EF+Corrigé Maths2 ST 16 17 .pdf



Nom original: EF+Corrigé Maths2_ST 16-17.pdf

Ce document au format PDF 1.6 a été généré par TeX / pdfTeX-1.11a, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 24/05/2017 à 18:45, depuis l'adresse IP 41.100.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 5014 fois.
Taille du document: 239 Ko (7 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


ce
n

Année Universitaire:2016-2017
Le: 18 - 05- 2017
Epreuve Finale -MATH 2Durée: 1h 30
L’usage de la calculatrice est strictement interdit.
N.B " La note du CC est le max entre le CC fait en TD et l’épreuve …nale"
1
0
1 3 4
2
@
A
@
2 1 2
3
A=
et B =
3 1 1
4

1
1
1 A
1

(U

1) (1.5point) Calculer s’ils existes: AB; BA et t BA:

es

2) (1.5point) Calculer s’il existe A 1 :

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

ni
v.

0

Tl
em

Exercice 01: Soient les deux matrices:

de
s

Sc

ie
nc

3) (2points) Résoudre en utilisant soit les matrices ou les déterminants le système:
8
< x + 3y + 4z = 1
2x + y + 2z = 3
:
3x + y + z = 2

ul


Exercice 02:

A) (2points) Calculer l’intégrale:

Fa
c

I1 = arcsin x dx.

)~

B)

(S
2

1) (2points) Calculer l’intégrale:

I2 = sin2 x dx.

y

0

sin2 x y = y

3

e

x+ 12 sin 2x

:

SM

/S
T

2) (3points) Résoudre l’équation di¤érentielle suivante:

D

C)

LM

1) (2points) Calculer l’intégrale:
x2

x
dx.
+ 3x + 3

e

J=


r

2) (3points) Résoudre l’équation di¤érentielle suivante:

Pr
em

)

Université de Tlemcen
Faculté des sciences
Commun LMD ST

y

00

4y 0 + 4 y =

Exercice 03:

1

x2

x
e
+ 3x + 3

2x

:

1) (2 points) Trouver le développement limité à l’ordre 3 de la fonction:
ex ) ln (1

f (x) = (1

sin x)

2) (1point) Déduire la limite:

)

f (x)
x!0 3x2 + x3

Tl
em

ce
n

lim

Pr
em


r

e

LM

D

SM

/S
T

(S
2

)~

Fa
c

ul


de
s

Sc

ie
nc

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

es

(U

ni
v.

Bon courage

2

Université de Tlemcen
Faculté des sciences
Commun LMD ST

Année Universitaire:2016-2017
Le: 18 - 05- 2017
Epreuve Finale -MATH 2- Correction

Exercice 01: Soient les deux matrices:

)

1
1
1 A
1

ce
n

1
0
1 3 4
2
A = @ 2 1 2 A et B = @ 3
3 1 1
4

Tl
em

0

16 13 18
0 3 3

:(0.5 point)

Sc

BA =

de
s

t

ie
nc

es

(U

1
23 0
AB = @ 15 3 A (0.5 point)
13 3
BA n’existe pas. (0.25 point)
2 3 4
t
B =
(0.25 point)
1
1 1

ul


2) Calculer s’il existe A 1 :

/S
T

(S
2

)~

Fa
c

det A = 9 (0.5
0
1
comA = @ 1
2
0
1
t
@
4
comA =
1
0 1
A

SM

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

0

ni
v.

1)

1

= @

9
4
9
1
9

point)
1
4
1
13 10 A (0.25 point)
10
7
1
1
2
13 10 A (0.25 point)
10
7
1
1
2

9
13
9
10
9

9
10
9
7
9

A (0.5 point)


r

e

LM

D

3) (2points) Résoudre en utilisant soit les matrices ou les déterminants le système:
8
< x + 3y + 4z = 1
(S) 2x + y + 2z = 3
:
3x + y + z = 2

Pr
em

1ère méthode: (S) , AX = B (0.5 point))

0

1
0
(0.5 point)X = A 1 B = @ 7 A (1point)
5
1

hode: (3 0.5point)

1
3
2
4
2
1

=

)

=7

5:

ie
nc

Exercice 02:
A) Calculer l’intégrale:

