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Baccalauréat S – Algorithmes
Index des exercices contenant un algorithme
de 2012 à 2016
Année 2012
Spé

x

Thème(s)

Objectif(s)

Aléatoire

Pondichéry – Avril 2012 (page 8)
5 nombres distincts
Boucle Tant que

Suite

Amérique du Nord – Mai 2012 (page 9)
Trouver un seuil

Écrire

Suite

Polynésie – Juin 2012 (page 10)
Calculer ne terme
Boucle Pour

Calculer un terme

Suite

Métropole – Juin 2012 (page 11)
Calculer ne terme
Boucle Pour

Suite

Centres Étrangers – Juin 2012 (page 12)
Calculer ne terme
Boucle Tant que

Analyser

Suites imbriquées

Asie – Juin 2012 (page 13)
Calculer ne terme
Boucle Tant que

Remplir un tableau

Aléatoire

Antilles–Guyane – Juin 2012 (page 14)
Simuler
Répéter ; Test Si

Analyser

Antilles–Guyane – Juin 2012 (page 15)
Afficher la liste
Boucle Tant que ;
Test Si

Afficher un résultat ;
Analyser

Suite

Métropole – Septembre 2012 (page 16)
Trouver un seuil
Boucle Tant que

Interpréter un résultat

Suite

Antilles–Guyane – Septembre 2012 (page 17)
Trouver un seuil
Boucle Tant que

Suite

Nouvelle-Calédonie – Novembre 2012 (page 18)
Trouver un seuil
Boucle Tant que

Diviseurs

Traitement

Question(s)
Sorties
Analyser

possibles ;

Calculer un terme ;
Compléter

Trouver le seuil dans
un tableau
Pourquoi s’arrête ? ;
Afficher un résultat

Année 2013
Spé

Thème(s)

Objectif(s)

Suite

Pondichéry – Avril 2013 (page 19)
Seuil
Boucle Tant que

Algorithmes au Bac S

Traitement

Page 1/103

Question(s)
Analyser.
s’arrête ?

Pourquoi

Janvier 2017

Suite

Suite

x

Amérique du Nord (algorithme 1) – Mai 2013 (page 20)
Calculer ne terme
Boucle Pour
Afficher un résultat.
Analyser.
Amérique du Nord (algorithme 2) – Mai 2013 (page 20)
Seuil
Écrire

Suite

Liban – Mai 2013 (page 21)
Afficher tous les termes Boucle Pour

Suite

Liban – Mai 2013 (page 22)
Calculer ne terme
Boucle Pour

Suite de
plexes

x

com-

Suites imbriquées

Suite

Suite

Antilles–Guyane – Juin 2013 (page 24)
Calculer ne terme
Boucle Pour

Transformation
du plan

Calculer un
Analyser

terme.

Asie – Juin 2013 (page 26)
Afficher tous les termes Boucle Pour

Remplir un tableau

Asie – Juin 2013 (page 27)
Calculer ne terme
Boucle Pour

Corriger

TVI

Métropole – Juin 2013 (page 29)
Dichotomie pour afficher Boucle Tant que
un encadrement
et Test Si–Sinon

Intégration

Polynésie – Juin 2013 (page 31)
Somme
supérieure Boucle Tant que
(4 rectangles)

Arithmétique

Algorithmes au Bac S

Remplir un tableau.
Analyser.

Centres Étrangers (algorithme 2) – Juin 2013 (page 25)
Seuil
Écrire

Antilles–Guyane – Septembre 2013 (page 33)
Marche aléatoire Savoir si un robot tombe Boucle Tant que
d’un pont
x

Compléter

Centres Étrangers (algorithme 1) – Juin 2013 (page 25)
Calculer ne terme
Boucle Tant que
Compléter. Modifier
(affichage de tous les
termes).

Suite
x

Antilles–Guyane – Juin 2013 (page 23)
Calculer ne terme des Boucle Pour
parties réelles et imaginaires

Choisir le bon algorithme

Antilles–Guyane – Septembre 2013 (page 35)
Calculer un reste mo- Boucle Tant que
dulo 26
Page 2/103

Remplir un tableau.
Analyser.
Modifier
(aute solution).
Afficher un résultat.
Modifier
(n
rectangles)
Analyser. Modifier

Afficher un résultat.
Analyser
Janvier 2017

Métropole – Septembre 2013 (page 36)
Somme inférieure (n rec- Boucle Tant que
tangles)

Intégration

Nouvelle-Calédonie – Novembre 2013 (page 37)
Suites imbriquées Calculer ne terme
Boucle Tant que

Analyser (cas particulier puis général)
Compléter tableau

Année 2014
Spé

Thème(s)

Objectif(s)

Intégration

Nouvelle-Calédonie – Mars 2014 (page 38)
Somme supérieure et in- Boucle Pour
férieure (n termes)

Suite (de
dules)
x

Suite (de
trices)

Traitement

mo-

Pondichéry – Avril 2014 (page 40)
Seuil
Boucle Tant que

ma-

Pondichéry – Avril 2014 (page 41)
Calculer ne terme
Boucle Tant que

Question(s)
Analyser. Afficher un
résultat. Modifier (obtenir encadrement)
Afficher un résultat.
Analyser
Afficher un résultat

Liban – Mai 2014 (page 43)
Suite (de
dules)
x

Seuil

Compléter
(traitement et sortie)

Suite

Liban – Mai 2014 (page 44)
Recherche de maximum Boucle Tant que

Suite

Amérique du Nord – Mai 2014 (page 46)
Seuil
Boucle Tant que

Fonction

Suite

x

mo-

Arithmétique

Suite

Algorithmes au Bac S

Centres Étrangers – Juin 2014 (page 47)
Mesurer
l’influence Boucle Pour. Test
d’une
fonction
de Si. Compteur
retouche d’image
Polynésie – Juin 2014 (page 49)
Calculer ne terme
Boucle Pour
Polynésie – Juin 2014 (page 50)
Afficher une liste de Deux
boucles
nombres
Pour imbriquées
Antilles–Guyane – Juin 2014 (page 51)
Seuil
Boucle Tant que

Page 3/103

Compléter.
un tableau

Remplir

Compléter
Analyser. Afficher un
résultat

Choisir le bon algorithme
Modifier pour qu’il
n’affiche que certaines
valeurs
Compléter

Janvier 2017

x

x

x

Arithmétique

Antilles–Guyane – Juin 2014 (page 52)
Afficher les solutions Deux
boucles
d’une équation
Pour imbriquées.
Test Si

Intégration

Asie – Juin 2014 (page 53)
Somme inférieure (p rec- Boucle Pour
tangles)

Nombres
miers

Asie – Juin 2014 (page 55)
Utiliser une suite pour Boucle Pour. Test
savoir si un nombre de Si
Mersenne est premier

pre-

Suite

Métropole – Juin 2014 (page 56)
Calculer ne terme
Test Si–Sinon

Suite

Antilles–Guyane – Septembre 2014 (page 58)
Somme de termes
Boucle Pour
Métropole – Septembre 2014 (page 59)
Afficher 15 termes
Boucle Pour. Test
Si

Suite

Amérique du Sud – Novembre 2014 (page 60)
Somme supérieure (van- Boucle Tant que
tail)

Intégration

Suite
x

Arithmétique

Nouvelle-Calédonie – Novembre 2014 (page 62)
Somme de n termes
Boucle Tant que
Nouvelle-Calédonie – Novembre 2014 (page 63)
Calculer un PGCD
Boucle Tant que.
Test Si–Sinon

Compléter

Remplir un tableau.
Analyser
Compléter

Analyser.
Modifier
(ajouter seuil)
Compléter
Remplir un tableau.
Modifier
Compléter

Compléter
Remplir un tableau

Année 2015
Spé

Thème(s)

Objectif(s)

Traitement

Nouvelle-Calédonie – Mars 2015 (page 64)
Suites imbriquées Calculer ne terme
Boucle Tant que

Géométrie vectorielle

x

Arithmétique

Suite
Algorithmes au Bac S

Pondichéry – Avril 2015 (page 65)
Calculer un produit scalaire

Question(s)
Calculer un terme.
Analyser et corriger
Éxécuter et analyser.
Modifier (test d’orthogonalité)

