EF+Corrigé Maths2 SM 16 17 .pdf



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Universit´
e de Tlemcen Lundi 15/05/2017
Facult´
e des Sciences-Tronc Commun SM

A.U 2016-2017
Dur´
ee:1h 30mn

Epreuve Finale (Maths2)
(L’usage de la calculatrice est interdit)

Choisisser entre l0 exercice 2 et l0 exercice 4

Exercice 1:(6 pts) Consid´erons la fonction a` deux variables r´eelles ind´ependantes
x, y d´efinie par f (x, y) =

p
4 − x2 − y 2

1. D´eterminer et repr´esenter le domaine de d´efinition de f dans le plan xOy.
2. Calculer les d´eriv´ees partielles de f (x, y).
3. Calculer l’int´egrale
Z Z
D

dxdy
(x + y)3

2

o`
u D = {(x, y) ∈ R /1 ≤ x ≤ 3, y ≥ 2 et x + y ≤ 5}
Exercice 2:(6pts)
1. Soit A, B et C trois matrices carr´ees d’ordre n. Montrer que si C est inversible
alors
A.C = B.C =⇒ A = B.
2. Soit la matrice




1 −1 1
M = −2 0 −1
−2 −2 1

(a) Soit λ ∈ R, ´ecrire le polynˆome caract´eristique P (λ) de la matrice M .
R´esoudre dans R l’´equation P (λ) = 0.
(b) Soit λ1 , λ2 , λ3 les valeurs propres de M telles que λ1 < λ2 < λ3 . Montrer
que
 
 
 
0
−2
1
V1 = 2 , V2 =  2  , V3 = −1
2
2
0
sont les vecteurs propres de la matrice M de valeurs propres respectives
λ1 , λ2 et λ3 .
(c) Montrer que les vecteurs V1 , V2 , V3 sont lin´eairement ind´ependants. Que
peut-on en conclure?

1



−2 2
Exercice 3:(4pts) Soit la matrice A =
.
−1 4
(a) Montrer que A est inversible et calculer son inverse A−1

−2x + 2y = 1
(b) R´esoudre le syst`eme (S) :
−x + 4y = −6
Exercice 4:(6pts) Soit la matrice



0
1
0
A =  2 −1 −2
−1 1
1

(a) Soit a ∈ R, calculer det(A − aI3 ).
(b) D´eterminer les valeurs de a telles que det(A − aI3 ) = 0.
(c) Soit la matrice



1 1 1
P =  1 −1 α ; α ∈ R
α 1 1
(d) D´eterminer les valeurs de α pour lesquelles P est inversible.
(e) Pour α = 0, d´eterminer la matrice inverse de P (P −1 ).
Bon courage

2

Universit´
e de Tlemcen (E.F Maths 2 SM)
Nom:
Pr´
enom:
Matricule:

A.U:2016/2017

QCM:(6pts) Cocher la bonne r´eponse. Si vous cochez Autre donner la
bonne r´eponse.
Questions

eponses
1. Soit l’´equation diff´erentielle d’ordre 1 suivante

x
y − y 0 = y. Il s’agit d’une ´equation de.
2

Lin´eaire
Ricatti
Homog`ene
Autre

2. Le produit d’une matrice A de type (n, m) avec la matrice
B de type (m, q) est une matrice de type. (o`
u n, m, q ∈ N∗ )

(m, q)
(n, q)
(q, n)
Autre

3. L’´el´ement neutre pour la multiplication des matrices
carr´ees d’ordre 4 est.

I2
I1
1
Autre

4. Soit la matrice A = (aij ) i=1,n
¯ , aij ∈ R. La somme
¯
j=1,n

a11 + a22 + ... + ann est appel´ee.

Trace de A
Transpos´ee de
A
Diagonale
principale de A
Autre

5. Soit A, B deux matrices carr´ees d’ordre n. On a
A.B = 0 =⇒ A = 0 ou B = 0.

Vraie

6. Soit A, B et C trois matrices carr´ees d’ordre n. On a
A.C = B.C =⇒ A = B.

Vraie

Faux
Faux

Universit´
e de Tlemcen
Facult´
e des Sciences-Tronc Commun SM

A.U 2016-2017
Dur´
ee:1h 30mn

Corrig´
e de l0 Epreuve Finale (Maths2)

Exercice 1:(6 pts)
1. Df = {(x, y) ∈ R2 /4 − x2 − y 2 ≥ 0} = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 4}. (0.5)
Df est la partie int´erieure du cercle de centre O (0, 0) et de rayon R = 2
(0.25)

(0.25)

(Disque et sa circonf´erence)

(0.5)
Figure 1: Domaine de d´efinition de f

2.

∂f (x,y)
∂x

= √ −2x2
2

4−x −y 2

=√

−x
4−x2 −y 2

(01),

∂f (x,y)
∂y

= √ −2y2
2

4−x −y 2

=√

−y
4−x2 −y 2

(01)

Z
Z 5−x
Z 3 Z 5−x
dy
dy
dxdy (0.5) 3
((0.5)
(0.5)
=
dx
=
dx
=
3.
3
3
3
+ y)
(x + y)
(x + y)
D (x
1
2
1
2

5−x


3
Z 3
Z
1
1
1 3
1 x
1
(0.25)
−2
−2 (0.5)
dx − (x + y)
= −
dx
− (x + 2)
= −
+
=
2
2 1
25
2 25 x + 2 1
1
2
2
. (0.25)
75
Z Z

Exercice 2:(6pts)
1. A.C = B.C
A.C.C

−1

C inversible(0.5)

=⇒

= B.C.C

(A.C).C −1 = (B.C).C −1

−1 (0.5)

(0.25)

Le produit des matrices est associatif(0.25)

=⇒

=⇒ A.In = B.In =⇒ A = B.