Sc

I1 = arcsin x dx.

p 1
1 x2

et g (x) = x (0.5 point)
x

ul


alors: f 0 (x) =

de
s

Par parties on pose: f (x) = arcsin x et g 0 (x) = 1

p
1
p
= x arcsin x + 1

Fa
c

I1 = x arcsin x

dx
x2
x2 + c; c 2 R(1.5 point)

)~

B)

(S
2

1) Calculer l’intégrale:

D

SM

/S
T

I2 = sin2 x dx.
1
(1 cos 2x) dx. (0:5 point)
I2 =
2
1
1
=
x
sin 2x + c; c 2 R(1:5 point)
2
4

LM

2) Résoudre l’équation di¤érentielle suivante:
y
0

e

r

on pose: z = y

Pr
em

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

4
2
1
4
2
1

ce
n

3
1
1
3
1
1

= 0; y =

1
3
2
3
1
1

Tl
em

z =

1
2
3
1
2
3

1
2
3
1
2
3

ni
v.

4
2
1
4
2
1

(U

3
1
1
3
1
1

es

x =

1
3
2
1
2
3

y y
2

)z 0=
1 0
z
2

3

0

sin2 x y = y
2

2

3

alors (1) ,

sin x y
2y 0 y

sin2 x z = e

qui est linéaire:
2

=

x+ 12 sin 2x

3

e

e

x+ 12 sin 2x

x+ 12 sin 2x

:

(1)

(0.5 point)

ns second membre: 12 z 0
sin2 x z = 0 , dz
= 2 sin2 x dx
z
R
R
) dz
=
2
sin2 x dx ) ln jzj = 2 12 x 14 sin 2x + c
z
1
) z1 = K e x+ 2 sin 2x ; K 2 R (0.5 point)

) z20 = K 0 (x) e

x+ 12 sin 2x

ce
n

x+ 12 sin 2x

Tl
em

z2 = K (x) e

)

ec second membre: Par la méthode de la variation de la constante on pose:

x+ 12 sin 2x

+ K (x) ( 1 + cos 2x) e

e

x+ 12 sin 2x

(U

sin2 x z2 =

1 0
K (x) = 1
2
) K (x) = 2x (0:5 point)
Z=K e

r

y=

1
Ke

C)

sin 2x

(S
2

)~

1) Calculer l’intégrale:

2x e

J=


r

e

LM

D

=
=
=

sin 2x

; K 2 R (1 point)

Z
x
1
2x
dx =
dx
2
2
x + 3x + 3
2
x + 3x + 3
Z
1
2x + 3 3
dx
2
x2 + 3x + 3
Z
Z
1
2x + 3
1
3
dx
dx
2
2
2
x + 3x + 3
2
x + 3x + 3
Z
3
1
1
2
ln x + 3x + 3 +
dx (0:5 point)
2
2
2
x + 3x + 3

SM

I =

x+ 12

x
dx.
x2 + 3x + 3

/S
T

Z

x+ 12

; K 2 R (0:5 point)

de
s

>0)

ie
nc

x+ 12 sin 2x

ul


1
y2

2x e

Fa
c

mais Z =

x+ 12 sin 2x

Sc

Conclusion:

es

)

Pr
em

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

1 0
z
2 2

ni
v.

mais:

3

pour l’intégrale:

)

)

)

ce
n

2) Résoudre l’équation di¤érentielle suivante:
4y 0 + 4 y =

x2

x
e
+ 3x + 3

Sc

00

2x

: (1)

de
s

y

1ere - étape: La solution de l’équation sans seconde membre.

)~

Fa
c

ul


y 00 4y 0 + 4 y = 0 (2)
l’équation caractéristique est donnée par
: r2 4r + 4 = 0 ) 4 = 0 (0:25 point)
) r0 = 2 (0:25 point)
d’où la solution de (2) est dé…nie par : y1 = c1 e2x + c2 xe2x ; c1 ; c2 2 R (0:5 point)

(S
2

2eme - étape: La solution de l’équation avec seconde membre.