Pondichéry – Avril 2015 (page 66)
Déterminer si un nombre Boucle Tant que.
de Mersenne est premier Test Si

Afficher un résultat.
Analyser

Liban – Mai 2015 (page 67)
Calculer ne terme
Boucle Pour

Compléter

Page 4/103

Janvier 2017

Suites imbriquées

Suite

Compléter

Suite

Polynésie – Juin 2015 (page 70)
Somme de termes
Boucle Pour

Compléter

Asie – Juin 2015 (page 71)
Dichotomie
Boucle Tant que.
Test Si–Sinon

Suite

Antilles–Guyane – Juin 2015 (page 72)
Calculer ne terme
Boucle Pour

Arithmétique

Antilles–Guyane – Juin 2015 (page 73)
Calculer un PGCD
Boucle Tant que

Fonction

Intégration

Métropole – Juin 2015 (page 74)
Mesurer la longueur Boucle Pour
d’une courbe (puis l’aire
d’une surface courbe)
Métropole – Septembre 2015 (page 76)
Somme inférieure
Boucle Pour

Nouvelle-Calédonie – Novembre 2015 (page 78)
Suites imbriquées Calculer ne terme
Boucle Pour

x

Compléter

Centres Étrangers – Juin 2015 (page 69)
Seuil
Boucle Tant que

TVI

x

Amérique du Nord – Juin 2015 (page 68)
Placer des points dans Boucle Pour
un repère

Suite

Amérique du Sud – Novembre 2015 (page 79)
Seuil
Boucle Tant que

Suite

Amérique du Sud – Novembre 2015 (page 81)
Seuil
Boucle Tant que

Afficher un résultat

Afficher un résultat.
Modifier
(afficher
toutes les valeurs)
Afficher un résultat.
Modifier (tester si a ∧
b = 1)
Compléter

Calculer un terme.
Analyser (avec interprétation graphique)
Afficher un résultat.
Analyser et corriger
Analyser. Afficher un
résultat
Compléter

Année 2016
Spé

Thème(s)

Objectif(s)

Traitement

Nouvelle-Calédonie – Mars 2016 (page 83)
Géométrie para- Pour quelle valeurs des Boucle Pour. Test
métrée
paramètres deux plans Si
sont-ils orthogonaux ?

Algorithmes au Bac S

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Question(s)
Analyser. Afficher un
résultat

Janvier 2017

x

Suite

Pondichéry – Avril 2016 (page 84)
Calculer ne terme
Boucle Pour

TVI

Liban – Mai 2016 (page 85)
Balayage
Boucle Tant que

Suite et graphe de
transition

Liban – Mai 2016 (page 86)
Calculer ne terme
Boucle Pour

Amérique du Nord – Juin 2016 (page 87)
TVI - Dichotomie Remplir une cuve à moi- Boucle Tant que.
tié
Test Si–Sinon

x

Analyser

Suite

Centres Étrangers (algorithme 2) – Juin 2016 (page 89)
Seuil
Boucle Tant que
Compléter

Arithmétique

Recherche de solution
Arithmétique

Suite

x

Analyser. Afficher un
résultat

Suite

Fonction qui tend
vers +∞

x

Afficher un résultat

Centres Étrangers (algorithme 1) – Juin 2016 (page 89)
Somme de termes
Boucle Pour
Afficher un résultat

TVI

x

Afficher un résultat.
Analyser

Centres Étrangers – Juin 2016 (page 91)
Trouver un inverse mo- Boucle Tant que
dulo 26
Polynésie – Juin 2016 (page 93)
Balayage
Boucle Tant que
Métropole – Juin 2016 (page 95)
Seuil
Boucle Tant que
Métropole – Juin 2016 (page 96)
Points à coordonnées en- Boucle Tant que.
tières sur une droite
Test Si–Sinon
Antilles–Guyane – Juin 2016 (page 98)
Afficher les solutions Double
Boucle
d’une équation
Pour. Test Si
Asie – Juin 2016 (page 99)
Seuil
Boucle Tant que

Afficher un résultat

Calculer un
Analyser.

terme.

Analyser. Afficher un
résultat
Pourquoi
Analyser

s’arrête ?

Compléter

Compléter

Aléatoire

Métropole – Septembre 2016 (page 100)
Afficher la position de 2 Boucle Pour. Test
pièces après des jets de Si–Sinon
dés

Calculer un
Analyser

terme.

Aléatoire

Métropole – Septembre 2016 (page 101)
Afficher la position de 3 Boucle Pour. Test
pièces après des jets de Si–Sinon
dés

Calculer un
Analyser

terme.

Algorithmes au Bac S

Page 6/103

Janvier 2017

Suite
Suite

Algorithmes au Bac S

Antilles–Guyane – Septembre 2016 (page 102)
Calculer ne terme
Boucle Tant que
Amérique du Sud – Novembre 2016 (page 103)
Seuil (écart entre deux Boucle Tant que
valeurs consécutives)

Page 7/103

Compléter
Compléter

Janvier 2017

Pondichéry – Avril 2012
Commun à tous les candidats

6 points

Les deux parties sont indépendantes.
Partie A
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste
qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté.
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle
antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un
même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.
1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ?
2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :
• « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50]
• l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.
a,b,c,d,e sont des variables du type entier
Variables
Initialisation a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0
Traitement
Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b = c) ou (b = d) ou
(b = e) ou (c = d) ou (c = e) ou (d = e)
Début du tant que
a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ;
c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ;
e := rand(1, 50)
Fin du tant que
Sortie
Afficher a,b,c,d,e
a) Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :
L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15}; L2 = {8,17,41,34,6};
L3 = {12,17,23,17,50}; L4 = {45,19,43,21,18} ?
b) Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?

3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la
probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.
4. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur
sur l’ensemble des 10 étapes de la course.
a) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.
b) On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale
arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
• il a été contrôlé 5 fois exactement ;
• il n’a pas été contrôlé ;
• il a été contrôlé au moins une fois.

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Amérique du Nord – Mai 2012
Commun à tous les candidats

5 points

Partie A : Restitution organisée des connaissances
On rappelle que
et
= +∞.
lim
t→+∞ t
Démontrer que
ln(x)
lim
= 0.
x→+∞
x
Partie B
On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par f (x) = x − ln(x)
.
x


On note C sa courbe représentative dans un repèreb orthonormal (O ; −
ı ,−
 ).
1. Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par g(x) = x2 − 1 + ln(x).
Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.
2. a) Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[, f ′ (x) =

g(x)
.
x2

b) En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[.
c) Montrer que la droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe C.

d) Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.

3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement Mk et Nk les points
d’abscisse k de C et D.

a) Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance Mk Nk entre les
ln(k)
points Mk et Nk est donnée par Mk Nk =
.
k
b) Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k0 supérieur ou égal à 2 tel que la
distance Mk Nk soit inférieure ou égale à 10−2 .

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Polynésie – Juin 2012
Commun à tous les candidats

5 points

Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N .
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N .
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N − 1
Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin pour
Sortie
Afficher U
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
Partie B
On considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un − 2n + 3.
1. Calculer u1 et u2 .

2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > n.
b) En déduire la limite de la suite (un ).
3. Démontrer que la suite (un ) est croissante.
4. Soit la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − n + 1.
a) Démontrer que la suite (vn ) est une suite géométrique.

b) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n + n − 1.

5. Soit p un entier naturel non nul.

a) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n > n0 ,
un > 10p ?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0 .
b) Justifier que n0 6 3p.
c) Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3.
d) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur
du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0 , on ait un > 10p .

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Métropole – Juin 2012
Commun à tous les candidats

6 points

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.
Partie A
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
f (x) =

Å
x ã
1
+ ln
.
x+1
x+1

1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; +∞[, f ′ (x) =

1
.
x(x + 1)2

Dresser le tableau de variation de la fonction f .
3. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.
Partie B
Soit (un ) la suite définie pour tout entier strictement positif par
un = 1 +

1
1 1
+ + . . . + − ln n.
2 3
n

1. On considère l’algorithme suivant :
Variables :

i et n sont des entiers naturels.
u est un réel.
Entrée :
Demander à l’utilisateur la valeur de n.
Initialisation : Affecter à u la valeur 0.
Traitement :
Pour i variant de 1 à n.