1 − λ −1
1 − λ

1
0
1


(0.25)
(0.25)
2. (a) P (λ) = det(M −λI3 ) = −2 −λ −1 = −2 −λ − 1 −1 =
−2 −2 1 − λ −2 −1 − λ 1 − λ



−λ − 1 −1 −2 −λ − 1
+
= (1 − λ)(1 + λ)(λ − 2).
(1 − λ)
−1 − λ 1 − λ −2 −1 − λ
Ainsi P (λ) = (1 − λ)(1 + λ)(λ − 2).(0.25)
P(λ) = 0 ⇐⇒ λ = 1(0.25) ou λ = −1(0.25) ou λ = 2(0.25).

(b) Soit λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 2 Montrons que M.V1 = −V1 (0.25), M.V2 =
V1 (0.25), M.V3 = 2V3 (0.25).
(c) V1 , V2 , V3 lin´eairement ind´ependants ssi pour α1 , α2 , α3 ∈ R : α1 .V1 +
α2 .V2 + α3 .V3 = 0R3 =⇒ α1 = α2 = α3 = 0(0.25).

 

0
−2α2 + α3 = 0


α1 V1 + α2 V2 + α3 V3 = 0
⇐⇒
2α1 + 2α2 − α3 = 0 (0.25) On


0
2α1 + 2α2 = 0.


0 −2 1





2 −1 2 2






r´esoud le syst`eme(0.75) ∆ = 2 2 −1 = 2
+ 2 2 = 4, α1 =
2
0
2 2
0




0 −2
1


0
2 −1


0
2
0
= 0, α2 = 0, α3 = 0. Par cons´equent les vecteurs V1 , V2 , V3
4
sont lin´eairement ind´ependants(0.25).
Conclusion:(0.75)
M est diagonalisable.(Une matrice
diagonale

 D =


0 −2 1
−1 0 0
 0 1 0 existe telle que D = P −1 M P o`
u P = 2 2 −1 inversible .
2 2
0
0 0 2


−2 2
Exercice 3:(4pts) Soit la matrice A =
.
−1 4
1. A est inversible ⇐⇒ |A| =
6 0(0.5), |A| = −6 6= 0(0.5).
1
−1
−1
Calcul deA : A
= det A t(ComA)(0.25)

4
1
4 −2
Com A =
(01) =⇒ t(ComA) =
(0.25),
−2
−2
1
−2


−2/3 1/3
−1
d’o`
uA =
(0.5).
−1/6 1/3


(0.25)
(0.5)
x
−8/3
2. (S) ⇐⇒ A.X = B =⇒ X = A−1 .B
=
.(0.25)
y
−13/6
Exercice 4:(6pts) Soit la matrice



0
1
0
A =  2 −1 −2
−1 1
1


−a
1
0
(0.25)

1. det(A − aI3 ) = 2 −1 − a −2 = a(1 − a2 )(0.25).
−1
1
1 − a
2. det(A − aI3 ) = 0 ⇐⇒ a = 0(0.25) ou a = 1(0.25) ou a = −1(0.25).
3. P inversible ⇐⇒ det P 6= 0.(0.25)


1 1 1


|P | = 1 −1 α = (α2 − 1)(0.5).
α 1 1
2

4. det(P ) 6= 0 ⇐⇒ α 6= 1(0.25) et α 6= −1(0.25).


1 1 1
5. Pour α = 0, det(P ) 6= 0, (0.25) P = 1 −1 0  , |P | = −1(0.25) donc
0 1 1
P −1 existe et on a P −1 = |P1 | t(ComP )(0.25)


P11 P12 P13
Com(P ) = P21 P22 P23 
P31 P32 P33
P11 = −1(0.25), P12 = −1(0.25), P13 = 1(0.25), P21 = 0(0.25), P22 = 1(0.25),
P23 = −1(0.25), P
P32 = 1(0.25), P33
= −2(0.25). 
31 = 1(0.25), 
−1 −1 1
1
0 −1
−1



0
1 −1 (0.25) et P =
1 −1 −1 (0.25)
Ainsi Com(P ) =
1
1 −2
−1 1
2

3

Universit´
e de Tlemcen (E.F Maths 2 SM)
Nom:
Pr´
enom:
Matricule:

QCM:(6pts) (01 point pour chaque bonne r´
eponse)
Questions
1. Soit l’´equation diff´erentielle d’ordre 1 suivante

x
y − y 0 = y. Il s’agit d’une ´equation de. Bernoulli
2
1
y 0 = x2 y − y 2

A.U:2016/2017


eponses
r Lin´eaire
r Ricatti
r Homog`ene
3 Autre
r

2. Le produit d’une matrice A de type (n, m) avec la matrice
B de type (m, q) est une matrice de type. (o`
u n, m, q ∈ N∗ )

r (m, q)
3 (n, q)
r
r (q, n)
r Autre

3. L’´el´ement neutre pour la multiplication des matrices
carr´ees d’ordre 4 est. I4

4. Soit la matrice A = (aij ) i=1,n
¯ , aij ∈ R. La somme
¯
j=1,n

a11 + a22 + ... + ann est appel´ee.

r I2
r I1
r 1
3 Autre
r
3 Trace de A
r
r Transpos´ee de
A
r Diagonale
principale de A
r Autre

5. Soit A, B deux matrices carr´ees d’ordre n. On a
A.B = 0 =⇒ A = 0 ou B = 0.

r Vraie

6. Soit A, B et C trois matrices carr´ees d’ordre n. On a
A.C = B.C =⇒ A = B.

r Vraie

3 Faux
r
3 Faux
r




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