Formulaire Géométrie différentielle(6) .pdf



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Formulaire de G´eom´etrie diff´erentielle (6)
Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
5 juin 2017


esum´
e
Remarque pr´
eliminaire :

J’ai produit ce formulaire a` partir d’un cours de M1 de math´ematiques,
donn´e par St´ephane Maingot `a l’Universit´e du HAVRE, au cours de l’ann´ee
2003/2004.
A l’´epoque, je copiais mon code LaTeX sur les-mathematiques.net, et je
r´ecup´erais les images, pour les inclure dans un document word, que je convertissais ensuite en PDF :
Ici, j’ai repris et remani´e ce code, pour l’inclure cette fois-ci dans un fichier
LaTeX source, que j’ai compil´e pour cr´eer le PDF que voici.

Table des mati`
eres
1 ALGEBRE MULTILINEAIRE
1.1 Applications multilin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Applications k-lin´eaires altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Produit tensoriel, produit ext´erieur
V . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Dimension et base de Lk (E) et k (E) quand F est de dimension
finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 FORMES DIFFERENTIELLES
2.1 1`eres d´efinitions . . . . . . . . .
2.2 Exemples et notations . . . . .
2.3 D´erivation et produit ext´erieur
2.4 Transposition . . . . . . . . . .
2.5 Recherches de primitives . . . .

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3 INTEGRALE CURVILIGNE
3.1 Rappels sur les arcs . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Int´egrale le long d’un arc . . . . . . . . . . . .
3.3 Primitives et integrales curvilignes . . . . . . .
3.4 Primitive d’une 1-forme le long d’un arc . . . .
3.5 Primitive d’une 1-forme suivant une application
rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Simple connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

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. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
continue sur un
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

2
2
3
5
8
11
11
13
15
16
19
26
26
28
29
31
33
35
37

Chapitre 1

ALGEBRE
MULTILINEAIRE

Dans tout le cours
K = R ou C,
k ∈ N∗ ,
E, (Ei )i∈N∗k , F K − ev.

1.1

Applications multilin´
eaires


efinition 1.1.1
1) u :

Y



Ei −→ F : x = (xi )i∈N∗ 7−→ u(x) ∈ L (Ei )i∈N∗ ; F
k

i∈N∗
k

k

⇐⇒def
∀i ∈ N∗k , ui : Ei −→ F : xi 7−→ u(x) ∈ L(Ei , F )

2) Si ∀i ∈ N∗k , Ei = E




L (Ei )i∈N∗ ; F = L (E)i∈N∗ ; F =not Lk (E; F )
k

k

Lk (E; K) =not Lk (E)
L0 (E) =conv K

2

1.2

Applications k-lin´
eaires altern´
ees

Rappels 1.2.1
1) σ ∈ Sk ⇐⇒def σ : N∗k −→ N∗k bijection
2) ∀i, j ∈ N∗k , i 6= j
k
τi,j
transposition de N∗k e´changeant i et j

⇐⇒def
k
τi,j
(i) = j
k
τi,j
(j) = i
k
∀l ∈ N∗k \ {i, j}, τi,j
(l) = l
k
Remarque : τi,j
∈ Sk

Proposition 1.2.2
1) card Sk = k!
2) ∀σ ∈ Sk , ∃p ∈ N∗ , ∃(τi )i∈N∗p transpositions de N∗k : σ = ◦i∈N∗p τi
ε(σ) =d´ef (−1)

p


efinition compl´
ementaire :
ε : (Sk , ◦) −→ ({−1, 1}, ×) : σ 7−→ ε(σ) =d´ef

Y
i,j∈N∗
k , i<j

σ(i) − σ(j)
i−j

Proposition :
ε morphisme de groupes


efinition 1.2.3
u ∈ Lk (E; F ),
1) ∀σ ∈ Sk ,
σ(u) : E k −→ F : (xi )i∈N∗ 7−→ σ(u)[(xi )i∈N∗ ] = u[(xσ(i) )i∈N∗ ]
k

k

2) ∗ u sym´
etrique

3

k

⇐⇒def
∀σ ∈ Sk , σ(u) = u
∗ u antisym´
etrique
⇐⇒def
∀σ ∈ Sk , σ(u) = ε(σ)u

3) u altern´
ee
⇐⇒def
h
i
∀(xi )i∈N∗ ∈ E k , ∃i, j ∈ N∗k : i 6= j et xi = xj =⇒ u[(xi )i∈N∗ ] = 0
k

k

Remarque sur 1)
∀σ1 , σ2 ∈ Sk , (σ1 ◦ σ2 )(u)[(xi )i∈N∗ ] = u[(x(σ1 ◦σ2 )(i) )i∈N∗ ]
k

k

Proposition 1.2.4
u ∈ Lk (E; F ),
u antisym´
etrique ⇐⇒ u altern´
ee


efinition 1.2.5
u ∈ Lk (E; F ),
X
S(u) =def
σ(u) (sym´
etris´
ee de u)
σ∈Sk

A(u) =def

X

ε(σ)σ(u) (antisym´
etris´
ee de u)

σ∈Sk

Propri´
et´
es :
S(u) sym´
etrique
A(u) antisym´
etrique
Remarque :
u sym´
etrique =⇒ S(u) = k!u
u antisym´
etrique =⇒ A(u) = k!u
(´evident d’apr`es d´ef 2.3 et d´ef 2.5)

4


efinition 1.2.6
1) Si k = 0,
V

0 (E)

=conv L0 (E) =conv K

2) Si k ∈ N∗n ,
V

k (E)

=def {u ∈ Lk (E)/u altern´
ee}

V
[ 1 (E) = L1 (E) = E ∗ ]

3) k ∈ N \ Nn ,
V

k (E)

1.3

=def {0}

Produit tensoriel, produit ext´
erieur


efinition 1.3.1
p, q ∈ N∗ ,
u ∈ Lp (E), v ∈ Lq (E),
O
u
v : E p+q −→ K : (xi )i∈N∗

p+q

7−→ u[(xi )i∈N∗p ]v[(xp+i )i∈N∗ ], ∈ Lp+q (E)
q

produit tensoriel de u et de v

Remarque 1.3.2
1)
p = 0 =⇒ u

N

v = u × v ∈ Lq (E)

q = 0 =⇒ u

N

v = u × v ∈ Lp (E)

2)
O

: Lp (E) × Lq (E) −→ Lp+q (E) : (u, v) 7−→ u

5

O



v, ∈ L Lp (E), Lq (E); Lp+q (E)

3)
p, q, r ∈ N,
u ∈ Lp (E), v ∈ Lq (E), w ∈ Lr (E),
(u

N

v)