1
Affecter à u la valeur u +

i
Sortie :
Afficher u.
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3.
2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de un lorsque l’utilisateur
entre la valeur de n.
3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10−3 .
n
un

4
0,697

5
0,674

6
0,658

7
0,647

8
0,638

9
0,632

10
0,626

100
0,582

1 000
0,578

1 500
0,578

2 000
0,577

À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un ) et son
éventuelle convergence.

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Centres Étrangers – Juin 2012
Commun à tous les candidats

5 points

On considère la suite (In ) définie pour n entier naturel non nul par :
In =

Z

1
0

2

xn ex dx.

2

1. a) Soit g la fonction définie par g(x) = xex .

1 2
Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) = ex est une primitive sur R de la
2
fonction g.

b) En déduire la valeur de I1 .
c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur
ou égal à 1, on a :
n+1
1
In .
In+2 = e −
2
2
d) Calculer I3 et I5 .
2. On considère l’algorithme suivant :
Initialisation

Sortie

Affecter à n la valeur 1
1
1
Affecter à u la valeur e −
2
2
Tant que n < 21
1
n+1
Affecter à u la valeur e −
u
2
2
Affecter à n la valeur n + 2
Afficher u

Quel terme de la suite (In ) obtient-on en sortie de cet algorithme ?
3. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In > 0.
b) Montrer que la suite (In ) est décroissante.
c) En déduire que la suite (In ) est convergente. On note ℓ sa limite.
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer la valeur de ℓ.

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Asie – Juin 2012
Commun à tous les candidats

5 points

1. On considère l’algorithme suivant :
Entrée

Initialisation

Traitement

Sortie

Saisir un réel strictement positif non nul a
Saisir un réel strictement positif non nul b (b > a)
Saisir un entier naturel non nul N
Affecter à u la valeur a
Affecter à v la valeur b
Affecter à n la valeur 0
TANT QUE n < N
Affecter à n la valeur n + 1
a+b
Affecter à u la valeur
 2
a2 + b2
Affecter à v la valeur
2
Affecter à a la valeur u
Affecter à b la valeur v
Afficher u, afficher v

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a = 4,
b = 9 et N = 2. Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millième.
n
0
1
2

a
4

b
9

u

v

Dans la suite, a et b sont deux réels tels que 0 < a < b.
On considère les suites (un ) et (vn ) définies par :
u 0 = a, v0 = b et, pour tout entier naturel n :
un+1

un + vn
=
2

et vn+1 =

s

u2n + vn2
2

2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 0 et vn > 0.
Å
un − vn ã2
2
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n : vn+1
− u2n+1 =
.
2
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un 6 vn .
3. a) Démontrer que la suite (un ) est croissante.
2
b) Comparer vn+1
et vn2 . En déduire le sens de variation de la suite (vn ).

4. Démontrer que les suites (un ) et (vn ) sont convergentes.

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Antilles–Guyane – Juin 2012
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Les cinq questions sont indépendantes.
1. Dans un lycée donné, on sait que 55 % des élèves sont des filles.
On sait également que 35 % des filles et 30 % des garçons déjeunent à la cantine.
On choisit, au hasard, un élève du lycée.
Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?
2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher.
On tire 3 jetons simultanément.
Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair ?
1
3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et .
5
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du
résultat à 10−3 .
4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que
la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.
On choisit au hasard un des appareils.
Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?
5. On considère l’algorithme :
A et C sont des entiers naturels,
C prend la valeur 0
Répéter 9 fois
A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.
Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1
Fin Si
Fin répéter
Afficher C.
Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire
prenant la valeur C affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Antilles–Guyane – Juin 2012
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Les quatre questions sont indépendantes.
1. a) Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation
(E)

11x − 5y = 14.

b) Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).
2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,
23n ≡ 1

(mod 7).

b) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2 0112 012 par 7.
3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la
transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :
3
z ′ = (1 − i)z + 4 − 2i.
2
A
4. On considère l’algorithme suivant où Ent
N
Ç

å

désigne la partie entière de

A
.
N

A et N sont des entiers naturels
Saisir A
N prend la valeur
√ 1
Tant que N 6 A
Ç å
A
A
A
= 0 alors Afficher N et
Si − Ent
N
N
N
Fin si
N prend la valeur N + 1
Fin Tant que.
Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?
Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Métropole – Septembre 2012
Commun à tous les candidats

N par

L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (un ) définie sur

7
1
un +
=
2
un
Ç

u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1

5 points

å

(⋆)

On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n, un > 0.
1. On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
1
7
f (x) =
x+
.
2
x
Ç

å

Démontrer que la fonction f admet un minimum.

En déduire que pour tout entier naturel n, un > 7.
2. a) Soit n un entier naturel quelconque.
Étudier le signe de un+1 − un .

b) Pourquoi peut-on en déduire que la suite (un ) est convergente ?

7
1
ℓ+
.
c) On déduit de la relation (⋆) que la limite ℓ de cette suite est telle que ℓ =
2

Déterminer ℓ.
Ä
√ ä2

1 un − 7
.
3. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1 − 7 =
2
un
4. On définit la suite (dn ) par :
Ç

å

1
d0 = 1 et pour tout entier naturel n, dn+1 = d2n .
2
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

un − 7 6 dn .
b) Voici un algorithme :
Variables :

n et p sont des entiers naturels
d est un réel.
Entrée :
Demander à l’utilisateur la valeur de p.
Initialisations : Affecter à d la valeur 1.
Affecter à n la valeur 0
Traitement :
Tant que d > 10−p .
Affecter à d la valeur 0,5d2
Affecter à n la valeur n + 1.
Sortie :
Afficher n.
En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5.
Quelle inégalité peut-on en déduire pour d5 ?

Justifier que u5 est une valeur approchée de 7 à 10−9 près.
Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Antilles–Guyane – Septembre 2012
Commun à tous les candidats

6 points

Partie A : étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par
x
ln x
Sur l’annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe C représentative de la fonction
f ainsi que la droite D d’équation y = x.
f (x) =

1. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en 1.
2. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
3. En déduire que si x > e alors f (x) > e.
Partie B : étude d’une suite récurrente
On considère la suite (un ) définie par :



u0 =
5
 pour tout entier naturel n, u
n+1 = f (un )

1. Sur l’annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les
points A0 ,A1 et A2 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0 ,u1 et u2 . On laissera apparents
les traits de construction.
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (un ) ?
2. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un > e.
b) Déterminer les variations de la suite (un ).
c) En déduire que la suite (un ) est convergente.
d) Déterminer sa limite ℓ.
3. On donne l’algorithme suivant :
X est une variable réelle ; Y est une variable entière
Affecter 5 à X et 0 à Y
Tant que X > 2,72
Faire
Affecter (X/ ln X) à X
Affecter Y + 1 à Y
Fin de Tant que
Afficher Y
À l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.
n
un

0
5

1

2

3

4

5

3,106 674 672 8

2,740 652 532 3

2,718 372 634 6

2,718 281 830 01

2,718 281 828 5

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Nouvelle-Calédonie – Novembre 2012
Commun à tous les candidats

6 points

Partie B
Soit (un ) la suite définie par



u0
= 4
 u
n+1 = 5 ln (un + 3)

pour tout entier naturel n 6= 0

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
g(x) = 5 ln(x + 3).
En annexe 1 on a tracé dans un repère orthonormé la droite D d’équation y = x et la courbe C,
courbe représentative de la fonction g.
1. a) Construire sur l’axe des abscisses de l’annexe 1 les termes u0 , u1 , u2 de la suite (un ) en
utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction.
b) Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite (un )
2. a) Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b) Vérifier que g(α) = α où α est défini dans la partie A question 2. a.
c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a
0 6 un 6 α.
d) Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B.
e) En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que lim un = α.
n→+∞

3. On considère l’algorithme suivant :
u prend la valeur 4
Répéter Tant que u − 14,2 < 0
u prend la valeur de 5 ln(u + 3)
Fin du Tant que
Afficher u
a) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Justifier que cet algorithme se termine.
b) Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à 5 décimales).

