ERatt2+Corrigé Maths2 SM 16 17 .pdf


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A.U 2016-2017
Dur´
ee:1h 30mn

)

Universit´
e de Tlemcen Mercredi 07/06/2017
Facult´
e des Sciences-Tronc Commun SM

ce
n

Rattrapage (Maths2)

ni
v.

Tl
em

(L’usage de la calculatrice est interdit)

(U

Exercice 1:(05pts)

es

1. Ecrire la formule de Maclaurin a` l’ordre 5 en 0 de sin x.

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

sin x − x
= 0.
x→0
x2

Sc

ie
nc

2. En d´eduire que lim

1. Montrer que ∀x ∈ R,

1
1+ex

=1−

de
s

Exercice 2:(08pts)
ex
.
1+ex

ul


2. Calculer la d´eriv´ee de ln(1 + ex ).

Fa
c

3. R´esoudre l’´equation diff´erentielle

)~

(ex + 1)y 0 − y =

ex
.
1 + x2

T

(S
2

4. Donner la solution y(x) de l’´equation (1) telle que y(0) = − π4 .

LM

D

SM

/S

Exercice 3:(7pts) Soit la matrice


α 2 1
A =  0 α −1 ; α ∈ R
1 1 −2

e

1. Montrer que ∀α ∈ R : det A 6= 0.

Pr
em


r

2. Dans la suite, on consid`ere α = 1.
(a) Ecrire A.
(b) Donner la valeur de det A.
(c) D´eterminer A−1 , la matrice inverse de A.

 x + 2y + z = 2
y−z =2
(d) En d´eduire les solutions du syst`eme (S) :

x + y − 2z = 4

(1)

A.U 2016-2017
Dur´
ee:1h 30mn

)

Universit´
e de Tlemcen Mercredi 07/06/2017
Facult´
e des Sciences-Tronc Commun SM

Tl
em

ce
n

Corrig´
e Rattrapage (Maths2)

ni
v.

Exercice 1:(05pts)

(0.25)
(0.25)
(0.25)
(0.25)
(x−0)
(x−0)2
(x−0)3
(x−0)4
0
(2)
(3)
sin x = sin(0)+ 1! sin (0)+ 2! sin (0)+ 3! sin (0)+ 4! sin(4) (0)+
(0.25)
(0.25)
(x−0)5
(x−0)6
(5)
sin (0) + 6! sin(θx); o`
u θ ∈]0, 1[(0.25)
5!
(0.25)
(0.25)
(0.25)
(0.25)
x3
x5
x6
d’o`
u sin x = x − 3! + 5! − 6! sin(θx); θ ∈]0, 1[.
sin x−x (01)
=
x2

3

Sc

ie
nc

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es

1.

(U

(0.25)

4

− 3!x + x5! − x6! sin(θx), en passant `a la limite lorsque x → 0, on

x
sin x − x
x3 x4
obtient lim
= lim − +

sin(θx) = 0 (01).
x→0
x→0
x2
3!
5!
6!

ul


de
s

2. On a

x

x

Fa
c

Exercice 2:(08pts)

x

(S
2

)~

1
1+e −e
e
1. ∀x ∈ R, 1+e
= 1 − 1+e
x =
x . (0.5)
1+ex

0
ex
2. ln(1 + ex ) = 1+e
x , ∀x ∈ R.(0.5)

3. R´esolution de l’´equation diff´erentielle
(0.25)

SM

/S
T

dy
• ESSM: (0.25)(ex + 1)y 0 − y = 0 ⇐⇒ (ex + 1) dx
= y ⇐⇒ dy
=
y


R
R
(0.5)
(0.5)
x
dx
e
⇐⇒ ln |y| = exdx+1 ⇐⇒ ln |y| =
1 − 1+e
x dx ⇐⇒ ln |y| =
ex +1
1

x − ln (1 + ex ) + c ; c ∈ R ⇐⇒ |y| = ex .eln 1+ex .ec (0.25). Ainsi

Pr
em


r

e

LM

D

(0.25)

(0.25)

(0.25)

(0.5)

y0 =

kex
, k ∈ R(0.25)
1 + ex

• EASM: On cherche une solution particuli`ere de la forme
yp =

k(x).ex
(0.25)
1 + ex
(0.5) ex .k0 (x)
1+ex

Calculons yp0 et substituons dans l’´equation (1), yp0 =

+

ex .k(x)
,
(1+ex )2

(0.25)

1
on obtient de (1) k 0 (x) = 1+x
2 =⇒ k(x) = arctan x. (0.5) Ainsi yp =
x
e . arctan x
(0.5) est une solution particuli`ere de l’´equation (1). Finallement
1+ex
(0.25)

la solution g´en´erale est donn´ee par: ∀x ∈ R, yG = yp + y0 =
arctan x), k ∈ R, (0.5)
1

ex
(k
1+ex

+

0

k = − π2 (0.5). D’o`
u

⇐⇒

ce
n

)

e
π
4. y(0) = − π4 ⇐⇒ 1+e
0 (k + arctan 0) = − 4
ex
π
y(x) = 1+e
x (− 2 + arctan x) (0.5)

ie
nc

es

(b) det A = −4(0.5).

de
s


1 2 1
(a) A = 0 1 −1 (0.5)
1 1 −2

Sc

2. Soit α = 1




/S

T

(S
2

)~

Fa
c

ul



A11 A12 A13
(c) A−1 = det1 A t(ComA)(0.25). ComA = A21 A22 A23  o`
u
A31 A32 A33
A11 = −1 (0.25), A12 = −1 (0.25), A11 = −1 ((0.25), A21 = 5 (0.25),
A22 = −3 (0.25), A23 = 1 (0.25), A31 = −3 (0.25), A32 = 1 (0.25),
A33 = 1. (0.25)


1/4 −5/4 3/4
A−1 = 1/4 3/4 −1/4 (0.5)
1/4 −1/4 −1/4


r

e

LM

D

SM

 
 
x
2
(0.5)
(0.5)
(d) (S) ⇐⇒ A.X = B ⇐⇒ X = A−1 B o`
u X = y  (0.25) et B = 2 (0.25).
z
4
 
1
Ainsi X =  1  (0.5)
−1

Pr
em

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(U

ni
v.

Tl
em

Exercice 3:(7pts) Soit la matrice


α 2 1
A =  0 α −1 ; α ∈ R
1 1 −2


α −1

= −2(α2 + 1).(0.5) On a ∀α ∈ R : α2 + 1 6=
1. ∀α ∈ R : det A = α
1 −2
0(0.25), ainsi ∀α ∈ R : det A 6= 0.(0.25)

2


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