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PROBABILITES

1 Introduction
2 Variables et vecteurs al´
eatoires : lois sur R et sur Rn
3 Moments de variables al´
eatoires
4 Caract´
erisation des lois : transform´
ee de Laplace et fonction
caract´
eristique
5 Vecteurs gaussiens
6 Convergences de variables al´
eatoires

1
1.1

Introduction
Espace probabilisable et loi de variable al´
eatoire

1.1.1

Un exemple

1.1.2

Tribus


efinition 1.1.1 On dit qu’une partie A de P (Ω) est une tribu si
(a) Ω ∈ A,
(b) A ∈ A

=⇒

A ∈ A,

(c) An ∈ A, ∀n ∈ N

=⇒

[

n∈N

An ∈ A.


efinition 1.1.2 On appelle espace mesurable (ou mesurable) un couple (Ω, A) o`
u Ω est un ensemble et A une tribu sur Ω. Les parties
de A s’appellent les parties mesurables (ou les ´
ev´
enements) de l’espace
mesurable (Ω, A).
Th´
eor`
eme 1.1.3 L’image r´
eciproque d’une tribu par une application f est
une tribu.
Th´
eor`
eme 1.1.4 Soit (Ω, A) un espace mesurable et Ω0 une partie de Ω.
©
ª
ee
L’ensemble A ∩ Ω0 = A ∩ Ω0 /A ∈ A est alors une tribu sur Ω0 appel´
tribu trace de A sur Ω0. Remarquons que la notation A ∩ Ω0 est une
convention.

Th´
eor`
eme 1.1.5 Soit (Ai)i∈I une famille de tribus sur le mˆ
eme espace
T
Ai est une tribu sur Ω.
fondamental Ω. Alors A =
i∈I

Th´
eor`
eme 1.1.6 Soit F une famille de parties de Ω. Il existe une plus
petite tribu sur Ω qui contient F. On l’appelle tribu engendr´
ee par F et
on la note σ (F).

ee par

efinition 1.1.7 On appelle tribu bor´
elienne sur R la tribu engendr´
les intervalles ouverts de la forme (−∞, x), pour tout x dans R. On la
note BR.
Th´
eor`
eme 1.1.8 La tribu bor´
elienne est ´
egalement engendr´
ee par les intervalles de la forme (−∞, x], (x, +∞), [x, +∞), [x, y], (x, y), [x, y), (x, y].

1.1.3

Mesures et probabilit´
es


efinition 1.1.9 Soit (Ω, A) un espace mesurable. On appelle mesure positive sur (Ω, A), toute fonction µ d´
efinie sur (Ω, A) et `
a valeurs dans
+
R = [0, +∞], telle que :
(a) µ (∅) = 0,
(b) µ

Ã

S

An

n∈N

!

=

P

µ (An) pour toute famille (An)n∈N d’´
ev`
enements

n∈N

disjoints deux `
a deux.
Le triplet (Ω, A, µ) est appel´
e espace mesur´
e.

efinition 1.1.10 On appelle probabilit´
e sur (Ω, A), une mesure P sur
(Ω, A) telle que P (Ω) = 1. Le triplet (Ω, A, P ) est appel´
e espace probabilis´
e.

Proposition 1.1.11 Une probabilit´
e v´
erifie les assertions suivantes :
³ ´

(a) P A = 1 − P (A), ∀A ∈ A;
(b) Formule de Poincar´
e : si (Ai)i∈N ⊂ A,


P

n
[

i=1



Ai =

n
X

P (Ai) −

n
X

³

P Ai1 ∩ Ai2

´

1≤i1<i2≤n
n
³
´
X
+
P Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3
1≤i1<i2<i3≤n
n
³
´
X
k−1
+ . . . + (−1)
P Ai1 ∩ . . . ∩ Ai3
1≤i1<...<ik ≤n
+ . . . + (−1)n−1 P (A1 ∩ . . . ∩ An) ;
i=1

(c) Si A, B ∈ A sont tels que A ⊂ B,
P (A) ≤ P (B) ;
(d) In´
egalit´
e de Boole : si (Ai)i∈N ⊂ A,


P

n
[

i=1



Ai ≤

n
X

i=1

P (Ai) .


efinition 1.1.12 On dit qu’une suite (An)n∈N d’´
ev´
enements est croissante (resp. d´
ecroissante) si

pour tout n ∈ N.