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Pondichéry – Avril 2013
Commun à tous les candidats

6 points

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période
d’épidémie de grippe.
• Un salarié malade est absent
• La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
• Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n+1 avec une probabilité
égale à 0,04.
• Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale
à 0,24.
On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par En l’évènement « le salarié est
absent pour cause de maladie la n-ième semaine ». On note pn la probabilité de l’évènement En .
On a ainsi : p1 = 0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0 6 pn < 1.
1. a) Déterminer la valeur de p3 à l’aide d’un arbre de probabilité.
b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer
la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
2. a) Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous
. . . En+1
pn En
. . . En+1
...
b)
c)

d)
e)

. . . En+1
En

. . . En+1
Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, pn+1 = 0,2pn + 0,04.
Montrer que la suite (un ) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par un =
pn − 0,05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison r.
En déduire l’expression de un puis de pn en fonction de n et r.
En déduire la limite de la suite (pn ).
On admet dans cette question que la suite (pn ) est croissante.
On considère l’algorithme suivant :
Variables
Initialisation
Entrée
Traitement

Sortie

K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel
P prend la valeur 0
J prend la valeur 1
Saisir la valeur de K
Tant que P < 0,05 − 10−K
P prend la valeur 0,2 × P + 0,04
J prend la valeur J +1
Fin tant que
Afficher J

À quoi correspond l’affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Amérique du Nord – Mai 2013
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,

un+1 = 2un .
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables :

n est un entier naturel
u est un réel positif
Demander la valeur de n
Affecter à u la valeur 1
Pour i variant de 1 à n :

| Affecter à u la valeur 2u
Fin de Pour
Afficher u

Initialisation :
Traitement :

Sortie :

a) Donner une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on
choisit n = 3.
b) Que permet de calculer cet algorithme ?
c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour
certaines valeurs de n.
n
Valeur affichée

1
1,414 2

5
1,957 1

10
1,998 6

15
1,999 9

20
1,999 9

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un ) ?
2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 < un 6 2.
b) Déterminer le sens de variation de la suite (un ).
c) Démontrer que la suite (un ) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
3. On considère la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n, par vn = ln un − ln 2.
1
a) Démontrer que la suite (vn ) est la suite géométrique de raison et de premier terme v0 =
2
− ln 2.
b) Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n, puis de un en
fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (un ).
d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la
sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que un > 1,999.
Variables :

n est un entier naturel
u est un réel
Initialisation : Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Sortie :
Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Liban – Mai 2013
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points




v0
= 1
On considère la suite numérique (vn ) définie pour tout entier naturel n par 
9
 vn+1 =
6 − vn
Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de
la suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No 1
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels

Algorithme No 2
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels

Algorithme No 3
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels

Début de l’algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
9
v prend la valeur
6−v
Fin pour

Début de l’algorithme :
Lire n
Pour i variant de 1 à n faire
v prend la valeur 1

Début de l’algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire

Afficher v

Fin pour

Fin algorithme

Fin algorithme

Afficher v

Afficher v

v prend la valeur

9
6−v

v prend la valeur
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme

9
6−v

2. Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :
1
1,800
2,143
2,333
2,455
2,538
Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :
2,967
2,968
2,968
2,968
2,969
2,969

2,600

2,647

2,684

2,714

2,969

2,970

2,970

2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn ) ?
3. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 − vn =
La suite (vn ) est-elle monotone ?
c) Démontrer que la suite (vn ) est convergente.

(3 − vn )2
.
6 − vn

Partie B : recherche de la limite de la suite (vn )
On considère la suite (wn ) définie pour tout n entier naturel par
wn =

1
.
vn − 3

1
3
2. En déduire l’expression de (wn ), puis celle de (vn ) en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite (vn ).
1. Démontrer que (wn ) est une suite arithmétique de raison −

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Liban – Mai 2013
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

On considère la suite (un ) définie par u0 = 3, u1 = 8 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 :
un+2 = 5un+1 − 6un .

1. Calculer u2 et u3 .
2. Pour tout entier naturel n > 2, on souhaite calculer un à l’aide de l’algorithme suivant :
Variables :

a,b et c sont des nombres réels
i et n sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2
a prend la valeur 3
b prend la valeur 8
Saisir n
Pour i variant de 2 à n faire
c prend la valeur a
a prend la valeur b
b prend la valeur . . .
Fin Pour
Afficher b

Initialisation :
Traitement :

Sortie :

a) Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :
n
un

7
4 502

8
13 378

9
39 878

10
119 122

11
356 342

12
1 066 978

13
3 196 838

14
9 582 322

15
28 730 582

b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite (un ) ?
Ñ

é

un+1
3. Pour tout entier naturel n, on note Cn la matrice colonne
.
un
On note A la matrice carrée d’ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n,
Cn+1 = ACn .
Déterminer A et prouver que, pour tout entier naturel n, Cn = An C0 .
Ñ

4. Soient P =

2 3
1 1

é

Ñ

,D =

é

2 0
0 3

Ñ

et Q =

é

−1 3
.
1 −2

Calculer QP .
On admet que A = P DQ.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, An = P Dn Q.
5. À l’aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l’on admet.
Pour tout entier naturel non nul n,
Ñ

An =

−2n+1 + 3n+1 3 × 2n+1 − 2 × 3n+1
−2n + 3n
3 × 2n − 2 × 3n

é

.

En déduire une expression de un en fonction de n.
La suite (un ) a-t-elle une limite ?
Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Antilles–Guyane – Juin 2013
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

On considère la suite (zn ) à termes complexes définie par : z0 = 1 + i et, pour tout entier naturel n,
par
zn + |zn |
.
zn+1 =
3
Pour tout entier naturel n, on pose : zn = an + ibn , où an est la partie réelle de zn et bn est la partie
imaginaire de zn .
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (an ) et (bn ).
Partie A
1. Donner a0 et b0 .


1+ 2
1
2. Calculer z1 , puis en déduire que a1 =
et b1 = .
3
3
3. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Initialisation :

A et B des nombres réels
K et N des nombres entiers
Affecter à A la valeur 1
Affecter à B la valeur 1

Traitement :
Entrer la valeur de N
Pour K variant de 1 à N
Affecter à A la valeur
Affecter à B la valeur
Fin Pour
Afficher A

A+

»

B
.
3

A2 + B2
3

a) On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous
contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs
calculées à 10−4 près).
K

A

B

1
2
b) Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport
à la situation étudiée dans cet exercice ?

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Antilles–Guyane – Juin 2013
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
On définit les suite (un ) et (vn ) sur l’ensemble

N des entiers naturels par :





u0 = 0 ; v0 = 1 , et 



5 points

un + vn
2
un + 2vn
=
3

un+1 =
vn+1

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (un ) et (vn ).
1. Calculer u1 et v1 .
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables : u, v et w des nombres réels
N et k des nombres entiers
Initialisation : u prend la valeur 0
v prend la valeur 1
Début de l’algorithme
Entrer la valeur de N
Pour k variant de 1 à N
w prend la valeur u
w+v
u prend la valeur
2
w + 2v
v prend la valeur
3
Fin du Pour
Afficher u
Afficher v
Fin de l’algorithme
a) On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné
ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.
k
1
2

w

u

v

b) Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l’algorithme par
rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Centres Étrangers – Juin 2013
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points
3
et la
L’objet de cet exercice est l’étude de la suite (un ) définie par son premier terme u1 =
2
nun + 1
.
relation de récurrence : un+1 =
2(n + 1)
Partie A - Algorithmique et conjectures
Variables
Pour calculer et afficher le terme u9 de la
suite, un élève propose
l’algorithme ci-contre.

Initialisation
Traitement

Il a oublié de compléter deux lignes.
Sortie

n est un entier naturel
u est un réel
Affecter à n la valeur 1
Affecter à u la valeur 1,5
Tant que n < 9
Affecter à u la valeur . . .
Affecter à n la valeur . . .
Fin Tant que
Afficher la variable u

1. Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension.
2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu’il calcule et affiche tous les termes de la
suite de u2 jusqu’à u9 ?
3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :
n
un

1
1,5

2
0,625

3
0,375

4
0,2656

5
0,206 3

6
0,169 3

...
...