/S
T

Par la méthode de la variation de des constantes:
c1 (x) e2x + c2 (x) xe2x est une solution de (1)
x
e 2x
) y2 00 4y2 0 + 4y2 = 2
x + 3x + 3
c01 (x) e2x + c02 (x) xe2x = 0
)
x
0
2x
e 2x
c1 (x) 2e + c02 (x) (e2x + 2xe2x ) = x2 +3x+3
)

2c01

c01 (x) + c02 (x) x = 0 (1)
x
(x) + c02 (x) (1 + 2x) = x2 +3x+3


r

e

LM

D

SM

y2 =

(2)

2 (1) donne que:
c02 (x) =

Pr
em

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

=

Tl
em

:

ni
v.

on pose

(U

=

es

=

Z
1
1
dx =
dx
3
2
2
x + 3x + 3
x + 2 2 x + 94 94 + 3
Z
Z
1
4
1
dx =
dx (0:5 point)
2
3 2
3
3
2x+3
x+ 2 + 4
p
+
1
3
p
2x + 3
3
y= p
) dx =
dy
2
3
p Z
1
2
4 3
dy = p arctan y + C1 ; C1 2 R
K= :
2
3 2
y +1
3
2
2x + 3
p arctan
p
+ C1 ; C1 2 R
3
3
p
1
2x + 3
p
J = ln x2 + 3x + 3
3 arctan
+ C; C 2 R(1 point)
2
3

ie
nc

K

Z

) c2 (x) = J = 12 ln (x2 + 3x + 3)
c01 (x) =

c02 (x) x =

x2

x2 +3x+3

=

p

x2

3 arctan

1+

3x+3
x2 +3x+3

4

(2)

(0:5 point)

x
+ 3x + 3
2x+3
p
3

+ C; C 2 R (0:5 point)

R

3x+3
x2 +3x+3

dx = x + 3J + 3K
p
p
p
p
= x + ln (x2 + 3x + 3) 3 3 arctan 2x+3
+
2
3 arctan 2x+3
+c
3
3
p
p
= x + 32 ln (x2 + 3x + 3)
3 arctan 2x+3
+ c (0:5 point)
3
Conclusion: Y = y1 + y2 : (0:5 point)
c1 (x) =

1+

ce
n

)

3
2

Exercice 03:

ex ) ln (1

x

x2
2

x3
6

+ o (x3 )(0.25 point)

(U

ex ) =

(1

sin x)

ni
v.

f (x) = (1

Tl
em

1) (2 points) Trouver le développement limité à l’ordre 3 de la fonction:

x+

x3
6

f (x) = (1
3

x2
2

ex ) ln (1
3

x3
3

x+

+ o (x3 ) = x
h
sin x) =
x

x2
2
x2
2

2
x3
6
x3
6

es
+

3

ul


= x2 + x2 + x2 + o (x3 )
= x2 + x3 + o (x3 ) (0.75 point)

Fa
c

2) (1point) Déduire la limxite:

f (x)
x2 + x3 + o (x3 )
1
=
lim
=
2
3
2
3
x!0 3x + x
x!0
3x + x
3


r

e

LM

D

SM

/S
T

(S
2

)~

lim

5

3

+ o (x3 )

+ o (x3 )(0.75 point)
ih
i
2
x3
3
+ o (x3 )
x x2
+
o
(x
)
6

Sc

=

sin x) = ln (1 + ( sin x)) =

3

x+ x6

de
s

ln (1

2

ie
nc

3

x+ x6

x3
6

Pr
em

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

3

sin x = x x6 + o (x3 )
2
3
ln (1 + x) = x x2 + x3 + o (x3 )(0.25 point)


Aperçu du document EF+Corrigé Maths2_ST 16-17.pdf - page 1/7
 
EF+Corrigé Maths2_ST 16-17.pdf - page 3/7
EF+Corrigé Maths2_ST 16-17.pdf - page 4/7
EF+Corrigé Maths2_ST 16-17.pdf - page 5/7
EF+Corrigé Maths2_ST 16-17.pdf - page 6/7
 




Télécharger le fichier (PDF)


Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


eratt2 corrige maths2 sm 16 17
ef corrige maths2 st 16 17
maths
2p010 cours analyse vectorielle
efcorrige maths2 sm 17 18
ef corrige maths2 sm 16 17 1

🚀  Page générée en 0.013s