction sinus cardinal
IV.8. 1. Définition

La fonction sinus cardinal est défini par :
sin(πt )
sin c(t ) =
πt
Avec lim sinx/x =1 lorsque x→0.

Figure (1.17) : Fonction sinus cardinal.

Cette fonction joue un rôle très important en traitement du signal.
IV.8.2. Propriétés
+∞

∫ sin c(t )dt = 1

−∞
+∞

∫ sin c

2

(t )dt = 1

−∞

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IV.9.

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Application

Représenter les signaux suivant :
δ( t+2), δ( t-3) , 2δ( t-1), x(t) = δ( t+1)- δ( t) + δ( t-2) , u(t – 1) et 2 u(t + 2)
Correction :

2δ(t-1)

x(t)
δ(t-3)

δ(t+2)

1

t

t
-2

-1

3

1

2

2u(t +2)

u(t-1)

2
1
t
1

t
-2

Figure (1.17) : Représentation des impulsions de Dirac et des Echelons décalé.

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Chapitre 2 : La transformée de Laplace

Les signaux déterministes à temps
continu

I . Introduction
Le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa représentation fréquentielle est la
décomposition en Série de Fourier (DSF), pour les signaux périodique ou la Transformée de Fourier
(TF) pour les signaux non périodiques.

II. Propriétés temporelles
II.1. Énergie et Puissance des signaux

Toute transmission d'information est liée à un transfert d'énergie. Comment mesure t’on l'énergie d'un
signal?
Soit un signal x(t) défini sur [− ∞,+∞ ] , et To un intervalle de temps.
Énergie de x(t) :
To
2

E = lim

To → ∞



x (t)

2

dt

To

2

Puissance moyenne de x(t):

P = lim

To → ∞

1
To

To
2





2

x ( t ) dt

To
2

Puissance moyenne des signaux périodiques de période T :

P =

1
T

T
2



x (t )

2

dt

T

2

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II.2 Fonction d’auto corrélation et d’inter corrélation

Pour comparer deux signaux entre eux, ou faire ressortir une caractéristique d’un signal noyé dans le
bruit, on compare le signal x(t) pris à un instant « t », à un signal y(t) pris à un instant « t’= t -τ ».
II.2.1 L'inter corrélation

L'inter corrélation compare deux signaux réels x(t) et y(t) retardée, elle traduit la ressemblance de de
+∞

forme entre eux :

C
x, y

(τ ) = ∫ x(t ) ⋅ y (t − τ )dt
−∞
+∞

Pour les signaux complexes : C
x, y

(τ ) = ∫ x(t ) ⋅ y* (t − τ )dt

(avec (*)≡ conjugué)

−∞

Exemple : Si y( t ) est une version retardée de t 0 de x( t ), donc C x,y(t) sera maximale pour t = -t 0 ; en
examinant son temps de pic, on peut estimer le décalage entre x et y (Application en radar)
II.2.2 L’auto corrélation
L’auto corrélation réalise une comparaison entre un signal x(t) et ses copies retardées
+∞

Pour les signaux réels

:C
x, x

(τ ) = ∫ x (t ) ⋅ x (t − τ )dt
−∞

II.2.3 Propriétés de corrélation

C x,x (t) est maximale pour t = 0.
C x,y (t) = C x,y(-t) : c'est une fonction paire.
C x,y (t) = x( t ) * y( -t )
et
C x,x (t) = x( t ) * x( -t ).

III.

Produit de Convolution

III.1.

Définition

Soit le système ci-dessous, ayant pour entrée une impulsion de Dirac δ(t) et de sortie la réponse
impulsionelle h(t) .
Système

δ(t)
Entrée : impulsion
de Dirac

h(t)
Sortie : la réponse
impulsionelle

Figure (2.1):La réponse impulsionelle du système.

Un système linéaire est modélisé par sa réponse impulsionelle.
La réponse y(t) d’un système à une entrée x(t) est une superposition de réponses impulsionelle amplifié
par des valeurs instantanées de x(t) ; cette opération appelé : convolution de x par h ; noté (*).

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Système
h(t)

x(t)

y(t)= x(t)*h(t)

Figure (2.2): La réponse du système.

Equation générale de convolution :
+∞

Y(t) = x(t) * h(t) =



+∞

x(t − τ ).h(τ ).dτ =

−∞

III.2.

∫ x(τ ).h(t − τ ).dτ

−∞

Propriétés du produit de convolution

Soit les trois signaux continus : f1[t], f2[t] et f3[t] .
a- La commutativité :

f1[t] * f2[t] = f2[t] * f1[t]
b- La distributivité

( f1[t] + f2[t] )* f3[t] = (f1[t] * f3[t]) + (f2[t] * f3[t])
c- L’associativité

f1[t] * f2[t] * f3[t] = f1[t] * (f2[t] * f3[t] ) = (f1[t] * f2[t]) * f3[t]
d- L’élément neutre
+∞

f[t] * δ[t] =

∫ f (τ ).δ (t − τ ).dτ

= f[t]

−∞

e-

Soit le signal d’entré f(t), s(t) est la réponse du système tell que : f(t) * δ(t-t0) = s(t) = f( t - t0 )
δ(t-t0)

f(t)

f(t-t0)

t

t

t

t0

t0

Figure ( 2.3 ) : La réponse du système à t0.

Le signal de sortie d’un système linéaire causal invariant dans le temps est donné par le produit
de convolution du signal d’entrée et d’une fonction h(t) appelée réponse impulsionelle.
La valeur du signal de sortie à l’instant t est ainsi obtenue par la sommation des valeurs passées
du signal d’excitation, pondérées par la réponse du système.
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III.2. Application
Exemple 1 :

Soit les signaux continus h(t) et x(t):
h (t) = 2 pour 0 ≤ t ≤ 2 sinon h (t) = 0 & x (t) = 2.e-t pour t ≥ 0
a- Représenter les deux signaux.
b- Déterminer le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t).

