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Etude adimensionnelle des courbes de remous .pdf



Nom original: Etude adimensionnelle des courbes de remous.pdf
Titre: CONTRIBUTION À L\'ÉTUDE ADIMENSIONNELLE DES COURBES DE REMOUS DANS LES OUVRAGES PRISMATIQUES
Auteur: THIRRIOT C.

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N ° SPÉCIAL A -1961

LA HOUILLE

BLANCHE

405

Contribution à l'étude adimensionnelle
des courbes de remous
dans les ouvrages prismatiques
A contribution to the dimensionless study
of backwater curves in prismatic structures
P A R C. T H I E E I O T
INGÉNIEUR

E.N.S.E.E.H.T., DOCTEUR

LABORATOIRE

D'HYDRA ULIQUE

DE

Transformation
de Vèquation
du
mouvement
en régime graduellement
varié par
utilisation
de grandeurs
adimensionnelles.
Réduction
du
nombre de paramètres fondamentaux
généralement à deux : le débit réduit Q cl un paramètre
Ri faisant intervenir la rugosité ci la pente de
f ond.
Détermination
de
valeurs numériques

la plage de variations
des
paramètres.

ÈS

SCIENCES

L'E.N.S.E.E.H.T.

Transformation
of the équation of motion in a
gradualiy varying régime by usiny
dimensionless values.
Réduction of the number of fandamental
parumefers,
usually lo ttvo: I ) the
reduced rate of flow Q and 2 ) a para me 1er 11/
alloïving
for friciional
résistance
and in vert
s tope.
Détermination
of the range over m hic h the
n unie rirai values of the p<t rame t ers vary.
Systematic
study using un IBM (i50 ordinal or
for nu me rirai
intégration.
Construction
of diagrams for rapid
détermination of any backtvtiter
curve.
Applications:
General sludies of preliminary
plans, Ihe examinai ion of effecls due to high mater conditions, and the sludy of variations, at différent
dotvnstreum
levels, of the discharge capacity of
works retnrning
diveried
floivs lo (t main
stream.

des

Elude systématique
en utilisant pour r intégration numérique
un ordinateur IBM (i50.
Construction d'abaques permettant rapidement la
détermination
de toute ligne de remous.
Applications : études
sommaires
d'avanl-projels,
examen de Vinfluence des crues, étude de la
variation de capacité de décharge des ouvrages
de restitution
en fonction du niveau aval.

INTRODUCTION

Plutôt que de dresser un inventaire chronologique des méthodes de calcul des courbes de
remous proposées depuis le début du xix" siècle, nous distinguerons deux groupes de méthodes,
suivant que la solution de l'équation différentielle est obtenue analvtiquement ou par utilisation de différences finies.
Par méthodes analytiques, nous désignerons
celles qui permettent d'obtenir directement le
tirant d'eau ou la section mouillée en un point

à partir des conditions de fonctionnement connues en un autre point plus ou moins éloigné.
Les méthodes par différences finies exigent
dans chaque cas particulier un calcul pas à pas.
Le processus très général permet l'emploi de la
méthode aussi bien pour les cours d'eau naturels, que pour les canaux à profil constant.
Notre contribution à l'étude des écoulements
permanents ne consiste pas en l'exposé (rime
nouvelle méthode d'intégration, mais dans l'étude
6

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961008

LA HOUILLE

systématique des courbes de remous dans les
canaux cylindriques à profil circulaire ou trapézoïdal. En effet, l'utilisation des grandeurs
adimensionnelles. nous permet de montrer que
la détermination, des courbes de remous dans de
tels ouvrages ne dépend que de deux paramètres
fondamentaux. La possibilité d'utiliser une cal-

BLANCHE



SPÉCIAL A

-1961

culatrice électronique nous a incité à procéder
à une intégration numérique afin de construire
des abaques. La détermination des lignes d'eau
en régime permanent peut ainsi s'effectuer aisément par interpolation à partir des courbes de
l'abaque.

