ProjetBacMaths .pdf



Nom original: ProjetBacMaths.pdf

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par TeX / pdfTeX-1.40.14, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 20/05/2017 à 07:45, depuis l'adresse IP 154.110.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1118 fois.
Taille du document: 1.4 Mo (228 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


BAC
BAC MATHS
MATHS
Sujets de baccalauréat section mathématiques
avec corrections détaillées de 2008 à 2016
y = f (x )

y=x
y = f −1 ( x )

Projet réalisé par :
A HMED B EN A BDALLAH
M OHAMED A BDESSMAD
Z AKARIA K HLEIFI
Classe
4èmeMaths

M

N

O

x

f −1 ( x )

F

C

G3

E
G2

A

B
G1

D

LYCÉE S ECONDAIRE 18 J ANVIER R EDEYEF
A NNÉE SCOLAIRE 2016/2017

2

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

Table des matières
INTRODUCTION

iii

REMERCIEMENT

v

I PROGRAMME OFFICIEL 4èmeMATHS

1

1 PROGRAMME DE 4ème MATHS

3

II LES SUJETS

17

2 Session principale 2008

19

3 Session de contrôle 2008

23

4 Session principale 2009

27

5 Session de contrôle 2009

31

6 Session principale 2010

35

7 Session de contrôle 2010

39

8 Session principale 2011

43

9 Session de contrôle 2011

47

10 Session principale 2012

53

11 Session de contrôle 2012

57

12 Session principale 2013

61

13 Session de contrôle 2013

67

14 Session principale 2014

71

15 Session de contrôle 2014

75

16 Session principale 2015

79

17 Session de contrôle 2015

83

18 Session principale 2016

87

19 Session de contrôle 2016

91

III LES CORRECTIONS

97

1 Correction principale 2008

99

2 Correction contrôle 2008

105

i

II

TABLE DES MATIÈRES
3 Correction principale 2009

111

4 Correction contrôle 2009

119

5 Correction principale 2010

125

6 Correction contrôle 2009

133

7 Correction principale 2011

139

8 Correction contrôle 2011

147

9 Correction principale 2012

153

10 Correction contrôle 2012

159

11 Correction principale 2013

167

12 Correction contrôle 2013

173

13 Correction principale 2014

179

14 Correction contrôle 2014

185

15 Correction principale 2015

191

16 Correction contrôle 2015

197

17 Correction principale 2016

203

18 Correction contrôle 2016

211

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

INTRODUCTION
LE BACCALAURÉAT
Le Baccalauréat est un diplôme attribué aux candidats déclarés admis à un examen national qui sanctionne l’enseignement secondaire.
L’examen du baccalauréat se déroule en deux sessions, la première est appelée
principale, la seconde est appelée session de contrôle.
Les candidats à l’examen du baccalauréat doivent, selon la section d’études à laquelle ils appartiennent, subir des épreuves conformément aux programmes de
la 4ème année de l’enseignement secondaire.
PROJET SUJETS BACMATHS CORRIGÉS
Le présent projet est un receuil d’examens de mathématiques qui regroupe les sujets des deux sessions de baccalauréat en Tunisie pour la section mathématiques
avec des corrections détaillées depuis l’année 2008 jusqu’à l’année 2016.
Le projet est constitué de trois parties :
1)Dans la première partie on trouve le programme officiel des mathématiques de
la section 4ème maths
2)Dans la deuxième partie on trouve les sujets des deux sessions principale et
contrôle rangés par années.
3)Dans la troisième partie sont écrites les corrections avec les détails necessaires
pour une une meilleure compréhension.
Ce projet est réalisé pour les élèves de la classe 4ème section mathématiques ainsi
pour les professeurs de mathématiques.
La recherche des documents nécessaires à la réalisation de ce projet s’est faite
avec le réseau internet et la plupart des sujets et leurs corrections sont téléchargés
dépuis le site internet du ministère de l’éducation et son portail éducatif ainsi que
le site internet http ://www.bacweb.tn
COMMENT UTILISER CE RECEUIL ?
– Commencer par résoudre vous même les sujets proposés sans l’aide de la correction.
– S’appuiyer sur les fiches des résumés du cours.
– En cas de difficultés se recourir à la correction.
LE JOUR DE L’EXAMEN
– N’oubliez surtout pas votre convocation et votre carte d’identité.
– N’oubliez pas non plus : votre stylo, votre montre, votre calculatrice visée (pensez à vérifier vos piles).
– N’arrivez pas en retard (il faut arriver avant que les sujets ne soient distribués
aux candidats).
– Il vous est interdit de parler avec vos collègues durant l’examen.
iii

IV

INTRODUCTION

– Il vous est également interdit de prêter du matériel à vos voisins (sans demander
la permission aux professeurs-surveillants).

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

REMERCIEMENT

N

O us

tenons à remercier chaleureusement tous nos enseignants et
surtout nos enseignants de mathématiques durant notre parcours
d’études en secondaire.
Nous tenons à remercier de même monsieur Naoufel Alaimi pour
son encadrement du projet et pour les précieux conseils et suggestions.
Monsieur Mbarek Ben Abdallah,enseignant des mathématiques à
l’école préparatoire Ennajeh Redeyef a contribué à la mise en page
de ce manuel réalisé avec le système de traitement de texte LATEX
très pratique pour les documents scientifiques et à l’élaboration des
figures proposées dans ce projet. Nous remercions Monsieur Mbarek pour sa gentillesse et sa disponibilité.

v

VI

REMERCIEMENT

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

Première partie
PROGRAMME OFFICIEL 4èmeMATHS

1

Chapitre

1

PROGRAMME DE 4ème MATHS

Analyse
Contenu disciplinaire :
ä Fonctions numériques d’une variable réelle.
Limites et continuité :
• Opérations sur les limites, limites et ordre, limite d’une fonction monotone, limite d’une fonction composée.
• Continuité en un réel, continuité sur un intervalle, opérations sur les fonctions
continues, continuité d’une fonction composée. Théorème des valeurs intermédiaires.
• Fonction continue sur un intervalle fermé borné.
• Fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, théorème de la
bijection.
Dérivation :
• Dérivation en un réel, dérivation sur un intervalle, opérations sur les dérivées,
dérivée d’une fonction composée.
• Lien entre signe de la dérivée et variation.
• Lien entre dérivée et extremum local.
• Dérivée seconde, point d’inflexion.
• Dérivée de fonctions réciproques.
• Théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis.
• Primitives de fonctions continues, propriétés et opérations
¯ les primitives.
p ¯ sur
Fonctions polynômes, rationnelles , trigonométriques, f ,¯ f ¯ :
• Etude et représentation graphique.
Fonction logarithme népérien :
µ n ¶
µ

¡ m n ¢
l nx
ln x

; lim x l n x ,m,n ∈ N ; lim
;
• Propriétés, limites usuelles, lim
x→+∞
x→+∞ x r
x m x→0+
¡ r
¢
lim+ x l nx ,r ∈ Q+ .
x→0

• Etude et représentation graphique de fonctions du type x 7→ ln(u(x)),où u est
une fonction du programme.
Fonction exponentielle :
µ nx ¶
¡ m nx ¢
e
• Propriétés, limites usuelles, lim
;
lim
x e ,m,n ∈ N∗ ;
x→+∞ x m
x→−∞
µ x¶
e
;r ∈ Q+ .
lim
x→+∞ x r
• Etude et représentation graphique.
• Etude et représentation graphique de fonctions du type x 7→ e u(x) ,où u est une
fonction du programme.
3

