CorreExm SL 2016 2017 .pdf

SYSTÈMES LOGIQUES
‫الجمهورية التونسية‬

X1

CORRIGÉ EXAMEN

‫وزارة التعليم العالي و البحث العلمي‬

SYSTÈMES LOGIQUES
Documents
et Calculatrices
X1
Nom :..................................

sont non autoris´
es
N°d’inscription

Pr´enom :..............................
DEVOIR SURVEILLÉ N°1
Classes : LFI SI1A-LFI SI1B
LOGIQUES
" - - - - - - - – – - - - - - -SYSTÈMES
--

N°secret :
Dr. Abdelkader Krifa
----–--------–---

NE PAS INSCRIRE LE NOM ICI
Définition

Si le signal de
B
`
Exercice :1 (Algebre
de Boole
pts – 20
NE
RIEN
ECRIRE
ICIminutes))
1 (5

contrôle S vaut 0,
alors le multiplexeur
Sachant que A, B, C et D sont des variables bool´
eennes. le signal
transmet
Y
TRAVAUX
DIRIGÉS
n°1
a) En utilisant la d´
ecomposition de Shannon
sur laA vers
variable
C, d´
emontrez
d’entrée
la
sortie Y,
que :
SYSTÈMES
LOGIQUES
A
(A + B).(A
+ B + C) =sinon,
A+B
0
Note /20
le multiplexeur
transmet le signal
d’entrée B vers la
X1
sortie Y.
Si on prend le terme de gauche :

AMEN ARCHITECTURES
DES ORDINATEURS

S

Fg (A, B, C = 0) = (A + B).(A + B + 0) = (A + B).(A + B) = (A + B)

Signatures

Fg (A, B,
C = 1) = (A + B).(A + B + 1) = (A + B).1 = (A + B)
X
1

Donc :

Observations

¯ + B) + C(A + B) = (A + B)
Fg (A, B, C) = C(A
b) En utilisant exclusivement l’alg`
ebre de Boole, d´
emontrez que :
(A ⊕ B) ⊗ C = (A ⊕ B ⊕ C)
On sait que x ⊗ y = x ⊕ y
Il en r´esulte :

NE RIEN ECRIRE ICI

(A ⊕ B) ⊗ C = (A ⊕ B) ⊕ C
Or
(A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C) = A ⊕ B ⊕ C
1

NE RIEN ECRIRE ICI

D’o`
u
(A ⊕ B) ⊗ C = (A ⊕ B ⊕ C)
Note : La relation associative sur le XOR n’est pas triviale.
Par exemple, on sait qu’elle n’est pas v´erifi´ee pour le XNOR :
(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) 6= A ⊗ B ⊗ C
` de circuits (7 pts – 40 minutes))
Exercice :2 (Analyse et synthese

L’impl´ementation d’une fonction logique Z relativement complexe repose sur
un XNOR de deux autres fonctions X et Y comme indiqu´e sur le sch´ema suivant
(voir figure 1) : Chacune des deux fonctions a ´et´e r´ealis´ee par des techniciens
diff´erents. Le circuit a d´ej`a ´et´e v´erifi´e et il fait son travail mais votre patron
suspecte que l’impl´ementation n’est pas optimale. Vous ˆetes charg´e de v´erifier si
le coˆ
ut du circuit est vraiment justifi´e et si chaque technicien a bien fait son propre
travail d’impl´ementation. Pour y parvenir, suivez les ´etapes suivantes :
1) En consid´erant que les portes XOR et XNOR `a N entr´ees ont un coˆ
ut 2N,
calculez le coˆ
ut des fonctions X,Y et Z (en global) telles qu’elles ont ´et´e
impl´ement´ees par les techniciens.
Coˆ
ut de X = 4. .+. .3. .+
. . 3. .+
. . .4. +
. . .5. .=. .19
..
Coˆ
ut de Y

= 4. .+
. . 4. .+
. . 3. .+
. . .3. =
. . .14
..

Coˆ
ut de Z = X
. . .+. .Y. . +
. . .4. .=. . 37
..

