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Trous d'Young : Division du front d'onde
S

Montage de Fraunhofer

x

x

I

S1

S1
O

S

M

S2

O′
O
J

z

S2

O′

α

M
F2′

α

y

H

y

Un dispositif interférentiel donné, pour un point M d’observation donné, est configuré
en division du front d’onde lorsque les deux rayons lumineux qui viennent interférer
en M sont issus de deux rayons distincts qui émergent de la source.
Les interférences produites par un dispositif interférentiel fonctionnant en division du
front d’onde sont non localisées : elles sont observables en tout point du champ d’interférences.

• Différence de marche :
• Différence de phase :

# »
nax
δ (M) = n #u» ·S2 S1 ≃.
D
∆ϕ (M) ≃

• Ordre d’interférencesrférences :

p(M) ≃

2nπ ax
.
λ0 D
nax
.
λ0 D

• Intensité vibratoire :



2π nax
,
I(M) = 2I0 1 + cos
λ0D
où I0 est l’intensité vibratoire rayonnée par chaque trou.
Les franges d’interférences, sur un écran à grande distance parallèle au plan contenant les trous d’Young, apparaissent rectilignes. Leur période spatiale est appelée interfrange, elle est donnée par la relation :
i=

λ0 D
.
na

ax
.
f′


• Différence de marche :

δ (M) = nS2 H = na sin α ≃ n

• Intensité vibratoire :



2π nax
I(M) = 2I0 1 + cos
λ0 f ′

Déplacement de la source ponctuelle
On considère un déplacement δ s de la source ponctuelle.
Elle passe de la position S à S′ : δ s = SS′.

∆p(M) = n

#» # »
δ s ·S2 S1
λ 0 D0

#» # »
• Si le déplacement de la source se fait selon #u»z ou #u»y , alors δ s ·S2 S1 = 0. L’ordre d’interférences en M reste inchangé. Cela signif e que l’état d’interférences est le même au point M,
qu’il soit produit par une source ponctuelle en S ou en S′ .
• On envisage maintenant un déplacement de la source dans la direction #u»x parallèle à l’axe

des trous : δ s = b #u»x . La variation de l’ordre d’interférences qui en résulte est obtenue à partir
nab
nax
nab
+
.
de la relation (8.14) : ∆p(M) =
. L’ordre d’interférences p(M) est :
λ 0 D λ 0 D0
λ 0 D0



2π nax 2π nab
L’intensité vibratoire produite par S′ est : I ′ (M) = 2I0 1 + cos
+
.
λ0 D
λ 0 D0
Les franges d’interférences sont visibles au point M à condition que :
1
|∆p(M)| ≤ .
2

Élargissement de la source
Considérons maintenant une source en forme de segment lumineux étendu dans la direction

u x entre z = −b et z = b. On peut considérer cette source comme une superposition continue de sources ponctuelles élémentaires incohérentes. Chacune de ces sources ponctuelles
produit sur l’écran d’observation un système de franges d’interférences. La f gure d’interférences qu’on observe sur l’écran résulte de la superposition de tous ces systèmes de franges
d’interférences décalés les uns par rapport aux autres.

Le décalage maximum est obtenu pour les deux points sources situés aux extrémités de ce
na(2b)
segment : ∆pmax (M) =
λ0D0
Pour ∆pmax (M) faible, l’alternance des franges sombres et brillantes est clairement visible.
Dès que ∆pmax augmente, la visibilité chute et l’on ne distingue plus les franges sombres des
franges brillantes : on dit que la f gure d’interférences est brouillée.
Les franges d’interférences sont observables avec une bonne visibilité à condition que :
a ≤ ℓs ,
λ0
où ℓs =
est la longueur de cohérence spatiale de la source. Plus la source est vue

sous un angle faible, plus sa longueur de cohérence spatiale augmente, et plus il est aisé
d’obtenir des franges d’interférences visibles.
2b
θ=
D0

Éclairage en lumière blanche
La lumière blanche est constituée des radiations électromagnétiques dont la longueur d’onde
est approximativement comprise entre λ0 min = 400 nm (limite de l’ultraviolet) et
λ0 max = 750 nm (limite de l’infrarouge). Avec ces valeurs, on obtient la longueur d’onde
moyenne : λm = 575 nm et la largeur spectrale : ∆λ = 350 nm. Si on assimile ce spectre à
une raie extrêmement large, on peut déf nir une longueur de cohérence temporelle :

