Fiche 1 Fonction Continuite .pdf


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Fonctions continues

Maths Fiche 1

Continuité en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans R et a un réel élément de I.
f est continue en a si et seulement six→a
lim f(x) = f(a).
f est continue en a si et seulement si lim f(a + h) = f(a).
h→0

Continuité sur un intervalle
Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans R.
f est continue sur I si et seulement si f est continue en chaque réel a de I.
Les fonctions continues sont les fonctions dont le graphe « se trace sans lever le crayon ».

Exemples de fonctions continues
Presque toutes les fonctions de terminale sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition :







les fonctions polynômes sont continues sur R ;
les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition ;
les fonctions exponentielles sont continues sur R ;
les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal sont continues sur ]0, +∞[ ;
les fonctions racines n-èmes sont continues sur [0, +∞[ ;
les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R, la fonction tangente est continue sur tout intervalle ne contenant
pas un nombre de la forme π /2 + kπ, k ∈ Z.
• la fonction valeur absolue est continue sur R ;
• toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient) ou composition à partir de ces fonctions de
référence sont aussi continues sur leur domaine de définition.
• La fonction partie entière fournit un exemple de fonction définie sur R et discontinue en certains réels (et donc non
continue sur R).

Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b),
il existe au moins un réel c compris entre a et b
tel que f(c) = k.

Fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle
Soient a et b deux réels tels que a < b.

f(a)

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b),

k

l’équation f(x) = k a une solution unique dans [a, b].

f(b)
a

c

b

Ce théorème se généralise à des intervalles du type [a, b[, ]a, b], ]a, b[, [a, +∞[, ] − ∞, b[, . . . en remplaçant f(a) ou f(b)
par la limite de f en la borne manquante.
Conséquence.
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b].
Si f(a)f(b) < 0, l’équation f(x) = 0 a une solution unique dans [a, b].
Atelier de révision aux examens
Par la première agence de coaching scolaire du Gabon et de toute la sous-région
Tel : 07-58-28-76/ 02-92-11-55/ 07-34-45-72

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