2

Question 6 – Analyse et synthèse de circuits (7 pts – 40 minutes)
L’implémentation d’une fonction logique Z relativement complexe repose sur un XNOR
de deux autres fonctions X et Y comme indiqué sur le schéma suivant :
/A
/B
/C

/A
/D

B
/D

/B
/C
D
X

Z

Y

D
B

A
C

Figure a1 été
– sch´
ema d’une
fonction
logique
Z.
Chacune des deux fonctions
réalisée
par des
techniciens
différents.
Le circuit a déjà
été vérifié et il fait son travail mais votre patron suspecte que l’implémentation n’est pas
optimale.
êtes
chargélogique
de vérifier
le coût dulacircuit
est vraiment
justifié
et si
´ Vous l’´
´
2) Ecrivez
equation
de X si
et simplifiez
si n´ecessaire.
Etudiez
ensuite
chaque technicien
a
bien
fait
son
propre
travail
d’implémentation.
Pour
y
parvenir,
suivez
sa meilleure impl´ementation sous les formes disjonctives et conjonctives au
les étapes suivantes :
moyen des tables de Karnaugh et proposez votre meilleure impl´ementation.
1) En considérant¯que¯les portes
à ¯N entrées
coût 2N, calculez le
¯ + (XOR
¯ + D)
¯et XNOR
¯ +ont
¯ +unD)
X
=
(
A
+
B
+
C)
A
+
(B
+
D)
+
(
B
C
coût des fonctions
par les
. . . . . . .X,Y
. . . . et
. . .Z. . (en
. . . . global)
. . . . . . . .telles
. . . . . .qu’elles
. . . . . . . . .ont
. . . .été
. . . implémentées
...
techniciens.
¯ B
¯ C).(
¯ ¯ + D).(B
¯
¯ ¯ C¯ + D)
= (.A
. .+
. . . . .+
. . . . . . .A
. . . . . . . . . . . .+. .D).(
. . . . .B. . +
..........
Coût de X =
¯ B
¯ C).(
¯ ¯ + D).(B
¯
¯ ¯ C¯ + D)
= (un
. . . . produit
. . . . . . . . .de
. . .somme
. . . . . . . .optimis´
. . . . . . . .e.). . =
. . .(.A. . +
. . . . .+
. . . . . . .A
. . . . . . . . . . . .+. .D).(
. . . . .B. .+
..........
CoûtD’o`
de uY =

¯
¯
¯
Coût deXZ== ABC + AD + BD + BC D

3

BA BA00 01 11 10
00 01 11 10
DCDC

BA BA00
00 01
DC DC
00
00 000

01
11

11
10

10

00

00

0

BA BA00
00 01
DC DC
0
00
00 00

00 000

00

00

00

0

01 010

00

01

11

1

01 010

00

01

11

1

01

01
0

00

11 111

11

11

10

0

11 111

11

11

10

0

11

0
11

00

10 101

11

11

10

0

10 101

11

11

10

0

10

0
10

00

¯ +B
¯ ¯ + ABD
¯
X = C¯. .D
. . . . . . .D
..........

¯ D).(B
¯
¯ ¯ C¯ + D)
X = (.A
. .+
. . . . . . . . . .+. .D).(
. . . . .B. . +
..........

Dessinez ci-dessous votre meilleure impl´ementation de X :

A
B
X

B
D
B
C
D

Il s’agit en fait du circuit propos´e par le technicien dont on a enlev´e la
premi`ere porte car elle ´etait inutile. La forme disjonctive donne un coˆ
ut
´equivalent.
Quel est son coˆ
ut ?
Coˆ
ut de X = 3. .+
. . 3. .+
. . 4. .+
. . .4. =
. . .14
..
´
´
3) Ecrivez
l’´equation logique de Y et simplifiez la si n´ecessaire. Etudiez
ensuite
sa meilleure impl´ementation sous les formes disjonctives et conjonctives au
moyen des tables de Karnaugh et proposez votre meilleure impl´ementation.
Y = (une somme de produits optimis´e)

= (B
. . .⊕
. . .D).B.(A
. . . . . . . . .⊗
. . .C)
..
= (B
. . .⊗
. . .D)
. . .+
. . .B.(A
.....⊗
. . .C)
..
¯ ¯ + B.(AC + A¯C)
¯
= BD
....+
. . .B. .D
...................
¯ ¯ + ABC + AB
¯ ¯
= BD
. . . . .+. .B
. .D
. . . . . . . . . . . . . . . . .C
..

4

N° d’inscription :
N° secret :

1

CDCD
00 0001 0111 1110 10
AB AB
00 001 1 0 0 0 0 1 1

CDCD
0000 0101 1111 1010
ABAB
00 00 1 1 0 0 0 0 1 1

0

01 011 1 1 1 1 1 0 0

01 01 1 1 1 1 1 1 0 0

0101 1 1

11

1

11 110 0 1 1 1 1 1 1

11 11 0 0 1 1 1 1 1 1

1111 0 0

00

1

10 101 1 0 0 0 0 1 1

10 10 1 1 0 0 0 0 1 1

1010 1 1

11

0

¯ ¯ + ABC + AB
¯ ¯
Y = BD
. . . . .+
. . .B. .D
. . . . . . . . . . . . . . . . . .C
..