An ⊂ An+1

(resp. An ⊃ An+1)

Proposition 1.1.13 Soit P une probabilit´
e sur (Ω, A) .
ev´
enements, alors
(a) Si (An)n∈N∗ ⊂ A est une suite croissante d’´


P


[

n=1



Ai = lim P (An) = sup P (An) .
n→∞

n∈N∗

(b) Si (An)n∈N∗ ⊂ A est une suite d´
ecroissante d’´
ev´
enements, alors


P


\

n=1



Ai = lim P (An) = inf P (An) .
n→∞

n∈N∗


efinition 1.1.14 Soit (Ω, A, µ) un espace mesur´
e tel que {ω} ∈ A pour
tout ω ∈ Ω.
• On dit que µ est une mesure discr`
ete s’il existe une famille
D = {ωn : n ∈ I}
(o`
u I est un ensemble d’indices fini ou d´
enombrable) d’´
el´
ements telle que
µ (Ω\D) = 0
et
µ (A) = µ (A ∩ D) =
pour tout A ∈ A.

X

ωn∈A∩D

µ ({ωn})

• On dit que µ est une mesure continue si elle ne poss`
ede pas d’atome, i.e.
si pour tout ω ∈ Ω on a µ ({ω}) = 0.

Exemples
1. Mesure de Dirac
2. Probabilit´
e sur Ω fini ou d´
enombrable
3. Mesure de comptage
4. Mesure de Lebesgue sur (R, BR) et sur (Rn, BRn )

1.1.4

Variables al´
eatoires


efinition 1.1.15 Soit (Ω, A) et (E, B) deux espaces probabilisables. Une
application f : Ω → E est dite mesurable (ou (A, B)-mesurable) si
f −1 (B) ⊂ A.

efinition 1.1.17 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e et (E, B) un espace
probabilisable. Une application mesurable X de (Ω, A, P ) vers (E, B) est
appel´
ee variable al´
eatoire.

Proposition 1.1.16
• Si f et g sont deux fonctions mesurables de (Ω, A) vers (R, BR), alors les
fonctions f + g et f g sont encore mesurables.
¡

¢

• Si f et g sont deux fonctions mesurables de (Ω, A) vers Ω0, A0 et de
¡ 0
¢
¡
¢
Ω , A0 vers Ω00, A00 respectivement, la fonction g ◦ f est mesurable de
¡
¢
(Ω, A) vers Ω00, A00 .
• Si (fn)n est une suite de fonctions mesurables de (Ω, A) vers (R, BR), alors
les fonctions
sup fn, inf fn, lim supfn, lim inf fn
n

n

n

n

sont mesurables, `
a condition qu’elles ne prennent pas de valeurs infinies.

1.1.5

Loi de probabilit´
e d’une variable al´
eatoire


efinition 1.1.18 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e et X une variable
¡ 0
¢
0
efinit une
al´
eatoire d´
efinie sur (Ω, A) et `
a valeurs dans Ω , A . On d´
a valeurs dans [0, 1] par :
fonction PX sur A0 et `
³ ´
³
³ ´´
0
0
0
−1
∀A ∈ A : PX A = P X
A0 .

ee loi de probabilit´
e de la variable al´
eatoire X. On note
PX est appel´
¡ 0¢
¡
¢
ev´
enement A0 ∈ A0.
´
egalement PX A = P X ∈ A0 pour tout ´

1.2
1.2.1

Conditionnement
Probabilit´
e conditionnelle `
a un ´
ev´
enement


efinition 1.2.1 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e. Soit B un ´
ev`
enement
de A de probabilit´
e non nulle : P (B) 6= 0. On appelle probabilit´
e conditionnelle `
a B, la probabilit´
e P B sur (Ω, A) :
P B : A → [0, 1]

A 7→ P B (A) =

P (A ∩ B)
.
P (B)

e conditionnelle de A `
a B ou encore probabilit´
e
P B (A) s’appelle probabilit´
conditionnelle de A sachant B. On note aussi
P B (A) = P (A /B ) .
Proposition 1.2.2 P (A ∩ B) = P (B) P (A /B )
= P (A) P (B /A)

∀A, B ∈ A.

