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Comparaison des suites en l’infini
Plan du chapitre
1 Les différentes relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2

2
3

1.1 Définition des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.1.1 Relation de domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.1.2 Relation de prépondérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3
1.1.3 Relation d’équivalence des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 4
1.2 Propriétés des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 6
1.2.1 Propriétés de o et O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6
1.1.2 Propriétés de ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 8
Les théorèmes de croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 12
Quelques applications des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 13
3.1 Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 13
3.2 Etudes de signes au voisinage de +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 14

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1

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1

Les différentes relations de comparaison

1.1
1.1.1

Définition des relations de comparaison
Relation de domination

Définition 1. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites complexes.
Si la suite v ne s’annule

pas à partir d’un certain rang n0 , dire que la suite u est dominée par la suite v équivaut à
un
dire que la suite
est bornée.
vn n>n0
Dit autrement, si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles, la suite (vn )n∈N ne s’annulant pas à partir d’un certain
rang, la suite (un )n∈N est dominée par la suite (vn )n∈N si et seulement si
∃M ∈ R, ∃n0 ∈ N/ ∀n > n0 , |un | 6 M |vn | .
Notations. Quand la suite u est dominée par la suite v, on écrit
un = O (vn ) (notation de Landau)
+∞

ou
un 4 vn (notation de Hardy).
+∞

La notation la plus fréquemment utilisée est la notation de Landau un = O (vn ) mais la notation de Hardy un 4 vn
+∞

+∞

est parfois utilisée, cette notation ayant entre autre le mérite de pouvoir être renversée : si la suite v domine la suite u,
on écrit vn < un .
+∞

➱ Commentaire . Il faut expliquer chacune des deux notations. La lettre O est l’initiale de l’expression « ordre de grandeur ».
Dire que un = O (vn ) signifie que l’ordre de grandeur en +∞ de la suite (un )n∈N est inférieur ou égal à l’ordre de grandeur de la
+∞

n

1
1
2
suite (vn )n∈N en +∞. Par exemple, n = O n ou 2 = O
car chacune des deux
ou aussi n = O (n) ou 2n = O
+∞
+∞
+∞
n +∞
n
2
n
suites (2n)n∈N et
a le même ordre de grandeur à savoir l’ordre de grandeur de la suite (n)n∈N .
2 n∈N
Ensuite, il ne faut pas confondre 4 avec 6. 6 est la relation d’ordre usuelle permettant de comparer à n fixé les nombres un et
+∞

vn . Par exemple, ∀n ∈ N, n 6 n2 mais ∃n ∈ N, 2n − 3 66 n car ∀n > 4, 2n − 3 > n. Par contre, on a 2n − 3 4 n car l’ordre de
+∞

grandeur de 2n − 3 = 2n1 − 3, à savoir l’exposant 1 est le même que l’ordre de
grandeur de n = n1 . On peut démontrer directement
2n − 3
3
2n − 3
le fait que 2n − 3 4 n : pour n > 2, 0 6
= 2 − 6 2 et donc la suite
est bornée.
n
n
n
+∞
n>2

Théorème 1. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites complexes.
Si la suite v ne s’annule pas, un = O (vn ) si et seulement si il existe une suite bornée (wn )n∈N telle que ∀n ∈ N,
+∞
un = vn wn .
Démonstration .

Soit w =

u
. Alors, pour tout n ∈ N, un = vn wn . De plus, un = O (vn ) si et seulement si la suite w est
+∞
v

bornée.


En particulier, on a immédiatement
Théorème 2. Soit (un )n∈N une suite complexe.
(un )n∈N est bornée si et seulement si un = O (1).
+∞

Exemples.


1
= O (1).
n +∞

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2

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2n + 3
2n + 3
est convergente et en particulier bornée.
= O (1) car la suite

n − 5 +∞
n−5
2n + 3
1
• 2
car pour n > 3,
= O
n − 5 +∞
n


(2n + 3)/(n2 − 5) 2n2 + 3n
45
1
2n2 + 3n2
1

=
=
6
6
=


2
2
1
1
1 1
1/n
n −5
n −5
4


5 n2
5 9


(2n + 3)/(n2 − 5)
et donc la suite
est bornée.
1/n
n∈N

3
1

.
= O
+∞
n
n
einπ/3
= O (1).

n +∞
1.1.2



Relation de prépondérance

Définition 2. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites complexes.
On suppose que la suite (vn )n∈N ne s’annule pas à partir d’un certain
rang n0 . On dit que la suite (un )n∈N est
un
converge et a pour limite 0.
négligeable devant la suite (vn )n∈N si et seulement si la suite
vn n>n0
Dit autrement, si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles, la suite (vn )n∈N ne s’annulant pas à partir d’un certain
rang, la suite (un )n∈N est négligeable par la suite (vn )n∈N si et seulement si
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N/ ∀n ∈ N, (n > n0 ⇒ |un | 6 ε |vn |) .
Notations. Quand la suite u est négligeable par la suite v, on écrit
un = o (vn ) (notation de Landau)
+∞

ou
un ≪ vn (notation de Hardy).
+∞

La notation la plus fréquemment utilisée est la notation de Landau un = o (vn ) mais la notation de Hardy un ≪ vn
+∞

+∞

est parfois utilisée, cette notation ayant entre autre le mérite de pouvoir être renversée : si la suite v est prépondérante
devant la suite u, on écrit vn ≫ un .