λm2
= 0, 9 µ m .
∆λ
Cette valeur est très faible ; l’ordre d’interférences des franges visibles doit vérif er :
ℓc =

p≤

Expérimentalement, on constate effectivement qu’un nombre réduit de franges d’interférences sont observables (de l’ordre d’une dizaine). L’intensité vibratoire est la somme des
intensités vibratoires associées à chaque raie élémentaire quasi-monochromatique :



ˆ +∞
dI
2π x
I(M) =
2
1 + cos
dλ ,

i(λ )
0

Influence de la largeur spectrale
I1
I2

Complément : influence d’une lame à faces parallèles
e

I = I1 + I2
x
Supposons la source S à nouveau ponctuelle, mais seulement quasi monochromatique. La
présence de longueur d'ondes dans le spectre de la source de part et d'autre de λ0 s'interprète
comme une superposition de sources incohérentes entre elles dont les éclairements
respectifs s'ajoutent au point M de l'écran de projection .
• Pour certaines valeurs de la différence de marche, deux franges brillantes produites par
chaque onde se superposent en un même point M. On dit qu’il y a coïncidence. On obtient en ce point M une frange brillante et la visibilité des franges y est égale à celle qui
correspond à une seule des deux radiations.
• Pour d’autres valeurs de la différence de marche, une frange brillante produite par une onde
se superpose en un même point M à une frange sombre produite par l’autre onde. On dit
qu’il y a anticoïncidence. On observe en ce point un brouillage des franges d’interférences,
c’est-à-dire une diminution de leur visibilité.
Pour obtenir des franges visibles à partir d’une source de faible largeur spectrale, il faut
respecter la condition :
δ (M) ≤ ℓc ,

λ2
où ℓc = m est la longueur de cohérence temporelle de la source.
∆λ

ℓc
≃ 2.
λm

B1

A1

x

M

S1
O′

S

O
B2

A2

F2′

y

S2
e
• Différence de marche :
• Intensité vibratoire :

δ (M) = (N − n)e +

nax
.
f′




2π e
2π nax
+ (N − n)
I(M) = 2I0 1 + cos
.
λ0 f ′
λ0

sans :

x
avec :

On constate que les franges se décalent. Pour déterminer l’amplitude et interpréter le sens de
ce décalage, on peut exprimer l’abscisse xp de la frange dont l’ordre d’interférences est p,
sans et avec la lame.

Interféromètre de Michelson : Division d'amplitude

S1

Verre anticalorique

Compensatrice

Éclairage

O

V3

V7

x

V2

(M1′ )

Miroir mobile (M1 )

(M2 )

y

direction d’observation

S

L’interféromètre de Michelson offre deux voies possibles à la lumière incidente :
• Voie 1 : la lumière incidente est d’abord transmise par le dispositif séparateur, réf échie
ensuite par le miroir (M1 ), et enf n réf échie par le dispositif séparateur avant d’émerger de
l’interféromètre.
• Voie 2 : la lumière incidente est d’abord réf échie par le dispositif séparateur, réf échie
ensuite par le miroir (M2 ), et enf n transmise par le dispositif séparateur avant d’émerger
de l’interféromètre.

Configuration de la lame d’air éclairée par une source étendue

• Voie 2 :

(M1 )

S

(M2 )
−→ S2′ −→ S2 .

S′

M

D’après le théorème de Malus, δ (M) = n(IJ + JH).
1 + cos(2i)
= 2ne cosi.
Il vient : δ (M) = ne
cos i

i

• Différence de marche :

δ (M) = 2ne cosi .

Écran



I0
4π ne cosi
I(M) =
1 + cos
λ0
2

Lorsqu’un dispositif interférentiel est éclairé par une source étendue, on peut constater
l’existence d’une surface où la visibilité des franges d’interférences est maximale. Cette
surface est appelée surface de localisation et on dit que l’on a des franges localisées.
La surface de localisation est constituée de l’ensemble des points M qui correspondent à
l’intersection des deux rayons émergents de l’interféromètre qui sont issus d’un seul et
même rayon émergent de la source. En ces points, le dispositif interférentiel fonctionne
par division d’amplitude.

S1
S2

(Sp)

i

• Intensité vibratoire :

(Sp)

S −→ S1′ −→ S1 .

K

i

M

Pour l’interféromètre de Michelson, réglé en lame d’air, et éclairé par une source spatialement étendue, les franges d’interférences sont localisées à l’inf ni.

