Fiche 17 Loi Binomiale .pdf


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Epreuve et schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues (succès ou échec, pile ou face ...)
Un schéma de Bernoulli est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Coefficients binomiaux. Loi binomiale
Déftnition. On répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On note p la probabilité de succès à chaque
épreuve de Bernoulli.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves. La loi de probabilité de X est appelée
la loi binomiale de paramètres n et p, souvent notée B(n, p).
Déftnition. On représente un schéma de Bernoulli de paramètres n et p par un arbre..Pour
. tout entier naturel k tel
n
que 0 ™ k ™ n, le nombre de chemins menant à k succès sur les n tentatives est le nombre
(qui se lit « k parmi n »).
k
Théorème (loi binomiale). Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. Alors, pour
tout entier naturel k tel que 0 ™ k ™ n,
. .
n
n−k
p(X = k) =
.
k (1 − p)
p
k
Théorème (espérance, variance et écart-type de la loi binomiale). Soit X une variable aléatoire qui suit une loi
binomiale de paramètres n et p.
,
E(X) = np, V(X) = np(1 − p) et σ(X) = np(1 − p).
Propriétés des coefficients binomiaux
. . . .
n
n
• Pour tout entier naturel n,
=
= 1.
0
n
. . .
.
n
n
• Pour tout entier naturel non nul n,
=
= n.
.1 . .
.
1
n−
n
n
• Pour n et k entiers naturels tels que 0 ™ k ™ n,
=
n−k

k

.

• Triangle de Pascal. Pour n et k entiers naturels tels que 0 ™ k ™ n − 1,

. .
n
k

0

1

2

3

4

5

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

2

1

2

1

0

0

0

3

1

3

3

1

0

0

4

1

4

6

4

1

0

5

1

5

10

10

5

1

1

Atelier de révision aux examens
Par la première agence de coaching scolaire du Gabon et de toute la sous-région
Tel : 07-58-28-76/ 02-92-11-55/ 07-34-45-72

.
+

n
k+1

.

.
=

.
n+1
k +1 .

. . .
. .
.
n
n
n+1
k + k+1 = k+1


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