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relations metriques dans un triangle quelconque .pdf


Nom original: relations metriques dans un triangle quelconque.pdf
Auteur: starinfo

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I) Notations utilisées
Nous utiliserons les notations suivantes pour un triangle ABC donné.
On désignera par :
Ø a, b, c : les longueurs des côtés opposés
aux sommets A, B et C.
µ B
·,
, µ , Cµ : les angles géométriques BAC
Ø A
· et ACB
·.
ABC
Ø S : l’aire du triangle.
Ø R le rayon du cercle circonscrit du
triangle ABC
µ +B
µ +
Rappel : A

µ =180°
C

.

II) Relation d’Al Kashi
µ
Théorème : a2 =b2 + c2 - 2bc cos A
Remarques :
Cette relation peut être appliquée :
· soit pour calculer l’angle si le triangle est donné par les longueurs a, b et c de
ses trois côtés ;
· soit pour calculer le côté manquant, lorsque le triangle est donné par 2
longueurs et un angle.
. On pourrait donner 2 autres relations , une commençant par b2 = et l’autre par
c2 = . En fait, on retiendra la configuration...
III) Théorème de la médiane
Théorème : Soit I le milieu du segment [BC] et mA la
longueur de la médiane [AI].
Ø AB2 + AC2 = 2AI2 +
Ø mA2=

1
BC2
2

.

1 2 2 1 2
(b + c ) - 4 a
2

IV) Compléments : formules de l’aire et des sinus
µ = 1 ac sin B
µ = 1 ab sin C
µ
Ø Formule de l’aire : S= 1 bc sin A
.
2

Ø Formule des sinus

a

2

b

: µ = µ = µ = abc = 2R
sin A sin B sin C 2S

2

c

Remarque : Cette relation peut être utilisée :
· soit pour calculer la longueur d’un côté, lorsque le triangle est donné par 2
angles et un côté ;
· soit pour calculer un angle si le triangle est donné par 2 longueurs et un angle
opposé à l’un des côtés précédents.
ATTENTION : Dans ce cas, on déterminera si l’angle cherché est obtus ou aigu.


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