N

w=u

N N
N N
(v w) =not u v w

Proposition 1.3.3
p, q ∈ N,
u ∈ Lp (E), v ∈ Lq (E),
=⇒
v] = p!A[u

N

v]

A(v)] = q!A[u

N

v]

1) A[A(u)
2) A[u

N

N


efinition 1.3.4
p, q ∈ N∗ ,
V
V
u ∈ p (E), v ∈ q (E),
^
u v : E p+q −→ K : (xi )i∈N∗

p+q

7−→

produit ext´
erieur de u et de v

n


0
avec Sp,q
= σ ∈ Sp+q σ(i)

i∈N∗
p

X

ε(σ)u[(xσ(i) )i∈N∗ ]v[(xσ(p+i) )i∈N∗ ], ∈
p

0
σ∈Sp,q



, σ(p + i)

i∈N∗
q

q

⊂ N∗p+q , strict. %

^

(E)

p+q

o

Remarque 1.3.5
1)
p = 0 =⇒ u

V

v =u×v ∈

V

q = 0 =⇒ u

V

v =u×v ∈

V

2)
^

:

^
p

(E) ×

^
q

(E) −→

q (E)

p (E)

^
p+q

(E) : (u, v) 7−→ u

3)
6

^

^
^
^
v, ∈ L
(E),
(E);
p

q

p+q


(E)

p, q, r ∈ N,
u∈
(u

V

V

p (E),

v)

V

v∈

V

q (E), w



V

r (E),

V V
V V
w = u (v w) =not u v w

Proposition 1.3.6 (Proposition 1.3.7 du cours)

p, q, r ∈ N,
^
^
^
^
u∈
(E), v ∈
(E) =⇒ u v = (−1)pq (v u)
p

q

Proposition 1.3.7 (Proposition 1.3.6 , 1.3.8 et remarque 1.3.9 du cours)

∀i ∈ N∗n , pi ∈ N, ui ∈
^

1
ui = Y

i∈N∗
n

A[
pi !

V

O

pi (E)

ui ]

i∈N∗
n

i∈N∗
n

Rappel

1)
p0 = 0
V
∀i ∈ N∗n , pi ∈ N, ui ∈ pi (E) ou Lpi (E)
"
#
O
(
ui ) (xji )j ∈ N X
\N X
i
pki
pki
i∈N∗
n
ki ∈Ni

ki ∈Ni−1

"
=

Y
i∈N∗
n

=⇒
^
i∈N∗
n

fi ∈

V

^
n

1 (E)

= L1 (E) = E ∗

(E) et

^

fi = A[

i∈N∗
n

avec ∀(xi )i∈N∗n ∈ E k , (

O
i∈N∗
n

O

fi ]

i∈N∗
n

fi )[(xi )i∈N∗n ] =

Y
i∈N∗
n

7

i∈

NX
ki ∈Ni

i∈N∗
n

2) En particulier
(fi )i∈N∗n ⊂

ui (xji )j

#

fi (xi )

pki

\N X
ki ∈Ni−1

pki

1.4

Dimension et base de Lk (E) et
F est de dimension finie

V

k (E)

quand

Dans ce § dim E = n ∈ N∗
(ej )j∈N∗ base de E
n

∀i ∈ N∗n , xi ∈ E,
xi = (xi,j )j∈N∗ dans la base (ej )j∈N∗n
n
X
c`
ad xi =
xi,j ej
j∈N∗
n

Proposition 1.4.1
1) (aJ )J⊂N∗ , |J|=k = (a(ji )i∈N∗ )
n

k

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n

⊂K

k

X

v : E k −→ K : (xi )i∈N∗k 7−→

J⊂N∗
n,

Q

X

aJ xJ =def

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n
k

|J|=k

=⇒

Y

a(ji )i∈N∗

k

xi,ji

i∈N∗
k

v ∈ Lk (E)

2)u ∈ Lk (E)
=⇒
X

u : E k −→ K : (xi )i∈N∗ 7−→
k

J⊂N∗
n,

Q

X

u(eJ )xJ =def

u[(eji )i∈N∗ ]
k

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n
k

|J|=k

Y
i∈N∗
k

Rappel

(ei )i∈N∗n base de E
∀i ∈ N∗n , e∗i ∈ E ∗ d´
ef inie par ∀j ∈ N∗n , e∗i (ej ) = δi,j
(e∗i )i∈N∗ base de E ∗
n

Proposition 1.4.2
(eJ∗,⊗ )J⊂N∗ , |J|=k =def (
n

O

e∗ji )(ji )i∈N∗ ⊂N∗n base de Lk (E)
k

i∈N∗
k

et (i) u ∈ Lk (E) =⇒ u =

X

u(eJ )e∗,⊗
=def
J

J⊂N∗
n , |J|=k

X
(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n
k

et (ii) dim Lk (E) = nk
8

u[(eji )i∈N∗ ]
k

O
i∈N∗
k

e∗ji

xi,ji

Proposition 1.4.3
k ∈ Nn ,
1) (aJ )J⊂N∗n , |J|=k, J

=def (a(ji )i∈N∗ )
⊂K

k (ji )
i∈N∗ ⊂Nn , strict. %
k
X
7−→
aJ x<J> =def

strict. %

v : E k −→ K : (xi )i∈N∗

k

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

X

=def

a(ji )i∈N∗

k

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %
k

X

ε(σ)

Y

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %
k

xi,jσ(i)

i∈N∗
k

σ∈Sk

=⇒
v∈

V

2)u ∈

k (E)

V

k (E)

=⇒
X

u : E k −→ K : (xi )i∈N∗ 7−→

aJ x<J>

k

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

Remarques 1.4.4
(ji )i∈N∗ strict. %, (li )i∈N∗ ⊂ N∗n
k

k

1)a) {(ji )i∈N∗ } = {(li )i∈N∗ }
k
k
^

e∗ji [(eli )i∈N∗k ] = ε(˜
σ)
i∈N∗
k

o`

˜ est l0 unique element de Sk qui ordonne strictement (li )i∈N∗k
pour donner (ji )i∈N∗

k

b) {(ji )i∈N∗k } =
6 {(li )i∈N∗ }
k
^

e∗ji [(eli )i∈N∗ ] = 0
i∈N∗
k

k

2) Si de plus (li )i∈N∗k strict. %,
^

e∗ji [(eli )i∈N∗ ] = 1 si (ji )i∈N∗ = (li )i∈N∗ et 0 sinon
i∈N∗
k

k

k

k

9

X

a(ji )i∈N∗ x<(ji )i∈N∗ >
k

k

Proposition 1.4.5
k ∈ Nn ,
(e∗,∧
J )J⊂N∗ , |J|=k, J
n

strict. %

=def

^

e∗ji



i∈N∗
k

base de

V

k (E)