1.2.2

Formule de Bayes

Soit (Ai)i∈I avec I ⊂ N une partition de Ω :
1. Ω =

S

i∈I

Ai

2. ∀ (i, j) ∈ I 2, i 6= j : Ai ∩ Aj = ∅
Supposons que :
∀i ∈ I : P (Ai) 6= 0.
On a alors :
³

´

∀j ∈ I : P Aj /B =

³

P Aj ∩ B
P (B)

´

´

³

.

P Aj P B Aj

= P

Cette formule est appel´
ee formule de Bayes.

³

i∈I

´

P (Ai) P (B /Ai )

.

1.3
1.3.1

Ind´
ependance en probabilit´
e
Ind´
ependance d’´
ev´
enements


efinition 1.3.1 On dit que deux ´ev`
enements A et B d’un mˆ
eme espace
probabilis´
e (Ω, A, P ) sont ind´
ependants et on note A ⊥
⊥ B si :
P (A ∩ B) = P (A) P (B) .
Proposition 1.3.2
(a) A ⊥
⊥B

=⇒

(b) P (A) ∈ {0, 1}

A⊥
⊥ B, A ⊥
⊥ B et A ⊥
⊥ B.
=⇒

A⊥
⊥ B, ∀B ∈ A


efinition 1.3.3 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e. Soit (Ai)i=1,... ,n
une famille d’´ev`
enements de A. Ces ´
ev`
enements sont dits (mutuellement)
ind´
ependants si :


∀J ⊂ {1, . . . , n} : P 

\

j∈J



Aj  =

Y

j∈J

³

´

P Aj .

Remarque
L’ind´
ependance mutuelle entraˆıne l’ind´
ependance deux `
a deux de tous les
´
ev`
enements. La r´
eciproque est fausse.

efinition 1.3.4 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e. Une famille (Ai)i∈I ⊂
A est une famille d’´
ev´
enements mutuellement ind´
ependants si, pour tout
ensemble d’indices K ⊂ I fini, la famille (Ai)i∈K forme une famille d’´
ev´
enements
mutuellement ind´
ependants.

1.3.2

Ind´
ependance de tribus


efinition 1.3.5 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e et soit (Ai)i=1,... ,n
une famille de sous-tribus de A. La famille (Ai)i=1,... ,n est dite ind´
ependante
si :
P (A1 ∩ . . . ∩ An) = P (A1)×. . .×P (An) ,

∀Ai ∈ Ai,

∀i ∈ {1, . . . , n} .

1.3.3

Ind´
ependance de variables al´
eatoires
³

´
0
0

efinition 1.3.6 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e et soit Ωi, Ai
i=1,... ,n

une famille d’espaces probabilisables. La famille de variables al´
eatoires
u, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, Xi : Ω → Ω0i, est dite
(Xi)i=1,... ,n, o`
ind´
ependante si :
³

´
³
´
0
0
= P X1 ∈ A1 × . . . × P Xn ∈ An ,
∀A0i ∈ A0i, ∀i ∈ {1, . . . , n} .

P X1 ∈ A01, . . . , Xn ∈ A0n

´

³

Th´
eor`
eme 1.3.7 Soit (ϕi)i=1,... ,n une famille de fonctions mesurables re³
´
³
´
0
0
00
00
et `
a valeurs dans Ωi , Ai
.
spectivement d´
efinies sur Ωi, Ai
i=1,... ,n

i=1,... ,n

L’ind´
ependance de la famille (Xi)i=1,... ,n entraˆıne celle de la famille (ϕi (Xi))i=1,... ,n .

