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ds mai S10 A cor .pdf



Nom original: ds_mai_S10_A_cor.pdf
Titre: ds_mai_S10_A_cor.dvi

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Correction du sujet A

Exercice 1 : Statistiques

4 points

L’IMC est l’indice de masse corporelle. Dans une étude portant sur 400 femmes, voici le tableau des effectifs de
l’étude portant sur l’IMC de cette population :
IM C

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

Ef f ectif s

25

37

106

92

38

39

16

12

15

13

7

ECC

25

62

168

260

298

337

353

365

380

393

400

1. Compléter, dans le tableau précédent, la ligne des effectifs cumulés croissants,
2. Déterminer la médiane (justifier votre résultat),
400
Pour déterminer la médiane il faut calculer la moyenne entre le
, 200 ième terme et le suivant. Avec le
2
tableau, le 200 ième terme et le 201 ième valent 22 soit :
Me = 22
3. Donner le premier quartile, le troisième quartile et l’étendue de cette série (on ne demande pas de justification).
Q1 = 21, Q3 = 24, l’étendue est 29 − 19 soit 10

Exercice 2 : Fonction du second degré
On considère la fonction f définie sur

5 points

R par f (x) = −x2 − 2x + 8.

1. A l’aide de la calculatrice compléter :

x

−3, 5

−3

−2, 5

−2

−1, 5

−1

−0, 5

f (x)

2, 75

5

6, 75

8

8, 75

9

8, 75

0
8

2. Établir l’égalité : f (x) = −(x + 1) + 9
Attention à la rédaction :
Pour tout x réel, −(x + 1)2 + 9 = −(x2 + 2x + 1) + 9
2

−(x + 1)2 + 9

= −x2 − 2x − 1 + 9

−(x + 1)2 + 9

= −x2 − 2x + 8

−(x + 1)2 + 9 = f (x)
On a bien montré que f (x) = −(x + 1)2 + 9
3. Dresser, en justifiant, son tableau de variations.
f est une fonction polynôme du second degré avec a = −1 (a < 0) donc sa représentation graphique admet un
maximum.
Les coordonnées de ce maximum sont données grâce à la forme canonique : f (x) = −(x + 1)2 + 9.
x
f (x)

−∞

−1

+∞

8

4. Établir l’égalité : f (x) = (x + 4)(2 − x).
Attention, à nouveau, à la rédaction :
Pour tout x réel, (x + 4)(2 − x)
(x + 4)(2 − x)

= 2x − x2 + 8 − 4x
= −x2 − 2x + 8

(x + 4)(2 − x) = f (x)
On a bien montré que f (x) = (x + 4)(2 − x)
5. Donner le tableau de signes de la fonction f .
x

−∞

x+4



2−x

+

f (x)



6. En déduire les solutions de f (x) > 0
f (x > 0 lorsque x ∈] − 4 ; 2[

0

0

+∞

2

−4
+

+

+

0



+

0



Exercice 3 : fonction homographique

4 points

2x − 1
x+1
1. Donner l’ensemble de définition de f (justifier)
f est définie si x + 1 6= 0 soit x 6= −1.
Df =] − ∞ ; −1[∪] − 1 ; +∞[
3
2x − 1
=2−
2. Montrer l’égalité suivante :
x+1
x+1
3
2(x + 1) − 3
2−
=
x+1
x+1
3
2x + 2 − 3
2−
=
x+1
x+1
2x − 1
3
=
2−
x+1
x+1
3. Résoudre algébriquement f (x) = 5.
On considère la fonction f définie par f (x) =

f (x)
2x − 1
x+1
2x − 1

=

5

=

5

=

5(x + 1)

2x − 1

=

5x + 5

2x − 5x =
−3x =

5+1
6

x = −2
f (x) = 5 pour x = −2.

Exercice 4 : Vecteurs

3,5 points

On considère le plan muni d’un repère (O;~ı, ~ ). Les points A(−2 ; −1), B(2 ; 1), C(42 ; 21), D(−15 ; 2) et E(−7 ; 6)
−−→
−−→
1. (a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC .
 
  

2 − (−2)
xB − xA
4
−−→
=
= 
◮ AB = 
yB − yA
1 − (−1)
2

 
  

42 − (−2)
xC − xA
44
−−→
=
= 
◮ AC = 
yC − yA
21 − (−1)
22

(b) En déduire que les points A, B et C sont alignés. (justifier)
−−→
−−→
On remarque que AC = 11 AB donc les vecteurs sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés.
−−→
2. (a) Calculerles coordonnées
DE .  
  du vecteur 
−7 − (−15)
xE − xD
8
−−→
=
= 
DE = 
yE − yD
6−2
4
(b) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? (justifier)
−−→ −−→
x−−→ × y−−→ − y−−→ × x−−→ = 4 × 4 − 2 × 8 = 0 , les vecteurs AB et DE sont colinéaires donc les droites
AB

DE

AB

DE

(AB) et (DE) sont parallèles.

Exercice 5 : Équations de droites

3,5 points

On considère le plan muni d’un repère (O;~ı, ~ ). Les points F (−3 ; 2), G(2 ; −1).
1. Déterminer l’équation réduite de la droite (F G)
L’équation réduite de la droite (F G) est de la forme y = ax + b avec :
2 − (−1)
3
3
yF − yG
=
=
=−
a=
xF − xG
−3 − 2
−5
5
Le point F appartient à la droite (F G) donc :
axF + b
3
2 = − × (−3) + b
5
9
+b
2 =
5
9
+b = 2
5
9
b = 2−
5
1
b =
5
3
1
L’équation de la droite (F G) est y = − x +
5
5
5
1
2. On considère la droite (d) d’équation y = x −
2
2
(a) Justifier que les droites (AB) et (d) sont sécantes.


3
1
les droites ne sont pas parallèles, elles sont donc
6= −
Les coefficients directeurs étant différents
2
5
sécantes.
yF

=

(b) Résoudre un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point d’intersection.

 y = −3x + 1
1
5
3
1
5
5 ⇔
x−
= − x+
 y = 1 x− 5
2
2
5
5
3
5 1
1
2
2
x+ x =
+
2
5
2 5
16
12
x =
10
10
16 x = 12
12
x =
16
3
x =
4
Puis on remplace dans l’une des deux équations pour trouver y :
1
3
y = − x+
5
5
3 3 1
y = − × +
5 4 5
9
1
y = − +
20 5
4
9
y = − +
20 20
5
y = −
20
1
y = −
4


1
3
;−
L’intersection des droites a pour coordonnées
4
4


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