Correction :
x(t)
a-

h(t)
2

2
t

t
2

Figure (2.4 ) : La représentation temporelle des signaux x(t) et h(t).
+∞

∫ x(t − τ ).h(τ ).dτ

b- le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t) =

−∞

h(τ)

1er cas : pour t < 0

2

2

x(t-τ)

τ
t

2

Figure(2. 5 ) : La représentation des signaux pour t

Pas d’intersection entre les deux signaux
2er cas : pour

0<t<2

<0.

d’ où y(t) = 0 .

h(τ)
2

x(t-τ)

τ
t

0

2
Figure (2. 6) : La représentation des signaux pour 0 <
+∞

y (t) = x (t) * h (t) =

∫ x(t − τ ).h(τ ).dτ

−∞

= 4

.

.

=

2.2.

(

)

=4

t <2.
.

.

= 4. e- t [et – 1]

y(t) = 4. e-2 t - 4.e-t pour 0 < t< 2
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3eme cas : pour t >2
4.

+∞

∫ x(t − τ ).h(τ ).dτ

y (t) = x (t) * h (t) =

=

−∞

= 4

.

.

(

=4

)

.

.

= 4. e- t [e2 – 1] d’où y(t) = 4. e2- t - 4.e-t pour t > 2

Exemple 2 :

Soit un système « S », caractérisé par sa réponse impulsionelle h(t).
Si on excite ce système par un signal x (t), on aura une réponse y (t).
Soient les deux signaux continus x (t) et h (t) telle que :
x (t) = 1 pour 0 ≤ t ≤ 4 sinon x (t) = 0

&

h (t) =1 pour -2 ≤ t ≤ 2 sinon h (t) = 0

a - Déterminer le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t).
b - Représenter le produit de convolution y (t).
h(t)

x(t)

Réponse :
a1

1

t
-2

t

2

4

0

Figure (2. 7): La représentation temporelle des signaux x(t) et h(t).
+∞

∫ x(t − τ ).h(τ ).dτ

Le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t) =

−∞

1er cas : pour t < 0
Pas d’intersection entre les deux signaux d’ où y(t) = 0 .

x(τ)

h(t - τ)

1

t
t-4

t

4

0

Figure (2. 8) : La représentation de x(τ) et h(t- τ) pour t < 0.

2èmecas : pour

0<t<4
h(t - τ)

x(τ)

1

t
t-4

0

t

4

Figure (2. 9) : La représentation de x(τ) et h(t- τ) pour le 2èmecas .

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1

+∞

y (t) = x (t) * h (t) =

∫ x(t − τ ).h(τ ).dτ

=

−∞

=t

y(t) = t pour 0 < t< 4
3ème cas : pour t >4 et t-4<4 d’où 4 < t <8

x(τ)

h(t - τ)

t
t-4

t

4

Figure (2. 10) : La représentation de x(τ) et h(t- τ) pour le 3èmecas .

1

+∞

y (t) =

∫ x(t − τ ).h(τ ).dτ

=

−∞

= 4 – t+ 4= -t + 8

y(t) = -t + 8 pour 4< t <8
4ème cas : pour t-4>4 d’où t >8

x(τ)

h(t - τ)

1

t
4

0

t

t-4

Figure (2. 11) : La représentation de x(τ) et h(t- τ) pour le 4èmecas .

Pas d’intersection entre les deux signaux
b-

d’ où y(t) = 0.

y(t)

4

t
0

4

8

Figure (2. 12) : La représentation temporelle du produit de convolution.

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IV .

AII21

Propriétés fréquentielles

IV.1. Transformation de Fourier des fonctions périodiques : Série de Fourier

L’introduction de la transformée et de la Série de Fourier permet de donner une autre représentation des
signaux très intéressante pour la théorie de l’information et du signal .Cette décomposition
exponentielle ou trigonométrique permet d’exprimer le signal en fonction de ses harmoniques.
IV.1.1. Décomposition sous une forme trigonométrique

Un signal périodique s(t) de période T, continu par morceaux et vérifiant les condition de Dirichlet ,
peut être décomposé en Série de Fourier selon la Décomposition trigonométrique suivante :
Pour tout signal s(t) réel où s(t) = s ( t + T0), on peut écrire :

s(t ) = A0 +



∑ [A cos(n2πF t ) + B
n

n =1

0

n

sin(n 2πF0 t )]

(1)

Avec
T0

1
A0 =
T0

∫ s(t )dt
0

2
An =
T0
Bn =

2
T0

T0

∫ s(t ). cos(n2πF t )dt

pour n ≥ 1

0

0
T0

∫ s(t ). sin(n2πF t )dt

pour n ≥ 1

0

0

A0 est la valeur moyenne de s(t).

Remarque :
Si s(t) est paire
=>
Si s(t) est impaire =>
L’expression (1) peut s’écrire :

Bn = 0 pour n ϵ N*
An = 0 pour n ϵ N (A0 = 0).



s(t) = a + ∑ C .cos(2 π F nt + ϕ ) (2)
0
n
0
n
n =1

avec :

=

+

et

ϕ

n

= Artgan

(−

bn
)
an

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IV.1.1.1

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Spectre du signal périodique

Le spectre en fréquence d’un signal périodique est constituer de la composante continue avec à la
fréquence nulle d’amplitude A0 , du fondamental à la fréquence F0 d’amplitude C1 et des différents
harmoniques situés aux fréquences f = nF0 d’amplitude respectives Cn.
Le spectre d’une fonction périodique, de période T0 avec T0 = 1/F0 , est discontinue et composé de
raies dont l’écart minimum est, sur l’axe des fréquences, F0.

Représentation spectrale unilatéral
A partir de l’expression (2), on peut construire la représentation spectrale du signal dans un
plan amplitude –fréquence.
C’est la succession de pics ou raies d’amplitude Cn et positionnés aux fréquences nF0.