99
0,010 2

100
0,010 1

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un ).
Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire (vn ) par : pour tout entier n > 1, vn = nun − 1.
1. Montrer que la suite (vn ) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
1 + (0,5)n
2. En déduire que, pour tout entier naturel n > 1, on a : un =
.
n
3. Déterminer la limite de la suite (un ).
1 + (1 + 0,5n)(0,5)n
.
4. Justifier que, pour tout entier n > 1, on a : un+1 − un = −
n(n + 1)
En déduire le sens de variation de la suite (un ).
Partie C - Retour à l’algorithmique
En s’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus
petit entier n tel que un < 0,001.

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Asie – Juin 2013
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Partie B
On considère la suite (un ) définie par : u0 = 2 et, pour tout entier nature n :
un+1 =

1 + 0,5un
.
0,5 + un

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. On considère l’algorithme suivant :
Entrée
Initialisation
Traitement
et
sortie

Soit un entier naturel non nul n
Affecter à u la valeur 2
POUR i allant de 1 à n
1 + 0,5u
Affecter à u la valeur
0,5 + u
Afficher u
FIN POUR

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n = 3.
Les valeurs de u seront arrondies au millième.
1

i
u

2

3

2. Pour n = 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
i
u

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1,008 3

0,997 3

1,000 9

0,999 7

1,000 1

0,999 97

1,000 01

0,999 996

1,000 001

Conjecturer le comportement de la suite (un ) à l’infini.
3. On considère la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n, par : vn =

un − 1
.
un + 1

1
a) Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison − .
3
b) Calculer v0 puis écrire vn en fonction de n.
4. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : vn 6= 1.
1 + vn
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un =
.
1 − vn
c) Déterminer la limite de la suite (un ).

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Asie – Juin 2013
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d’une photographie.
Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE′ F′ G′ , appelé image de OEFG.
F′
F
E′
G
E
G



O
Figure 1
L’objet de cet exercice est d’étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
Partie A
F


Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; −
ı ,−
 ).
Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives
(2 ; 2), (−1 ; 5) et (−3 ; 3).
La transformation du logiciel associe à tout point
M (x ; y) du plan le point M ′ (x′ ; y ′ ), image du point
M tel que :










5
x+
4
3
=
x+
4

x′ =
y′

G
E

3
y
4
5
y
4

O
Figure 2

1. a) Calculer les coordonnées des points E′ , F′ et G′ , images des points E, F et G par cette
transformation.
b) Comparer les longueurs OE et OE′ d’une part, OG et OG′ d’autre part.
Ñ é

Donner la matrice carrée d’ordre 2, notée A, telle que :

x′
y′

Ñ é

=A

x
.
y

Partie B
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle
OEFG lorsqu’on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

Algorithmes au Bac S

Page 27/103

Janvier 2017

1. On considère l’algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.
Une erreur a été commise.
Modifier cet algorithme pour qu’il permette d’afficher ces coordonnées.
Entrée
Initialisation

Traitement

Sortie

Saisir un entier naturel non nul N
Affecter à x la valeur −1
Affecter à y la valeur 5
POUR i allant de 1 à N
Affecter à a la valeur 45 x + 34 y
Affecter à b la valeur 43 x + 54 y
Affecter à x la valeur a
Affecter à y la valeur b
FIN POUR
Afficher x, afficher y

2. On a obtenu le tableau suivant :
i 1
2
3
4
5
10
15
x 2,5 7,25 15,625 31,812 5 63,906 3 2 047,997 1 65 535,999 9
y 5,5 8,75 16,375 32,187 5 64,093 8 2 048,002 9 65 536,000 1
Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.
Partie C
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle
OEFG. On définit la suite des points En (xn ; yn ) du plan par E0 = E et la relation de récurrence :
Ñ

xn+1
yn+1

é

Ñ

=A

xn
yn

é

,

où (xn+1 ; yn+1 ) désignent les coordonnées du point En+1 .
Ainsi x0 = 2 et y0 = 2.
1. On admet
que,é
pour tout entier n > 1, la matrice An peut s’écrire sous la forme :
Ñ
αn βn
An =
.
βn αn
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n > 1, on a :
αn = 2n−1 +

1
2n+1

et βn = 2n−1 −

1
2n+1

.

2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point En est situé sur la droite d’équation
y = x.
On pourra utiliser que, pour tout entier naturel n, les coordonnées (xn ; yn ) du point En
vérifient :
Ñ é
Ñ é
2
xn
.
= An
2
yn
b) Démontrer que la longueur OEn tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Métropole – Juin 2013
Commun à tous les candidats

7 points


Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; −
ı ,−
 ), la
courbe représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
B

C

C




O



ı

A

On dispose des informations suivantes :
• les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 ; 0), (1 ; 2), (0 ; 2) ;
• la courbe C passe par le point B et la droite (BC) est tangente à C en B ;

• il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x,
a + b ln x
.
x
1. a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de f (1) et f ′ (1).
(b − a) − b ln x
b) Vérifier que pour tout réel strictement positif x, f ′ (x) =
.
x2
c) En déduire les réels a et b.
f (x) =

2. a) Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0, ; +∞[, f ′ (x) a le même signe que
− ln x.

b) Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. On pourra remarquer que pour tout réel x
ln x
2
.
strictement positif, f (x) = + 2
x
x
c) En déduire le tableau de variations de la fonction f .

3. a) Démontrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur l’intervalle ]0 ; 1].
b) Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réel β de l’intervalle
]1 ; +∞] tel que f (β) = 1.
Déterminer l’entier n tel que n < β < n + 1.
4. On donne l’algorithme ci-dessous.

Algorithmes au Bac S

Page 29/103

Janvier 2017

Variables :
Initialisation :
Traitement :

Sortie :

a,b et m sont des nombres réels.
Affecter à a la valeur 0.
Affecter à b la valeur 1.
Tant que b − a > 0,1
1
Affecter à m la valeur (a + b).
2
Si f (m) < 1 alors Affecter à a la valeur m.
Sinon Affecter à b la valeur m.
Fin de Si.
Fin de Tant que.
Afficher a.
Afficher b.

a) Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l’on recopiera sur la
copie.
a
b
b−a
m

étape 1
0
1

étape 2

étape 3

étape 4

étape 5

b) Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
c) Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement de β
d’amplitude 10−1
5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe C partage le rectangle OABC en deux
domaines d’aires égales.
a) Justifier que cela revient à démontrer que

Z

1
1
e

f (x) dx = 1.

1
2
b) En remarquant que l’expression de f (x) peut s’écrire + 2 × × ln x, terminer la démonsx
x
tration.

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Polynésie – Juin 2013
Commun à tous les candidats

6 points

On considère la fonction f définie sur R par
f (x) = (x + 2)e−x .
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
1. Étude de la fonction f .
a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C avec les axes du repère.
b) Étudier les limites de la fonction f en −∞ et en +∞. En déduire les éventuelles asymptotes
de la courbe C .
c) Étudier les variations de f sur R.
2. Calcul d’une valeur approchée de l’aire sous une courbe.
On note D le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation
x = 0 et x = 1. On approche l’aire du domaine D en calculant une somme d’aires de rectangles.
a) Dans cette question, on découpe l’intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :
ô
ñ
1
, on construit un rectangle de hauteur f (0)
• Sur l’intervalle 0 ;
4
ñ
ô
Ç å
1 1
1
• Sur l’intervalle
;
, on construit un rectangle de hauteur f
4 2
4
ô
Ç å
ñ
1
1 3
;
, on construit un rectangle de hauteur f
• Sur l’intervalle
2 4
2
ñ
ô
Ç å
3
3
• Sur l’intervalle
; 1 , on construit un rectangle de hauteur f
4
4
Cette construction est illustrée ci-dessous.
2
C

1

O

1

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine D en
ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :

Algorithmes au Bac S

Page 31/103

Janvier 2017

Variables : k est un nombre entier
S est un nombre réel
Initialisation : Affecter à S la valeur 0
Traitement : Pour
k variant de 0 à 3


1
Affecter à S la valeur S + f
4
Fin Pour
Sortie : Afficher S





k
4

Ç å

Donner une valeur approchée à 10−3 près du résultat affiché par cet algorithme.
b) Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l’intervalle [0 ; 1] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit
un rectangle en procédant de la même manière qu’à la question 2.a.
Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles
ainsi construits.
3. Calcul de la valeur exacte de l’aire sous une courbe.
Soit g la fonction définie sur par

R

g(x) = (−x − 3)e−x .
On admet que g est une primitive de la fonction f sur R.
a) Calculer l’aire A du domaine D, exprimée en unités d’aire.
b) Donner une valeur approchée à 10−3 près de l’erreur commise en remplaçant A par la valeur
approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2. a, c’est-à-dire l’écart entre ces
deux valeurs.

