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TD6 Réduction des matrices .pdf


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1
E.P.S.T. d’Oran.
Première année 2015-2016.
Fiche TD 6 : Réduction des matrices.

Module : Algèbre.

Exercice 1 :
Soit f un endomorphisme dé…ni sur R3 par
8(x; y; z) 2 R3 ;
f (x; y; z) = (2y z; 3x
1. Déterminer les valeurs propres de f .
2. Déterminer les vecteurs propres de f .
Exercice 2 :

2y; 2x + 2y + z):

On considère l’endomorphisme f : R3 ! R3 dont la matrice dans la base canonique de
R est
0
1
1 0 1
A=@ 1 2 1 A
0 0 2
1. Calculer le polynôme caractéristique de A.
2. Montrer que A est inversible et donner une expression de A 1 en fonction de A2 ; A et
I . Calculer A 1 :
3. A est-elle diagonalisable? Si oui, déterminer une base de vecteurs propres, préciser la
matrice de passage P de la base canonique vers la nouvelle base, puis calculer P 1 et Ak où
k 2 N.
Exercice 3 :
Les matrices suivantes sont elles diagonalisables ou triangularisable sur R? E¤ectuer
la diagonalisation ou la triangularisation.
0
1
0
1
2
1
1
1
0 1
1 A; B = @ 1 2 1 A
A=@ 1 2
1
1 2
1
1 1
Exercice 4 :
3

On considère sur R8le système di¤érentiel suivant :
< x0 = x y + 2z
y 0 = x + y 2z où x : t !
7 x(t) et y : t 7! y(t) sont deux
:
0
z = 2x 2y
fonctions à déterminer.
0
1
1
1 2
2 A
On pose A = @ 1 1
2
2 0
1. Diagonaliser la matrice A.
2. Résoudre le système .


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