C1
C3

C2

Cn

A0
f
0 F0

2F0

3F0

nF0

Figure (2.13) : Représentation spectrale du signal s(t).

IV.1.2. Décomposition sous une forme exponentielle
Un signal périodique s(t) de période T0, continu par morceaux, peut être décomposé en Série de
Fourier selon la Décomposition exponentielle suivante :
L’expression (1) peut se mettre sous la forme complexe suivante :

s(t ) =

+∞

∑S
−∞

1
1
S ( nF 0 ) = ( an − jbn ) =
2
T0

Avec

T0

∫ s ( t )e

n

( nF 0 ) e

− jn 2πF 0t

dt

jn 2 π F 0 t

pour n ≥ 1

et

S(0) = a0

0

Les valeurs négatives de n sont introduites dans un but de simplification, s(t) étant réel d’où nous
avons :
a -n = an et b -n = - bn
S(nF0) représente les composantes du spectre en fréquence de s(t),grandeur en général complexe, qui a
pour :

• module :

|S(nf0)| =



ᵩ ( nF0) =

phase :

+

=

Arctan(- bn / an )

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AII21

L’expression du spectre S(f) est :
S(f) = ∑

&'(
& (

(!" ). #($ % !" ) avec S(nF0) = |S(nF0)|. ej

ᵩ( nF

)
0

S(f)
S(F0)

S(-F0)

S(-nF0)

S(-3F0)

S(-2F0)

S(3F0)

S(2F0)

S(nF0)

S(0)

f
- nF0

-3F0

-2F0 -F0

0

F0

2F0

3F0

nF0

Figure (2.14) : Représentation bilatérale du spectre d’un signal périodique.

IV.1.3. Propriétés
Si s(t) est paire
=>
Si s(t) est impaire =>

Bn = 0 et Sn = S-n
An = 0 et Sn = -S-n

IV.1.4. Application
Décomposer en série de Fourier le signal représentée sur la figure suivante:
f(t)
3

1

t

Figure (2. 15) : Représentation temporelle du signal périodique f(t).

Correction :
La période est : T = 2 s ;

La pulsation est : ω =


= π ; f est une fonction paire : Bn = 0.
T

La valeur moyenne est :
A0 =

1
T



1

−1

v (t )dt =

1
2



0

−1

1 1
v (t )dt
2 0



v(t )dt +

∀t ∈ [− 1 , 0]
v (t ) = at + b ⇒ v(t ) = 3t + 3

et

∀t ∈ [0,1]
v(t ) = −3t + c ⇒ v(t ) = −3t + 3

D’où :
0

1 0
13
3

(3t + 3)dt =  t 2 + 3t  =

2 −1
22
 −1 4

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1

1 1
1 3
3

(−3t + 3)dt =  − t 2 + 3t  =

0
2
2 2
0 4

A0 = 3/2

A0 = 3/4+3/4=3/2

2
An =
T0
An =

T0



s (t ). cos(n 2πF0 t )dt



An =

0



0

−1



2
T

1

∫ f (t ) cos(nπt )dt
−1

1

(3t + 3) cos(nπt )dt + ( −3t + 3) cos(nπt )dt
0

En intégrant par partie, on trouve An =

D’où

An =

3
( nπ )

6
( nπ )

2

[1 − (−1) n ] +

3
( nπ )

2

[1 − ( −1) n ]

[1 − ( −1) ]
n

2

IV.2. Transformation de Fourier des fonctions

La transformée de Fourier permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale)
des signaux déterministe, continus et non périodique. Elle exprime la répartition fréquentielle de
l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de la puissance) des signaux considérés.
IV.2.1 Définition

Soit x(t) un signal déterministe non périodique, sa transformée de Fourier est :
x(t)

X(f)

T.F

X(f) =T F{x(t)}
+∞

X ( f ) = ∫ x ( t ).e

− j 2 πft

−∞

dt

X(f) indique quelle "quantité" de fréquence f est présente dans le signal x(t) sur l'intervalle ] − ∞,+∞[
X(f) est une fonction de f, généralement complexe :
X(f) = R{X(f)} + j.I{X(f)} = │X(f)│ .ejφ(f)
= │X(f)│ cos(φ(f)) + j │X(f)│ .sin(φ(f))

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-le module est l’amplitude du spectre :
2

R [ X ( f )] + I [ X ( f )]

│X(f)│=

-L’argument φ(f) = arg (x(f)) = Arctg(

2

I[X(f)]
)
R[X(f)]

La transformation inverse est donnée par :
T.F-1

X(f)

x(t)

x(t)= TF-1{ X(f) }
+∞

x(t) =

∫ X(f) .e

j 2 π ft

. dt

−∞

IV.2.2 Application:

1.

Calculer la transformée de Fourier de x(t) = rectT(t) ;

2.

Représenter le spectre de x(t).

x(t)
1
t
-T/2

T/2

Figure (2. 16) : Représentation temporelle d’un signal rectangulaire.

Correction :
+∞

1. X(f) =T F{x(t)} = ∫ rect (t ). e
T

− j 2πft

−∞

T
2

= ∫ 1 .e
−T

− j2 π ft

.d t =-

.dt
1 [e-jπfT - e jπfT]
j2πf

2

or sin α = 1 [ eαj – e-jα]
2j
D’où

et

sinc α =

sin( πα )

πα

X(f) = 1 .sin(πfT) = T. 1 .sin(πfT) = T.sinc(fT)
πf
πfT

D’où

X(f) = T.sinc(fT)

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2. représentation de X(f) :
X(f)
T

f
-2/T

-1/T

1/T

2/T

Figure (2.17) : Représentation spectrale d’un signal rectangulaire.