+∞

➱ Commentaire . Dire que un = o (vn ) signifie que l’ordre de grandeur en +∞ de la suite (un )n∈N est strictement inférieur
+∞

à l’ordre de grandeur de la suite (vn )n∈N en +∞. Par exemple, n = o n
+∞

2

1/n
1
=
1/n
n



n→+∞

2



1
ou 2 = o
n +∞


1
. En effet
n

0.

Théorème 3. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites complexes.
Si la suite v ne s’annule pas, un = o (vn ) si et seulement si il existe une suite (wn )n∈N convergente, de limite nulle,
+∞

telle que ∀n ∈ N, un = vn wn .
Démonstration .

Soit w =

u
. Alors, pour tout n ∈ N, un = vn wn . De plus, un = o (vn ) si et seulement si la suite w
+∞
v

converge vers 0.


Les deux théorèmes suivants sont immédiats.

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Théorème 4. Soit (un )n∈N une suite complexe.
(un )n∈N converge vers 0 si et seulement si un = o (1).
+∞

Plus généralement, un


n→+∞

ℓ ∈ C si et seulement si un = ℓ + o (1).
+∞

➱ Commentaire . Le théorème 4 énonce explicitement des résultats immédiats. Le but est de s’approprier des notations. Par

n
X
1
, converge
k
k=1
vers γ la constante d’Euler. Ceci s’écrivait jusque là lim (Hn − ln n) = γ et pourra dorénavant s’écrire Hn − ln n = γ + o(1)

exemple, un exercice classique de classes préparatoires consiste à montrer que la suite (Hn − ln n)n∈N∗ où Hn =
n→+∞

n→+∞

ce qui se lit Hn − ln n est égal à γ plus une suite tendant vers 0 quand n tend vers +∞. On peut donc aussi écrire
Hn

=

n→+∞

ln n + γ + o(1).

Théorème 5. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites complexes.
un = o (vn ) ⇒ un = O (vn ).
+∞

1.1.3

+∞

Relation d’équivalence des suites

Définition 3. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites complexes ne s’annulant pas à partir d’un certain rang.
un
On dit que la suite u est équivalente à la suite v en +∞ si et seulement si
tend vers 1 quand n tend vers +∞.
vn
Notation. Quand la suite u est équivalente à la suite v en +∞, on écrit un ∼ vn .



+∞

Exemple. 2n2 − 3n + 5



n→+∞

2n2 car

2n2 − 3n + 5
3
5
=1−
+
2n2
2n 2n2


n→+∞

1.

Théorème 6. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites complexes ne s’annulant pas à partir d’un certain rang.
un ∼ vn ⇔ un = vn + o (vn ) .
+∞

+∞

Démonstration .
un ∼ vn ⇔
+∞

un
vn



n→+∞

1⇔

un
vn

=

n→+∞

1 + o(1) ⇔ un = vn + vn o (1)
+∞

vn o(1)
⇔ un = vn + o (vn ) (car
= o(1) → 0).
+∞
n→+∞
vn



Par exemple, dire que n2 − 3n + 5

n2 − 3n + 5 = n2 + o n2 .



n→+∞

n2 équivaut à dire que −3n + 5 est négligeable devant n2 et donc que

n→+∞

 On met tout de suite en garde contre une erreur classique.

Les phrases « un



n→+∞

vn » et « un − vn



1
1
1
1
En effet, les suites
et
vérifient − 2
n
n2
n n
ne sont pas des suites équivalentes. Donc,
un − vn

→ 0 » n’ont aucun rapport.

n→+∞

1/n
→ 0 mais
= n → +∞ et donc
n→+∞
n→+∞
1/n2


n→+∞

0 6⇒ un



n→+∞


1
1
et
n
n2

vn .



1
n2 + n
=1+
De même, les suites n2 + n et n2 sont équivalentes car
2
n
n

Mais n2 + n − n2 = n → +∞. Donc,


n→+∞

1.

n→+∞

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4

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un

n→+∞

vn 6⇒ un − vn


n→+∞

0.

On donne maintenant un formulaire d’équivalents usuels. Ce formulaire est un démarrage et sera largement complété dans
le chapitre « Comparaison des fonctions en un point ».
Théorème 7. Formulaire d’équivalents usuels.
Soit (un )n∈N une suite ne s’annulant pas à partir d’un certain rang telle que
α

lim un = 0.

n→+∞

α

• ∀α ∈ R∗ , (1 + un ) − 1 ∼ αun ou encore (1 + un )
= 1 + αun + o (un ).
n→+∞
n→+∞
1
1
− 1 ∼ un ou encore
= 1 + un + o (un ).

n→+∞
1 − un
1 − un n→+∞
1
1

− 1 ∼ −un ou encore
= 1 − un + o (un ).
n→+∞
1 + un
1 + un n→+∞


1
1
un ou encore 1 + un = 1 + un + o (un ).
• 1 + un − 1 ∼
n→+∞ 2
n→+∞
2
• eun − 1