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %
k

et (i) u ∈

V

u(eJ )e∗,∧
=def
J

X

k (E) =⇒ u =

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

V

et (ii) dim

k (E)

= Cnk

Remarques 1.4.6
1) dim

V

1 (E)

=n
n(n−1)
2

dim

V

1 (E)

=

dim

V

n (E)

=1

Si k ∈ N \ Nn , dim

V

k (E)

=0

2) ∀i, j, l ∈ N∗n ,
e∗i

V

e∗j = −(e∗j

e∗i

V

e∗i = 0

(e∗i + e∗j )

V

V

e∗i )

e∗l = e∗i

V

e∗l + e∗j

V

e∗l

Soit (ji )i∈N∗ ⊂ N∗n ,
k

[∃i0 , i00 ∈ N∗k : i0 6= i00 et ji0 = ji00 ] =⇒

^

e∗ji = 0

i∈N∗
k

10

X
(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %
k

u[(eji )i∈N∗ ]
k

^
i∈N∗
k

e∗ji

Chapitre 2

FORMES
DIFFERENTIELLES

Dans tout ce chapitre

k ∈ N,
p ∈ N ∪ {∞},
U ⊂ Rn U 6= ∅,
(ei )i∈N∗n base de Rn .

Convention :

∗ Si on parle de f ∈ C 0 (U ), on supposera U ⊂ Rn
∗ Si on parle de f ∈ C p (U ), p ∈ N∗ on supposera U ouvert de Rn

2.1

1`
eres d´
efinitions

Rappels 2.1.1
∗ Si k = 0,
V

0 (R

n

)=R

11

∗ Si k ∈ N∗n ,
^
u∈
(Rn )
k

⇐⇒ ∃ (λJ )J⊂N∗ , |J|=k, J
n

strict. %

λJ e∗,∧
J

X

⊂R : u=

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

⇐⇒def ∃ (λ(ji )i∈N∗ )
k

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %

X

⊂R : u=

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n,
k

k

λ(ji )i∈N∗
strict. %

∗ Si k ∈ N \ Nn ,
V

k (R

n

) =def {0}


efinition 2.1.2
1) ω f orme dif f e´rentielle de degr´
e k sur U
⇐⇒def
V

ω ∈ F U, k (Rn )
donc

a) Si k = 0,
ω : U −→

V

0 (R

n

) = R : x 7−→ ω(x)

b) Si k ∈ N∗n ,
∃(λJ )J⊂N∗ , |J|=k, J strict. % ⊂ F(U, R) :
n
^
ω : U −→
(Rn ) : x 7−→ ω(x) =
k

X

J⊂N∗
n , |J|=k,J strict. %

c) Si k ∈ N \ Nn ,
ω : U −→

V

k (R

n

) = {0} : x 7−→ ω(x) = 0 c`
ad ω = 0

2) ω f orme dif f e´rentielle de degr´
e k sur U et
⇐⇒def

V
ω ∈ C p U, k (Rn )
∗ Si k ∈ N∗n ,

12

Cp
U

λJ (x)e∗,∧
J

k

^
i∈N∗
k

e∗ji

∃ (λJ )J⊂N∗n , |J|=k, J

strict. %

J⊂N∗
n,

=⇒

V

ω ∈ C p U, k (Rn ) ⇐⇒ (λJ )J⊂N∗n , |J|=k,J

λJ e∗,∧
J

X

⊂ F(U, R) : ω =

|J|=k,J strict. %



p

strict. %

⊂ C (U, R)

3) Ωk (U ) = {ω/ω f orme dif f e´rentielle de degr´
e k sur U } = F(U,
Ωpk (U ) = {ω/ω f orme dif f e´rentielle de degr´
e k sur U et
ω ∈ Ωpk (U ) ⇐⇒ (λJ )J⊂N∗ , |J|=k, J
n

strict. %

Cp
U }

V

k (R

= C p (U,

n

V

)

k (R

n

))

⊂ Ωp0 (U )

Remarque 2.1.3
1) ∗ Ωk (U ) R − ev
en posant ∀λ ∈ R, ∀ω1 , ω2 ∈ Ωk (U ), ω1 + λω2 : U −→

^
k

(Rn ) : x 7−→ ω1 (x) + λω2 (x)

∗ Ωpk (U ) sev de Ωk (U )
Ωp0 (U ) = C p (U,

V

0 (R

n

)) = C p (U, R)

∗ k ∈ N \ Nn =⇒ Ωk (U ) = {0}

2.2

Exemples et notations


efinition 2.2.1 (diff´
erentielle d’une fonction)

1) f ∈ Ωp+1
(U ) = C p+1 (U,
0

V

0 (R

n

)) = C p+1 (U, R)

∀x = (xj )j∈N∗ ∈ U, ∀h = (hj )j∈N∗ ∈ Rn ,
n

df (x)(h) =def

n

X ∂f
(x) hj
∂xj


j∈Nn

df : U −→

V

1 (R

n

) : x 7−→ df (x) , ∈ Ωp1 (U )

=def dif f e´rentielle de f

2) On note ∀i ∈ N∗n , xif onction : Rn −→ R : x = (xj )j∈N∗ 7−→ xi
n

13

On note ∀i ∈ N∗n , dxi : Rn −→

V

1 (R

n

) : x 7−→ dxi (x) , ∈ Ωp1 (Rn )

Or ∀i ∈ N∗n , ∀h = (hi )i∈N∗n ∈ Rn
dxi (h) =

X ∂xi
(x) hj = hi = xif onction (h)
∂xj


j∈Nn

donc dxi (x) = xif onction
[donc ∀i ∈ N∗n , dxi : Rn −→

V

1 (R

n

) : x 7−→ xif onction

dxi = xiabus ]
on note dxiabus = dxi (x)
dxi d´
esigne aussi bien dxi ∈ Ωp1 (Rn )
que dxi ∈

V

∗ Si dxi ∈

1 (R

V

n

1 (R

)

n

) = (Rn )∗ et si (ei )i∈N∗n base canonique de Rn

∀i ∈ N∗n , dxi = e∗i

Proposition 2.2.2 (´
ecriture canonique)