IV.2.3. Propriétés de la TF

Soit les deux signaux analogiques s(t) et r(t)

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IV.2.4. Cas particulier : Transformée de Fourier de Dirac
Le signal : s(t )

Transformée de Fourier Du signal :
S( f )

δ(t)

1

δ(t – τ)

e − j 2πfτ

e − j 2πf 0t

δ ( f + f0 )

IV.2.5. Application :

Calculer et représenter la transformée de Fourier d’un signal sinusoïdale s(t) d’amplitude S et de
fréquence f0 telle que : s(t) = S.cos(2 π f0t)
Correction :
S( f ) =

+∞

+∞

− j 2πft
− j 2πft
∫ s(t )e dt = S. ∫ cos(2πf 0t )e dt

−∞

or

−∞

cos(2πf 0t ) =
+∞

 e j 2πf0t
S ( f ) = S . ∫ 
− ∞

=

+ e − j 2πf 0t
2
+∞
+∞
− j 2πf 0t

 − j 2πft
+e
S  j 2πf0t − j 2πft
e
dt =  ∫ e
.e
dt + ∫ e − j 2πf0t .e − j 2πft dt 
2
2  −∞

−∞

e

j 2πf 0t

+∞
+∞
+∞
+∞


S  j 2π ( f 0 − f ) t
S  − j 2π ( f − f 0 ) t
− j 2π ( f 0 + f ) t
e
dt
+
e
dt
e
dt
+
e − j 2π ( f + f0 ) t dt 
=
∫

∫


2  −∞
2  −∞
−∞
−∞



S( f ) =

S
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ]
2

TF [S. cos(2πf 0 t )] =

S
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ]
2

Figure (2.18) : représentation temporelle et fréquentielle du signal cosinus.

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Remarque :

La transformée de Fourier d’une fonction cosinus de fréquence f0 et d’amplitude S, est la
somme de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0 ; et d’amplitude la
moitié de celle du signal :S /2.
La transformée de Fourier d’une fonction sinus de fréquence f0 et d’amplitude S, est la somme
de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 avec une amplitude S/2 et sur +f0
avec une amplitude -S /2.
IV.3. Transformée de Fourier du produit de convolution

TF [a ( t ) * b( t )] = A( f ). B ( f )

Remarque :
TF [h (t ) * δ (t )] = TF [h(t )].TF [δ (t )] = TF [h(t )] = H ( f )

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Chapitre 4 : La transformée de Laplace

Echantillonnage des signaux continus

I.

Introduction

L’importance des systèmes numériques de traitement de l’information ne cesse de croître (radio,
télévision, téléphone, instrumentation…). Ce choix est souvent justifié par des avantages techniques
tels que la grande stabilité des paramètres, une excellente reproductibilité des résultats et des
fonctionnalités accrues. Les signaux porteurs d’informations sont pratiquement toujours de type
analogiques (amplitude et temps continu).
Le traitement de signal par voie numérique nécessite une opération préliminaire de conversion
analogique numérique. La conversion analogique numérique est la succession de trois effets sur le
signal analogique de départ :
l’échantillonnage pour rendre le signal discret
la quantification pour associer à chaque échantillon une valeur
le codage pour associer un code à chaque valeur.

II .

Echantillonnage

II .1. Définition

L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, les valeurs
instantanées d’un signal. Le signal analogique s(t), continu dans le temps, est alors représenter par un
ensemble de valeur discrète :
se(t) = s(n.Te)

Avec n : entier.
Te : période d’échantillonnage.
Cette opération est réalisée par un échantillonneur souvent symbolisé par un interrupteur.

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Figure (4.1) :L’échantillonnage d’un signal s(t).

II .2. Echantillonnage idéal

L’échantillonnage idéal est modélisé par la multiplication du signal continu s(t) et d’un peigne de
Dirac de période Te.
se (t ) =

s(t ) .δ

= s(t ) .

Te

(t )

+∞

∑ δ (t − nT )
e

n → −∞

+∞

= s(nTe ). ∑ δ (t − nTe )
n →−∞

Le spectre du signal échantillonné

Le spectre du signal échantillonné est donc le suivant :
1 +∞
∑ S ( f ) * δ ( f − nf e )
Te n→ −∞
1 +∞
Se ( f ) =
S ( f − nf e )
Te n → −∞

Se ( f ) =



On obtient donc un spectre infini qui provient de la périodisation du spectre du signal d’origine autour
des multiples de la fréquence d’échantillonnage fe, avec $@&

1[

Figure (4.2) : Spectre d’un signal échantillonné.

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Remarque :

On voit sur le spectre du signal échantillonné qu’il est possible de restituer le signal original par
un simple filtrage passe-bas.
Si fM, la fréquence maximale du spectre du signal à échantillonner, est supérieure à fe/2, la
restitution du signal original sera impossible car il va apparaître un recouvrement spectral lors
de l’échantillonnage. On dit qu’on est en sous-échantillonnage.

Figure (4.3) : Spectre d’un signal échantillonné si fM est supérieure à fe/2.

Le théorème de SHANNON montre que la reconstitution correcte d’un signal nécessite que la
fréquence d’échantillonnage fe soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des fréquences
fM du spectre du signal :
fe > 2 fM
Lorsqu’il y a recouvrement spectrale, nous avons vu qu'il était impossible de reconstruire correctement
le signal. Pourtant dans la plupart des situations, le spectre du signal à échantillonner s'étale sur tout le
domaine des fréquences (tout en diminuant du coté des hautes fréquences), mais il n'existe pas une
fréquence fmax au-delà de laquelle l'énergie est nulle.
Il y a donc un problème pour choisir la fréquence d'échantillonnage. On se fixe donc en pratique une
fmax à partir de laquelle on estime la représentation de notre signal satisfaisante pour les applications
que l’on veut en faire. Puis on effectue un filtrage passe-bas (à fmax) avant l’échantillonnage afin de
remédier aux repliements de spectre. On appelle ce filtre un filtre anti repliement.