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Antilles–Guyane – Septembre 2013
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Les deux parties sont indépendantes
Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa
démarche est très particulière :
• Soit il avance d’un pas tout droit ;
• Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et
un pas tout droit) ;
• Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et
un pas tout droit).
On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.
L’objectif de cet exercice est d’estimer la probabilité p de l’évènement S « Tom traverse le pont »
c’est-à-dire « Tom n’est pas tombé dans l’eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10
déplacements ».
Partie A : modélisation et simulation
On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d’un repère orthonormé (O , I, J) comme
l’indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au
début de la traversée. On note (x ; y) les coordonnées de la position de Tom après x déplacements.
2
1
départ
O
−1
−1

J
I
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−2
On a écrit l’algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de x déplacements :
x,y,n sont des entiers
Affecter à x la valeur 0
Affecter à y la valeur 0
Tant que y > −1 et y 6 1 et x 6 9
Affecter à n une valeur choisie au hasard entre −1, 0 et 1
Affecter à y la valeur y + n
Affecter à x la valeur x + 1
Fin tant que
Afficher « la position de Tom est » (x ; y)
1. On donne les couples suivants : (−1 ; 1) ; (10 ; 0) ; (2 ; 4) ; (10 ; 2).
Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
Algorithmes au Bac S

Page 33/103

Janvier 2017

2. Modifier cet algorithme pour qu’à la place de « la position de Tom est (x ; y) », il affiche
finalement « Tom a réussi la traversée » ou « Tom est tombé ».
Partie B
Pour tout n entier naturel compris entre 0 et 10, on note :
An l’évènement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée −1 ».
Bn l’évènement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 0 ».
Cn l’évènement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 1 ».
On note an ,bn ,cn les probabilités respectives des évènements An ,Bn ,Cn .
1. Justifier que a0 = 0, b0 = 1, c0 = 0.
2. Montrer que pour tout entier naturel n compris entre 0 et 9, on a








an + bn
3
an + bn + cn
=
3

an+1 =
bn+1

On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
3. Calculer les probabilités p (A1 ) , p (B1 ) et p (C1 ).
4. Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.

5. À l’aide d’un tableur, on a obtenu
la feuille de calcul ci-contre qui
donne des valeurs approchées de
an , bn , cn pour n compris entre 0
et 10.
Donner une valeur approchée à
0,001 près de la probabilité que
Tom traverse le pont (on pourra
s’aider du tableau ci-contre).

Algorithmes au Bac S

n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Page 34/103

an
0
0,333 333
0,222 222
0,185 185
0,148 148
0,119 342
0,096 022
0,077 275
0,062 186
0,050 043
0,040 272

bn
1
0,333 333
0,333 333
0,259 259
0,209 877
0,168 724
0,135 802
0,109 282
0,087 944
0,070 772
0,056 953

cn
0
0,333 333
0,222 222
0,185 185
0,148 148
0,119 342
0,096 022
0,077 275
0,062 186
0,050 043
0,040 272

Janvier 2017

Antilles–Guyane – Septembre 2013
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Partie A
On considère l’algorithme suivant :
A et X sont des nombres entiers
Saisir un entier positif A
Affecter à X la valeur de A
Tant que X supérieur ou égal à 26
Affecter à X la valeur X - 26
Fin du tant que
Afficher X
1. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
2. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
3. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme ?

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Métropole – Septembre 2013
Commun à tous les candidats
Soit f une fonction définie et dérivable sur


muni d’un repère (O ; −
ı ,−
 ).

R. On note C

6 points
sa courbe représentative dans le plan

Partie B
Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur
par
1
f (x) = (x + 2)e 2 x .

R

1. L’observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum.
1
1
a) Démontrer que pour tout réel x, f ′ (x) = (x + 4)e 2 x .
2
b) En déduire une validation de la conjecture précédente.
2. On pose I =

Z

0

1

f (x) dx.

a) Interpréter géométriquement le réel I.

R

1

b) Soient u et v les fonctions définies sur par u(x) = x et v(x) = e 2 x .
Vérifier que f = 2 (u′ v + uv ′ ).
c) En déduire la valeur exacte de l’intégrale I.
3. On donne l’algorithme ci-dessous.
Variables :
Entrée :
Initialisation :
Traitement :

Sortie :

k et n sont des nombres entiers naturels.
s est un nombre réel.
Demander à l’utilisateur la valeur de n.
Affecter à s la valeur 0.
Pour k allant de 0 à n − 1
Ç å
1
k
| Affecter à s la valeur s + f
.
n
n
Fin de boucle.
Afficher s.

On note sn le nombre affiché par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel
strictement positif comme valeur de n.
a) Justifier que s3 représente l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.

C

1
1
b) Que dire de la valeur de sn fournie par l’algorithme proposé lorsque n devient grand ?
Algorithmes au Bac S

Page 36/103

Janvier 2017

Nouvelle-Calédonie – Novembre 2013
Commun à tous les candidats

5 points

Soient deux suites (un ) et (vn ) définies par u0 = 2 et v0 = 10 et pour tout entier naturel n,
un+1 =

2un + vn
3

et vn+1 =

un + 3vn
.
4

Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Variables : N est un entier
U,V,W sont des réels
K est un entier
Début :
Affecter 0 à K
Affecter 2 à U
Affecter 10 à V
Saisir N
Tant que K < N
Affecter K + 1 à K
Affecter U à W
2U + V
Affecter
àU
3
W + 3V
àV
Affecter
4
Fin tant que
Afficher U
Afficher V
Fin
On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous
donnant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.
K
0
1
2

Algorithmes au Bac S

W

U

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V

Janvier 2017

Nouvelle-Calédonie – Mars 2014
Commun à tous les candidats

5 points

Partie A
Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f (x) = x ln(x).
1. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
2. On appelle f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[.
Montrer que f ′ (x) = ln(x) + 1.
3. Déterminer les variations de f sur ]0 ; +∞[.
Partie B
Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal.
Soit A l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la
courbe C et les droites d’équations respectives x = 1 et x = 2.
On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée
de l’aire A. (voir la figure ci-après).

1

O

1

2

3

C
Algorithme :

Algorithmes au Bac S

Page 38/103

Janvier 2017

Variables
k et n sont des entiers naturels
U,V sont des nombres réels
Initialisation
U prend la valeur 0
V prend la valeur 0
n prend la valeur 4
Traitement
Pour k allant de 0 à n − 1
Ç
å
1
k
Affecter à U la valeur U + f 1 +
n Ç
n
å
1
k+1
Affecter à V la valeur V + f 1 +
n
n
Fin pour
Affichage
Afficher U
Afficher V
1. a) Que représentent U et V sur le graphique précédent ?
b) Quelles sont les valeurs U et V affichées en sortie de l’algorithme (on donnera une valeur
approchée de U par défaut à 10−4 près et une valeur approchée par excès de V à 10−4 près) ?
c) En déduire un encadrement de A.

2. Soient les suites (Un ) et (Vn ) définies pour tout entier n non nul par :
1
2
n−1
1
f (1) + f 1 +
+f 1+
+ ··· + f 1 +
=
nñ Ç

n
å
å
Ç
å n
ô .
1
1
2
n−1
=
f 1+
+f 1+
+ ··· + f 1 +
+ f (2)
n
n
n
n
ñ

Un
Vn

Ç

å

Ç

å

Ç

åô

On admettra que, pour tout n entier naturel non nul, Un 6 A 6 Vn .
a) Trouver le plus petit entier n tel que Vn − Un < 0,1.

b) Comment modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette d’obtenir un encadrement de
A d’amplitude inférieure à 0,1 ?