• Voie 1 :

I2

λ0
λ0
+ (I1J) + (JM) = nSI1 +
+ nI1J + (JM) ,
2
2
λ0
λ0
(SM)voie 2 = (SK) + (KI2 ) + + (I2 M) = nSK + nKI2 + + (I2 M) ,
2
2
λ
λ0
0
= (S1 M) + ,
(SM)voie 1 = nS1 I1′ + nI1′ J + (JM) +
2
2
λ0
λ0
(SM)voie 2 = nS2 I2 + (I2 M) +
= (S2 M) + .
2
2
I1′
δ (M) = (S1M) − (S2M) = nS1H.
(M1 )
J
(M1′ )
i
i
I1
J
e
H
(M2 )
I
(SM)voie 1 = (SI1) +

O

On dit que l’interféromètre est conf guré en lame d’air lorsque les deux miroirs (M1 )
et (M2 ) sont perpendiculaires aux axes (Ox) et (Oy) respectivement.

Positions des deux sources secondaires:

i
H

S2

Vis de translation
du miroir
V1

V6

Séparatrice

Deux démonstrations pour le différence de marche :

Miroir f xe (M2 )

V5

V4

Marche des rayons lumineux jusqu’au point d’observation

(Sp)

1)
On a aussi : S −→ S2′ (M'
−→ S1 .

Rayon des anneaux successifs :

(M2 )
S1′

S
(Sp)





i2
r2
2ne
2ne
2ne
p0 =
cos i1 ≃
1− 1 =
1 − 12 .
λ0
λ0
2
λ0
2f′
rm =

S2′

(M1 )

f′

s

λ0
r1 = f 2 1 −
p0 .
2ne


s

λ0
2 1−
(p0 − m + 1) .
2ne

Évolution des anneaux lorsque l’épaisseur e varie

SYNTHÈSE

Lorsqu’on diminue l’épaisseur e de la lame d’air, un anneau donné rétrécit et f nit par
disparaître au centre de la f gure d’interférences.
On déf nit le contact optique comme étant la conf guration de l’interféromètre où l’épaisseur
de la lame d’air est e = 0. Si l’on veut, en pratique, se rapprocher du contact optique, on doit
jouer sur la vis (V3 ) de sorte à faire rentrer les anneaux vers le centre pour en voir de moins en
moins. Les anneaux qui restent visibles apparaissent de plus en plus gros. Lorsqu’on a atteint
le contact optique (e = 0), la différence de marche est nulle en tout point de l’écran, qui est
donc uniformément brillant.
Au contact optique, l’écran est uniformément éclairé ; c’est la teinte plate.

Configuration du coin d’air éclairé par une source étendue
On dit que l’interféromètre est conf guré en coin d’air lorsque les deux miroirs
symétrique du miroir (M1 ) par rapport à la séparatrice, et (M2 ) ne sont pas parallèles.

(M1′ ),

Pour l’interféromètre de Michelson, réglé en coin d’air, et éclairé par une source modérément étendue à l’inf ni, on a des franges d’interférences localisées au voisinage
des miroirs.

e(M)

α

J2
M

O


uy

(M1′ )
e(M)

(M2 )

ux

J2
J1′

α
K
M

O

i

Coin d’air éclairé en incidence normale.

(M2 )

uy

ux

Pour un interféromètre de Michelson réglé en coin d’air et éclairé par une source modérément étendue à l’inf ni, les interférences sont localisées sur une surface voisine
des deux miroirs. En un point M de cette surface, où l’épaisseur locale entre les deux
miroirs est e(M), la différence de marche δ (M) et l’ordre d’interférences p(M) sont :

δ (M) = 2ne(M)

e(M) ≃ |αx| ,

et

I(M) =




I0
4π nα x
.
1 + cos
λ0
2

• configuration de la lame d’air
• configuration du coin d’air
• franges localisées à l’infini pour un interféromètre de Michelson réglé en lame d’air et
éclairé par une source spatialement étendue
• franges localisées au voisinage des miroirs pour un interféromètre de Michelson réglé
en coin d’air et éclairé par une source spatialement étendue
• définition des franges d’égale inclinaison
• définition des franges d’égale épaisseur
• expression de l’ordre d’interférences pour la lame d’air
• expression de la différence de marche pour le coin d’air
SAVOIR-FAIRE

• décrire, mettre en œuvre et justifier les conditions d’éclairage d’un interféromètre de
Michelson réglé en lame d’air et en coin d’air
• établir et utiliser l’expression de l’ordre d’interférences dans le cas de la lame d’air
• interpréter la différence de marche dans le cas du coin d’air
• utiliser l’expression de la différence de marche pour retrouver l’ordre d’interférences
dans le cas du coin d’air
• retrouver l’expression de l’interfrange pour le coin d’air formé par deux miroirs plans
SYNTHÈSE TROUS D'YOUNG

(M1′ )

Coin d’air éclairé en incidence faible.