1) Si k ∈ N∗n ,
ω ∈ Ωk (U )
⇐⇒
∃(λJ )J⊂N∗n , |J|=k, J

=def (λ(ji )i∈N∗ )

strict. %

k

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %

⊂ F(U, R) :

k

X

ω=

X

λJ dxJ ∧ =def

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict.%
k

∀(ji )i∈N∗ ⊂ N∗n , strict. %, ∀i ∈ N∗k , dxji = e∗ji
k

2)En particulier
(U ) = C p+1 (U, R)
f ∈ Ωp+1
0
df =

X ∂f
dxj
∂xj


j∈Nn

[car df (x)(h) =def

X ∂f
X ∂f
(x) hj =def
(x) dxj (h)
∂xj
∂xj



j∈Nn

c`
ad df (x) =def

j∈Nn

X ∂f
(x) dxj ]
∂xj


j∈Nn

14

λ(ji )i∈N∗

k

^
i∈N∗
k

dxji

2.3


erivation et produit ext´
erieur

Dans ce §
l ∈ N, q ∈ N ∪ {∞}.


efinition 2.3.1 (produit ext´
erieur)

ω1 ∈ Ωk1 (U ), ω2 ∈ Ωk2 (U ),
ω1

V

ω2 : U −→

V

: x 7−→ ω1 (x)

k1 +k2

V

ω2 (x), ∈ Ωk1 +k2 (U )

Remarque 2.3.2
ω1 ∈ Ωk1 (U ), ω2 ∈ Ωk2 (U ),
=⇒
1) ω1

V

ω2 = (−1)k1 k2 (ω2

V

ω1 )

2) k1 + k2 ∈ N \ Nn =⇒ ω1

V

ω2 = 0

3) ω1 ∈ Ωpk11 (U ), ω2 ∈ Ωpk22 (U ) =⇒ ω1

V

min(p ,p2 )

ω2 ∈ Ωk1 +k21

(U )


efinition 2.3.3 (d´
erivation ext´
erieur)
p ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk ,
1) Si k = 0, dω =

X ∂ω
dxj
∂xj


j∈Nn

2) Si k ∈ N∗n ,
∃(λJ )J⊂N∗n , |J|=k, J

strict.%

=def (λ(ji )i∈N∗ )
k

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %

⊂ C p (U, R) :

k

ω=

X
J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

X

λJ dxJ ∧ =def

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %
k

15

λ(ji )i∈N∗

k

^
i∈N∗
k

dxji

=⇒
X

dω =

dλJ

^

X

dxJ ∧ =def

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict.%

dλ(ji )i∈N∗

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %

k

^ ^
dxji )
(
i∈N∗
k

k

3) Si k ∈ N \ Nn , dω = 0

4) ∀k ∈ N, dω ∈ Ωp−1
k+1 (U )

Remarque 2.3.4
Si λ ∈ Ωp0 (U ) = C p (U, R),
^
^ ^
ω=λ
dxji =⇒ dω = dλ (
dxji )
i∈N∗
k

i∈N∗
k


eme avec (ji )i∈N∗ ⊂ N∗n
k

Proposition 2.3.5
1) d : Ω1k (U ) −→ Ω0k+1 (U ) : ω 7−→ dω, ∈ L(Ω1k (U ), Ω0k+1 (U ))

2)ω1 ∈ Ω1k1 (U ), ω2 ∈ Ω1k2 (U ) =⇒ d(ω1

^

ω2 ) = d(ω1 )

3) ω ∈ Ω2k (U ) =⇒ d2 ω = 0 o`
u d2 ω =def d(dω)

2.4

Transposition

Rappel 2.4.1
u ∈ L(Rm , Rn ),

1) Si k = 0,
u∗ = idR :

V

0 (R

n

) = R −→

V

0 (R

m

) = R : x 7−→ x

16

^

ω2 + (−1)k1 (ω1

^

dω2 )

2) Si k ∈ N∗ ,
^
^
u∗ :
(Rn ) −→ (Rm ) : φ 7−→ u∗ (φ) : (Rm )k −→ R : (xi )i∈N∗ 7−→ φ[u(xi )]i∈N∗
k

k

k

k

=def transpos´
ee de u

3) En particulier si k = 1
u∗ :

V

1 (R

n

) = (Rn )∗ −→

V

1 (R

m

) = (Rm )∗ : φ 7−→ φ ◦ u

Proposition 2.4.2
u ∈ L(Rm , Rn ), v ∈ L(Rn , Rp ), α1 ∈

V

k1 (R

n

), α2 ∈

V

k2 (R

n

), α ∈

V

k (R

p

)

[En particulier v ◦ u ∈ L(Rm , Rp )],
=⇒
1) u∗ (α1

V

α2 ) = u∗ (α1 )

V

u∗ (α2 )

2) (v ◦ u)∗ (α) = (u∗ ◦ v ∗ )(α)


efinition 2.4.3
k ∈ N,
U1 ouvert de Rn1 , U2 ouvert de Rn2 ,
f ∈ C 1 (U1 , U2 ), ω ∈ Ωk (U2 ),


f (ω) : U1 −→

^

h
i∗ h
i
(R ) : x 7−→ [f (ω)](x) = df (x)
ω f (x) , ∈ Ωk (U1 )
n1



k

c`
ad f ∗ (ω) = (df )∗ (ω ◦ f ) =def transpos´
ee de ω par f

Proposition 2.4.4
Avec les not. de 4.3

∗ Si k = 0,
f ∗ (ω) = ω ◦ f
∗ Si k ∈ N∗ ,
∀x ∈ U1 [f ∗ (ω)](x) : (Rn1 )k −→ R : (Xi )i∈N∗ 7−→ [f ∗ (ω)](x)[(Xi )i∈N∗ ] = ω(f (x))(df (x)(Xi ))i∈N∗
k

17

k

k

Proposition 2.4.5
U0 ouvert de Rn0 , U1 ouvert de Rn1 , U2 ouvert de Rn2
f ∈ C 1 (U0 , U1 ), g ∈ C 1 (U1 , U2 )
=⇒
1) g ∗ : Ωk (U2 ) −→ Ωk (U1 ) : ω 7−→ g ∗ (ω), ∈ L(Ωk (U2 ), Ωk (U1 ))

2) ∀α1 ∈ Ωk1 (U2 ), ∀α2 ∈ Ωk2 (U2 ),
g ∗ (α1

V

α2 ) = g ∗ (α1 )

V

g ∗ (α2 )

3)∀h ∈ Ω0 (U2 ), ∀λ ∈?, ∀α ∈ Ωk (U2 ),
h∗ (λα) = (λ ◦ h)h∗ (α)

4) ∀φ ∈ Ω10 (U2 ), f ∗ (dφ) = d(f ∗ (φ)) = d(φ ◦ f )

5) ∀α ∈ Ωk (U2 ), (g ◦ f )∗ (α) = (f ∗ ◦ g ∗ )(α)