4

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

Fonction du type x 7→ x r , r ∈ Q \ Z :
• Propriétés, limites usuelles.
• Etude et représentation graphique.
Fonction du type x 7→ a x , a > 0 :
• Propriétés, limites usuelles.
• Etude et représentation graphique.
Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle [a; b] :
• Propriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité, comparaison d’intégrales.
• Intégration par parties.
• Formule de la moyenne et inégalité de la moyenne.
• Calcul d’aires planes et des volumes de solides de révolution.
Z
v(x)

• Etude sur des exemples de fonctions définies sur un intervalle I par x 7→

f (t )d t
a

où f est continue sur I et v est dérivable sur I et à valeurs dans I .
Equations différentielles du type : y 0 = a y + b, a ∈ R et b ∈ R et y 00 + a 2 y = 0, a ∈ R.
ä Suites réelles :
• Variation, suite minorée, suite majorée, suite bornée.
• Opérations sur les suites, convergence, opérations sur les limites, théorèmes
de comparaison.
• Suites croissantes et majorées, suites décroissantes et minorées.
• Suites adjacentes.
• Suites récurrentes.
• Etude sur des exemples de suites définies par une intégrale.
Aptitudes à développer :
1.Les élèves mobilisent une technique, un algorithme ou une procédure pour :

F Fonctions
ä Reconnaître si une fonction est continue
en un réel ou sur un intervalle à partir de son
expression algébrique ou d’un graphique.
ä Déterminer les valeurs exactes ou appro- ,→ Le théorème affirmant qu’une
chées des extrema d’une fonction continue fonction continue sur un segment
sur [a; b].
est bornée et atteint ses bornes sera
admis.
ä Déterminer une valeur exacte ou appro- ,→ Le théorème des valeurs interchée d’une solution d’une équation de la médiaires sera admis.
forme f (x) = k , dans le cas où f est une
fonction continue sur un intervalle.
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

5

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

,→ On utilisera la dichotomie pour
donner une valeur approchée d’une
solution de f (x) = k .
ä Déterminer la limite éventuelle d’une ,→ Le calcul de limites n’est pas
fonction du programme en un réel ou à l’in- une fin en soi. A travers des situafini.
tions variées, on veillera à ce que
l’apprenant :
ä Déterminer la limite d’une fonction mo- • utilise les résultats sur les foncnotone sur un intervalle aux bornes de l’in- tions continues pour déterminer la
tervalle.
limite finie d’une fonction
ä Reconnaître qu’une fonction réalise une • utilise les résultats sur les limites
bijection.
finies pour déterminer le prolongement par continuité d’une fonction ;
• interprète graphiquement les limites finies ou infinies en termes
d’asymptotes ou de branches paraboliques.
• Utilise une transformation d’écriture adéquate pour déterminer une
limite.
ä Reconnaître si une fonction du pro- ,→ On admettra le théorème suigramme est dérivable en un point ou sur un vant : Toute fonction croissante et
intervalle.
non majorée sur un intervalle ]a; b[
tend vers +∞ à gauche en b
ä Reconnaître que le nombre dérivé d’une
fonction en a est la pente de la tangente à la
courbe de cette fonction en le point d’abscisse a .
ä Déterminer l’équation de la tangente (ou
des demi-tangentes) à une courbe en un
point d’abscisse a.
ä Déterminer le nombre dérivé d’une
fonction du programme en un réel a
connaissant l’équation de la tangente à
la courbe représentative de la fonction au
point d’abscisse a.

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

6

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

ä Déterminer l’approximation affine d’une
fonction du programme au voisinage d’un
réel a.
ä Donner une valeur approchée de
nombre réel en utilisant l’approximation
affine d’une fonction du programme au
voisinage d’un réel a.
ä Déterminer la dérivée d’une fonction du
programme sur un intervalle en utilisant les
opérations sur les fonctions dérivables et les
dérivées de fonctions usuelles.
ä Déterminer la dérivée d’une fonction
composée.
ä Démontrer des inégalités en utilisant ,→ On démontrera le théorème fail’inégalité des accroissements finis.
sant le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d’une
fonction.
ä Déterminer le sens de variation d’une ,→ On démontrera le théorème
fonction du programme connaissant le signe donnant la condition nécessaire
de sa dérivée.
pour qu’un réel soit un extremum.
ä Déterminer le sens de variation d’une ,→ On admettra le théorème donfonction du programme à partir de sa repré- nant une condition suffisante pour
sentation graphique.
qu’un réel soit un extremum.
ä Reconnaître qu’un réel est un extremum local ou global d’une fonction du programme.
ä Reconnaître un point d’inflexion.
ä Reconnaître qu’un point ou une droite ,→ La transformation d’écriture et
est un centre ou un axe de symétrie d’une le changement de repère se feront
courbe.
sur des exemples et ne feront pas
l’objet d’une étude spécifique.
ä Reconnaître qu’une droite est une
asymptote à la courbe représentative d’une
fonction du programme.
ä Tracer la courbe représentative de la réciproque d’une fonction donnée.

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

7

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

ä Tracer une courbe représentative d’une
fonction à partir d’une autre en utilisant une
transformation plane (translation, symétrie
axiale ou centrale) ou une transformation
d’écriture menant à un changement de repère.

,→ La fonction logarithme népérien sera notée ln et sera définie
comme la primitive sur]0; +∞[ de la
1
fonction x 7→ , qui s’annule en 1.
x

ä Exploiter ou créer un graphique pour ,→ La fonction exponentielle sera
étudier la position relative de deux courbes. définie comme étant la fonction réciproque de ln.
ä Exploiter ou créer une représentation ,→ La fonction x 7→ x r , r ∈ Q \ Z,
graphique pour déterminer ou estimer les sera définie par x 7→ e r ln x ,x > 0.
solutions éventuelles d’une équation ou
d’une inéquation.
ä Déterminer l’ensemble des primitives ,→ La fonction x 7→ a x ,a > 0, sera
d’une fonction continue sur un intervalle I . définie par x 7→ e x ln a .
1

ä Reconnaître qu’une fonction est la pri- ,→ On notera :x →
7 x n , la fonction
7 x n pour x > 0,
mitive d’une fonction continue sur un inter- réciproque de : x →
n Ê 1.
valle I , qui s’annule en un réel a de I .
ä Calculer les primitives des fonctions
usuelles
,→ L’intégrale sur [a; b] d’une fonction f continue sur un intervalle I
contenant [a; b] sera
Z définie
Z comme
b

b

f ou

étant le réel, noté
a

f (x)d x
a

et égal à F (b)−F (a), où F est une primitive de f sur un intervalle I contenant a et b.
ä Calculer une intégrale en utilisant une
primitive.
ä Calculer une intégrale à l’aide d’intégration par parties.
ä Calculer l’aire d’une partie du plan limitée par des courbes.
ä Démontrer des inégalités en utilisant des
intégrales.
ä Donner une valeur approchée d’une intégrale par la méthode des rectangles
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

8

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

ä Etudier une fonction définie par une intégrale.
ä Résoudre une équation différentielle du ,→ On démontrera l’existence et
programme.
l’unicité de la solution d’une équation différentielle du type y 0 = a y +b,
a ∈ R et b ∈ R, avec condition initiale.
,→ On
démontrera
l’existence et l’unicité de la solution
d’une équation différentielle du
type y 00 + a 2 y = 0, a ∈ R avec
conditions initiales.