Exemples
Soit X, Y , Z et T quatre v.a.r. ind´
ependantes. On a alors :
1. X 2 ⊥
⊥ exp (Y )
2. X + Y ⊥
⊥Z−T

1.3.4

Lien entre les diff´
erents types d’ind´
ependance

Proposition 1.3.8 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e et soit (Ai)i=1,... ,n
une famille de sous-tribus de A. Il y a ´
equivalence entre les assertions
suivantes :
(a)




i=1,... ,n

Ai

(b) ⊥
⊥ Xi pour toute famille (Xi)i=1,... ,n de v.a avec Xi Ai-mesurable
i∈I
(c)
(d)

i=1,... ,n




11Ai pour toute famille (Ai)i=1,... ,n d’´
ev`
enements avec Ai ∈ Ai




Ai pour toute famille (Ai)i=1,... ,n d’´
ev`
enements avec Ai ∈ Ai.

i=1,... ,n

Proposition 1.3.9 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e. Soit (Ai)i=1,... ,n
une famille d’´
ev`
enements sur (Ω, A, P ). Il y a ´
equivalence entre les assertions suivantes :
(a)
(b)
(c)




Ai




σ (Ai)




11Ai

i=1,... ,n
i=1,... ,n
i=1,... ,n

³

´
0
0
Proposition 1.3.10 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´
e. Soit Ωi, Ai
i=1,... ,n
une famille d’espaces probabilisables. Soit (Xi)i=1,... ,n une famille de v.a.
³
´
0
0
. Il
respectivement d´
efinies sur (Ω, A, P ) et `
a valeurs dans Ωi, Ai
i=1,... ,n

ya´
equivalence entre les assertions suivantes :

(a)
(b)
(c)




Xi




σ (Xi)

i=1,... ,n
i=1,... ,n




i=1,... ,n

n

o
0
Xi ∈ Ai , ∀A0i ∈ A0i

Remarque
³ ´
−1
A0i est la tribu engendr´
ee par la v.a. Xi, c’est-`
a-dire la
σ (Xi) = Xi
plus petite tribu rendant Xi mesurable.

1.4

Espace probabilisable produit


efinition 1.4.1 Soit (Ωi, Ai)i∈{1,...,n} une famille d’espaces mesurables.
On appelle tribu produit des (Ai)i∈{1,...,n} sur Ω = Ω1 × ... × Ωn et on
note

n
N

Ai la tribu engendr´
ee par les pav´
es mesurables A1 × . . . × An o`
u

i=1

Ai appartient `
a Ai pour tout i ∈ {1, ..., n} :
n
O

Ai = σ (A1 × . . . × An : Ai ∈ Ai, ∀i ∈ {1, ..., n}) .

i=1

Th´
eor`
eme 1.4.2 Soit (Ωi, Ai, Pi)i∈{1,...,n} une famille d’espaces probabilis´
es.
Il existe une probabilit´
e unique P sur

Ã

n
Q

Ωi,

i=1

P (A1 × ... × An) =

n
Y

Pi (Ai) ,

i=1

n
N

Ai

i=1

!

telle que :

∀Ai ∈ Ai, ∀i ∈ {1, ..., n} .

Cette probabilit´
e est appel´
ee probabilit´
e produit des Pi et est not´
ee


efinition 1.4.3 L’espace

Ã

n
Q

Ωi,

i=1

n
N

Ai,

i=1

n
N

Pi

!

n
N

Pi.

i=1

est appel´
e espace proba-

i=1
bilis´
e produit des espaces probabilis´
es (Ωi, Ai, Pi)i∈{1,...,n}. Si (Ωi, Ai, Pi) =

(Ω, A, P ) pour tout i ∈ {1, ..., n}, l’espace produit est not´
e
(Ω, A, P )⊗n .

1.5

Loi conjointe d’un n-uplet de variables al´
eatoires ind´
ependantes


efinition 1.5.1 Soit (Xi)i∈{1,...,n} une famille de variables al´eatoires d´
efinies
sur un mˆ
eme espace probabilis´
e (Ω, A, P ) et respectivement `
a valeurs dans
eatoire X =
(Ωi, Ai)i∈{1,...,n}. On appelle loi conjointe du vecteur al´
(X1, ..., Xn) la loi PX de X sur

Ã

n
Q

Ωi,

i=1

n
N

!