Remarque sur 5)

f ∈ C 1 (U1 , U2 ), g ∈ C 1 (U2 , U1 ), bijection avec g = f −1
=⇒
[(f ◦ f −1 )∗ (α) = [(f −1 )∗ ◦ f ∗ ](α)]
c`
ad idU2 (α) = [(f −1 )∗ ◦ f ∗ ](α)]
c`
ad α = [(f −1 )∗ ◦ f ∗ ](α)]

Corollaire 2.4.6
U1 ouvert de Rn1 , U2 ouvert de Rn2 ,
f ∈ C 1 (U1 , U2 ),
∃(λJ )J⊂N∗

n2 ,

|J|=k, J strict. %

=def (λ(ji )i∈N∗ )
k

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict.%
k

18

2

⊂ F(U2 , R) :

X

ω=

X

λJ dxJ ∧ =def

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %

2

k

^

λ(ji )i∈N∗

k

dxji ∈ Ωk (U2 )

i∈N∗
k

2

=⇒
X

f ∗ (ω) =

X

(λJ ◦ f )df J ∧ =def

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

(λ(ji )i∈N∗ ◦ f )

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %

2

k

2

Remarque 2.4.7
U1 ouvert de Rn1 , U2 ouvert de Rn2 ,
p ∈ N∗ , q, k ∈ N,
min(p−1,q)

f ∈ C p (U1 , U2 ), ω ∈ Ωqk (U2 ) =⇒ f ∗ (ω) ∈ Ωk

(U1 )

∗ Si k = 0,
min(p,q)

on a mieux f ∗ (ω) = ω ◦ f ∈ Ωk

(U1 )

Proposition 2.4.8
U1 ouvert de Rn1 , U2 ouvert de Rn2 ,
f ∈ C 2 (U1 , U2 ), ω ∈ Ω1k (U2 ) =⇒ f ∗ (ω) ∈ Ω1k (U1 ), d[f ∗ (ω)] = f ∗ (dω)

2.5

Recherches de primitives

Th´
eor`
eme 2.5.1
ω ∈ Ω1k (U2 ), dω ∈ Ω1k+1 (U2 ) =⇒ d2 ω = 0
Remarque

Si k = 0,
f ∈ Ω0 (U ), f , df C 1 ⇐⇒ f C 2

19

k

^
i∈N∗
k

df ji ∈ Ωk (U1 )


efinition 2.5.2
p, k ∈ N,
ω ∈ Ωpk (U ),

1) ω exacte ⇐⇒def k ∈ N∗ et ∃α ∈ Ω1k−1 (U ) : dα = ω ⇐⇒def α primitive de ω

2) ω f erm´
ee ⇐⇒def p ∈ N∗ et dω = 0

Proposition 2.5.3
p, k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U ),
ω exacte =⇒ ω f erm´
ee

Proposition 2.5.4
p ∈ N, k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U ),
∃α ∈ Ω1k−1 (U ) : dα = ω
=⇒
([β ∈ Ω1k−1 (U ) et dβ = ω] ⇐⇒ [∃γ0 ∈ Ω1k−1 (U ) : β = α + γ0 et dγ0 = 0])

Lemme 2.5.5
k ∈ N \ N2

x, (Xi )i∈N∗



∈ (Rn )k

k−1

=⇒

X
^
^
^ ^
(
dxjl ) x, (Xi )i∈N∗k−1 =
(−1)l−1 xjl [(
dxji ) (
l∈N∗
k

i∈N∗
l−1

l∈N∗
k

dxji )][(Xi )i∈N∗

i∈Nk \Nl

Remarque :

(

^

i∈N∗
l−1

dxji )

^

dxˆjl

^ ^
(
i∈Nk \Nl

dxji ) =def (

^

i∈N∗
l−1

20

dxji )

^

(

^

i∈Nk \Nl

dxji )

k−1

]


efinition 2.5.6
V ouvert de Rn ,
t

V e´toil´
e\ a
` x0
⇐⇒def
∀x ∈ V [x, x0 ] = {(1 − t)x + tx0 |t ∈ [0, 1]} et[x, x0 ] ⊂ V


efinition 2.5.7
t

U ouvert de Rn , e´toil´
e\ a
` 0,
p, k ∈ N,
ω ∈ Ωpk (U )

1) Si k = 0,
∀x ∈ U, [ψ(ω)](x) =conv 0

2) Si k = 1,
1

Z
∀x ∈ U, [Ψ(ω)](x) =

[ω(tx)](x)dt ∈
0

^
0

(R) = R

3) Si k ∈ N \ N1 ,
∀x ∈ U, [Ψ(ω)](x) : (Rn )k−1 −→ R : (Xi )i∈N∗

k−1

Z
7−→ [Ψ(ω)](x)[(Xi )i∈N∗

∈ Ωk−1 (Rn )

4) ∀k ∈ N∗ ,
Ψ(ω) : U −→

V

k−1 (R

n

) : x 7−→ [Ψ(ω)](x), ∈ Ωpk−1 (U )

A retenir :

Si k = 0,
ω ∈ Ωp0 (U ) =⇒ Ψ(ω) = 0

21

k−1

]=
0

1


tk [ω(tx)] x, (Xi )i∈N∗

k−1



dt,

Si k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U ) =⇒ Ψ(ω) ∈ Ωpk−1 (U )
Lemme 2.5.8
t

U ouvert de Rn , e´toil´
e\ a
` 0,
p ∈ N, k ∈ N∗ ,
X
ω=
J⊂N∗
n,

λJ dxJ ∧ ∈ Ωpk (U )

|J|=k, J strict. %

=⇒
Si k = 1,
∀x ∈ U, [Ψ(ω)](x) =

X Z
(
j1 ∈N∗
n

1

λj1 (tx)dt)xj1

0

Si k ∈ N \ N1 ,
X

∀x ∈ U, [Ψ(ω)](x) =

X

1

Z
(−1)l−1 (

tk−1 λJ (tx)dt)xjl [(

0


J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. % l∈Nk

^

i∈N∗
l−1

dxji )

^

(

^

dxji )]

i∈Nk \Nl

Lemme 2.5.9
Sous les hyp. de 4.8

X

[Ψ(dω)](x) =

X X

Z
(−1)l (



J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. % j0 ∈Nn l∈Nk

0

1

tk

^
^ ^
∂λJ
(tx)dt)xjl [(
dxji ) (
∂xj0

Th´
eor`
eme 2.5.10
t

U ouvert de Rn , e´toil´
e\ a
` 0,
p ∈ N, k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U )
=⇒
dΨ(ω) + Ψ(dω) = ω
donc dω = 0 =⇒ dΨ(ω) = ω
or Ψ(ω) ∈ ω ∈ Ωpk−1 (U )
on peut donc appliquer la prop.5.4 si p = 1 ou utiliser le cor.5.15
22

i∈Nl−1

i∈Nk \Nl

dxji )]

