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Maths Fiche 22

Probabilité de A sachant B.
Soient A et B deux événements, l’événement B étant de probabilité non nulle. La probabilité de l’événement A sachant
que l’événement B est réalisé est notée pB(A) (ou aussi p(A\B)). Elle est donnée par la formule
pB(A) =

p(A ∩ B)
p(B)

.

On en déduit que
p(A ∩ B) = p(B) × pB(A).

Evénements indépendants
Soient A et B deux événements.
A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
Si de plus p(A) ƒ= 0,
A et B sont indépendants si et seulement si pA(B) = p(B).

Variables aléatoires discrètes indépendantes
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes prenant respectivement les valeurs x1, . . . , xn et y1, . . . , ym.
X et Y sont des variables aléatoires indépendantes si et seulement si
pour tout entier i tel que 1 ™ i ™ n et pour tout entier j tel que 1 ™ j ™ m
p((X = xi) ∩ (Y = yi)) = p(X = xi) × p(Y = yj).

Formule des probabilités totales
A1, A2, . . . , An sont n événements (n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2) tels que :
• chaque événement Ai a une probabilité non nulle,
• deux événements quelconques Ai et Aj , i ƒ= j, sont incompatibles (c’est-à-dire que pour tous entiers distincts i et j
tels que 1 ™ i ™ n et 1 ™ j ™ n on a p(Ai ∩ Aj) = 0),
• la réunion des événements A1, A2, . . . , An est l’ensemble des cas possibles Ω.
Alors, pour tout événement B
p(B)= p(B ∩ A1) + p(B ∩ A2) + . . . + p(B ∩ An)
= p(A1) × pA1 (B) + p(A2) × pA2 (B) + . . . + p(An) × pAn (B).

1
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Par la première agence de coaching scolaire du Gabon et de toute la sous-région
Tel : 07-58-28-76/ 02-92-11-55/ 07-34-45-72


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