Fiche 4 Généralité sur les fonction .pdf


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Maths Fiche 4

Généralités sur les fonctions
Sens de variation d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• f est croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a ™ b alors f(a) ™ f(b).
f est décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a ™ b alors f(a) “ f(b).
• f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) < f(b).
f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) > f(b).
• f est monotone sur I si et seulement si f est croissante sur I ou f est décroissante sur I.
f est strictement monotone sur I si et seulement si f est strictement croissante sur I ou f est strictement décroissante
sur I.

Extrema des fonctions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I.
• On dit que f admet un maximum global en x0 (ou encore que f(x0) est le maximum de la fonction f sur
l’intervalle I) si et seulement si pour tout réel x de I, on a f(x) ™ f(x0).
On dit que f admet un minimum global en x0 (ou encore que f(x0) est le minimum de la fonction f sur
l’intervalle I) si et seulement si pour tout réel x de I, on a f(x) “ f(x0).
• On dit que f admet un maximum local en x0 (ou encore que f(x0) est un maximum local de la fonction f sur
l’intervalle I) si et seulement si il existe un intervalle ouvert J contenant x 0 tel que, pour tout réel x de I ∩ J,
on a f(x) ™ f(x0).
On dit que f admet un minimum global en x0 (ou encore que f(x0) est le minimum de la fonction f sur
l’intervalle I) si et seulement si il existe un intervalle ouvert J contenant x 0 tel que, pour tout réel x de I ∩ J,
on a f(x) “ f(x0).

Symétries, fonction paires et impaires
x=a

• La droite d’équation x = a est
axe de symétrie de Cf si et seulement si Df est symétrique par

f(2a − x)
=
f(x)

• Le point I(a, b) est

I est le milieu
du segment

..

x
f(x)

rapport à a et pour tout x de Df
f(2a − x) = f(x).

..

2a−x

..

f(2a−x)

centre de symétrie de Cf si et seulement si Df est symétrique par
rapport à a et pour tout x de Df
b

x
x

I

b

f(2a − x) + f(x)
= b.
2

2a − x

2a − x

• Il revient au même de dire que pour tout réel h tel que
a + h est dans Df, on a
f(a − h) = f(a + h)
• Quand a = 0 et que Df est symétrique par rapport à
0, on a pour tout réel x de Df, f(−x) = f(x). f est alors
dite paire et l’axe (Oy) est axe de symétrie de Cf.

• Il revient au même de dire que pour tout réel h tel que
a + h est dans Df, on a
f(a − h) + f(a + h)
=b
2
• Quand a = 0 et que Df est symétrique par rapport
à 0, on a pour tout réel x de Df, f(−x) = −f(x). f est
alors dite impaire et le point O est centre de symétrie
de Cf.

Positions relatives de courbes. Intersection de courbes
• Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points
0

d’intersection de Cf et Cg .
• Le signe de f − g fournit les positions relatives de Cf et Cg :
• si f − g “ 0 sur I Cf est au-dessus de Cg sur I,
• si f − g ™ 0 sur I Cf est au-dessous de Cg sur I.

Atelier de révision aux examens
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Tel : 07-58-28-76/ 02-92-11-55/ 07-34-45-72


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