CD
CD
0000 01
01
AB
AB
0000 1 1 11

¯
¯ + C¯ + D).(A¯ + B
¯ + C + D)
Y = (B
+ D).(A
+B
..................................................

Dessinez ci-dessous votre meilleure impl´ementation de Y :

D
B
Y
A
C
C’est l’impl´ementation propos´ee par le technicien. Son d´elai de propagation
est toutefois moins bon (3 portes). Si c’est le d´elai qui a de l’importance, il
vaut mieux utiliser la forme conjonctive qui a un cout de 3 + 5 + 5 + 4 = 17
Quel est son coˆ
ut ?
Coˆ
ut de Y = 3. .+
. . 3. .+
. . 4. .+
. . .4. =
. . .14
..
4) Finalement, proposez votre meilleure impl´ementation de la fonction Z,
calculez-en le coˆ
ut et discutez de la fa¸con dont il faudrait s’y prendre pour
une prochaine conception de circuits.
La fonction (X ⊗Y ) vaut 1 si X et Y sont les mˆemes et 0 s’ils sont diff´erents.
La table de Karnaugh de (X ⊗ Y ) s’´ecrit donc facilement en comparant les
deux tables correspondent aux X et Y respectivement :

5

10

1

CD CD
00 00
01 0111 1110 10
AB AB
00 001 11 1 1 1 1 1

CDCD
00 0001 0111 1110 10
AB AB
00 00 1 1 1 1 1 1 1 1

0

01 011

11

11

11

1

01 01 1 1 1 1 1 1 1 1

1

11 110

00

00

00

0

11 11 0 0 0 0 0 0 0 0

1

10 101

11

11

11

1

10 10 1 1 1 1 1 1 1 1

¯ ¯
Z=A
. . .+. . B
..

¯ ¯
Z=A
. . .+. . B
..

Et cette fonction peut encore se simplifier en une simple porte NAND
(A.B), dont le coˆ
ut est 3 !
Il paraˆıt assez ´evident que, la prochaine fois, le responsable du projet calculera la fonction globale et l’optimisera par la table de Karnaugh plutˆot
que de d´ecomposer un probl`eme simple en deux probl`emes plus complexes.
Le technicien qui a impl´ement´e la fonction X n’´etait pas `a la hauteur de
sa tˆache puisqu’il a ajout´e une porte qui ne sert `a rien. Le technicien qui
a impl´ement´e la fonction Y semble particuli`erement ing´enieux et pourrait
bien se voir confier des projets plus complexes (et recevoir une augmentation), mˆeme si son travail ne sera finalement pas utilis´e.

Exercice :3 (Circuits usuels (8 pts – 30 minutes))
Consid´erez la fonction F d´ecrite par sa table de v´erit´e ci-dessous.
1) Vous devez r´ealiser la fonction F `a l’aide d’un multiplexeur `a une seule
variable de s´election (MUX 2 `a 1). Essayez de r´eduire le circuit sur chacune
des variables A, B et C et proposez la solution la moins ch`ere.
Table 1 – Table de v´erit´e de la fonction F.
A
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1

C
0
1
0
1
0
1
0
1
6

F
0
0
1
0
0
1
1
1

er

ème

1 choix

B
C

1

B
C

0

2

F

3ème choix : meilleur choix

choix

A
C

1

A
C

0

A

1

F

A

F
B

B

0

C

2) Proposez une impl´ementation de la mˆeme fonction au moyen d’un d´ecodeur
3 `a 8 et en employant une porte OR :
7

6
A

2

B

1

5
4

F

3
C

0

2
1
0

3) Proposez une impl´ementation de la mˆeme fonction F au moyen d’un d´ecodeur
3 `a 8 et en employant une porte NOR :
7
6
A

2

B

1

5
4

3
C

0

F

2
1

0

7

émentez la fonction F à l’intérieur de ce circuit en fixant des constantes (0/1) aux
4) Impl´ementez la fonction F a` l’int´erieur de ce circuit en fixant des constantes
des deux multiplexeurs.
(0/1) aux entr´ees des deux multiplexeurs.

1
1
0
1

1
1
1
0

8