Ai . La loi PXi de chacune

i=1

des variables al´eatoires Xi est appel´
ee loi marginale.
Proposition 1.5.2 Les variables al´
eatoires X1, ..., Xn sont ind´
ependantes si
et seulement si :
PX =

n
O

PXi .

i=1

2

Variables et vecteurs al´
eatoires : lois sur R et
sur Rn

Rappels
• (Ω, A, P ) espace probabilis´
e
¡ 0
¢
0
• Ω , A espace mesurable

• X : Ω → Ω0

X est une variable al´
eatoire (v.a.) :
³ ´
−1
X
A0 ∈ A,

0

∀A ∈ A0.

¡ 0
¢
0
Ω , A = (R, BR) : X est une variable al´
eatoire r´
eelle (v.a.r.)

efinie
Loi de probabilit´
e de la v.a.r. X : la probabilit´
e PX : BR → [0, 1] d´
par
´
−1
PX (I) = P (X ∈ I) = P X (I) = P ({ω ∈ Ω : X (ω) ∈ I})

pour tout I ∈ B (R) .

³

2.1

Fonction de r´
epartition


efinition 2.1.1 On appelle fonction de r´
epartition (f.r.) de la v.a.r. X,
efinie sur R par :
la fonction FX d´
FX (x) = PX ((−∞, x]) = P (X ∈ (−∞, x]) = P (X ≤ x) .
Proposition 2.1.2 La f.r. FX d’une v.a.r. X satisfait :
(a) 0 ≤ FX (x) ≤ 1,

∀x ∈ R;

(b) FX est croissante;
(c) FX est continue `
a droite;
(d)

lim FX (x) = 0,

x→−∞

lim FX (x) = 1.

x→+∞

Th´
eor`
eme 2.1.3 Toute fonction F d´
efinie sur R qui v´
erifie les propri´
et´
es
de la proposition pr´ec´
edente est une fonction de r´
epartition d’une v.a.r.

Proposition 2.1.4 Le saut p0 = FX (x0) − FX (x0−) de la fonction de
egal `
a P (X = x0).

epartition FX au point x0 est ´


efinition 2.1.5 On appelle quantile d’ordre α (pour 0 < α < 1) de la loi
X, tout r´
eel xα tel que :
P (X ≤ xα) ≥ α et P (X ≥ xα) ≥ 1 − α.
Terminologie
Ordre des quantiles
Nom des quantiles
1/2

ediane de X : Med(X)
k/4, k ∈ {1, 2, 3}
Quartiles : Q1, Q2, Q3
k/10, k ∈ {1, ..., 9}

eciles
k/100, k ∈ {1, ..., 99}
Centiles
• Si la m´
ediane n’est pas unique alors on parle dans ce cas l`
a d’intervalle

edian.
• [Q1, Q3] est appel´
e espace interquartile.

2.1.1

Lois discr`
etes


efinition 2.1.6 On dit qu’une v.a.r. X est discr`
ete si sa loi de probabilit´
e
e discr`
ete.
PX est une mesure de probabilit´
Proposition 2.1.7 La fonction de r´
epartition FX d’une v.a.r. discr`
ete X
est une fonction en escalier dont les sauts sont situ´
es sur les atomes.

Loi de Dirac

X ∼ δa, a ∈ R : PX = δa,
PX (A) = δa (A) = 11A (a) ,

∀A ∈ BR.

La fonction de r´
epartition de la v.a.r. X a l’allure suivante :

Loi uniforme discr`
ete

X ∼ U{x1,...,xn} :

PX ({xi}) = P (X = xi) =

1
,
n

∀i ∈ {1, . . . , n} .

Exemple
Soit le lancer d’un d´
e num´
erot´
e de 1 `
a 6. On peut consid´
erer que la variable
al´
eatoire X d´
esignant le r´
esultat du lancer de d´
e, suit une loi uniforme
discr`
ete sur {1, ..., 6}.

Ci-dessous figurent les fonctions de densit´
e et de r´
epartition de cette loi.

Afin de faire le lien entre mod`
ele probabiliste et mod`
ele statistique, figurent
ci-apr`
es le r´
esultat de simulations de lancers de d´
es. Il est facile de constater
que plus le nombre de lancers augmente, plus la distribution empirique se
rapproche de la distribution uniforme discr`
ete, c’est `
a dire la loi th´
eorique.