F Suites
,→ On admettra les théorèmes :
• Toute suite croissante et majorée
est convergente.
• Toute suite décroissante et minorée est convergente.
ä Reconnaître qu’un réel est un majorant ,→ Soit f une fonction définie sur
ou un minorant d’une suite du programme. un intervalle I et (u n ) une suite d’éléments de I :
ä Etudier les variations d’une suite du pro- • Si u n tend vers ` et si f est contigramme.
nue en `, alors f (u n ) tend vers f (`).
ä Représenter graphiquement les points • Soit (u n ) telle que u n+1 = f (u n ).Si
A n de coordonnées (n,u n ), dans le cas où u n tend vers ` et si f est continue en
(u n )n est une suite du type u n = f (n) où f est `, alors ` = f (`).
une fonction du programme.
ä Représenter graphiquement une suite • Si u n tend vers +∞ et si f tend
récurrente.
vers `, en +∞ alors f (u n ) tend vers
`.
ä Etudier la convergence d’une suite du
programme.
ä Déterminer une valeur exacte ou approchée de la limite d’une suite convergente.
ä Reconnaître que deux suites sont adja- ,→ Le théorème des suites adjacentes.
centes.

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

9

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

2. Les élèves résolvent des problèmes dans des situations mathématiques ou en
rapport avec l’environnement faisant appel à des suites ou à des fonctions du
programme.
En particulier :
,→ Ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles pouvant être
modélisées par une suite ou une fonction du programme ou une équation différentielle.
,→ Ils résolvent des problèmes d’optimisation.
Géométrie
Contenu disciplinaire :
ä Nombres complexes :
• Opérations algébriques sur le corps des complexes, propriétés du conjugué, du
module et de l’argument.
• Ecritures trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe non nul (
notations [r,θ] et r e i θ ).
• Formules d’Euler, linéarisation.
• Racine n ième d’un nombre complexe.
• Résolution d’équations de degré supérieur ou égal à 2 à coefficients complexes.
• Ecriture complexe d’une translation, d’une homothétie et d’une rotation.
ä Isométries planes :
• Définition, propriétés, composition d’isométries, décomposition d’une isométrie en un produit de symétries orthogonales, déplacements, antidéplacements.
ä Similitudes planes :
• Définition, propriétés, classification, éléments caractéristiques, forme réduite,
composition de similitudes.
• Expression complexe d’une similitude.
ä Coniques :
• Ensemble de points d’équation ax 2 + b y 2 + cx + d y + e = 0.
ä Géométrie dans l’espace :
• Vecteurs de l’espace, opérations, produit scalaire, produit vectoriel.
• Droites, plans et sphères.
• Translations et homothéties de l’espace.
Aptitudes à développer :
1. Les élèves mobilisent une technique ou une procédure lors d’activités géométriques pour :

F Complexes
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

10

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

ä Représenter un point connaissant son affixe.
ä Calculer ou transformer des expressions
complexes.
ä Déterminer le conjugué d’un nombre
complexe.
ä Déterminer le module et un argument
d’un nombre complexe.
ä Déterminer la forme trigonométrique,
exponentielle d’un nombre complexe non
nul.
ä Repérer un point dans le plan orienté
et donner son affixe, ses coordonnées cartésiennes ou ses coordonnées polaires.
ä Linéariser une expression trigonométrique.
ä Donner l’expression complexe d’une
translation, d’une homothétie, d’une rotation.
ä Reconnaître que deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux.
ä Décider de l’alignement de trois points,
du parallélisme ou de l’orthogonalité de
deux droites
ä Déterminer la racine nième d’un nombre
complexe.
ä Résoudre une équation de degré infé- ,→ On ne traitera que les équations
rieur ou égal à 2 à coefficients complexes.
dont la résolution se ramène à la résolution d’équations de degré inférieur ou égal à 2.
ä Résoudre une équation de degré supérieur ou égal à 2 à coefficients complexes.
ä Représenter dans le plan complexe les
solutions d’une équation de degré supérieur
ou égal à 2 à coefficients complexes.

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

11

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

F Isométries planes
ä Reconnaître une isométrie ou une similitude à partir de sa décomposition canonique, sa propriété caractéristique ou la
transformation complexe associée.
ä Déterminer et construire l’image d’un
point, d’une droite et d’un cercle par une similitude.
ä Déterminer la nature et les éléments caractéristiques d’un déplacement et d’un antidéplacement.
ä Déterminer la forme réduite d’une similitude.
ä Déterminer les expressions analytiques
d’une isométrie et d’une similitude.
ä Décomposer une isométrie en un produit de symétries orthogonales.
ä Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux isoméries.
ä Déterminer une équation cartésienne
d’une conique dans un repère orthonormé
approprié.
ä Reconnaître une conique à partir de son
équation cartésienne.
ä Déterminer un foyer, une directrice et
l’excentricité d’une conique à partir de son
équation cartésienne.
ä Déterminer les composantes d’un vec- ,→ Concernant les vecteurs de l’esteur en utilisant les opérations sur les vec- pace, le produit scalaire et le produit
teurs de l’espace.
vectoriel, il s’agit de consolider les
aptitudes développées en 3ème année.
ä Reconnaître que trois vecteurs de l’espace forment une base.

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

12

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

ä Calculer des grandeurs, déterminer des
lieux géométriques et étudier des configurations géométriques en utilisant le produit
scalaire et le produit vectoriel dans l’espace.
ä Déterminer les expressions analytiques ,→ On approfondira les connaisd’une translation et d’une homothétie de sances de 3ème année sur les droites,
l’espace.
plans et sphères.
ä Déterminer l’image d’un point, d’une
droite d’un plan et d’une sphère par une
translation ou une homothétie.
ä Déterminer les représentations paramétriques de l’image d’une droite, d’un plan ou
d’une sphère par une translation ou une homothétie de l’espace.
ä Déterminer une équation cartésienne de
l’image d’une droite, d’un plan ou d’une
sphère par une translation ou une homothétie de l’espace.
ä Calculer des grandeurs, déterminer des
lieux géométriques et étudier des configurations géométriques en utilisant les propriétés des translations et les homothéties.

2. Les élèves résolvent des problèmes dans des situations mathématiques ou en
rapport avec l’environnement.
En particulier :
• Ils résolvent des problèmes d’alignement, de concours, de lieu ou métriques.
• Ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles menant à un modèle géométrique.
• Ils résolvent des problèmes d’optimisation.
Arithmétique
Contenu disciplinaire :
• Congruence dans Z.
• Théorème de Bezout.
• Equations du type ax + b y = c où a,b et c sont des entiers relatifs.