Th´
eor`
eme 2.5.11
t

U ouvert de Rn , e´toil´
e\ a
` x0 ,
p ∈ N, k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U ),
ω exacte ⇐⇒ ω f erm´
ee


efinition 2.5.12
p ∈ N, k ∈ N,
ω ∈ Ωpk (U ),
V ouvert de Rn , V ⊂ U,

1) ω exacte sur V ⇐⇒def k ∈ N∗ et ∃α ∈ Ω1k−1 (U ) : dα|V = ω|V [c`
ad dα = ω sur V ]
⇐⇒def α primitive de ω sur V

2) ω f erm´
ee sur V ⇐⇒def p ∈ N∗ et d(ω|V ) = 0 [c`
ad dω = 0 sur V ]

3) k ∈ N∗ ,
ω loc. exacte ⇐⇒def ∀x ∈ U, ∃Vx ∈ VRn (x), Vx ⊂ U : ω exacte sur Vx
⇐⇒def ω admet loc. une primitive
Remarque

ω exacte =⇒ ω loc. exacte
∀j ∈ J, ω f erm´
ee sur Vj =⇒ ω f erm´
ee sur

[
j∈J

Th´
eor`
eme 2.5.13 (de Poincar´
e local)

p, k ∈ N∗ ,

23

Vj

ω ∈ Ωpk (U ),
ω loc. exacte ⇐⇒ ω f erm´
ee

Corollaire 2.5.14 (du th. de Poincar´
e)

U ouvert de Rn , e´toil´
e,
p ∈ N∗ , k ∈ N \ N1 ,
ω ∈ Ωpk (U ), f erm´
ee
=⇒
∃α ∈ Ωpk−1 (U ) : dα = ω
et
([β ∈ Ωpk−1 (U ) et dβ = ω] ⇐⇒ [∃γ0 ∈ Ω1k−2 (U ) : β = α + dγ0 et dγ0 ∈ Ω1k−1 (U )])

Corollaire 2.5.15 (du th. de Poincar´
e)
U ouvert de Rn , e´toil´
e,
p ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωp1 (U ), f erm´
ee
=⇒
∃α ∈ Ωp0 (U ) [ou mieux Ωp+1
(U )] : dα = ω
0
et
([β ∈ Ωpk−1 (U ) et dβ = ω] ⇐⇒ [∃c0 ∈ R : β = α + c0 ])
[Remarque : β = α + c0 ∈ Ωp+1
(U )]
0

Remarques et propositions compl´
ementaires

1) (li )i∈N∗ 2 a
` 2 distincts ⊂ N∗n
k

⇐⇒
∃(ji )i∈N∗ ⊂ N∗n , strict. %, ∃!σ˜1 : ∀i ∈ N∗k ji = lσ˜1 (i)
k

⇐⇒
24

∃(ji )i∈N∗ ⊂ N∗n , strict. %, ∃!σ˜2 : ∀i ∈ N∗k li = jσ˜2 (i)
k

2) det[(aij )i,j∈N∗k ] =def

X

Y

ε(σ)

aσ(j),j =

j∈N∗
k

σ∈Sk

X

ε(σ)

Y

ai,σ(i)

i∈N∗
k

σ∈Sk

3)f : Rn −→ Rn : x = (xj )j∈N∗n 7−→ [fi (x)]i∈N∗n , ∈ C 1 (Rn , Rn )
∀a ∈ Rn
Jf (a) = det
^
i∈N∗
k

h

∂fi
∂xj (a)



i

(i,j)∈N∗
n ×Nn

X

dfi =

(ji )i∈N∗ ⊂N∗
n , strict. %

det

i^
h ∂f
i
dxji
∂xji (i,ji )∈N∗ ×N∗

k

k

25

n

i∈Nk

Chapitre 3

INTEGRALE
CURVILIGNE

Dans tout le chapitre, U ouvert de Rn et O(Rn ) = {U ∈ P(Rn )|U ouvert de Rn }

3.1

Rappels sur les arcs


efinition 3.1.1
1) Γ arc de Rn ⇐⇒def ∃ a, b ∈ R : Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn )

2) Γ : [a, b] −→ Rn , arc f erm´
e de Rn ⇐⇒def Γ : [a, b] −→ Rn arc de Rn et Γ(a) = Γ(b)

3) Γ : [a, b] −→ Rn , arc (de Rn ) dans A ⊂ Rn ⇐⇒def Γ : [a, b] −→ Rn arc de Rn et Γ([a, b]) ⊂ A

4) Γ : [a, b] −→ Rn , arc de Rn , C 1 par morceaux (ou chemin de Rn )
⇐⇒def
Γ : [a, b] −→ Rn , arc de Rn
et
∃p ∈ N∗ ∃(ti )i∈Np subdivision de [a, b]
[c`
ad a = <i∈Np ti = b]

26

et
∀i ∈ Np−1 Γ|]ti ,ti+1 [ arc de Rn , C 1
et
(j),−

∀i ∈ Np , ∀j ∈ N1 , ∃bi

(j),+

, bi

(j),−

∈ R, lim− Γ(j) (t) = bi
t→ti

(j),+

et lim+ Γ(j) (t) = bi
t→ti

5) x0 , x1 ∈ Rn
a) [x0 , x1 ] =def {(1 − t)x0 + tx1 |t ∈ [0, 1]}
ou
b) [x0 , x1 ] : [0, 1] −→ Rn : t 7−→ (1 − t)x0 + tx1 , arc C 1


efinition 3.1.2
1) γ1 : [a1 , b1 ] −→ Rn , arc
γ2 : [a2 , b2 ] −→ Rn , arc
telles que γ1 (b1 ) = γ2 (a2 )
γ1 ∪ γ2 :def [a1 , b2 + (b1 − a2 )] −→ Rn :
(
γ1 (t) si t ∈ [a1 , b1 ]
t 7−→ (γ1 ∪ γ2 )(t) =
γ2 [t − (b1 − a2 )] si t ∈ [b1 , b2 + (b1 − a2 )]

, arc

Remarque :

t ∈ [b1 , b2 + (b1 − a2 )] ⇐⇒ t − (b1 − a2 ) ∈ [a2 , b2 ]

Sch´
ema :

Remarque 3.1.3
Γ chemin de Rn =⇒ ∃p ∈ N (ou N∗ ), ∀i ∈ Np , γi arc de Rn , C 1 et Γ =

