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BB3 TS 16 17 Sujet .pdf


Nom original: BB3_TS_16_17 Sujet.pdf
Titre: BB3_TS_16_17 SUjet (1)
Auteur: eleve

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Partie B

Lycée Charles de Gaulle

Samedi 20 mai 2017

BACCALAURÉAT BLANC

Soit a un nombre réel tel que 0 < a < 1. On considère la droite Da d’équation y = ax.On note M le point
distinct de l’origine et intersection de la droite Da avec la courbe Cf . On note xM l’abscisse du point M.
On note H(a) l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c’est-àdire du domaine situé sous la courbe Cf au-dessus de la droite Da et entre les droites d’équation x = 0 et
x = xM .
Le but de cette partie est d’établir l’existence et l’unicité de la valeur de a telle que H(a) = 0, 5 puis
d’étudier un algorithme.

DE MATHÉMATIQUES
1
e

M

Da

– SÉRIE S –
0,1
Cf

Durée de l’épreuve : 4 HEURES
Les calculatrices sont AUTORISÉES

1

1. Déterminer les abscisses des points d’intersection de la droite Da et de la courbe Cf .

On admet dans la suite de l’exercice que le point M a pour abscisse xM = − ln(a) et que la courbe Cf est
située au-dessus de la droite Da sur l’intervalle [0 ; − ln(a)].

Le candidat doit traiter les cinq exercices. La clarté des raisonnements et la qualité de
la rédaction interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Le barème est approximatif.

Exercice 1
Commun à tous les candidats

2. Montrer que H(a) = a ln(a) − 21 a(ln(a))2 + 1 − a.

3. Soit la fonction H définie sur ]0 ; 1] par H(x) = x ln(x) − 21 x(ln(x))2 + 1 − x.
On admet que H est dérivable sur ]0 ; 1] et que son tableau de variations correspond à celui qui est
proposé ci-dessous.

5 points

x

0

1
1

On considère la fonction f définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par

H(x)

0

f (x) = xe−x
Justifier qu’il existe un unique réel α ∈]0 ; 1[ tel que H(α) = 0, 5.

et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

4. On considère l’algorithme présenté ci-dessous.

Partie A

VARIABLES :

1. Justifier toutes les informations du tableau de variations de f donné ci-dessous.
x

0

1
1
e

INITIALISATION :

+∞
TRAITEMENT :

f (x)
0

0

2. Soit F la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par
F (x) = (−x − 1)e−x .
Démontrer que la fonction F est une primitive de f sur [0 ; +∞[.
Page 1 sur ??

SORTIE :

A, B et C sont des nombres ;
p est un entier naturel.
Demander la valeur de p
A prend la valeur 0
B prend la valeur 1
Tant que B − A > 10−p
C prend la valeur (A + B)/2
Si H(C) > 0, 5
Alors A prend la valeur de C
Sinon B prend la valeur de C
Fin de la boucle Si
Fin de la boucle Tant que
Afficher A et B.

Que représentent les valeurs A et B affichées en sortie de cet algorithme ?
5. Donner un encadrement d’amplitude 0, 01 de α.
Page 2 sur ??

Exercice 2
Commun à tous les candidats

3 points

Exercice 4
Commun à tous les candidats
On considère la suite (un ) définie par

Les deux questions sont indépendantes l’une de l’autre.






1. (a) Donner la forme exponentielle du complexe 1 − 3 i.

(b) Le nombre complexe (1 − 3 i)2016 est-il un réel négatif ? Justifier votre réponse


→ −

2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal O ; u , v .
3

3 points




u0 = 0
un+1 =

1
pour tout entier naturel n > 0.
2 − un

On obtient à l’aide d’un tableur les premiers termes de cette suite :

2

(a) Résoudre l’équation z − 3z + 3z = 0 dans C.

A



3−i 3
3+i 3
et zB =
.
2
2
Ces trois points forment-ils un triangle équilatéral ?

(b) On considère les points d’affixes ZO = 0, zA =

Exercice 3
Commun à tous les candidats

4 points

Les résultats des probabilités seront arrondis à 10−3 près.
Partie 1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement
positif donné.
On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = λe−λx .
Dans cet exercice les résultats seront arrondi à 10−3 près.
1. Soit c et d deux réels tels que 0 6 c < d.
Démontrer que la probabilité P (c 6 X 6 d) vérifie P (c 6 X 6 d) = e−λc − e−λd .

2. Déterminer une valeur de λ à 10−3 près de telle sorte que la probabilité P (X > 20) soit égale à 0,05.
3. Donner l’espérance de la variable aléatoire X à 10

−3

près.

Dans la suite de l’exercice on prend λ = 0, 15.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

B
un
(en valeurs exactes)
0
1/2
2/3
3/4
4/5
5/6
6/7
7/8
8/9
9/10
10/11

C
un
(en valeurs approchées)
0
0,5
0,666 666 667
0,75
0,8
0,833 333 333
0,857 142 857
0,875
0,888 888 889
0,9
0,909 090 909

Prouver que la suite (un ) converge.
Exercice 5
Commun a tous les candidats

5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J, K).
On considère les points

4. Calculer P (10 6 X 6 20).
5. Calculer la probabilité de l’évènement (X > 18).

A(−1 ; −1 ; 0), B(6 ; −5 ; 1), C(1 ; 2 ; −2) et S(13 ; 37 ; 54).
1. (a) Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

Partie 2
Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés.
Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois
quarts de bons verts.
Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0, 067 ou des valeurs
comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités
respectivement égales à 0, 015 et 0, 010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités
non précisées ici.
On considère les évènements suivant :
R : « Le bon d’achat est rouge. »
A : « Le bon d’achat a une valeur supérieure ou égale à 30 euros. »
Dans cette partie vous pourrez vous aider d’un arbre pondéré.
1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant
qu’il est rouge.
2. Montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur
supérieure ou égale à 30 euros vaut 0, 057.
Page 3 sur ??






→ 5 
(b) Prouver que le vecteur n 16 est un vecteur normal au plan (ABC).
29
(c) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. (a) Déterminer la nature du triangle ABC.
(b) Démontrer que la valeur exacte de l’aire du triangle ABC est, en unités d’aire,



1 122
.
2

3. (a) Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
(b) La droite (∆) perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en
un point noté H.
Déterminer les coordonnées du point H.
4. Déterminer le volume du tétraèdre SABC.
On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :
Aire de la base × hauteur
.
3

Page 4 sur ??


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