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

13

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

Aptitudes à développer :
1.Les élèves mobilisent une technique, un algorithme ou une procédure pour :

F Arithmétique
ä Exploiter les propriétés de la divisibilité ,→ On utilisera les notations :
dans Z
ä Calculer le quotient et le reste de la divi- • a ≡ b (mod n) , n ∈ N∗
sion euclidienne dans Z
ä Calculer le PGCD et le PPCM de deux en- • ∧ pour le PGCD de deux entiers
tiers relatifs non nuls.
ä Exploiter les propriétés de congruence • ∨ pour le PPCM de deux entiers
danS Z
ä Reconnaître que deux entiers sont premiers entre eux, en utilisant la relation de Bezout.
ä Résoudre dans Z des équations du
type :ax + b y = c avec a, b et c entiers relatifs.
2. Les élèves résolvent des problèmes numériques dans des situations mathématiques ou en rapport avec leur environnement dans des contextes familiers
ou non familiers.
En particulier,
• Ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles menant à un modèle arithmétique.
Statistiques - Probabilités
Contenu disciplinaire :
ä Séries statistiques à deux caractères :
• Ajustements affines (méthode des moindres carrés, méthode de Mayer), droites
de régression, corrélation linéaire, coefficient de corrélation linéaire, covariance.
• Exemples d’ajustements non affines.
ä Probabilité :
• Probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales, formule de Bayes.
• Variable aléatoire, loi de probabilité, schéma de Bernoulli, loi binomiale.
• Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire (cas particulier d’une
loi binomiale).
• Exemples de lois continues : Loi uniforme, loi exponentielle.
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

14

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

Aptitudes à développer :
1.Les élèves mobilisent une technique ou une procédure dans des activités portant sur les phénomènes aléatoires pour :

F Statistiques
ä Décider, à partir d’un nuage de points, de ,→ L’étude des séries statistiques se
l’utilité d’un ajustement affine.
fera sur des exemples puisés dans
l’environnement de l’apprenant.
ä Déterminer et tracer une droite de ré- ,→ On initiera l’apprenant à faire
gression.
des raisonnements statistiques pour
interpréter les résultats.
ä Calculer la covariance d’une série statistique double.
ä Calculer le coefficient de corrélation linéaire et interpréter le résultat.

F Probabilité
ä Calculer la probabilité d’un événement
sachant qu’un autre est réalisé.
ä Décider de l’indépendance de deux événements.
ä Calculer la probabilité d’un événement ,→ On sensibilisera l’apprenant,
en utilisant la formule de BAYES et/ou la for- à travers des simulations d’exmule des probabilités totales.
périences aléatoires, à distinguer
entre le modèle probabiliste et celui
statistique.
ä Déterminer la loi de probabilité d’une
variable aléatoire.
ä Calculer les caractéristiques d’une va- ,→ On amènera l’apprenant à utiliriable aléatoire et interpréter les résultats.
ser un arbre des possibles pour déterminer la probabilité d’un événement.
ä Reconnaître un schéma de Bernoulli et
en dégager les paramètres.
ä Déterminer la loi de probabilité d’une
épreuve de Bernoulli.

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

15

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

ä Reconnaître qu’une variable aléatoire ,→ On traitera plusieurs situations
suit une loi exponentielle ou une loi uni- modélisables par une loi exponenforme.
tielle.
ä Déterminer la fonction de répartition
d’une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle ou une loi uniforme.
2. Les élèves résolvent des problèmes dans des situations mathématiques ou en
rapport avec l’environnement.
En particulier,
• Ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles menant à un modèle statistique ou probabiliste.

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

16

PROGRAMME DE 4 ÈME MATHS

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

Deuxième partie
LES SUJETS

17

SUJET

2

EXAMEN BACMATHS 2008

SUJET SESSION PRINCIPALE 2008
Section mathématiques – Juin 2008 – Durée : 4 heures

Exercice 1

3 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées
est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse
vaut 0 point.
1)La limite de (x + 1 + e −x ) quand x tend vers −∞ est égale à
a)−∞
b)0
c)+∞
2)Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e 2x − 1.
Alors f est une solution de l’équation différentielle
a)2y 0 = y + 2
b)y 0 = 2y + 2
c)y 0 = −2y − 2
3)La durée de vie X , exprimée en années, d’une machine automatique suit une
loi exponentielle de paramètre 0.4.La probabilité que la machine ne tombe pas en
panne avant 10 ans est égale à
a)e −4
b)1 − 0,4e −4
c)1 − e −4
Exercice 2

5 points

1)Dans l’annexe ci-jointe (Figure 1), on a représenté
· dans
¸ un repère orthonormé
¡ #» #»¢
1
O; ı ,  la courbe (C ) de la fonction f définie sur ; e par f (x) = ln3 (x) − 3 ln x
e
1
et les demi-tangentes à la courbe (C ) aux points d’abscisses respectives et e.
e
a)En utilisant le graphique :
·
¸
1
Montrer que f réalise une bijection de ; e sur [−2; 2]. (On note f −1 la fonction
e
¡
¢
0
réciproque de f et (C ) la courbe représentative de f −1 dans le repère O; #»
ı , #»
 ).
b)Tracer la courbe (C 0 ) et les demi-tangentes à (C 0 ) aux points d’abscisses respectives −2 et 2.
Z
e

2)Soit la suite (a n )nÊ1 définie par a n =

(ln x)n d x

1

a)Calculer a 1 .
b)Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier n Ê 1 ;
19

20

SUJET SESSION PRINCIPALE 2008

a n+1 = e − (n + 1)a n .
c)En déduire que a 3 = 6 − 2e.
3)Soit A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C 0 ) et les droites d’équations x = −2 et
Z xe = 0.
a)Calculer
f (x)d x.
1

b)En déduire A .
Exercice 3

5 points

1)Soit dans Z × Z l’équation (E ) : 3x − 8y = 5.
Montrer que les solutions de (E ) sont les couples (x,y) tels que x = 8k − 1 et y =
3k − 1 avec k ∈ Z.
(
n = 3x + 2
2)a)Soit n, x et y trois entiers naturels tels que
n = 8y + 7
Montrer que (x,y) est une solution
( de (E ).
n ≡ 2 (mod 3)
b)On considère le système (S)
où n est un entier .
n ≡ 7 (mod 8)
Montrer que n est une solution du système (S) si et seulement si n ≡ 23 (mod 24).
3)a)Soit k un entier naturel.Déterminer le reste de 22k modulo 3 et le reste de 72k
modulo 8.
b)Vérifier que 1991 est une solution de (S) et montrer que l’entier (1991)2008 − 1
est divisible par 24.
Exercice 4

4 points

Le plan est orienté dans le sens direct.
Dans l’annexe ci-jointe (Figure 2), O AB est un triangle rectangle isocèle tel que
O A = OB et
π
# »# »
á
(O A,OB ) ≡ [2π]. On désigne par I le milieu du segment [AB ] et par C et D les
2
symétriques respectifs du point I par rapport à O et à B .
Soit f la similitude directe qui envoie A sur D et O sur C .
π
1)Montrer que f est de rapport 2 et d’angle .
2
2)a)Montrer que O est l’orthocentre du triangle AC D.
b)Soit J le projeté orthogonal du point O sur (AC ).
Déterminer les images des droites (O J ) et (A J ) par f et en déduire que J est le
centre de la similitude f .
3)Soit g la similitude indirecte de centre I , qui envoie A sur D.
a)Vérifier que g est de rapport 2 et d’axe (IC ). En déduire g (O).
b)Déterminer les images de C et D par g ◦ f −1 . En déduire la nature de g ◦ f −1 .
4)Soit I 0 = f (I ) et J 0 = g (J ).
a)Déterminer les images des points J et I 0 par g ◦ f −1 .
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