[
i∈Np

27

γi

3.2

Int´
egrale le long d’un arc


efinition 3.2.1
ω ∈ Ω01 ([a, b])
=⇒
∃f ∈ Ω00 ([a, b]) = C 0 ([a, b], R) : ω = f dx
et
Z

b

b

Z
ω =def

f (x)dx (int´
egrale de Riemann)

a

a


efinition 3.2.2
ω ∈ Ω01 (U ),
Γ : [a, b] −→ Rn arc (de Rn ) dans U,
Z

Z

b

ω =def
Γ



Γ∗ (ω) , Γ∗ (ω) ∈ Ω01 ([a, b])

a

Remarque 3.2.3
1) ∀λ1 , λ2 ∈ R, ∀ω1 , ω2 ∈ Ω01 (U ),
Z
Z
Z
λ1 ω1 + λ2 ω2 = λ1 ω1 + λ2 ω2
Γ

Γ

Γ

2) ω ∈ Ω01 (U ),
Γ : [a, b] −→ Rn , arc C 1 (de Rn ) dans U : ∃p ∈ N (ou N∗ ), ∀i ∈ Np , γi arc de Rn , C 1 et Γ =

[
i∈Np

=⇒
Z
XZ
ω=
ω
Γ

i∈Np

γi


efinition 3.2.4
ω ∈ Ω01 (U ),
Γ chemin de Rn =⇒ ∃p ∈ N (ou N∗ ), ∀i ∈ Np , γi arc de Rn , C 1 et Γ =

[
i∈Np

28

γi

γi

Z
ω =def
Γ

XZ

ω

γi

i∈Np

(d´
ef inition ind´
ependante du d´
ecoupage)

Proposition 3.2.5 (Expression de l’int´
egrale curviligne )

ω ∈ Ω01 (U ),
Γ : [a, b] −→ Rn : t 7−→ (Γi (t))i∈N∗n , arc C 1 (de Rn ) dans U
=⇒
Γ∗ (ω) =

X

(ai ◦ Γ)dΓi

i∈N∗
n

et
Z

b

Z

(∗)



ω =def
Γ

Γ (ω) =
a

XZ
i∈N∗
n

b

ai [Γ(t)]Γ0i (t)dt

a

[∀i ∈ N∗n , hi : [a, b] −→ R : t 7−→ ai [Γ(t)]Γ0i (t), arc C 1 ]

Remarque 3.2.6
1) (∗) reste valable si Γ chemin dans U (dans ce cas ∀i ∈ N∗n , hi est C 1 par morceaux)

2)ω ∈ Ω01 (U ),
Γ : [a, b] −→ R

n

Z
: t 7−→ c =⇒

ω=0
Γ

3.3

Primitives et integrales curvilignes

Proposition 3.3.1
ω ∈ Ω01 (U ),
f primitive de ω [c`
ad f ∈ Ω01 (U ) : df = ω],

29

=⇒
∀Γ : [a, b] −→ Rn , chemin (de Rn ) dans U,

Z
ω = f [Γ(b)] − f [Γ(a)]
Γ

Corollaire 3.3.2
ω ∈ Ω01 (U ),
ω exacte =⇒ ∀Γ : [a, b] −→ Rn , chemin f erm´
e (de Rn ) dans U

Z
ω=0
Γ

Th´
eor`
eme 3.3.3
ω ∈ Ω01 (U ),
ω exacte ⇐⇒ ∀Γ : [a, b] −→ Rn , chemin f erm´
e (de Rn ) dans U

Z
ω=0
Γ

Th´
eor`
eme 3.3.4
t

U ouvert de Rn e´toil´
e\ a
` x0 ,
[x0 , x], [x, y], [y, x0 ] ⊂ U,
ω ∈ Ω01 (U ),
Z
ω exacte ⇐⇒

ω=0
[x0 ,x]∪[x,y]∪[y,x0 ]

Corollaire 3.3.5
U ouvert de Rn convexe,
ω ∈ Ω01 (U ),
Z
ω exacte ⇐⇒ ∀x, y, z ∈ U

ω=0
[x,y]∪[y,z]∪[z,x]

Corollaire 3.3.6
1) ω ∈ Ω01 (U )
alors les cond. suivantes sont ∼:
(i) ω loc. exacte
30

(ii) ∀x ∈ U, ∃rx > 0, ∀Γ : [a, b] −→ Rn , chemin f erm´
e (de Rn )dans B(x, rx ),
Z
(iii) ∀x ∈ U, ∃rx > 0, ∀y, z ∈ B(x, rx ),
ω=0

Z
ω=0
Γ

[x,y]∪[y,z]∪[z,x]

2) ω ∈ Ω11 (U ),
alors les cond. suivantes sont ∼:
(i), (ii), (iii)
(iv) ω f erm´
ee

3.4

Primitive d’une 1-forme le long d’un arc


efinition 3.4.1
ω ∈ Ω01 (U ),
Γ : [a, b] −→ Rn , arc (de Rn ) dans U,
F primitive de ω le long de Γ
⇐⇒def
F ∈ Ω00 ([a, b]) = C 0 ([a, b], R),
∀τ ∈ [a, b], ∃V ∈ V[a,b] (τ )

T

O(R), ∃W ∈ VU (Γ(τ ))

T

O(Rn ), ∃f primitive de ω sur W :

Γ(V ) ⊂ W et ∀t ∈ V, F (t) = f (Γ(t))

Remarque 3.4.2
1) Dans 4.1 on peut prendre W aussi petit que l0 on veut
par exemple a
` la place de V, W
on peut prendre W 0 ⊂ W et V 0 = V ∩ Γ−1 (W 0 ) [Γ(V 0 ) ⊂ W 0 ]

2) ω, f ∈ Ω01 (U ),
df = ω =⇒ ∀Γ arc (de Rn ) dans U, f ◦ Γ primitive de ω le long de Γ
31

Proposition 3.4.3
ω ∈ Ω01 (U ),
Γ : [a, b] −→ Rn , arc (de Rn ) dans U,
∃F primitive de ω le long de Γ
=⇒
∀G primitive de ω le long de Γ,
∃c ∈ R G = F + c

Proposition 3.4.4
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte (sur U ),
K compact de U
=⇒
∃ε > 0 ∀x ∈ K B(x, ε) ⊂ U et ω exacte sur B(x, ε)

Th´
eor`
eme 3.4.5 (3.5.4 g´
en´
eralise 3.4.5)

ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte (sur U ),
Γ : [a, b] −→ Rn , arc (de Rn ) dans U
=⇒
∃F : [a, b] −→ R primitive de ω le long de Γ
et
Z
ω = F (b) − F (a)]

[Γ chemin =⇒
Γ

32


efinition 3.4.6
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte (sur U ),
Γ : [a, b] −→ Rn , arc (de Rn ) dans U,
=⇒
Z
∀F primitive de ω le long de Γ,

ω =def F (b) − F (a)
Γ

Remarque 3.4.7
1) U ne primitive le long d0 un chemin e´tant d´
etermin´
ea
` 1 constante additive pr`
es
, la d´
ef inition pr´
ec´
edente est ind´
ependante du choix de F.