• ln (1 + un )

• sin (un )



n→+∞

=

n→+∞

un ou encore sin (un )



un ou encore tan (un )

n→+∞

• Arcsin (un )

• Arctan (un )


=

n→+∞

=

n→+∞

=

n→+∞

un ou encore Arcsin (un )



un ou encore Arctan (un )

n→+∞

un ou encore sh (un )
u2n

=

n→+∞

un + o (un ) (ou aussi si un



n→+∞

1, ln (un )



n→+∞

un − 1).

un + o (un ).



n→+∞

n→+∞

1 + un + o (un ).

un ou encore ln (1 + un )



n→+∞

• tan (un )

• sh (un )

un ou encore eun



n→+∞

un + o (un ).
=

n→+∞

un + o (un ).

=

n→+∞

un + o (un ).

un + o (un ).


u2n
+ o u2n .
n→+∞ 2
n→+∞
2

u2n
u2n
ou encore ch (un ) = 1 +
+ o u2n .
• ch (un ) − 1 ∼
n→+∞
n→+∞ 2
2

• 1 − cos (un )



ou encore cos (un )

=

1−

Démonstration .
• Si f est une fonction définie sur un intervalle de la forme ] − a, a[ (a > 0) vérifiant f(0) = 0 et f ′ (0) = 1, alors
lim

u→0

f(u)
f(u) − f(0)
= lim
= f ′ (0) = 1.
u→0
u
u−0

Puisque (un ) est une suite ne s’annulant pas à partir d’un certain rang de limite nulle, on a donc
f (un )



n→+∞

lim

n→+∞

un . Ceci montre que
eun − 1



n→+∞

un , ln (1 + un )

Arcsin (un )



n→+∞



n→+∞

un , sin (un )

un , Arctan (un )



n→+∞



n→+∞

un , tan (un )

un , sh (un )



n→+∞



n→+∞

f (un )
= 1 ou encore
un

un ,

un .

• Soit α ∈ R∗ . Pour u > −1, posons f(u) = (1 + u)α .
lim

u→0

f(u) − f(0)
(1 + u)α − 1
= lim
= f ′ (0) = α(1 + 0)α−1 = α.
u→0
u
u−0

(1 + un )α − 1
= 1 ou encore que (1 + un )α − 1 ∼ αun .
On en déduit que lim
n→+∞
n→+∞
αun

1
1
En particulier, 1 + un − 1 = (1 + un ) 2 − 1 ∼
un .
n→+∞ 2
1
1
et
à partir de la formule précédente appliquée à α = −1. Mais on peut peut
1 − un
1 + un
obtenir cet équivalent directement par un calcul algébrique :

• On peut donner un équivalent de

1
−1
1 − (1 − un )
1
1 − un
=
→ 1
=
un
un (1 − un )
1 − un n→+∞
1
1
− 1 ∼ un . En remplaçant un par −un , on obtient
− 1 ∼ −un .
et donc
n→+∞
n→+∞
1 − un
1 + un

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u
u 2

n
n
2 sin
sin
u2n
1 − cos (un )
2
2


=
=


1
et
donc
1

cos
(u

. La démarche est analogue pour le cosinus
n)
2
2
u
n
n→+∞
n→+∞ 2
un
un
2
2
2
u
n
(démontrez d’abord cette formule).
hyperbolique à partir de la formule ch (un ) − 1 = 2 sh2
2


1.2

Propriétés des relations de comparaison

1.2.1

Propriétés de o et O

Dans les théorèmes qui suivent, (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N . . . sont des suites complexes, ne s’annulant pas à partir d’un
certain rang si nécessaire.
Théorème 8.
• Si un

O (vn ) et vn

=

n→+∞

O (wn ), alors un

=

n→+∞

O (O (un ))
• Si un

o (vn ) et vn

=

n→+∞

=

n→+∞

o (wn ), alors un

=

n→+∞

o (wn ) ou si un

O (o (un ))
Démonstration .

=

n→+∞

=

un

=

=

n→+∞

=

n→+∞

o (un ) et o (O (un ))

=

n→+∞

o (wn ), alors les suites

o (wn ).

un
vn



et
n>n0

=

=

n→+∞

O (wn ), alors un

=

n→+∞

o (wn ). Dit

o (un ) .



vn
wn



sont bornées. Il en est de même de la suite
n>n0

O (wn ).

n→+∞

un
vn

=

n→+∞

un
vn
un
=
×
.
wn
vn
wn

Pour n supérieur ou égal à un certain n0 ,

o (vn ) et vn

o (un ) .

o (vn ) et vn

=

• Si un = O (vn ) et vn = O (wn ), alors les suites
n→+∞
n→+∞


un
qui est un produit de suites bornées et donc un
wn n>n0
n→+∞

O (un ) .