21

SUJET SESSION PRINCIPALE 2008

b)Montrer que les droites (I J ), (I 0 J 0 ) et (C D) sont concourantes.
Exercice 5

4 points

#» ´


L’espace E est muni d’un repère orthonormé directe O ; ı ,  , k .
³





On considère le tétraèdre ABC E tel que A(1; 0; 2),B (0; 0; 1),C (0; −1; 3) et AE = AB ∧

AC .
1)a)Vérifier que E a pour coordonnées (0; 2; 3).
b)Calculer le volume du tétraèdre ABC E .
2)a)Soit P le plan d’équation : x − 2y − z + 5 = 0.Montrer que P est parallèle au
plan ABC .
# » # » #»
b)Soit K le point défini par 2K E + K C = 0 . Calculer les coordonnées du point K
et vérifier que K appartient au plan P .
4)Soit h l’homothétie de centre E qui transforme le point C en K .
a)Déterminer le rapport de h.
b)Le plan P coupe les arêtes [E A] et [E B ] respectivement en I et J .
Calculer le volume du tétraèdre E J I K .

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

22

SUJET SESSION PRINCIPALE 2008

Figure 1
y

(C )

#–


e
O

1 #–
ı
e

x

Figure 2
D

B

I

O

A

C

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

SUJET

3

EXAMEN BACMATHS 2008

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2008
Section mathématiques – Juin 2008 – Durée : 4 heures

Exercice 1

4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées
est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse
vaut 0 point.
Z e
1
1
(ln x)3
d x.Alors I est égale à : a)3
b)
c)−
1)Soit I =
4
4
1
·x
¸
1
2)Soit ` = lim− ln(1 − x) +
, alors : a)` = 1
b)` = 0
c)` = +∞
x→1
1−x
3)Soint n un entier non nul tel que (5n) ∧ (32 × 53 × 7) = 35.Alors
a)n ≡ 0 (mod 3)
b)n ≡ 0 (mod 5)
c)n ≡ 0 (mod 7)
Exercice 2

4 points

Dans l’ensemble C des nombres complexes, on considère l’équation :
(E ) : z 3 + (5 + i )z 2 + (10 + 2i )z + 8 = 0
1)a)Montrer que l’équation (E ) admet une solution réelle que l’on déterminera.
b)Résoudre l’équation (E ).
¡
¢
u , #»
v , on considère
2)Dans le plan P muni d’un repère orthonormé direct O; #»
l’application f qui à tout point M d’affixe z associe le point M 0 d’affixe z 0 tel que
z 0 = (1 + i )z.
a)Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f .
b)Soit M un point du plan distinct de O et soit M 0 son image par f . Montrer que
le triangle OM M 0 est rectangle et isocèle et en déduire un procédé de construction
du point M 0 .
3)On considère les points A n définis par :
A 0 le point d’affixe (−1 + i ) et pour tout entier naturel n, A n+1 = f (A n ).
a)Placer les points A 0 ,A 1 ,A 2 ,A 3 et A 4 .
b)Pour quelles valeurs de n, les points O,A 0 et A n sont-ils alignés ?
Exercice 3

4 points

23

24

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2008

J
A
D
Le plan est orienté dans le sens direct. Dans la figure
ci-contre ABC D est un losange de centre O, I est le
milieu du segment [AB ], J est le milieu du segment
I
O
#»# » π
á
[AD] et ( AB , AD) ≡ [2π]
3
1)a)Montrer qu’il existe un unique antidéplacement
B
f qui transforme A en B et B en D.
b)Caractériser f .
c)Déterminer l’image du triangle AB D par f .
2)Soit s un antidépalcement qui transforme l’ensemble {A,B,D} en l’ensemble
{B,C ,D} et tel que s(A) = C .
a)Déterminer l’image du segment [B D] par s.
b)En déduire que s est la symétrie orthogonale d’axe (B D).
3)Soit g un antidéplacement qui transforme l’ensemble {A,B,D} en l’ensemble
{B,C ,D} et tel que g (A) = D.
a)Montrer que g (D) = B .
b)Caractériser alors g .

Exercice 4

4 points
(

1)Soit f la fonction définie sur [−2; 2] par

f (x) = (x + 2) ln(x + 2) si x 6= −2

f (−2) = 0
¡
¢
et (C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormé O; #»
ı , #»
 .
a)Montrer que f est continue à droite en (−2).
b)Étudier la dérivabilité de f à droite en (−2).
c)Donner le tableau de variation de f .
p
2)Soit g la fonction définie sur [−2; 2] par g (x) = f (x) − x 4 − x 2
¡
¢
et (C 0 ) sa représentation graphique dans le même repère O; #»
ı , #»
 .
a)Déterminer la position relative des courbes (C ) et (C 0 ).
b)Dans l’annexe ci-jointe, on a tracé la courbe (C 0 ) de g .
Tracer la courbe (C ) dans le même repère.
3)Soit α un réel non nul appartenant à [−2; 2].
On désigne par Aα l’aire de la partie du plan limitée par les courbes (C ) et (C 0 ) et
les droites d’équationsZrespectives x = 0 et x = α.
α p
a)Montrer que Aα =
x 4 − x 2 d x.(On distinguera les deux cas α > 0 et α < 0).
0

b)Calculer Aα .
c)Calculer l’aire da la partie du plan limitée par les deux courbes (C ) et (C 0 ).
Exercice 5

4 points

Pour tout entier naturel non nul n, on considère la fonction f n définie sur [0; 1]
par :
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

C

25

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2008

f n (x) = e −x − x 2n+1 .
1)Étudier les variations de f n .
2)Montrer que pour tout entier naturel non nul n, l’équation f n (x) = 0 admet une
unique solution u n et que u n ∈ ]0; 1[.
On définit ainsi sur N∗ , une suite (u n ).
3)a)Soit n un entier naturel non nul et x un réel de l’intervalle ]0; 1[. Comparer les
réels f n+1 (x)
et f n (x).
b)Montrer que pour tout n ∈ N∗ , f n (u n+1 ) < 0.
c)Montrer que la suite (u n ) est croissante et en déduire qu’elle est convergente.
un
4)a)Montrer que pour n Ê 1, ln(u n ) = −
.
2n + 1
b)Calculer la limite de la suite u n .