I. — É Q U A T I O N D U M O U V E M E N T E N R É G I M E G R A D U E L L E M E N T V A R I É
Soient les notations :
X élongation repérant la position de la section;
H tirant d'eau.;
I] section mouillée;
B largeur au miroir;
R rayon hydraulique;
Q débit;
v vitesse des particules fluides;
c célérité des ondes superficielles;
i pente longitudinale du radier de l'ouvrage;
j pente de la ligne de charge;
k coefficient de Strickler;
a coefficient de répartition de vitesse;
£ coefficient de répartition des pressions;
L longueur de l'ouvrage;
<I> grandeur caractéristique du profil (largeur
au radier d'un canal à profil trapézoïdal,
diamètre d'une galerie).
L'équation classique du mouvement graduellement varié s'écrit ;

on obtient l'équation adimensionnelle

a =

(1)

dX

allongement géométrique de l'ouvrage.
On peut tenir compte implicitement de l'influence de a et p en modifiant les paramètres
a et q, tels que :

Si nous admettons que la perte de charge est
évaluée par la formule de Strickler, la relation
différentielle adimensionnelle devient :

da

dx

ou
B (i — j)

02)

3Pour un profil donné, la détermination de la
ligne d'eau dépend alors de huit paramètres :
les caractéristiques géométriques L, <1>, i;
— la nature des parois du canal qui définit £ ;
— les conditions de l'écoulement : Q, a, p et
H vai
H , ).
En utilisant les valeurs réduites suivantes :
s

mit

H
L

«1>

b =

A

1J

<I>

_

Q

Ri

(4)
1
a

avec
<I>

ail

et q' = q

a =

_R_

a

<1>

b

J

(3)

p —a

avec

8

l —

ab (i — j)

de

dx

ai

et Ri

k WH
9
8

(D'après l'expression (4), notons que l'égalité
des paramètres A et Ri pour deux ou plusieurs
canaux de profils semblables entraîne l'existence
de similitude physique entre ces ouvrages).
L'intégration l'ait intervenir encore quatre
paramètres A, Ri, q et la valeur de h (ou a) en
un point de l'ouvrage, par exemple /i, niEn l'ait, / ï I °4 A ne sont pas des paramètres
fondamentaux. Pour des valeurs fixées des paramètres A, Ri et q, la dérivée da/dx ne dépend
pas de x mais seulement de a; donc, la courbe
<r (x) est définie à une translation près, et / 7
n'est pas un paramètre fondamental.
Le paramètre A est en facteur dans l'expression de la dérivée
dx
lV

N V U

Î T V A I

N° SPÉCIAL

A-1961

C.

Cette relation définit, si À varie, une affinité
orthogonale suivant Taxe des x.

En définitive, l'étude systématique des courbes de remous dans un ouvrage prismatique
exige de faire varier seulement deux paramètres
q et Ri (OU deux combinaisons de ces paramètres).

Cette remarque nous permet de faire l'étude
générale avec A = 1.

IL

É T U D E DES P L A G E S DE V A R I A T I O N DES P A R A M È T R E S F O N D A M E N T A U X

plage assez large des valeurs de o. Si nous imposons à Ri une valeur inférieure à la valeur minimale Rz . = 2,25, la condition de régime fluvial sera toujours assurée. L'examen des valeurs
correspondant aux modèles de laboratoire ou
aux canaux industriels confirme cette hypothèse.
Ayant choisi R /
= 2, la condition d'écoulement uniforme à surface lisse conduit à la
valeur maximale : q = 0,5.

Le calcul numérique systématique des courbes de remous nécessite auparavant l'étude des
valeurs pratiques de q et Rz correspondant à des
écoulements en régime fluvial.
A.

407

T H I R R I O T

erJt

Canal à profil circulaire.

inax

La considération d'un profil fermé introduit
automatiquement une limitation du tirant d'eau
réduit et par là, une valeur maximale du groupement q /Ri caractérisant le régime uniforme.
Si Ton ajoute l'hypothèse de régime uniforme
fluvial, on obtient, par combinaison des contraintes, la valeur critique du paramètre Ri.
La figure 1 montre la variation de cette
valeur critique dans le cas du profil circulaire.
La courbe Ri t. présente un caractère intéressant : la valeur de Rz est stationna ire sur une
2

B.

trapézoïdal.