o (wn ). Dit autrement

n→+∞



• Si un

=

n→+∞

n→+∞

o (o (un ))
• Si un = O (vn ) et vn
n→+∞
autrement

O (wn ). Dit autrement

=

n→+∞



n→+∞

0 et

vn
wn



n→+∞

0. Mais alors,

un
wn



n→+∞

0 × 0 = 0 et donc

• Si un = O (vn ) et vn = o (wn ), il existe M ∈ R tel que, pour n suffisamment grand, |un | 6 M |vn |. Pour n suffisamment
n→+∞
n→+∞



un


6 M vn et donc un → 0 ou encore un = o (wn ).
grand,
wn
n→+∞
wn
wn n→+∞
Si un

= o (vn ) et vn = O (wn ), il existe M ∈ R tel que, pour n suffisamment grand, |vn | 6 M |wn |. Pour n suffisamment
n→+∞




un un



v
n
=
6 M un et donc un → 0 ou encore un = o (wn ).
grand,
×




n→+∞
wn
vn
wn
vn
wn n→+∞

n→+∞



Théorème 9.
• Si vn

=

n→+∞

O (un ) et wn

=

n→+∞

O (un ), alors vn + wn

O (un ) + O (un )
• Si vn

=

n→+∞

o (un ) et wn

=

n→+∞

o (un ), alors vn + wn

=

=

=

6

O (un ) .

o (un ). Dit autrement

n→+∞

Pour n supérieur ou égal à un certain n0 ,

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O (un ). Dit autrement

n→+∞

n→+∞

o (un ) + o (un )
Démonstration .

=

n→+∞

o (un ) .

vn
wn
vn + wn
=
+
.
un
un
un

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vn
wn
• Si vn = O (un ) et wn = O (un ), alors les suites
et
sont bornées. Il en est de même de la suite
n→+∞
n→+∞
un n>n0
un n>n0


vn + wn
qui est une somme de suites bornées et donc vn + wn = O (un ).
n→+∞
un
n>n0
• Si vn

vn + wn

=

o (un ) et wn

=

o (un ).

n→+∞
n→+∞

=

n→+∞

o (un ), alors

vn
un



n→+∞

0 et

wn
un



n→+∞

0. Mais alors,

vn + wn
un



n→+∞

0 + 0 = 0 et donc


Ainsi, par exemple, n + o (n) + 2n + o(n)

=

n→+∞

3n + o (n).

Théorème 10. Soit λ un complexe non nul.
• O (λun )

• o (λun )

=

O (un ).

=

o (un ).

n→+∞
n→+∞

Démonstration .
vn
vn

. La suite
• Pour n ∈ N, posons vn = O (λun ). Alors, pour n supérieur ou égal à un certain n0 ,
un
λun


vn
et donc la suite
est bornée ou encore vn = O (un ).
n→+∞
un n>n0



vn
λun

vn
vn
vn
• Pour n ∈ N, posons vn = o (λun ). Alors, pour n supérieur ou égal à un certain n0 ,
= λ
.
un
λun λun
vn
→ λ × 0 = 0 ou encore vn = o (un ).
n→+∞
un n→+∞

Ainsi, par exemple, o



2n2
3



=

n→+∞

Théorème 11.
• un O (vn )

=

n→+∞

• Si un = o (vn )

=

est bornée
n>n0



n→+∞

0 et donc




o n2 .

O (un vn ). Plus généralement, O (un ) O (vn )

n→+∞



=

n→+∞

o (un vn ). Plus généralement, o (un ) o (vn )

O (un vn ).

=

n→+∞

o (un vn ).

Démonstration .
un O (vn )
O (vn )
• Pour n supérieur ou égal à un certain n0 ,
=
. La suite
un vn
vn


un O (vn )
et donc un O (vn ) = O (un vn ).
n→+∞
un vn
n>n0



O (vn )
vn



est bornée et il en de même de la suite
n>n0



O (un ) O (vn )
O (un )
O (vn )
O (un )
Plus généralement, pour n supérieur ou égal à un certain n0 ,
=
×
. Les suites
et
un vn
un
vn
un
n>n0




O (un ) O (vn )
O (vn )
sont bornées et il en de même de la suite
et donc O (un ) O (vn ) = O (un vn ).
n→+∞
vn
un vn
n>n0
n>n0
• Pour n supérieur ou égal à un certain n0 ,

o (un vn ).

un o (vn )
o (vn ) o (vn )
=
.
un vn
vn
vn

Plus généralement, pour n supérieur ou égal à un certain n0 ,
o (un )
o (vn )
Par suite,
×
un
vn



n→+∞

Ainsi, par exemple, n2 o n4



=

o n6



=

n→+∞

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0 et donc

un o (vn )
un vn



n→+∞

o (un )
o (vn ) o (un )
o (un ) o (vn )
=
×
.
un vn
un
vn
un

0 × 0 = 0 et donc o (un ) o (vn )

n→+∞



n→+∞

=

n→+∞

0 ou encore un o (vn )



n→+∞

0 et

o (vn )
vn

=

n→+∞



n→+∞

0.

o (un vn ).


n6 o(1).

7

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Théorème 12.
• Si un



n→+∞

vn , O (un )

O (vn ). Dit autrement

=

n→+∞

O (un + o (un ))
• Si un



n→+∞

vn , o (un )

=

n→+∞

=

O (un ) .