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

26

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2008

Exercice 4

y
6

5

4

3

2

(C ′ )
1

#–


−2

−1

O
0

#–
ı

1

2

3

4

5

6x

−1

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

SUJET

4

EXAMEN BACMATHS 2009

SUJET SESSION PRINCIPALE 2009
Section mathématiques – Juin 2009 – Durée : 4 heures

Exercice 1

3 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées
est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 0,75 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut 0 point.
¡
¢
1)Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct O; #»
u , #»
v , on considère le
p
point A d’affixe 1 + i 3.L’image du point A par la rotaion de centre O et d’angle
π
− est le point d’affixe :
2 p
p
p
a)− 3 + i
b) 3 − i
c)− 3 − i
π
2)Si z est un nombre complexe non nul d’argument alors un argument de i z
6
est :
π
π
π
a)−
b)
c)
6
6
3
3)Pour tout entier naturel n, on pose a n = 2n + 3n ,alors a n ≡ 0 (mod 5) pour :
a)tout entier naturel n pair
b)tout entier naturel n
c)tout entier
naturel n impair
4)Un questionnaire à choix multiples (QCM) comporte quatre questions. Pour
chaque question, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat répond au hazard à chacune des quatre questions de ce QCM.
La probabilité pour que ses quatre réponses soient toutes exactes est :
µ ¶4
1
1
2
a)
b) 4
c)1 −
3
3
3
Exercice 2

5 points
p

Soit f la fonction définie sur [0; 1[ par f (x) = ln(1 − x).
¡
¢
On note (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O; #»
ı , #»
 .
f (x)
1)a)Montrer que lim+
= −∞.
x→0
x
b)On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f . Tracer (C ). (On
précisera la demi-angente à (C ) en O).
27

28

SUJET SESSION PRINCIPALE 2009

2)a)Montrer que f réalise une bijection de [0; 1[ sur ]−∞; 0].
(On notera f −1 la fonction réciproque de f et (Γ) sa courbe représentative dans le
¡
¢
repère O; #»
ı , #»
 ).
b)Tracer (Γ).(On précisera la demi-angente à (Γ) en O).
3)a)Montrer que, pour tout x ∈ ]−∞; 0], f −1 (x) = (e x − 1)2 .
b)Calculer l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe (Γ) et les droites
d’équations
x = − ln 2 ; x = 0 et y = 0.
Z 1
4
p
c)En déduire la valeur de
ln(1 − x)d x.
0

Exercice 3

5 points

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel
que
#»#» π
á
( AB , AC ) ≡ [2π].
2
On désigne par I , J , K et L les milieux respectifs des segments [AB ], [BC ], [AC ] et
[JC ].
1)Faire une figure.
2)Soit f la similitude directe de centre J , qui envoie A sur K .
a)Déterminer l’angle et le rapport de f .
b)Justifier que f (K ) = L.
c)Soit H le milieu du segment [A J ]. Justifier que³ f (I ) = H .´

#»#»

3)On munit le plan du repère orthonormé direct A; AB , AC .
Soit ϕ l’application du plan dans µlui-même
qui à tout point M d’affixe z associe le

1
+
i
1+i
point M 0 d’affixe z 0 tel que z 0 = −
z+
.
2
2
a)Montrer que ϕ est une similitude indirecte de centre C .
b)Donner les affixes des points I , K , J et H .
c)Déterminer ϕ(I ) et ϕ(J ).
d )Déduire alors que ϕ = f ◦s (I K ) ,(où f est la similitude définie dans 2e et s (I K ) est
la symétrie orthogonale d’axe (I K )).
4)Soit ∆ l’axe de la similitude indirecte ϕ.
a)Tracer ∆.
b)La droite ∆ coupe les droites (I K ) et (H L) respectivement en P et Q.
Montrer que ϕ(P ) = f (P ) et en déduire que ϕ(P ) = Q.
Exercice 4

4 points

¡
¢
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct O; #»
ı , #»
 , on considère l’ely2
2
lipse (E ) d’équation x +
= 1 et on désigne par M le point de coordonnées
4
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

29

SUJET SESSION PRINCIPALE 2009

i πh
(cos θ,2 sin θ), où θ est un réel de 0; .
2
1)a)Déterminer, par leurs coordonnées, les sommets et les foyers de (E ).
b)Tracer (E ) et placer ses foyers.
c)Vérifier que le point M appartient à (E ).
2)Soit (T ) la tangente à (E ) en M .
¡
¢
Montrer qu’une équation de (T ) dans le repère O; #»
ı , #»
 est 2x cos θ+y sin θ−2 = 0.
3)On désigne respectivement par P et Q les points d’intersection de (T ) avec l’axe
des abscisses et l’axe des ordonnées et on désigne par A l’aire du triangle OPQ.
2
.
a)Montrer que A =
sin(2θ)
b)En déduire que l’aire A est minimale si et seulement si M est le milieu du
segment [PQ].
Exercice 5

3 points

1)Résoudre l’équation différentielle y 00 + y = 0.
2)Soit E l’ensemble des fonctions
³π
´ définies et deux fois dérivables sur R telles que
0
pour tout x ∈ R, f (x) + f
− x = 0, où f 0 désigne la fonction dérivée de f .
2
a)Soit g la fonction définie sur R par g (x) = cos x.Vérifier que g est un élément
de E .
³
´
00
0 π
b)Soit f un élément de E . Vérifier que, pour tout réel x, f (x) = f
−x .
2
c)En déduire que si f est un élément de E alors f est une solution de l’équation
différentielle y 00 + y = 0.
d )Déterminer alors l’ensemble E .

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

30

SUJET SESSION PRINCIPALE 2009

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

SUJET

5

EXAMEN BACMATHS 2009

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2009
Section mathématiques – Juin 2009 – Durée : 4 heures

Exercice 1

3 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées
est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 0,75 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut 0 point.
1)Soit
p z un nombre complexe de module 2.Alors le conjugué z est égal à :
2
2
4
a)
b)
c)
z
z
z
¡
¢
2)Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct O; #»
u , #»
v , on considère les
points A et B d’affixes respectives 1 et i . L’ensemble des points M d’affixe z tel
z −i
que
est réel est :
z −1
a)la droite (AB ) privée de A
b)le segment [AB ] privé de A
c)le cercle de diamètre [AB ] privé de A
3)Soint (u n ) une suite arithmétique de raison (− ln 2). Alors la suite (v n ) définie par
v n = e un est :
a)une suite arithmétique de raison (−2)
b)une suite géométrique de raison µ(−2)

1
c)une suite géométrique de raison
2
µ

2
4)La limite de x ln 1 +
quand x tend vers +∞ est égale à : a)0
b)1
c)2
x
Exercice 2

5 points

Soit f la fonction définie sur R+ par f (x) = x + (x − 1)e −x et soit C sa courbe repré¡
¢
sentative dans un repère orthonormé O; #»
ı , #»
 .(Unité graphique 2 cm).
1)a)Montrer que lim f (x) = +∞.
x→+∞

b)Montrer que la droite ∆ d’équation y = x est asymptote à la courbe C au voisinage de +∞.
31

32

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2009

c)Déterminer la position relative de C et ∆.
2)On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f .
a)Montrer que l’équation f (x) = 0 admet, dans R+ , une seule solution α et vé1
rifier que 0 < α < .
2
b)Tracer la droite ∆ et la courbe C .
(On précisera la demi-tangente à C au point d’abscisse
Z 10 et on prendra α ≈ 0,4).
£
¤n
3)On désigne par (u n ) la suite définie sur N∗ par u n =
f (x) d x.
α

a)Calculer u 1 . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b)Montrer que pour tout entier naturel non nul n, 0 É u n É
c)En déduire la limite de la suite (u n )
Exercice 3