Un troisième paramètre m, fruit des berges,
est à introduire. Pratiquement m n'admet que
quelques valeurs discrètes bien définies, par
exemple 0, 1, 1,5 et 2.
En ce qui concerne q et Rf, dans le cas d'ou-

cri

ETUDE DE R i

Canal à profil

C R m Q U E

.COURBE

FIG.

1

Ri

CR1T

(fl")

408

LA

HOUILLE,BLANCHE

CANAL A PROFIL

N° SPÉCIAL A-19f>l

TRAPEZOÏDAL

m:1
ZONE

D'UTILISATION

INDUSTRIELLE

-PEBERNAT

Fw. 2

vrage à profil ouvert, il est assez difficile d'exprimer en valeurs réduites les contraintes de
fonctionnement.

avec
m = tg o
Mais cette condition est industriellement assez
peu respectée. Plus fructueuse a été l'utilisation
de la formule monôme de Kennedy donnant la
vitesse optimale pour éviter dépôt et érosion

En collaboration avec M . C. JEAN, chercheur
au laboratoire, nous avons essayé plusieurs procédés pour définir les plages de variations des
paramètres fondamentaux q et Ri.
Une condition adimensionnelle facile à introduire consiste à supposer que le tirant d'eau est
proche de la hauteur économique définie par

=

IIL —

409

C. T H I R R Ï O T

N° SPÉCIAL A -19(>1

^

( X

CALCUL

Une étude statistique des caractéristiques des
canaux actuellement en service permet aussi de
localiser les valeurs intéressantes de q et Ri.
A titre d'exemple, la figure 2 montre la zone
d'utilisation prévue si le fruit des berges admet
la valeur 1.

~2)

NUMÉRIQUE

DES COURBES

DE REMOUS

ET

ABAQUES

même ordre de grandeur que l'erreur d'arrondi,
soit 1 0 - .
L'intégration numérique programmée en langage FLEX demande approximativement huit
secondes pour chaque point. En moyenne, la
détermination d'une ligne d'eau nécessite cinq
à dix minutes de temps machine.
Deux exemples des abaques obtenus sont présentés sur les figures 3 et 4.

L'étude précédente permet de réduire le nombre de couples des valeurs q et Ri à examiner,
à un volume acceptable (environ une vingtaine
de combinaison q, Ri par forme de profil). On
peut donc envisager l'étude systématique par
intégration numérique. L e calcul a été effectué
sur un ordinateur IBM 650.

8

Le pas d'intégration asservi à la valeur de la
dérivée introduit une erreur de découpage de

GALERIE A PROFIL CIRCULAIRE
1TUDE DES COURBES DE REMOUS hf
EN VALEURS ADIMENSIONNELLES

FIG.

3

410

LA HOUILLE

N ° SPÉCIAL A - 1961

BLANCHE

I

1



I

GALERIE A PROFIL CIRCULAIRE

" ETUDE DES COURBES DE REMOUS h(XJ
EN VALEURS ADIMENSIONNELLES

FIG.

4

I V . — MODE D'EXPLOITATION

La détermination de la ligne d'eau correspondant à un ouvrage et à des conditions hydrauliques données nécessite deux séries d'opérations : le calcul préliminaire des paramètres
adimensionnels A, Rz, q et A
et ensuite l'interpolation à partir des courbes des abaques.
Pour faciliter le calcul des paramètres q et Rz
nous avons construit des abaques à points alignés valables pour toutes les formes de profil.
Dans le cas d'une valeur A = 1, il est intéressant de transformer l'échelle de x, dans le rapport A . Ainsi, pratiquement, la ligne de remous
en valeurs adimensionnelles pour la longueur
totale de l'ouvrage correspond à une portion de
courbe comprise entre deux abscisses dont la différence est égale à A .
En ce qui concerne l'interpolation, nous avons
utilisé concurremment l'interpolation graphique
et l'interpolation numérique. Du point de vne
de l'ingénieur, la première est plus facile à mettre en œuvre.
Le procédé utilisé est intuitif. Lorsque les
valeurs q et (Rz) de la ligne d'eau à déterminer
sont toutes deux différentes des valeurs portées
sur l'abaque, il faut effectuer graphiquement
deux interpolations successives par rapport à
q et Rz.