=

o (un ) .

n→+∞

o (vn ). Dit autrement
o (un + o (un ))

n→+∞

Démonstration .
=

un + O (un ) = O (un ) + O (un ) = O (un ) puis O (un + o (un ))

=

O (un ) puis O (un + o (un ))

• un + o (un )

n→+∞

• un + o (un )

n→+∞

=

n→+∞

o (O (un ))

=

n→+∞

=

n→+∞

O (O (un ))

=

O (un ).

n→+∞

o (un ).



Ainsi, par exemple, o 2n2 − 3n + 5

=

n→+∞

o 2n2



=

n→+∞


o n2 .

Théorème 13. Soit α un réel strictement positif.
α
α
• Si un = O (vn ), alors |un |
= O |vn | . Dit autrement
n→+∞

n→+∞

|O (un )|α

• Si un

=

α

n→+∞

o (vn ), alors |un |

=

n→+∞

o |vn |

α

alors la suite

1.2.2



|un |α
|vn |α

α

=

n→+∞

Pour n supérieur ou égal à un certain n0 ,



est bornée, et si

n>n0

un
vn




O |un |α .

. Dit autrement

|o (un )|
Démonstration .

=

n→+∞

n→+∞

0, alors

α

o |un |

.





un α
|un |α

. Puisque α > 0, si la suite un
est bornée,
α =
|vn |
vn
vn n>n0

|un |α
|vn |α



n→+∞

0.



Propriétés de ∼

Commençons par rappeler que
Théorème 14. Soit (un )n∈N une suite ne s’annulant pas à partir d’un certain rang. un + o (un )
Théorème 15. La relation un



n→+∞



n→+∞

un .

vn est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites ne s’annulant pas à

partir d’un certain rang ou encore, si (un )n∈N , (vn )n∈N et (wn )n∈N sont trois suites ne s’annulant pas à partir d’un
certain rang :
• un ∼ un ;
n→+∞
• un ∼ vn ⇒ vn ∼ un ;
n→+∞

n→+∞
• un ∼ vn et vn ∼ wn ⇒ un
n→+∞

n→+∞



n→+∞

wn .

Démonstration .


un
= 1 → 1 et donc un
n→+∞
un



n→+∞

un .

1
un

= 1 ⇒ vn ∼ un
n→+∞
vn n→+∞ 1
vn
un
un
un
un
→ 1 et
→ 1⇒
=
×
• un ∼ vn et vn ∼ wn ⇒
n→+∞
n→+∞
vn n→+∞
wn n→+∞
wn
vn
wn
• un



n→+∞

vn ⇒

un
vn



n→+∞

1⇒

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8



n→+∞

1 × 1 = 1 ⇒ un



n→+∞

wn


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Théorème 16. Soient (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N et (tn )n∈N quatre suites ne s’annulant pas à partir d’un certain
rang.


• un ∼ wn et vn ∼ tn ⇒ un vn ∼ wn tn .
n→+∞
n→+∞
n→+∞


un
wn
• un ∼ wn et vn ∼ tn ⇒

.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
vn
tn
Exemple. Le théorème précédent dit que dans un produit ou un quotient, si on remplace chaque facteur par un facteur
équivalent, on obtient une suite équivalente. Par exemple, déterminons un équivalent simple en +∞ de




1
1
3
1
× en − 1
+ 2 × cos
sin
n n
n


un =
.

1
ln2 1 + 2 × 4n + 3
2n



3
1
1
1
3
3
3
1
1
1

1, e n − 1


+ 2 → 0, sin
+ 2
+ 2
. De même, cos
,
Puisque

n→+∞
n→+∞ n
n→+∞
n→+∞ n
n→+∞ n
n
n
n
n
n
n



1
1

1
1
∼ (4n) 2 = 2 n. Donc,
ln 1 +

. D’autre part, 4n + 3 ∼ 4n et donc 4n + 3 = (4n + 3) 2
2
2
n→+∞
n→+∞
n→+∞
2n
2n
1
3
×1×

n
n
un ∼
= 6n n.


2
n→+∞

1
×2 n
2
2n

Démonstration .

et donc un vn

et donc

un
vn



n→+∞



n→+∞

Supposons



un



n→+∞

wn et vn



n→+∞


tn .

un vn
un
vn
=
×
wn tn
wn
tn

n→+∞

un /vn
un
tn
=
×
wn /tn
wn
vn

n→+∞

wn tn . De même,



1×1 = 1





wn
.
tn

1
=1
1



Théorème 17. Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles strictement positives à partir d’un certain rang et α un
réel.
Si un



n→+∞

vn alors uα
n

Démonstration .



n→+∞

Si un


n.



n→+∞

vn alors

un
vn



n→+∞

1 puis


n
=

n



un
vn

α



n→+∞

1α = 1 et donc uα
n



n→+∞


n.


Théorème 18. Un polynôme en n, non nul, est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Une fraction rationnelle en n, non nulle, est équivalente au quotient de ses monômes de plus haut degré.
Démonstration .
• Pour n ∈ N, posons P(n) =

p
X
k=0

ak nk où p ∈ N, (a0 , . . . , ap ) ∈ Cp+1 et ap 6= 0. Pour n > 1,
P(n)
ap−1
a0
=1+
+ ... +
.
ap np
ap n
ap np

Donc,

P(n)
ap np

=

n→+∞

1 + o(1) puis P(n)

=

n→+∞

ap np + o (ap np ) ou encore P(n)

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9



n→+∞

ap np .