1
.
n +1
4 points

On considère les suites
 (u n ) et (v n ) définie sur N par
2u + v n

u 0 = 0 ; u n+1 = n
3
3u n + 2v n

v 0 = 1 ; v n+1 =
5
1)Montrer que pour tout entier naturel non nul n , u n É v n .
2)Montrer que la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est décroissante.
3)Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et qu’elles admettent la
même limite.
4)Soit la suite (w n ) définie sur N par w n = 9u n + 5v n .
a)Montrer que (w n ) est une suite constante.
b)En déduire la limite commune des suites (u n ) et (v n ).
Exercice 4

5 points
#»#»
á
Dans l’annexe ci-jointe, ABC D est un rectangle de centre O et tel que ( AB , AC ) ≡
π
[2π].
6
Le point E désigne le symétrique du point A par rapport à D.
1
π
Soit S la similitude directe de centre C , de rapport et d’angle .
2
3
1)a)Justifier que S(A) = B .
b)Montrer que le triangle AC E est équilatéral et en déduire que S(E ) = O.
2)Soit I un point du segment [EO], distinct des points O et E et soit (Γ) le cercle
de centre I et passant par A.
Les droites (AD) et (AB ) recoupent le cercle (Γ) respectivement en M et P .
a)Tracer (Γ) et placer les points M et P .
b)Justifier que le point C appartient à (Γ).
3)Soit N le projeté orthogonal du point C sur la droite (M P ).

»# » π
a)Montrer que (M P ,MC ) ≡ [2π].
6
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

33

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2009

b)En déduire que S(M ) = N .
4)Montrer que les points B , D et N sont alignés.
Exercice 5

3 points

On considère dans Z × Z l’équation (E ) : 3x + 4y = −8.
1)a)Vérifier que (0; −2) est une solution de (E ).
b)Résoudre dans Z × Z l’équation (E ).
¡
¢
2)Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O; #»
ı , #»
 , on considère la droite
∆ dont une équation est :3x +4y +8 = 0 et on désigne par A le point de ∆ d’abscisse
0.
a)Montrer que si M est un point de ∆ à coordonnées entières alors AM est un
multiple de 5.
b)Soit N un point de ∆ de coordonnées (x,y).
5
Vérifier que AN = |x|.
4
c)En déduire que si AN est un multiple de 5 alors x et y sont des entiers.

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

34

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2009

Annexe à rendre avec la copie

Exercice 4

E

C

D

O

A

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

B

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

SUJET

6

EXAMEN BACMATHS 2010

SUJET SESSION PRINCIPALE 2010
Section mathématiques – Juin 2010 – Durée : 4 heures

Exercice 1

3 points

Répondre par « Vrai »ou « Faux ».Aucune justification n’est demandée.
1)Le quotient de (−23) par (−5) est 4.
2)Si a et b sont deux entiers tels que 64a + 9b = 1 alors les entiers b et 64 sont
premiers entre eux.
3)147146 ≡ 2 (mod 12).
4)x 2 (
≡ 0 (mod 8) équivaut à x ≡ 0 (mod 8).
x ≡ 3 (mod 4)
5)Si
alors x ≡ 19 (mod 20).
x ≡ 4 (mod 5)
6)Si p est un entier premier distinct de 2 alors p 2 ≡ 1 (mod 4).
Exercice 2

4 points

Le plan est orienté dans le sens direct.
Dans la figure (1) de l’annexe ci-jointe, [AB ] et [I J ] sont deux diamètres perpendi#á
»# »
culaire s du cercle (C ),M est un points variable du cercle (C ) tel que (M A,M B ) ≡
π
[2π] et M B E N et M K F A sont des carré s de sens direct.
2
1)Montrer que les points E , F et M sont alignés.
π
2)On désigne par r 1 et r 2 les rotaions d’angle et de centres respectifs A et B .
2
a)Montrer que r 1 ◦ r 2 est la symétrie centrale de centre I .
b)Déterminer r 1 ◦r 2 (E ).En déduire que lorsque M varie, la droite (E F ) passe par
un point fixe que l’on déterminera.
p
π
3)Soit S la similitude directe de centre A, d’angle et de rapport 2.
4
a)Déterminer S(M ).
b)Construire le point G image de F par S.
c)Montrer que F est le milieu du segment [K G].
b)En déduire que lorsque M varie, la droite (K F ) passe par un point fixe P .
Construire P .
Exercice 3

4 points

¡
¢
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O; #»
u , #»
v .
On note A le point d’affixe −2.
35

36

SUJET SESSION PRINCIPALE 2010

On considère l’équation (E ) : 3z 3 − 2z 2 + 4z + 16 = 0.

3
8
Soit α ∈ C∗ et M , N et P les points d’affixes respectives α, α2 et .
2
α
1)Montrer que si α ∈ R∗ alors les points M , N et P sont alignés.
Dans la suite de l’exercice on suppose que α n’appartient pas à R.
2)Montrer que si M N AP est un parallélogramme , alors α est une solution de
l’équation (E ).
p
3)Dans cette question on prend α = 1 + i 3.
3
a)Donner l’écriture exponentielle de chacun des nombres complexes α. α2 et
2
8
.
α
¡
¢
Placer dans le repère O; #»
u , #»
v les points A, M , N et P .
8
3
b)Donner l’écriture algébrique de chacun des nombres complexes α2 et .
2
α
Montrer que le quadrilatère M N AP est un parallélogramme .
4)a)Montrer que si α est une solution de (E ) alors α est une solution de (E ).
b)En déduire les affixes des points M pour lesquels M N AP est un parallélogramme .
Exercice 4

5 points

1)Soit la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = ln x − x ln x + x.
f (x)
.
a)Calculer lim+ f (x) ; lim f (x) et lim
x→+∞
x→+∞ x
x→0
1
b)Montrer que pour tout x > 0, f 0 (x) = − ln x.
x
2)Dans la figure (2) de l’annexe ci-jointe,Cg et Ch sont les courbes représentatives
¡
¢
1
ı , #»
 des fonctions g et h définies par g (x) = et
dans un repère orthonormé O; #»
x
h(x) = ln x.
Cg et Ch se coupent en un point d’abscisse β.
a)Par une lecture graphique donner le signe de f 0 (x).
b)En déduire le sens de variation de f .
1
c)Montrer que f (β) = β + − 1.
β
¡
¢
3)On désigne par C f la courbe représentative de f dans le repère O; #»
ı , #»
 .
a)Étudier la position relative des courbes C f et Ch .
b)Montrer que la courbe C f coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses
respectives x 1 et x 2 telles que 0,4 < x 1 < 0.5 et 3.8 < x 2 < 3.9.
µ

¡ #» #»¢
¡
¢
1
c)Placer dans le repère O; ı ,  les points A β ; 0 et B 0 ;
et en déduire une
β
¡
¢
construction du point de coordonnées β ; f (β) .
d )Tracer C f .
© ª
4)Pour tout réel t de ]0; +∞[ \ β , on désigne par A (t ) l’aire de la partie du plan
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

37

SUJET SESSION PRINCIPALE 2010

S(t ) limitée par les courbes Cg et Ch et la droite d’équation x = t .
© ª
a)Montrer que pour tout t ∈ ]0; +∞[ \ β ,A (t ) = f (β) − f (t ).
b)Soit t 0 > β. Hachurer S(t 0 ).
¤
£
c)Montrer qu’il existe un réel unique t 1 dans 0; β tel que A (t 1 ) = A (t 0 ).
Hachurer S(t 1 ).
Exercice 5
Dans la figure ci-contre , le solide de révolution (S) est
obtenu enpfaisant tourner la portion de la courbe d’équation y = e x ,x ∈ [1; 2] autour de l’axe (Ox).
Le but de cet exercice est de calculer le volume V de ce
solide.
Z1)Soit F la fonction définie sur [1; +∞[ par F (x) =
x

e

p
4t

4 points

y
4
3

dt.