III . Application
Soit le signal sinusoïdal s(t) = sin(2ΠF.t), de période T= 1ms.
se(t) est le signal échantillonné avec un pas d‘échantillonnage Te = 0.1ms.
1- Représenter le signal s(t) et se(t) pour une période T .
2- Soit S(f) la transformé de Fourier de s(t) telle que S(f) =

1
[δ(f – F) – δ(f + F)].
2j

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a- Représenter S(f).
b- Donner l’expression de la transformé de Fourier de se(t) : Se(f).
c- Représenter Se(f) pour -2 ≤ n ≤ 2.

Réponse :
1-

Figure
(4.4) :L’échantillonnage d’un signal s(t).

2- a -On a S(f) =

1
[δ(f – F) – δ(f + F)]
2j

d’où

S(f) =

1
j[δ(f + F) – δ(f - F)]
2

S (f)

1/2

f

F
-F
-1/2

Figure (4.5) : Spectre de s(t).

b- L’expression de Se(f) :
Se ( f ) =

+∞

∑F

n → −∞

e .S (

f − nf e )

c-

Se(f)

-2Fe

-Fe

F

Fe

2Fe

f

-F

Figure (4.6) : Spectre de se(t) pour -2 ≤ n ≤ 2.

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Chapitre 5 : La transformée de Laplace

Etude des signaux déterministe
à temps discret

I . Introduction
Le traitement numérique de l’information apporte de nombreux avantages techniques ainsi qu’une
flexibilité accrue dans beaucoup de domaine. Le traitement du signal par transformée de Fourier pose
cependant un certain nombre de problèmes. En effet un ordinateur ne peut traiter que des signaux
numériques, ceux-ci sont obtenus après un échantillonnage et une quantification. Leur étude devra
tenir compte des effets induits sur le spectre par ces deux techniques.
De plus, un calcul de transformée de Fourier est une somme d’une infinité d’échantillons. Le temps
nécessaire ainsi que la mémoire de l’ordinateur vont forcément emmener certaines contraintes à ce
niveau.

II .

Les signaux discrets

II . 1. Définition
Soit un signal xe(t) échantillonné à une période d’échantillonnage Te.
Te

x(t)

xe(t)

Figure (5 .1) : Signal échantillonné.

Le signal échantillonné s'écrit :

&'(

c@ (O) = c (O). #1@ (O) = d c(!5@ ). #(O % !. 5@ )
& (

On obtient la suite de valeurs {x(n Te)} appelée signal discret.
On fait à ce signal échantillonné correspond un signal discret :

xe (t) → x[n ]
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Cas général :

{ x[ N ], x[ N + 1], .......x[ M ]} , N ≤ M
{ x[n ]} = 
longueur : l = M − N + 1
Exemple :
Soit le signal discret suivant :
{x[n]} = { x[-1] , x[0] , x[1] , x[2] , x[3] , x[4]} = { 1 , 2 ,- 1 , 3 , 1 , 2}

1. Déterminer la longueur de ce signal ;

2. Ecrire x[n] en fonction de #V!W ;
3. Représenter le signal x[n].

Réponse
1. La longueur de ce signal est : l = 4 – (-1) + 1 = 6 .
x[n] = 1.δ[n + 1] + 2.δ[n] - 1.δ[n - 1] + 3.δ[n-2] + 1.δ[n - 3] + 2.δ[n - 4]

2.
3.

x[n]
3
2
nk
-1

Figure (5 .2) : Représentation du signal discret x[n].

II.2.

Signaux discrets particuliers

II .2 .1. Echelon unité
eV!W = f

1 2geh ! ≥ 0 k
0 2geh ! < 0

U[n]
n
0

1

2

3

4

5

kn

Figure (5 .3) : Représentation de
l’Echelon unité

II.2.2. Impulsion discrète
#V!W = f

1 2geh ! = 0k
0 2geh ! ≠ 0

δ[n]
1

n
0

1 2

3

4 5

Figure (5 .3) : Représentation de #V!W

.

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II.2.3. Signal rectangulaire

Soit le signal rectangulaire suivant :
1 2geh % 5 ≤ ! ≤ 5
k
ПT (n)= m
BN!g!
0

Le signal est de longueur 2 T + 1 et d’amplitude A= 1v.
Signal rectangulaire en fonction d’échelon unitaire est :
П2T (n) = U(n + T) – U(n –(T + 1))

П2 (n)

Pour T = 2
1 2geh % 2 ≤ ! ≤ 2
k
П2 (n)= m
BN!g!
0

n
-2

2

Figure (5 .3) : Représentation du signal
rectangulaire .

Signal rectangulaire en fonction d’échelon unitaire est :
П2T (n) = U(n + 2) – U( n- 3 )

Signal rectangulaire en fonction d’impulsion de Dirac est :
П2T (n) = δ(n + 2) + δ(n + 1) + δ(n) + δ(n - 1) + δ( n- 2 )

III.

Opération de base sur les signaux discrets

Soit les signaux discrets x1[n] , x2[n] et y[n]
III.1. Addition

+

x1[n]

y[n]= x1[n] + x2[n]
x2[n]

Figure (5 .4) : Addition des signaux discrets.

III.2. Multiplication

x1(n)

y(t)= x1(n) . x2(n)

x2(n)
Figure (5 .5) : Multiplication des signaux discrets.

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IV.