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p
X

P(n)
k=0
• Pour n suffisamment grand, posons R(n) =
= q
X
Q(n)

ak nk
bk n

k

où (p, q) ∈ N, (a0 , . . . , ap , b0 , . . . , bq ) ∈ Cp+q+2 et ap 6= 0 et bq 6= 0.

k=0

D’après ce qui précède el le théorème 16,
R(n)



n→+∞

ap bq p−q
ap np
=
.
q
bq n
n


Passons maintenant aux principaux problèmes que l’on rencontre avec des équivalents. Il y a cinq pièges quand on les
manipule :






on
on
on
on
on

n’écrit pas qu’une suite est équivalente à 0 ;
ne passe pas aux exponentielles dans des équivalents ;
ne passe pas aux logarithmes dans des équivalents ;
n’additionne pas membre à membre des équivalents ;
ne passe pas de l’autre côté d’un équivalent pour l’addition.

Reprenons ces problèmes dans l’ordre.
Problème no 1.
On n’écrit jamais qu’une suite est équivalente à 0.
La première raison est que l’on a défini la relation un


n→+∞

vn quand (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites ne s’annulant

pas à partir d’un certain rang. Même la définition n’utilisant pas de fractions (un



n→+∞

vn ⇔ un = vn + o (vn )) ne

peut pas fonctionner si (vn )n∈N est la suite nulle car aucune suite n’est négligeable devant la suite nulle.
1
1
1
1
et 2 sont équivalents à 0, alors
et 2 serait équivalents,
On peut aller plus loin. Si on se permettait d’écrire que
n
n
n
n
ce qui n’est pas.
Problème no 2.
On ne passe pas aux exponentielles dans des équivalents.
Par exemple, n2 + n
2
e(n +n)

6∼



n→+∞

n2 mais

2
e(n ) .

2
e(n +n)
= en
e(n2 )


n→+∞

2
+∞ et donc e(n +n)



n→+∞

2
e(n ) et en tout cas,

n→+∞

La règle est permettant de gérer les exponentielles est la suivante :
Théorème 19. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites ne s’annulant pas à partir d’un certain rang.
eun



n→+∞

evn ⇔ un − vn


n→+∞

0.

Dit autrement,
eun +o(1)
Démonstration .

eun



n→+∞

evn ⇔

eun
evn



n→+∞



n→+∞

1 ⇔ eun −vn

eun .
1 ⇔ un − vn



n→+∞



n→+∞

0.


Ainsi, on obtient un équivalent d’une suite du type eun en effaçant tous les termes tendant vers 0 dans l’exposant. Par
exemple,
2

en

1
−n+ 1
2+n



n→+∞

2

en

1
−n+ 2

.

1
Par contre, on ne peut pas simplifier davantage. Si par exemple, on supprime le terme , la suite obtenue n’est plus
2
équivalente.

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Problème no 3.
On ne passe pas aux logarithmes dans des équivalents.
Dit autrement :
un



n→+∞

vn 6⇒ ln (un )



n→+∞

ln (vn ) .

Le principal problème pour donner un équivalent de ln (un ) est quand un tend vers 1. On rappelle d’abord la bonne façon
d’obtenir un équivalent : si un → 1, alors ln (un ) ∼ un − 1. Par exemple,
n→+∞
n→+∞



1
1
1
∼ cos
− 1 ∼ − 2.
ln cos
n→+∞
n→+∞
n
n
2n

1
(par exemple,
Si par contre, on cherche à donner d’abord un équivalent de cos
n

1
17
cos
→ 1 → 1+
n→+∞
n→+∞
n
n


1

et les équivalents écrits sont tout à fait justes), puis qu’on passe aux logarithmes, on obtient ln cos
n→+∞
n




17
1
17

∼ ln(1) = 0 ce qui est totalement faux.
ou encore pire ln cos
ln 1 +
n→+∞
n n→+∞ n
n
Il existe néanmoins des situations où on peut passer aux logarithmes dans les équivalents. La situation la plus simple est
quand un tend vers un réel strictement positif ℓ différent de 1. Dans ce cas, on a immédiatement ln (un ) ∼ ł(ℓ). Par
n→+∞


2n + 3
exemple, ln
∼ ln(2). Sinon, on a le théorème suivant :
n − 5 n→+∞
Théorème 20. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles strictement positives.
• Si un

• Si un


n→+∞



n→+∞

0 et si un

vn , alors ln (un )



n→+∞

+∞ et si un



n→+∞



n→+∞

vn , alors ln (un )

ln (vn ).



n→+∞

ln (vn ).