1

2

Vérifier que V = πF (2).
2)Soit
G la fonction définie sur [1; +∞[ par G(x) =
Z p4x
tetd t.

1

1

1

2

3

4

1

a)Montrer que G est dérivable sur [1; +∞[ et que
0
G (x) = 2F 0 (x).
b)En déduire que pour tout réel x de [1; +∞[,2F (x) =
G(x) −G(1).
3)a)Montrer
que pour tout réel x de [1; +∞[,G(x) =
p
p
4x
( 4x − 1)e .
b)Calculer alors V .

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

(S)
z

PROJET BACMATHS 2016/2017

x

38

SUJET SESSION PRINCIPALE 2010

figure (1)
N
E

I
K

F

M

A

B
(C )
J

figure (2)
y

Ch

1

Cg
0

1

x

e

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

SUJET

7

EXAMEN BACMATHS 2010

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2010
Section mathématiques – Juin 2010 – Durée : 4 heures

Exercice 1

4 points

Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées
est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre corrspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
#»#»
á
ABC D est un carré de centre O tel que ( AB , AB ) ≡
π
D
C
[2π] et I le milieu de [AB ].Soit S (BC ) , S (B D) et S (OI )
2
les symétries d’axes respectifs (BC ),(B D) et (OI ) et
# » les translations de vecteurs respectifs
O
t B# D» , tC# D» et t BC
# »# » #»
B D,C D et BC .
1)L’isométrie S (BC ) ◦ S (B D) ◦ t B# D» est :
a)une rotation b)une translation c)une syméA
I
B
trie glissante.
# » ◦ S (OI
2)t B# D» ◦ S (BC ) est égale à : a)tC# D» ◦ S (OI ) b)t BC
c)S (BC ) .
π
3)Soit r 1 la rotaion de centre O et d’angle − et r 2 la rotaion de centre C et d’angle
2
π
. r 1 ◦ r 2 est :
2
a)la symétrie centrale de centre A

b)la translation de vecteur C B
# »
c)la translation de vecteur AD.
4)Soit S la similitude directe de centre B qui transforme D en A. Alors :
a)S(A) = O
b)S(I ) = O
c)S(C ) = O.
Exercice 2

6 points
x

Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
¡
¢
sentative dans un repère O; #»
ı , #»
 .
e x (x 2 − 4x + 6)
1)a)Montrer que f 0 (x) =
.
x4
b)Déterminer lim+ f (x) et lim f (x).
x→0

(x − 2)e
et C f sa courbe repréx3

x→+∞

c)Dresser le tableau de variation de f .
39

40

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2010

e2
2)Montrer que la tangente ∆ à C f au point d’abscisse 2 a pour équation y = (x −
8
2).
3)On se propose d’étudier la position relative de C f et de sa tangente ∆. Soit g la
ex
fonction définie sur ]0; +∞[ par g (x) = 3 . On donne ci-dessous le tableau de vax
riation de g .
x 0
+∞
g(x)

2

e2
8

+∞
+∞

3

e3
27

e2
a)Montrer que l’équation g (x) =
admet dans ]3; +∞[ une solution unique α
8
telle que
4,2 < α < 4,3.
b)Déduire la position relative de C f et ∆.
4)Justifier l’existence sur ]0; +∞[ d’une primitive F de f telle que F (1) = e.
5)Dans l’annexe ci-jointe, on a tracé la courbe représentative CF de la fonction F ,
la droite ∆ et le rectangle ABC D tel que A(1,e) ; B (0,e) ; C(0,F(2)) et D(1,F (2)).
a)Étudier les branches infinies de C f .
b)Tracer la courbe C f dans l’annexe ci-jointe.
6)Soit t ∈ [1; 2[. On désigne par S(t ) la partie du plan limitée par la courbe C f , l’axe
(O, #»
ı ) et les droites d’équations x = t et x = 2.On désigne par A (t ) l’aire de S(t ).
a)Exprimer A (t ) en fonction de F (t ).
b)Hachurer S(1) et justifier quelle a la même aire que le rectangle ABC D.
1
c)Montrer qu’il existe un unique t 0 ∈ [1; 2[ tel que A (t 0 ) = A (1).
2
d )Construire le point de C f d’abscisse t 0 .
Exercice 3
¡
#»¢ un repère orthonormé direct de l’esSoit O; #»
u , #»
v ,w
pace.
Dans la figure ci-contre O ABC est un tétraèdre
# »
# »
# »
#» et I est
tel que O A = 5 #»
u , OB = 5 #»
v ,OC = 10w
le point de coordonnées (3,3,3). 1)Vérifier que le
plan (ABC ) a pour équation 2x + 2y + z − 10 =
0.
2)Soit S la sphère de centre I et de rayon 3.
a)Quelle est la position relative de S et du plan
AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

5 points

C

3

I
3

O
PROJET BACMATHS
2016/2017
3

B

41

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2010

(ABC ) ?
b)Montrer que S est tangente aux plans (O AB ),(O AC )
et (OBC ).
3)Soit k un réel non nul et h l’homothétie de centre O
et de rapport k. On désigne par S 0 , la sphère image de
S par h.
a)Montrer que S 0 est tangente aux plans (O AB ),(O AC ) et (OBC ).
b)Déterminer les valeurs de k pour lesquelles S 0 est tangente au plan (ABC ).
4)Déterminer le centre et le rayon de la sphère tangente intérieurement aux
quatre faces du tétraèdre O ABC .
Exercice 4

5 points

On pose a = 72009 + 72010 + 72011 .
1)Soit n un entier naturel. Discuter suivant les valeurs de n, le reste de 7n modulo
100.
2)En déduire qu’il existe un entier naturel k tel que a = 100k − 1.
3)a)En utilisant la formule du binôme, montrer que a 100 ≡ 1 (mod 1002 ).
b)Déterminer les quatre derniers chiffres de a 100 .

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

42

SUJET SESSION DE CONTRÔLE 2010

ANNEXE À RENDRE AVEC LA FEUILLE DE COPIE

y
CF


A

B

C

D

1

#–

O

#–
ı

1

2

3

4

AHMED BEN ABDALLAH & MOHAMED ABDESSMAD

5

_

PROJET BACMATHS 2016/2017

x


Aperçu du document ProjetBacMaths.pdf - page 1/228
 
ProjetBacMaths.pdf - page 2/228
ProjetBacMaths.pdf - page 3/228
ProjetBacMaths.pdf - page 4/228
ProjetBacMaths.pdf - page 5/228
ProjetBacMaths.pdf - page 6/228
 




Télécharger le fichier (PDF)


ProjetBacMaths.pdf (PDF, 1.4 Mo)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


projetbacmaths
bef admis
programme colloque eau
djibouti bac2016 es 2016 candidats repeches
liste
bac 2016 admis apres le 1er groupe serie es

Sur le même sujet..