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Maths Fiche 25

Représentation graphique d’une suite du type un = f (n)


u0

14

Représentation graphique d’une suite déftnie par un+1 = f (un)
• On construit (Cf) et la droite (D) d’équation y = x.
• On place u0 sur l’axe des abscisses.
• On trace un trait vertical de ce point à (Cf) c’est-à-dire
le segment joignant les points (u0, 0) et (u0, f(u0)) = (u0, u1)
et on peut lire u1 horizontalement sur l’axe des ordonnées.
• On ramène u1 sur l’axe (0x) en traçant le trait horizontal joignant
le point (u0, u1) et la droite (D) c’est-à-dire le segment joignant les
points(u0, u1) et (u1, u1). On peut maintenant lire u1 sur l’axe (Ox).

1

2

3

• On trace un trait vertical du point (u1, u1) à (Cf)
et on peut lire u2 horizontalement sur l’axe des ordonnées. . .

Sens de variation d’une suite réelle
Soit (un)n∈N une suite réelle.
• La suite (un)n∈N est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, u n+1 “ un .
La suite (un)n∈N est décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 ™ u n .
• La suite (un)n∈N est strictement croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, u n+1 > un .
La suite (un)n∈N est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 < un.
• La suite (un) est monotone si et seulement si la suite (un)n∈N est croissante ou la suite (un)n∈N est décroissante.
La suite (un) est strictement monotone si et seulement si (un)n∈N est strictement croissante ou strictement décroissante.
Techniques d’étude du sens de variation d’une suite
– On compare directement un+1 à un pour chaque entier n.
– On étudie le signe de un+1 − un pour chaque entier n.
– Si la suite (un)n∈N est strictement positive et définie par des produits (ex : un = 2 nn!), on compare

un+1
à 1 pour
un

chaque entier n.
– Si la suite est du type un = f(n), on peut étudier les variations de la fonction f puis utiliser le théorème :
si f est une fonction définie sur [0, +∞[ et si pour tout entier naturel n un = f(n), alors
si f est croissante sur [0, +∞[, la suite (un)n∈N est croissante,
si f est strictement croissante sur [0, +∞[, la suite (un)n∈N est strictement croissante,
si f est décroissante sur [0, +∞[, la suite (un)n∈N est décroissante,
si f est strictement décroissante sur [0, +∞[, la suite (un)n∈N est strictement décroissante.

Suites réelles majorées, minorées, bornées
Soit (un)n∈N une suite réelle.
(un)n∈N est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ™ M.
(un)n∈N est minorée si et seulement si il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un “ m.
(un)n∈N est bornée si et seulement si (un)n∈N est minorée et majorée.

Atelier de révision aux examens
Par la première agence de coaching scolaire du Gabon et de toute la sous-région
Tel : 07-58-28-76/ 02-92-11-55/ 07-34-45-72


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