➱ Commentaire . On peut résumer le théorème précédent en disant que si un et vn sont soit des infiniment petits équivalents,
soit des infiniment grands équivalents, alors ln (un ) ∼ ln (vn ).
n→+∞

Démonstration .
Supposons que un



n→+∞

+∞ et que un



n→+∞

vn . Puisque vn =

vn
× un , on a aussi vn
un



n→+∞

+∞ puis







un
un
un
ln vn ×
ln (vn ) + ln
ln
vn
vn
vn
ln (un )
=
=
=1+
ln (vn )
ln (vn )
ln (vn )
ln (vn )
o(1)
un
= 1+
→ 1)
(car
n→+∞
ln (vn )
vn n→+∞
=

n→+∞

Ceci montre que ln (un )
Si un



n→+∞

0 et que un

Par exemple, ch(n) =

1 + o(1) (car vn



n→+∞

+∞).



ln (vn ).



vn , il suffit d’appliquer ce qui précède aux suites

n→+∞

n→+∞



1
un



et
n∈N



1
vn



.

n∈N



en + e−n
2


1
1
ou aussi, sin

n n→+∞ n

en
2

+∞ et donc
n
e
= ln(n) − ln(2) ∼ ln(n),
ln(ch(n)) ∼ ln
n→+∞
n→+∞
2


n→+∞


n→+∞



n→+∞

0 et donc


1
1
∼ ln
= − ln(n).
ln sin
n→+∞
n
n

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Problème no 4.
On n’additionne pas membre à membre des équivalents.

Par exemple, si un = n2 + n + 3 et vn = −n2 + n + 1, on a par exemple, un ∼ n2 et vn
n→+∞

√ √
un + vn 6∼ n2 + −n2 + n = n. En effet, un + vn = n + n + 4 ∼ n.



n→+∞


−n2 + n. Pourtant,

n→+∞

n→+∞

Le plus simple pour être sûr de ne pas faire d’erreurs de raisonnement avec les équivalents et les sommes, est de revenir
systématiquement au théorème
un



n→+∞

vn ⇔ vn

Déterminons par exemple un équivalent simple de


n4 = n2 et donc n4 + 2n3 − 1 − n2 ∼ 0).

=

n→+∞

un + o (un ) .



n4 + 3n3 − 1 − n2 (une catastrophe serait n4 + 2n3 − 1



n→+∞

n→+∞

1
p

3
1 2
2
4
4
3
n + 3n − 1 − n = n 1 + − 4
− n2
n n
21

3
1
4
n 1+ +o
− n2
=
n→+∞
n
n


3
1
2
= n 1+
− n2
+o
n→+∞
2n
n
3n
− n2 + o(n)
= n2 +
n→+∞
2
3n
=
+ o(n)
n→+∞ 2
3n
.

n→+∞ 2
Problème no 5.
On ne passe pas de l’autre côté d’un équivalent pour l’addition.



1
1
1
1
1
Par exemple, cos
∼ 1 ∼ 1+
− 1 6∼
−1
mais cos
(car cos
n n→+∞ n→+∞
n
n
n
n→+∞ n
passer le 1 de l’autre côté n’est donc pas correcte.

2



n→+∞



1
). L’action de
2n2

Les théorèmes de croissances comparées

Pour établir les différents théorèmes de croissances comparées, on a besoin d’un lemme :
Théorème 21. Soit (un )n∈N une suite complexe ne s’annulant pas à partir d’un certain rang.


un+1
tend vers un certain réel ℓ élément de [0, 1[. Alors, un tend vers 0 quand n tend vers +∞.
On suppose que
un

1−ℓ
Démonstration . Le réel ε =
est strictement positif. Puisque la suite u ne s’annule pas à partir d’un certain rang et
2






un+1
tend vers ℓ, il existe un rang n0 tel que, pour n > n0 , un 6= 0 et un+1 − ℓ 6 1 − ℓ . Pour n > n0 , on a
que

un
un
2






un+1
1−ℓ
un+1
un+1






un − ℓ = un − |ℓ| 6 un − ℓ 6 2


un+1

6 ℓ + 1 − ℓ = 1 + ℓ . Pour n > n0 + 1, on a
et donc
un
2
2

n−n0
n−1
n−1
Y 1+ℓ
Y |uk+1 |
1+ℓ
6 |un0 |
= |un0 |
.
|un | = |un0 |
|uk |
2
2
k=n0
k=n0

n−n0
1+ℓ
1+1
1+ℓ
<
= 1 et donc lim |un0 |
= 0. On en déduit que lim un = 0.
Maintenant,
n→+∞
n→+∞
2
2
2

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12

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Théorème 22 (les théorèmes de croissances comparées).


1) ∀(α, α ′ ) ∈ R2 , α < α ′ ⇒ nα ≪ nα .
+∞
n

2) ∀(α, q) ∈ R×]1, +∞[, nα ≪ q et ∀(α, q) ∈ R×]0, 1[, qn ≪ nα .
+∞

+∞

3) ∀q ∈]0, +∞[, qn ≪ n!.
+∞

4) n! ≪ nn .
+∞

Démonstration .
1) Soit (α, α ′ ) ∈ R2 . Alors α − α ′ < 0 puis


= nα−α
nα ′

et donc nα

=

n→+∞





n→+∞

0

nα .