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Produit de convolution des signaux discrets

IV. 1. Définition

Le calcul du produit de convolution de deux signaux discrets est donné par l’équation suivante :
y[n] = f1[n] * f2[n] =

∑ f [ p]. f [n − p]
1

tous

IV. 2.

2

les p

Propriétés de la convolution

.1. La commutativité

f1[k] * f2[k] = f2[k] * f1[k]
.2. La distributivité

( f1[k] + f2[k] )* f3[k] = f1[k] * f3[k] + f2[k] * f3[k]
.3. L’associativité

f1[k] * f2[k] * f3[k] = f1[k] * (f2[k] * f3[k] ) = (f1[k] * f2[k]) * f3[k]
.4. L’élément neutre

L'élément neutre du produit de convolution est l'impulsion de Dirac discrète (δ [n])
δ [n ] * f [n ] = f [ n ]

f [ n ] * δ [ n − n 0 ] = f [ n − n0 ]
IV. 3. Calcul du produit de convolution de signaux discrets
Exemple

On considère deux séquences discrètes apériodiques non-nul sur les intervalles de durée Nf1 et
Nf2 .Soit f1[n] séquence non nul pour n ϵ[0, 3 ] et f2(n) séquence non nul pour n ϵ[0, 3 ]
f1[k] = 1.δ[k] + 2.δ[k-1] + 3.δ[k-2] + 4.δ[k-3]
f2[k] = 9.δ[k] + 7.δ[k-1] + 4.δ[k-2] + 1.δ[k-3]
1. Déterminer le produit de convolution de f1(n) et de f2(n) par Calcule et par méthode
graphique ;
2. Représenter le produit de convolution.
Correction :Soient la représentation des signaux discrets:
f1f1(k)
(n)

f2(n)
9
7
4
3
2
1

4
1
nf
00 1 2 3

n
0 1 2

3

Figure (5.6) : les deux signaux discrets f1 (n) et f2 (n).

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Calcul du produit de convolution par la méthode théorique :
*Nombre d’impulsion Ny de y[n] :
Ny = Nf1 + Nf2 -1 = 4 +4 -1 =7
*Calcul des valeurs de n de y :
n≥ 0+0=0
n≤ 3+3=6


0 ≤ n ≤ 6

p =3

D’ou

y[n] =

∑ f [ p]. f [n − p]
1

2

0 ≤ n ≤ 6

avec

p =0

-pour n=0

y[0] = f1(0). f2(0) = 1.9 = 9

-pour n=1 y[1] = f1(0).f2(1) + f1(1).f2(0) = 1.7 +2.9 =25
-pour n= 2 y[2] = f1(0).f2(2) + f1(1).f2(1) + f1(2).f2(0) = 1.4 +2.7 +3.9 = 45
-pour n= 3 y[3] = f1(1).f2(3) + f1(2).f2(2) +f1(3).f2(1) = 1.1 +2.4 +2.7 + 4.9 = 66
-pour n= 4 y[4] = f1(0).f2(3) + f1(1).f2(2) + f1(2).f2(1) +f1(3).f2(0) = 2.1 +3.4 +4.7 = 42
-pour n= 5 y[5] = f1(2).f2(3) +f1(3).f2(2) =3.1+4.4 = 19
-pour n= 6 y[6] = f1(3).f2(3) = 4.1 = 19

D’où le résultat suivant :
y(k)
66
42
45
19

25
9

4
f
nk
0 1 22 33

4 5 6

Figure (5.7) : le produit de convolution des signaux discret f1 (n) et f2 (n).

Calcul du produit de convolution par la méthode graphique :
f1f1(k)
(n-p)

f2(p)
9
7
4
3
2
1

-3 - 2 - 1 0

4
1
nk

nk
0 1 2 3

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1er cas : pour n =0

2ème cas : pour n =1

f2(p)

f2(p)
9

9

7

7

4

4

1

1
nk

nk

0 1 2 3

0 1 2 3

f1(k-p)

f1(k-p)
4
3
2
1

nk

nk

-3 - 2 - 1 0

-3 - 2 - 1 0

y(0) = 9.1 = 9

y(1) = 9.2 + 7.1 = 25

D’où y(0) = 9

D’où y(1) = 25

3ème cas : pour n = 2

4ème cas : pour n = 3

f2(p)

f2(p)
9

9

7

7

4

4
1

1

nk

nk
0 1 2

0 1 2 3

3
f1(k-p)

f1(k-p)

nk
nk
0 1 2
0 1 2

3

3

y(n) = 9.3 + 7.2 + 4.1 = 42
D’où y(2) = 42

y(n) = 9.4 + 7.3 +4.2+1 = 66
D’où y(3) = 66

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5ème cas :n= 4

6ème cas : n =5
f2(p)

f2(p)
9

9

7

7

4

4

1

1
nk

nk
0 1 2

0 1 2 3

3
f1(k-p)

f1(k-p)

nk

nk

0 1 2 3

0 1 2

4

y(5) = 7.4 + 4.3 + 1.2 = 45
D’où y(5) = 45

3

4

y(6) = 4.4 + 1.3 = 19
D’où y(6) = 19

7ème cas :n= 6

8ème cas :n= 7
f2(p)

f2(p)
9

9

7

7

4

4
1

1

nk

nk
0 1 2

0 1

3

2 3

f1(k-p)

f1(k-p)

nk

0 1 2 3

y(6) = 4. 1 = 4
D’où y(6) = 4

4

nk
0 1 2 3

4

Pas d’intersection entre les deux signaux.
D’où y(7) = 0

Figure (5.8) : les cas possible pour avoir le produit de convolution
des signaux discrets f1 (n) et f2 (n)

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AII21

La représentation du produit de convolution y(k) est :
y(k)
66
42
45
19

25
9

4
f
nk
0 1 22 33 4

5 6

Figure (5.9) : Représentation du produit de convolution des deux signaux.

V.