Partie C
Soit F la fonction dérivable, définie sur ]0 ; +∞[ par
F (x) =

x2
x2
ln x − .
2
4

1. Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.
2. Calculer la valeur exacte de A.

Algorithmes au Bac S

Page 39/103

Janvier 2017

Pondichéry – Avril 2014
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité


Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O ; −
u ,−
v ).

5 points

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn défini par :
√ !
3
3
+
i zn .
z0 = 1 et zn+1 =
4
4

On définit la suite (rn ) par rn = |zn | pour tout entier naturel n.

3
3
1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe +
i.
4
4

3
.
2. a) Montrer que la suite (rn ) est géométrique de raison
2
b) En déduire l’expression de rn en fonction de n.
c) Que dire de la longueur OAn lorsque n tend vers +∞ ?
3. On considère l’algorithme suivant :
Variables

Entrée
Traitement

Sortie

n entier naturel
R réel
P réel strictement positif
Demander la valeur de P
R prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que R > P
n prend la valeur n + 1

3
R prend la valeur
R
2
Fin tant que
Afficher n

a) Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour P = 0,5 ?
b) Pour P = 0,01 on obtient n = 33. Quel est le rôle de cet algorithme ?
4. a) Démontrer que le triangle OAn An+1 est rectangle en An+1 .


b) On admet que zn = rn ei 6 .
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles An est un point de l’axe des ordonnées.
c) Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points A6 ,
A7 , A8 et A9 .
Les traits de construction seront apparents.

Algorithmes au Bac S

Page 40/103

Janvier 2017

Pondichéry – Avril 2014
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques
X, Y et Z se partagent le marché. Soit n un entier naturel.
On note : Xn l’évènement « la marque X est utilisée le mois n »,
Yn l’évènement « la marque Y est utilisée le mois n »,
Zn l’évènement « la marque Z est utilisée le mois n ».
Les probabilités des évènements Xn ,Yn ,Zn sont notées respectivement xn ,yn ,zn .
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant :
50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
40 % de chance d’acheter la marque Y,
10 % de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant :
30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
50 % de chance d’acheter la marque X,
20 % de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant :
70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
10 % de chance d’acheter la marque X,
20 % de chance d’acheter la marque Y.
1. a) Exprimer xn+1 en fonction de xn , yn et zn .
On admet que :
yn+1 = 0,4xn + 0,3yn + 0,2zn et que zn+1 = 0,1xn + 0,2yn + 0,7zn .
b) Exprimer zn en fonction de xn et yn .
En déduire l’expression de xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn .
Ñ

2. On définit la suite (Un ) par Un =

xn
yn

é

pour tout entier naturel n.
Ñ

On admet que, pour tout entier naturel n,Un+1 = A×Un +B où A =

é

0,4 0,4
0,2 0,1

Ñ

et B =
Ñ

Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : n = 0), on estime que U0 =

é

0,1
.
0,2

é

0,5
.
0,3

On considère l’algorithme suivant :

Algorithmes au Bac S

Page 41/103

Janvier 2017

Variables

n et i des entiers naturels.
A, B et U des matrices

Entrée et initialisation

Demander la valeur de n
i prend la valeur 0
Ñ

0,4 0,4
0,2 0,1

A prend la valeur

Ñ

é

Ñ

é

é

0,1
0,2

B prend la valeur
U prend la valeur

0,5
0,3

Traitement

Tant que i < n
U prend la valeur A × U + B
i prend la valeur i + 1
Fin de Tant que

Sortie

Afficher U

a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n = 1 puis pour n = 3.
b) Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?
Dans la suite de l’exercice,
on
cherche à déterminer une expression de Un en fonction de n.
Ñ
é
On note I la matrice

1 0
0 1

et N la matrice I − A.

3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.
a) Démontrer que C = A × C + B équivaut à N × C = B.
b) On admet que N est une matrice inversible et que N −1 =

á

45
23
10
23

20
23
30
23

ë

.

17
46 .
En déduire que C =
7
23
4. On note Vn la matrice telle que Vn = Un − C pour tout entier naturel n.
á

ë

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1 = A × Vn .

b) On admet que Un = An × (U0 − C) + C.
Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Liban – Mai 2014
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère la suite de nombres complexes (zn ) définie par z0 =
naturel n :
zn+1 = (1 + i)zn .



5 points
3 − i et pour tout entier

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |.
1. Calculer u0 .
2. Démontrer que (un ) est la suite géométrique de raison



2 et de premier terme 2.

3. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
4. Déterminer la limite de la suite (un ).
5. Étant donné un réel positif p, on souhaite déterminer, à l’aide d’un algorithme, la plus petite
valeur de l’entier naturel n telle que un > p.
Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie,
de façon à afficher la valeur cherchée de l’entier n.
Variables

Entrée
Traitement

: u est un réel
p est un réel
n est un entier
: Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 2
: Demander la valeur de p
:

Sortie

:

Initialisation

Partie B
1. Déterminer la forme algébrique de z1 .
2. Déterminer la forme exponentielle de z0 et de 1 + i.
En déduire la forme exponentielle de z1 .
Å

3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos

Algorithmes au Bac S

Page 43/103

πã
.
12

Janvier 2017

Liban – Mai 2014
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Un laboratoire étudie la propagation d’une maladie sur une population.
Un individu sain est un individu n’ayant jamais été touché par la maladie.
Un individu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.
Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.
Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.
Les premières observations nous montrent que, d’un jour au jour suivant :
• 5 % des individus tombent malades ;
• 20 % des individus guérissent.
Pour tout entier naturel n, on note an la proportion d’individus sains n jours après le début de
l’expérience, bn la proportion d’individus malades n jours après le début de l’expérience, et cn celle
d’individus guéris n jours après le début de l’expérience.
On suppose qu’au début de l’expérience, tous les individus sont sains, c’est à dire que a0 = 1,
b0 = 0 et c0 = 0
1. Calculer a1 , b1 et c1 .
2. a) Quelle est la proportion d’individus sains qui restent sains d’un jour au jour suivant ? En
déduire an+1 en fonction de an .
b) Exprimer bn+1 en fonction de an et de bn .
On admet que cn+1 = 0,2bn + cn .
Ü

Pour tout entier naturel n, on définit Un =

an
bn
cn

ê

ê

Ü

ê

Ü

0,95 0 0
0,95 0 0
On définit les matrices A = 0,05 0,8 0 et D =
0 0,8 0
0
0 1
0 0,2 1
On admet qu’il existe une matrice inversible P telle que D = P −1 × A × P et que, pour tout
entier naturel n supérieur ou égal à 1, An = P × Dn × P −1 .

3. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Un+1 = A × Un .

On admet que, pour tout entier naturel n, Un = An × U0 .

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,
Ü

Dn =

ê

0,95n 0 0
0
0,8n 0
0
0 1
â

0,95n

0

0

ì

1
(0,95n − 0,8n )
0,8n
0
3
1
(3 − 4 × 0,95n + 0,8n ) 1 − 0,8n 1
3
1
4. a) Vérifier que pour tout entier naturel n, bn = (0,95n − 0,8n )
3
b) Déterminer la limite de la suite (bn ).
On admet que An =

Algorithmes au Bac S

Page 44/103

Janvier 2017

c) On admet que la proportion d’individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroit.
On souhaite déterminer le pic épidémique, c’est à dire le moment où la proportion d’individus
malades est à son maximum.
À cet effet, on utilise l’algorithme donné en annexe 2 (à rendre avec la copie), dans
lequel on compare les termes successifs de la suite (bn ).
Compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint
et compléter le tableau fourni en annexe 2.
Conclure.
Annexe 2 – À rendre avec la copie
Algorithme et tableau à compléter
Variables
: b, b′ , x, y sont des réels
k est un entier naturel
Initialisation

:

Affecter à b la valeur 0
Affecter à b′ la valeur 0,05
Affecter à k la valeur 0
Affecter à x la valeur 0,95
Affecter à y la valeur 0,8

Traitement

:

Tant que b < b′ faire :
Affecter à k la valeur k + 1
Affecter à b la valeur b′
Affecter à x la valeur 0,95x
Affecter à y la valeur 0,80y
Affecter à b′ la valeur . . . . . .
Fin Tant que

Sortie

Après le 7e passage
dans la boucle
Tant que

:

Afficher . . . . . .

k

b

x

y

b′

Test : b < b′ ?