2) Soient α ∈ R et q ∈]1, +∞[. Pour n ∈ N∗ , posons un = n . Pour n ∈ N∗ ,
q



α
un+1 un+1
(n
+ 1)α
qn
1
1

=
=
×
=
1
+
.
un
un

qn+1
q
n


un+1
tend vers 1 ∈ [0, 1[ puis que un tend vers 0. Ceci montre que nα ≪ qn .
On en déduit que
+∞
un
q
qn
. Pour n ∈ N,
3) Soit q ∈]0, +∞[. Pour n ∈ N, posons un =
n!


un+1 un+1
qn+1
n!
q


un = un = qn × (n + 1)! = n + 1 .


un+1
tend vers 0 ∈ [0, 1[ puis que un tend vers 0. Ceci montre que qn ≪ n!.
On en déduit que
+∞
un

n!
4) Pour n ∈ N∗ , posons un = n . Pour n ∈ N∗ ,
n


un+1 un+1
(n + 1)!
nn
(n + 1) × nn


×
=
un = un =
n+1
n!
(n + 1)
(n + 1)n+1

n
−n

1
1
On a déjà vu que 1 +
tend vers e et donc 1 +
tend vers
n
n
n
0. Ceci montre que n! ≪ n .
+∞

n
−n
−n
n+1
1
n
=
= 1+
.
n+1
n
n


un+1
1
tend vers 1 ∈ [0, 1[ puis que un tend vers
. Ainsi,
e
un
e
=





Ce théorème sera complété par différents résultats sur les limites de fonctions. Les théorèmes de croissances comparées
pour les fonctions ont déjà été donnés mais le lien avec les limites de suites n’a pas encore été effectué. On peut quand
même signaler sans démonstration que pour tout α > 0, ln(ln n) ≪ ln(n) ≪ nα .
+∞

+∞

Ainsi, par exemple,
1 ≪ ln(ln n) ≪ ln n ≪ ln2 n ≪
+∞

+∞

+∞

+∞


3
n ≪ n ≪ n ln n ≪ n 2 ≪ n2 ≪ (1, 01)n ≪ 2n ≪ n! ≪ nn
+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

et aussi
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1







≪ √ ≪

≪ 1.

nn +∞ n! +∞ 2n +∞ (1, 01)n +∞ n2 +∞ n 32 +∞ n ln n +∞ n +∞ n +∞ ln2 n +∞ ln n +∞ ln(ln n) +∞

3
3.1

Quelques applications des relations de comparaison
Calculs de limites

On a le résultat le résultat suivant :

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13

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Théorème 23. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites complexes ne s’annulant pas à partir d’un certain rang. On
suppose que un ∼ vn .
n→+∞

Si (un ) converge vers un certain ℓ ∈ C, alors (vn ) converge et

lim vn = ℓ.

n→+∞

Supposons de plus que les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont réelles.
Si

lim un = +∞ (resp. −∞), alors

n→+∞

lim vn = +∞ (resp. −∞).

n→+∞

Démonstration .
Supposons que un



n→+∞

ℓ ∈ C et que un



n→+∞

vn . Alors,

vn
× un
un
vn . Alors,
vn =

Supposons que un



n→+∞

+∞ et que un



n→+∞

vn =

3
1
en − 1



n→+∞

vn
× un
un

1 × ℓ = ℓ.



n→+∞

+∞.


!

r

1
−1
n


A titre d’exemple, déterminons lim
2

.
n→+∞
1
n +3 √
2
sin √
3n + 1
ln
n2
n
3
1
1

.
• en − 1
3
n→+∞
n
r
1
1
• 1+ −1 ∼
.
n→+∞
n
2n


1
1
∼ √ .
• sin √
n n→+∞ n
2



2
3
n +3
3
9
2
1
+
• ln2
=
ln

= 4.
2
2
2
n→+∞
n
n
n
n


3n.
• 3n + 1 ∼


1+

n→+∞

Donc,
!
1
e
1+ −1
n


2

1
n +3 √
2
sin √
3n + 1
ln
n2
n
!
1
3 r
1
en − 1
1+ −1
n
1
2

Donc, lim

= √ .

n→+∞
n +3 √
1
18 3
ln2
sin √
3n + 1
n2
n


3.2

1
n

3
−1

r



n→+∞

1
1
×
1
n3
2n
= √ .

1
9
18 3
√ × 4 × 3n
n n

Etudes de signes au voisinage de +∞

On a le résultat suivant :
Théorème 24. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles ne s’annulant pas à partir d’un certain rang.
Si un



n→+∞

vn , alors pour n suffisamment grand, à partir d’un certain rang, un et vn ont même signe.

Démonstration .

Puisque un



n→+∞

vn , on a

un
vn



n→+∞

1. En particulier, à partir d’un certain rang,

un
> 0 et donc un et
vn

vn ont même signe.


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1
1
1
1
1
=
=
et Arctan
− 3 +o
Par exemple, on démontrera dans les prochains chapitres que sin
3
n→+∞
n
n 6n
n
n n→+∞

1
1
1
. Par suite,
− 3 +o
n 3n
n3




1
1
1
1
1
1
1
− Arctan
= − 3 + 3 +o
=
.
+o
sin
3
3
n→+∞
n→+∞
n
n
6n
3n
n
6n
n3




1
1
1
1
1
On en déduit que sin
− Arctan

> Arctan
.
> 0 puis que pour n suffisamment grand, sin
n
n n→+∞ 6n3
n
n

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