Transformée de Fourier d'un signal discret : TFTD

V.1. Définition

Un signal discret est défini par une suite d’échantillons espacés entre eux d’une période Te. La
transformée de Fourier appliquée à un signal discret x[n] devient donc :

X( f ) =

+∞



x[n ].e

−2 jπ nf
Fe

n → −∞

=

n → +∞

−2 jπnfTe

∑ x[n]. e

n → −∞

Si cette série converge, la transformée de Fourier inverse est définie par :

1
x[n] =
Fe

Fe / 2



2 jπ

X ( f ).e

nf
Fe

− Fe / 2

V.2. Propriétés de la TFTD

Globalement, la TFTD possède les mêmes propriétés que la TF.
X(f) est une fonction complexe .
| X(f)| est le spectre d’amplitude et arg (X(f)) est le spectre de phase.

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V.3. Application

Soit le signal discret suivant :
x[n] = 1 si | n | ≤ N/2 sinon x[n] = 0 .

1- Représenter le signal discret et donner son expression en fonction d’Echelon unitaire;
2- Calculer la Transformé de Fourier de ce signal.
Correction

1- C’est un signal rectangulaire d’amplitude A= 1v et de durée N+1
x [n]

n
-N/2

0

N/ 2

Figure (5.10) : Représentation du signal rectangulaire discret.

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Le signal en fonction d’échelon :
x[n] = u [ n + N/2] + u [ n –( N/2 +1)]

2- La TFTD de x[n] est :
X( f ) =

+∞



x[n ].e

− 2 jπ nf
Fe

n → −∞

n → +∞
n → −∞

X( f ) =

Avec Te = 1 s d’où

− 2 jπnfTe

∑ x[n]. e

=

n= N / 2

−2 jπnf

∑ .e

n =− N / 2

X(f) est la somme de N + 1 termes d’une suite géométrique de raison
terme e

jπNf

o ($ ) =

@ s`0t(uv\)w

Kpr

x

@ s`0tw

Kp(q' )r

Kpr .

=

D’où

-2jπnf

et de premier

.

Kpqr

=

e

x

Kpr

%

=

%

@ `tuw @ `t(us0us0)w
@ s`0tw

Kp(q' )r

Kpr .

%
( Kpr %

Kp(q' )r

‚(ƒ) =

Kpr

y

Kp(q' )r

Kpr )/2+

=

x

y/2+

=

@ `t(uv\s\)w @ s`t(uv\v\)w

%
Kpr %

Kp(q' )r

=

@ s`0tw

Kp(q' )r
Kpr

y

sin(πf(N + 1)
sin (•$)

„…†(‡ˆ(‰ + :)
„…† (Šƒ)

Figure (5.11) : Spectre du signal rectangulaire discret.

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VI .

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Filtrage numérique

VI. 1. Système linéaire invariant dans le temps

Un système est discret, si à la suite d'entrée discrète x(n) correspond une suite de sortie discrète y(n).

Figure (5.12) : Représentation d’un système discret.

Un système est linéaire, si à la suite ax1 ( n ) + bx 2 ( n ) correspond la suite ay1 ( n ) + by 2 ( n )
Un système est invariant dans le temps, si à la suite x(n − m) correspond la suite y (n − m) .
 δ ( 0) = 1
Si δ (n) est la suite unitaire 
, alors toute suite x(n) peut s'écrire:
δ (n) = 0 ∀n ≠ 0

x[n ] =

+∞

∑ x[m].δ [n − m]

m → −∞

Si h(n) est la réponse d'un système discret linéaire et invariant dans le temps à la suite δ (n) alors :

x[n ] → y[n ] =

+∞



x[m].δ [n − m] =

m → −∞

+∞

∑ h[m]. x[n − m]

m → −∞

On reconnaît alors une équation de convolution:

y ( n) = h( n) * x ( n)
Ainsi dès qu'un système peut être considéré comme linéaire, discret et invariant dans le temps, il en
découle qu'il est :
Régi par une équation de convolution ;
Entièrement déterminé par la réponse h(n) qu'il fournit lorsqu'il est excité par la suite
impulsionnelle δ (n) . Cette suite h(n) constituant la réponse impulsionnelle du système.
VI .2. Transformée en z d’une séquence :

Le signal analogique est maintenant numérisé et transformé en une suite de valeurs numériques x[n]
codées sur N bits qu’on représente par des segments dont la hauteur est proportionnelle à la valeur
binaire.
C’est une façon commode de représenter graphiquement une séquence numérique x[n] constituée des
valeurs du signal x(t) aux instants t=0, Te, 2Te ... On supposera que le signal x(t) est nul pour t<0.

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Figure (5.13) : Séquence d’échantillons.

On appelle transformée en z de la séquence numérique x[n] le polynôme X(z) défini par la
relation :

X ( z ) = x0 + x1 . z −1 + x2 . z −2 + x3 . z −3 + ...

Exemple :

Séquence impulsion unité :
x[n] = 1 à t = 0
x[n] = 0 à Te, 2Te ...
X(z) = 1
Figure (5.14) : Séquence impulsion unité .

Séquence échelon :
x[n] = 0
x[n] = 1

si t < 0
si t ≥ 0

X ( z ) = 1 + z −1 + z − 2 + z − 3 + ... =

1
1 − z −1
Figure (5.15) : séquence échelon.

La Transformée en Z d'une suite x(n) est définie par l'expression suivante :
TZ
x[n] →

X ( z) =

+∞

∑ x[n].z

−n

n→−∞

En considérant l'expression de la Transformée de Fourier discrète :
x[n] TFD

→

X(f ) =

+∞

∑ x[n].e

−2 jπfnTe

n→−∞

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Le passage de la Transformée en Z à la Transformée de Fourier est immédiat :
X ( z ) z =e j 2πfTe = X ( f )
Ainsi l'analyse d'un système discret se fera en général au moyen de la Transformée en Z, le passage en

Fourier étant immédiat si nécessaire.
VI.3. Transmittance en z d’un filtre numérique :

De la même manière que la Transformée de Laplace est l'outil fondamental pour l'analyse des systèmes
continus, la Transformée en Z est l'outil d'analyse pour les systèmes discrets. Soit un système qui à une
séquence d’entrée xn restitue en sortie une séquence yn :

Figure (5.16) : Filtre numérique.