7

0,162 8

0,663 4

0,167 8

0,165 2

Vrai

Après le 8e passage
éventuel dans la
boucle Tant que
Après le 9e passage
éventuel dans la
boucle Tant que

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Amérique du Nord – Mai 2014
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau
entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :


au départ, le bassin A contient 800 m3 d’eau et le bassin B contient 1 400 m3 d’eau ;



tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré
vers le bassin A ;



tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est
transféré vers le bassin B.

Pour tout entier naturel n, on note :


an le volume d’eau, exprimé en m3 , contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de
fonctionnement ;



bn le volume d’eau, exprimé en m3 , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.

On a donc a0 = 800 et b0 = 1 400.
1. Par quelle relation entre an et bn traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
3
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, an+1 = an + 330.
4
3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle an
est supérieur ou égal à 1 100.
Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
Variables
Initialisation
Traitement

Sortie

: n est un entier naturel
a est un réel
: Affecter à n la valeur 0
Affecter à a la valeur 800
: Tant que a < 1 100, faire :
Affecter à a la valeur . . .
Affecter à n la valeur . . .
Fin Tant que
: Afficher n

4. Pour tout entier naturel n, on note un = an − 1 320.
a) Montrer que la suite (un ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la
raison.
b) Exprimer un en fonction de n.
Ç ån

3
.
4
5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le
même volume d’eau.
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
En déduire que, pour tout entier naturel n, an = 1 320 − 520 ×

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Centres étrangers – Juin 2014
Commun à tous les candidats

7 points

Les parties A et B sont indépendantes
Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du
blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de
la façon suivante :




x = 0 pour le blanc ;
x = 1 pour le noir ;
x = 0,01 ; x = 0,02 et ainsi de suite jusqu’à x = 0,99 par pas de 0,01 pour toutes les nuances
intermédiaires (du clair au foncé).

L’image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec
leurs codes.
Un logiciel de retouche d’image utilise des fonctions numériques dites « fonctions de retouche ».
Une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] est dite « fonction de retouche » si elle possède les
quatre propriétés suivantes :





f (0) = 0 ;
f (1) = 1 ;
f est continue sur l’intervalle [0 ; 1] ;
f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si f (x) > x, et éclaircie, si f (x) < x.
Ainsi, si f (x) = x2 , un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée
0,22 = 0,04.

√ L’image A sera transformée en l’image B ci-dessous.
Si f (x) = x, la nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,2 ≈ 0,45. L’image A sera transformée
en l’image C ci-dessous.
0,20 0,40

0,04 0,16

0,45 0,63

0,60 0,80

0,36 0,64

0,77 0,89

Image A

Image B

Image C

Partie A
1. On considère la fonction f1 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :
f1 (x) = 4x3 − 6x2 + 3x.
a) Démontrer que la fonction f1 est une fonction de retouche.
b) Résoudre graphiquement l’inéquation f1 (x) 6 x, à l’aide du graphique donné en annexe, à
rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles.
Interpréter ce résultat en termes d’éclaircissement ou d’assombrissement.
2. On considère la fonction f2 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :
f2 (x) = ln[1 + (e − 1)x].
On admet que f2 est une fonction de retouche.
On définit sur l’intervalle [0 ; 1] la fonction g par : g(x) = f2 (x) − x.
Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

(e − 2) − (e − 1)x
;
1 + (e − 1)x
b) Déterminer les variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1].
e−2
Démontrer que la fonction g admet un maximum en
, maximum dont une valeur are−1
rondie au centième est 0,12.
a) Établir que, pour tout x de l’intervalle [0 ; 1] : g ′ (x) =

c) Établir que l’équation g(x) = 0,05 admet sur l’intervalle [0 ; 1] deux solutions α et β, avec
α < β.
On admettra que : 0,08 < α < 0,09 et que : 0,85 < β < 0,86.
Partie B
On remarque qu’une modification de nuance n’est perceptible visuellement que si la valeur absolue
de l’écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale
à 0,05.
1. Dans l’algorithme décrit ci-dessous, f désigne une fonction de retouche.
Quel est le rôle de cet algorithme ?
Variables :

x (nuance initiale)
y (nuance retouchée)
E (écart)
c (compteur)
k
Initialisation : c prend la valeur 0
Traitement :
Pour k allant de 0 à 100, faire
k
x prend la valeur
100
y prend la valeur f (x)
E prend la valeur |y − x|
Si E > 0,05, faire
c prend la valeur c + 1
Fin si
Fin pour
Sortie :
Afficher c
2. Quelle valeur affichera cet algorithme si on l’applique à la fonction f2 définie dans la deuxième
question de la partie A ?

Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Polynésie – Juin 2014
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

On considère la suite (un ) définie par
u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2n + 2.
1. Calculer u1 et u2 .
2. On considère les deux algorithmes suivants :
Algorithme 1
Variables :
Entrée :
Traitement :

Sortie :

Algorithme 2
n est un entier naturel
u est un réel
Saisir la valeur de n
u prend la valeur 0
Pour i allant de 1 à n :
u prend la valeur u + 2i + 2
Fin Pour
Afficher u

Variables :
Entrée :
Traitement :

Sortie :

n est un entier naturel
u est un réel
Saisir la valeur de n
u prend la valeur 0
Pour i allant de 0 à n − 1 :
u prend la valeur u + 2i + 2
Fin Pour
Afficher u

+
+
+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de un , la valeur de l’entier
naturel n étant entrée par l’utilisateur ?
3. À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en
abscisse et un en ordonnée.
160
n un
140
n un
0 0
120
7 56
1 2
100
8 72
2 6
80
9 90
3 12
60
10 110
4 20
40
11 132
5 30
20
12 156
0
6 42
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a) Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (un ) ?
Démontrer cette conjecture.
b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b
et c tels que, pour tout entier naturel n, un = an2 + bn + c.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l’aide des informations
fournies.
4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (vn ) par : vn = un+1 − un .

a) Exprimer vn en fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (vn ) ?

b) On définit, pour tout entier naturel n, Sn =

n
X

k=0

vk = v0 + v1 + · · · + vn .

Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn = (n + 1)(n + 2).
c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn = un+1 − u0 , puis exprimer un en fonction
de n.
Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017

Polynésie – Juin 2014
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro
du mois de naissance, le rang du mois dans l’année.
Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro
du mois de naissance est 5.
Partie A
Lors d’une représentation, un magicien demande aux spectateurs d’effectuer le programme de calcul
(A) suivant : « Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro
de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai
alors vous donner la date de votre anniversaire ».
Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : « Votre anniversaire
tombe le 1er août ! ».
1. Vérifier que pour une personne née le 1er août, le programme de calcul (A) donne effectivement
le nombre 308.
2. a) Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de naissance, m celui de son mois
de naissance et z le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A).
Exprimer z en fonction de j et de m et démontrer que z et m sont congrus modulo 12.
b) Retrouver alors la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 474 en
appliquant le programme de calcul (A).
Partie B
Lors d’une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un
spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro du mois de naissance est m, le
magicien demande de calculer le nombre z défini par z = 12j + 31m.
Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d’anniversaire du spectateur.
1. Première méthode :
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Traitement :

j et m sont des entiers naturels
Pour m allant de 1 à 12 faire :
Pour j allant de 1 à 31 faire :
z prend la valeur 12j + 31m
Afficher z
Fin Pour
Fin Pour

Modifier cet algorithme afin qu’il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que 12j + 31m =
503.
2. Deuxième méthode :
a) Démontrer que 7m et z ont le même reste dans la division euclidienne par 12.
b) Pour m variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de 7m par 12.
c) En déduire la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le
programme de calcul (B).
Algorithmes au Bac S

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Janvier 2017


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