Fiche 18 Loi Normale .pdf


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1) La loi normale centrée réduite.
• La loi normale centrée réduite N (0, 1) est la loi de probabilité dont la densité est la fonction f définie par :
1
pour tout réel t, f(t) =
e− t22 .



−4

−3

−2

−1

¸

Remarque. Au cours des études post-bac, on sait démontrer que l’intégrale de Gauss
¸

+∞
En divisant par 2π, on normalise :
1 e− t2 dt = 1.
2


−∞

+∞

e− t2 dt est égale à



2π.

2

−∞

• La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est la¸fonction F définie par :
pour tout réel x, F(x) = p(X ™ x) =

x


−∞

−4

−3

−2

−1

Pour tous réels a et b tels que a < b, on a p(a ™ X ™ b) =

−4

−2

1

¸

2

1 e− t2 dt.
2


3

1 e− t2 dt = F(b) − F(a).
2

¸

a
™ b) = b 1 − t2 dt = F(b) − F(a)
e 2
p(a ™ X


a
b

−1

On ne sait pas exprimer les intégrales précédentes à l’aide des fonctions usuelles à disposition en terminale. Pour obtenir
des valeurs de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on dispose soit de la calculatrice, soit de
tables numériques fournies à la fin de certains livres.
• L’espérance de la loi normale centrée réduite est 0 (la loi est centrée) et l’écart-type de la loi normale centrée réduite
est 1 (la loi est réduite).
2) Théorème de Moivre-Laplace.
La loi normale approche la loi binomiale. Plus précisément :

Atelier de révision aux examens
Par la première agence de coaching scolaire du Gabon et de toute la sous-région
Tel : 07-58-28-76/ 02-92-11-55/ 07-34-45-72

Théorème. Pour tout entier naturel non nul n, on considère une variable aléatoire X n qui suit une loi binomiale
Xn − np
, la variable centrée réduite associée.
B(n, p) puis on considère Zn = ,
np(1 − p)
Alors, pour tous réels a et b tels que a < b
b
1
t2
¸
.
.
,
,

lim p np + a np(1 − p) ™ Xn ™ np + b np(1 − p) = lim p(a ™ Zn ™ b) =
√ e 2 dt.
n→+∞
n→+∞

a

3) Loi normale : cas général.

X − µ suit la loi normale centrée
σ
• Une variable aléatoire X suit la loi N (µ, σ ) si et seulement si la variable aléatoire
2

réduite N (0, 1).
µ est l’espérance de N (µ, σ2), σ2 est sa variance et σ est son écart-type.

4) Intervalle associé à une probabilité
Théorème. Soit X une variable aléatoire régie par la loi normale centrée réduite N (0, 1).
Pour tout réel α ∈]0, 1[, il existe un réel strictement positif uα et un seul tel que p(−uα ™ X ™ uα) = 1 − α.
p(−uα ™ X ™ uα) = 1 − α

−4

−3

−2

−1

1

On doit connaître en particulier u0,05 = 1, 96 et u0,01 = 2, 58.
Inversement, pour une loi normale en général, on doit connaître les probabilités associées à des intervalles centrés
autour de µ de rayon σ, 2σ ou 3σ :
Théorème. Soit X une variable aléatoire régie par une loi normale N (µ, σ2) de paramètres µ ∈ R et σ > 0.
p(µ − σ ™ X ™ µ + σ) = 0, 683

p(µ−2σ ™ X ™ µ+2σ) = 0, 954

p(µ−3σ ™ X ™ µ+3σ) = 0, 997

Xn − np
Conséquence. Si Xn est une variable aléatoire régie par une loi binomiale B(n, p) et si Zn = ,
np(1 − p)
.
.
,
,
lim P np − uα np(1 − p) ™ Xn ™ np + uα np(1 − p) = lim P(−uα ™ Zn ™ uα) = 1 − α.
n→+∞
n→+∞

Atelier de révision aux examens
Par la première agence de coaching scolaire du Gabon et de toute la sous-région
Tel : 07-58-28-76/ 02-92-11-55/ 07-34-45-72


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