La transmittance T(z) du filtre est alors définie par :

T

( z )

=

Y
X

( z )
( z )

Puisque les transformées X(z) et Y(z) sont des polynômes contenant les puissances négatives de z, la
transmittance sera un rapport de deux polynômes en puissances négatives de z.
VI. 4. Structure générale d’un filtre numérique

Un filtre numérique calcule la valeur numérique de la sortie yn à l’instant t = n.Te à partir des
échantillons précédents de la sortie et des échantillons précédents de l’entrée, plus celui qui vient d’être
appliqué sur l’entrée xn:
yn = a . y
+ a .y
+ ... + a p . yn− p + b . xn + b . x
+ b .x
+ ... + bq . xn−q
1 n−1 2 n−2
0
1 n −1 2 n−2

Cette formule de calcul ou algorithme conduit naturellement à la structure générale d’un filtre
numérique :

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Figure (5.17) : Structure générale d’un Filtre numérique.

Remarque :
-

Toutes les Te secondes, les valeurs sont décalées dans les registres, multipliées par leur
coefficient respectif et additionnées pour donner yn.
Cette structure peut être réalisée sous forme matérielle (registres, multiplicateurs, additionneur)
ou entièrement logicielle.
Un filtre simple calcule la sortie à partir de quelques échantillons seulement, au contraire,
l’algorithme d’un filtre sophistiqué peut compter jusqu’à une centaine de termes.

VI.5. Algorithme de calcul et transmittance T(z):

L’algorithme nous permet de calculer la valeur de l’échantillon de sortie yn en fonction des
échantillons d’entrée et de sortie précédents. Le filtre numérique le plus général peut se décrire par un
algorithme de calcul de la forme :

La transmittance T(z) permet de synthétiser le filtre, de tracer son diagramme de Bode et d’étudier ses
réponses à une impulsion, à un échelon ou à une entrée quelconque.
Pour passer de l’algorithme, relatif au domaine temporel, à la variable z, on utilise la règle de passage
très simple:

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En utilisant cette règle, l’algorithme se transforme en :

Soit, après factorisation

Ce qui donne la transmittance en z du filtre :

VI.6. Les deux familles de filtres numériques

Suivant la forme de l’algorithme, on distingue deux grandes familles de filtres qui ont chacune leurs
propriétés particulières:
VI.6.1. Filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF)
⇒ Filtres pour lesquels la sortie ne dépend que des entrées et pas des sorties ;
⇒ leur réponse à une impulsion s’annule au bout d’un certain temps ;
⇒ ils s’appellent filtres non récursifs ou à réponse impulsionnelle finie (RIF) ;
⇒ ils n’ont pas d’équivalent analogique.

Un filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF) est un système linéaire discret invariant dans le temps
régi par une équation aux différences pour lequel l'échantillon de sortie y(n) ne dépend que d'un certain
nombre d'échantillons d'entrée x(n).
N

y ( n ) = ∑ ai . x ( n − i )
i =0

Exemple : le filtrage par moyenne glissante yn = ( xn + xn-1 + xn-2 )/3.

Figure (5.18) : Exemple d’un filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF ) .

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VI.6.2. Filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII)
⇒ Filtres pour lesquels la sortie dépend des entrées et des sorties précédentes ;
⇒ leur réponse à une impulsion s’annule au bout d’un temps infini ;
⇒ ils s’appellent filtres récursifs ou à réponse impulsionnelle infinie (RII) .

Figure (5.19) : Exemple d’un filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII ) .

VI. 7. Exemple de passage de T(z) à l’algorithme

On souhaite trouver l’algorithme de calcul du filtre caractérisé par la transmittance T(z) suivante :

La transmittance est le rapport entre la transformée en z de la sortie et la transformée en z de
l’entrée.

Soit , en faisant le produit en croix.

Ce qui donne, en isolant Y(z) :

En utilisant la règle de passage au domaine temporel, l’algorithme s’écrit :

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Soit, enfin :

Remarque :

Pour passer l’algorithme à la transmittance, on utilise une règle très simple :
1. écrire l’algorithme : y n = a1 . y n−1 + a2 . y n−2 + ... + a p . y n− p + b0 .xn + b1 .xn−1 + b2 .xn −2 + ... + bq .xn −q
2. passer en z en faisant correspondre Y ( z ).z − j à yn−i et X ( z ).z − j à xn−i
3. regrouper les termes en Y(z) à gauche et les termes en X(z) à droite
4. calculer T(z) = Y(z)/X(z)
Les mêmes opérations menées en sens inverse permettent de passer de la transmittance à
l’algorithme.
VI.8. Stabilité d’un filtre numérique

Comme pour les filtres analogiques, il est possible de prévoir à partir de la transmittance la stabilité ou
l’instabilité du système physique correspondant :
⇒ pour déterminer si un système analogique continu de transmittance T(p) est stable on calcule les

pôles qui sont les valeurs de « p » annulant le dénominateur ;
⇒ le système est stable si les pôles sont négatifs ou complexes avec une partie réelle négative ;
⇒ si on place ces pôles dans le plan complexe, ils se trouvent tous dans le demi-plan de gauche.

Ce critère de stabilité reste valable pour les transmittances T*(p) des systèmes échantillonnés.
⇒ un système échantillonné de transmittance T*(p) est stable si tous ses pôles pi = ai + j.bi

sont négatifs ou complexes à partie réelle négative (ai < 0)
Comme avec les systèmes échantillonnés on travaille le plus souvent avec les transmittances en z, il est
intéressant de voir la position des pôles zi dans le plan pour un système stable.
⇒ un système échantillonné de transmittance T(z) est stable si tous ses pôles sont à

l’intérieur du cercle unité.

Figure (5.20) : Critère de stabilité d’un système numérique.

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