2ne(M)
p(M) =
λ0

SAVOIRS

SAVOIRS

• définir un fonctionnement par division du front d’onde
• non localisation des franges produites par un dispositif interférentiel fonctionnant par
division du front d’onde
• expression de la différence de marche dans le cas des trous d’Young
• expression de l’interfrange dans le cas des trous d’Young
• critère semi-quantitatif |∆p| ≤ 1/2 de bonne visibilité des franges d’interférences
• la visibilité décroît avec l’élargissement de la source pour un dispositif interférentiel par
division du front d’onde
• définition de la longueur de cohérence spatiale d’une source étendue
SAVOIR-FAIRE






définir, déterminer et utiliser l’ordre d’interférences
interpréter la forme des franges observées sur un écran éloigné
utiliser le critère semi-quantitatif de bonne visibilité des franges
Interpréter qualitativement les observations en lumière blanche.

Interférences de N ondes cohérentes
On étudie les interférences de N ondes émises par N sources S1, S2, . . . , SN quasimonochromatiques de même pulsation ω et mutuellement cohérentes deux à deux. On
suppose de plus qu’au point M où elles parviennent :
• les N ondes ont toutes la même amplitude s0 ,
• la différence entre les retards de phase des ondes émises par deux sources consécutives
Sm+1 et Sm est une constante : ϕm+1 (M) − ϕm (M) = ϕ .
La vibration lumineuse rayonnée par la source Sm s’écrit au point M, en notation complexe :



sm (M,t) = s0 exp i ω t − ϕm (M) .

On en déduit l’expression de sm+1 (M,t) en fonction de sm (M,t) :



sm+1 (M,t) = s p (M,t) exp i ϕ p (M,t) − ϕm+1 (M,t) = sm(M,t)exp(−iϕ).
La vibration lumineuse résultante au point M est :
N

s(M,t) =

N

∑ sm (M,t) = ∑ s1 (M,t) exp

m=1

m=1

L’intensité vibratoire résultant de la superposition de N ondes cohérente est maximale
lorsque le déphasage entre deux ondes successives est :

ϕ = 2kπ

Lorsque N est grand l’intensité est quasiment nulle en dehors de pics centrés autour de
ces valeurs.
On définit la largeur δ ϕ d’un pic principal comme étant la variation de ϕ entre les deux
annulations de l’intensité vibratoire qui bordent ce pic. Sur la figure 10.4, on lit directement :

δ ϕN =


N

Réseaux de diffraction
Un réseau de diffraction est un objet plan présentant une structure périodique selon un
axe (Ox) avec une période spatiale a de l’ordre de grandeur des longueurs d’onde de la
lumière visible qui est appelée pas du réseau.
+

x


−i(m − 1)ϕ .

Cette somme peut être explicitée car il s’agit de la somme d’une progression géométrique.


On obtient :



sin
1 − exp −iN ϕ
(N − 1)ϕ
2
ϕ .
s(M,t) = s1 (M,t)
= s1 (M,t) exp −i
1 − exp(−iϕ )
2
sin
2


2 Nϕ
sin
1
2

,
I(M) = s(M,t) · s (M,t) = Imax
2 ϕ
2
2
N sin
2

où k ∈ Z.

M

θ

z
écran

a

θ0

réseau

réseau

laser

I/Imax

M
Tm


δ (M) = na sin θ − sin θ0 .

−4π

−2π

0





ϕ

p(M) =

θ0

θ

θ
K
Tm+1


na
sin θ − sin θ0 .
λ0

θ0

u#»x
réseau

S
Représentation de l’intensité vibratoire pour N = 12.

H

a


2π na
∆ϕ (M) =
sin θ − sin θ0 .
λ0

+
u#»z

Un réseau de pas a diffracte la lumière uniquement dans les directions θk données par
la relation fondamentale des réseaux :
sin θk − sin θ0 = k

λ0
,
na

où k est un entier relatif appelé ordre de diffraction.

SYNTHÈSE
SAVOIRS

• largeur d’un pic d’interférences constructives à N ondes
• formule fondamentale des réseaux de diffraction
SAVOIR-FAIRE

• établir la largeur des pics principaux dans le cas d’interférences à N ondes
• établir la relation fondamentale des réseaux

(10.8)


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