2) d0 apr`
es 4.5 si Γ chemin, cette nouvelle d´
ef inition co¨incide avec l0 ancienne.

Z
3) On sait maintenant d´
ef inir

ω :
Γ

∗ si Γ chemin dans U et ω ∈ Ω01 (U )
∗ si Γ arc dans U et ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte (sur U )

3.5

Primitive d’une 1-forme suivant une application continue sur un rectangle


efinition 3.5.1
ω ∈ Ω01 (U ),
R = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] (a1 < b1 , a2 < b2 ),
δ ∈ C 0 (R, Rn ) : δ(R) ⊂ U,
F primitive de ω suivant δ
⇐⇒def

33

F ∈ Ω00 (R) = C 0 (R, R),
∀τ ∈ R, ∃V ∈ VR (τ )

T

O(R2 ), ∃W ∈ VU (δ(τ ))

T

O(Rn ), ∃f primitive de ω sur W :

δ(V ) ⊂ W et ∀t ∈ V F (t) = f (δ(t))

Remarque 3.5.2 (Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes)

1) ∃F ∈ Ω10 (U ) : dF = ω =⇒ F ◦ δ primitive de ω suivant δ
2)∀t1 ∈ [a1 , b1 ], δt1 = δ(t1 , .) : [a2 , b2 ] −→ Rn : t2 7−→ δ(t1 , t2 ), arc dans U
∀t2 ∈ [a2 , b2 ], δt2 = δ(., t2 ) : [a1 , b1 ] −→ Rn : t1 7−→ δ(t1 , t2 ), arc dans U

∀t1 ∈ [a1 , b1 ], Ft1 : [a2 , b2 ] −→ Rn : t2 7−→ F (t1 , t2 ), arc dans U
F primitive de ω suivant δ =⇒ Ft1 primitive de ω suivant δt1

∀t2 ∈ [a2 , b2 ], Ft2 : [a1 , b1 ] −→ Rn : t1 7−→ F (t1 , t2 ), arc dans U
F primitive de ω suivant δ =⇒ Ft2 primitive de ω suivant δt2

Lemme 3.5.3 (recollement des primitives)

ω ∈ Ω01 (U ),
R = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] (a1 < b1 , a2 < b2 ),
R1 , R2 2 rectangles de R avec un cot´
e commun

Sch´
ema :

δ ∈ C 0 (R, Rn ) : δ(R) ⊂ U
∀i ∈ N∗2 , Fi primitive de ω suivant δi = δ|Ri
=⇒
∃F primitive de ω suivant δ|R1 ∪R2

34

Th´
eor`
eme 3.5.4 [generalisation de 3.4.5]

ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte
R = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] (a1 < b1 , a2 < b2 )
δ ∈ C 0 (R, Rn ) : δ(R) ⊂ U
=⇒
∃F ∈ F(R, R) : F primitive de ω suivant δ

3.6

Homotopie

Remarque 3.6.1
γ : [a, b] −→ Rn , chemin dans U
Γ : [0, 1] −→ Rn : t 7−→ γ[(1 − t)a + tb]
Z
Z
Γ chemin dans U et ∀ω ∈ Ω01 (U ),
ω=
ω
γ

Γ


efinition 3.6.2
1) γ0 , γ1 : [0, 1] −→ Rn , arcs dans U, homotopes dans U
⇐⇒def
∃δ ∈ C 0 ([0, 1] × [0, 1], Rn ) :
γ0 = δ(., 0) et γ1 = δ(., 1)
δ =def une homotopie de γ0 a
` γ1 , dans U
∀t ∈ [0, 1], γt = δ(., t) arc dans U
Quand t varie de 0 a
` 1 γt se transf orme continument de γ0 a
` γ1 , en restant dans U
(γt )t∈[0,1] d´
ef ormation continue dans U de l0 arc γ0 en l0 arc γ1

35

Sch´
ema :

2) δ homotopie de γ0 a
` γ1 , dans U, avec origine et extr´
emit´
e f ix´
ees
⇐⇒def
δ homotopie de γ0 a
` γ1 , dans U
∀t ∈ [0, 1], γ0 (0) = δ(0, t) = γt (0) et γ0 (1) = δ(1, t) = γt (1)

Sch´
ema :

Th´
eor`
eme 3.6.3
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte,
γ0 , γ1 homotopes dans U, avec origine et extr´
emit´
e f ix´
ees
[c`
ad ayant meme origine et meme extr´
emit´
e]
=⇒
Z
Z
ω=
γ0

ω

γ1


efinition 3.6.4
γ0 , γ1 homotopes dans U, en tant qu0 arcs f erm´
es
⇐⇒def
γ0 , γ1 : [0, 1] −→ R2 , arcs f erm´
es
∃δ homotopie de U de γ0 a
` γ1 : ∀t ∈ [0, 1], γt = δ(., t) [= δt ], arc f erm´
e

Th´
eor`
eme 3.6.5
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte,
γ0 , γ1 homotopes dans U, en tant qu0 arcs f erm´
es
=⇒
Z
Z
ω=
γ0

ω

γ1

36

3.7

Simple connexit´
e


efinition 3.7.1
x ∈ U,
γ0 homotope, en x, dans U, en tant qu0 arc f erm´
e
⇐⇒def
γ1,x : [0, 1] −→ Rn : t 7−→ x
et
γ0 homotope a
` γ1,x dans U, en tant qu0 arc f erm´
e


efinition 3.7.2
U ouvert de Rn , simplement connexe
⇐⇒def
1) U ouvert connexe,
2) ∀γ arc f erm´
e dans U, ∃x ∈ U : γ homotope, en x, dans U, en tant qu0 arc f erm´
e
[c`
ad tout arc f erm´
e dans U se d´
ef orme continument, sans sortir de U, pour donner un point x ∈ U ]

Sch´
ema :

Exemple 3.7.3
1) U convexe =⇒ U e´toil´
e =⇒ U simplement connexe

Sch´
ema :

2) U simplement connexe
3) U non simplement connexe
4) U simplement connexe ⇐⇒ U ouvert connexe ”sans trou”
37

Th´
eor`
eme 3.7.4 [am´
elioration du th´
eor`
eme de Poincar´
e]

U ouvert de Rn , simplement connexe
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte [par exemple ω ∈ Ω11 (U ), f erm´
ee]
=⇒
Z
1) ∀γ arc f erm´
e dans U,

ω = 0,
γ

2) ω exacte

38



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