Loi de Bernoulli

X ∼ B (1, p) , p ∈ [0, 1] :
PX ({1}) = P (X = 1) = p
PX ({0}) = P (X = 0) = 1 − p = q

La fonction de r´
epartition de la v.a.r. X a l’allure suivante :

Soit le tirage d’une boule dans une urne contenant des boules blanches et
des boules noires, en proportions respectivement ´
egales `
a p et q = 1 − p.
La v.a.r. X d´
efini par :
X (ω) =



 1

 0

si on tire une boule blanche
si on tire une boule noire

suit une loi de Bernoulli de param`
etre p ∈ [0, 1].

Loi binomiale

X ∼ B (n, p) , n ∈ N∗, p ∈ [0, 1] :

PX ({k}) = P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ,

∀k ∈ {0, ..., n}

Consid´
erons n tirages successifs avec remise d’une boule dans une urne
contenant des boules blanches et des boules noires, en proportions respectivement ´egales `
a p et q = 1 − p. La v.a.r. X d´
esignant le nombre de
boules blanches tir´ees `
a l’issue de ces n tirages suit une loi binomiale de
param`
etres n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1].

Exemples

Voici les distributions pour diff´
erentes lois binomiales telles que leurs param`etres

erifie np = 5.

Remarques
1. Si :
X1 ∼ B (n1, p) ,
alors on a :

X2 ∼ B (n2, p) ,

X1 ⊥
⊥ X2,

X1 + X2 ∼ B (n1 + n2, p) .

En particulier, si (Xi)i∈{1,...,n} est une famille de v.a.r. ind´
ependantes,
suivant une loi de Bernoulli B (1, p) de param`
etre p, alors :
n
X

Xi ∼ B (n, p) .

i=1

µ

¸

1
2. Si X ∼ B (n, p) avec p ∈
, 1 alors n − X ∼ B (n, 1 − p).
2
Ce r´
esultat est utile
lire les abaques des lois binomiales, souvent
· pour
¸
1
donn´
es pour p ∈ 0, .
2

Loi g´
eom´
etrique

X ∼ G (p) , p ∈ [0, 1] :

PX ({k}) = P (X = k) = (1 − p)k−1 p,

∀k ∈ N∗

Soit une urne contenant des boules blanches et des boules noires, en proportions respectivement ´
egales `
a p et q = 1 − p. La v.a.r. X d´
esignant le
nombre de tirages successifs avec remise effectu´
es pour obtenir une boule
blanche suit une loi g´
eom´
etrique de param`
etre p ∈ [0, 1].

Loi binomiale n´
egative

X ∼ BN (n, p) , n ∈ N, p ∈ [0, 1] :

n−1
PX ({k}) = P (X = k) = Cn+k−1
pn (1 − p)k ,

∀k ∈ N

Soit une urne contenant des boules blanches et des boules noires, en proportions respectivement ´
egales `
a p et q = 1 − p. Soit Y le nombre
de tirages que l’on doit faire pour obtenir n boules blanches. La v.a.r.
X = Y − n d´
esignant le nombre de boules noires obtenues avant d’avoir n
boules blanches suit une loi binomiale n´
egative de param`
etres n ∈ N∗ et
p ∈ [0, 1].
Remarque
Si (Xi)i∈{1,...,n} est une famille de v.a.r. ind´
ependantes, suivant une loi

eom´
etrique G (p) de param`
etre p alors :
n
X

Xi ∼ BN (n, p) .

i=1

Exemple

Loi de Poisson

X ∼ P (λ) , λ > 0 :

λk
−λ
PX ({k}) = P (X = k) = e
,
k!

∀k ∈ N.

Cette loi est souvent utilis´
ee pour d´
ecrire des ´ev`
enements rares comme
le nombre d’accidents, d’erreurs de fabrication, d’individus atteints d’une
maladie...
Remarque
Si :

alors on a :

X1 ∼ P (λ1) ,

X2 ∼ P (λ2) ,

X1 ⊥
⊥ X2,

X1 + X2 ∼ P (λ1 + λ2) .

Exemples




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