DES A B A Q U E S

CANAL

DE PALAMINY

D érerminafion du niveau amont*

a v a l

0

5

H AVAL

~

H AVAL

=

T,

39

Q~ AOO™ /s
q = 0,450

M

1,342

K

®

s

h

57

1,228

65

1.216

Hm

6,76
6,69

70 1,213 6,67
VaWur
C x p e r i m i totale

0

FIG.

5

-

6,71



SPÉCIAL A

411

C. T H I R R Ï O T

-1961

Sur chaque courbe, les abscisses seront comptées à partir de l'abscisse correspondant à l'ordonnée initiale / ? i a v a

Remarques

faire,
RI =

de

déplacer

les

verticales

q —q

Q

et

(RI) ;
0

2° Lorsqu'on désire obtenir un seul point de
la courbe, par exemple le niveau amont, le
paramètre x est éliminé. Il est alors préférable
de tracer dans le même plan (h, q) les courbes
(h, q) correspondant aux différentes valeurs de
Rz. Sur la verticale q = <7, on procède à l'interpolation suivant Rz en effectuant deux rabattements (cf. figure 5) ; l'un permet de graduer la
verticale q — q suivant Rz, l'autre fournit ia
valeur cherchée de h pour q = r/ et Rz = (Rz) .
0

1° Lorsque les courbes (h. R i ) et (/z, q) sont
tracées, il est très rapide et aisé d'étudier les
répercussions de variations de rugosité et de
débit dans l'ouvrage examiné. Il suffit, pour ce

V. _

0

0

0

A P P L I C A T I O N DES A B A Q U E S

Les abaques peuvent se prêter à des nombreuses applications, aussi bien dans le cas particulier d'avant-projets que dans la perspective
d'études systématiques. Par exemple, dans
l'hypothèse d'un profil circulaire, nous avons
examiné les différents problèmes suivants :
— étude de raccordement de tronçons de rugosité différente;
— détermination des conditions de fonctionne-

ment suivant la valeur minimale du tirant
d'air imposé;
— influence de la variation de la retenue aval
sur le niveau amont;
— variation de la capacité de décharge de l'ouvrage en fonction du niveau aval.
Les résultats permettent en particulier d'apprécier quantitativement le gain de débit résultant d'un fonctionnement non uniforme.

VI. — CONCLUSION

De nombreuses méthodes de calcul de courbes
de remous ont déjà été proposées et ceux qui les
ont expérimentées savent que même les méthodes les plus réputées, telle la méthode de
Rakhmeteff, sont très laborieuses et demandent
un certain entraînement. L'utilisation d'abaques
pour la détermination des lignes d'eau ne prétend pas effacer toutes les difficultés.
Cependant l'interpolation graphique est un
procédé simple et rapide. Et les exemples traités
concernant le canal de Palaminy ou des modèles
de laboratoire, ont montré qu'on obtenait les

lignes d'eau avec une précision supérieure à un
pour cent, précision généralement suffisante,
vu l'incertitude de la connaissance des paramètres hydrauliques.
De plus, présentés sous forme de tableaux,
les résultats de l'intégration numérique peuvent
être consultés comme les valeurs d'une quelconque table de fonction. Conduisant ainsi à la fabulation d'une fonction, le procédé de calcul de
ligne d'eau proposé peut être rangé parmi les
méthodes analytiques.

N O T A . - - La discussion de ce mémoire sera publiée dans notre numéro spécial « B » de 11)61, cl dans le numéro 11/1961
de Mémoires et Travaux de la S.H.F.


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