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Préparer sa rentrée de mathématiques en seconde .pdf



Nom original: Préparer sa rentrée de mathématiques en seconde.pdf

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Aperçu du document


COMMENT PRÉPARER
SA RENTRÉE EN
CLASSE DE SECONDE
EN MATHÉMATIQUES

1

Vous allez, à la rentrée prochaine, intégrer une classe de seconde au lycée
Boucher de Perthes.
Vous aurez dans votre emploi du temps 4 heures de mathématiques.
Le programme de mathématiques en classe de seconde reprend les notions
que vous avez étudiées au cycle 4 au collège. Il convient donc de vous
préparer au mieux pour votre rentrée.
Tel un sportif, nous vous proposons un échauffement. Les trois fiches qui
figurent dans ce document vont vous permettre d’aborder les premières heures
de cours de mathématiques en classe de seconde dans les meilleures
conditions.
Nous vous conseillons d’en prendre connaissance lors de la dernière
quinzaine du mois d’août. Vous pouvez travailler en groupes, vos échanges
seront profitables à tous.
Outre des rappels de cours, elles comportent quelques exercices qui vous
permettront de tester vos connaissances mais également de percevoir les
compétences que vous devrez mobiliser en classe de seconde et de prendre
connaissance des exigences attendues d’un élève de lycée.
Le travail que nous vous proposons est essentiel dans votre préparation de la
rentrée. Nous comptons donc sur votre implication lors de la fin des vacances
scolaires.
N’hésitez pas à en parler à votre enseignant en début d’année scolaire si vous
rencontrez des difficultés dans la lecture du document.
Nous vous souhaitons de passer de très bonnes vacances afin d’aborder la
rentrée dans les meilleures conditions.
Les enseignants de mathématiques
du collège et du lycée.

2

Repérage
Coordonnées dans un repère
Dans un repère chaque point est repéré par ses coordonnées.

Entraine toi :
Ex 1 : Lire les coordonnées des points présents sur le repère : Exemple : A( 1 ; 2).

3

Ex 2 : 1°) Placer dans ce repère les points de coordonnées suivants :

1
 3 
M 3 ; 0,5; A  2 ; 1,5; R 12 ; 2; I  6 ; ; E   4 ;  .
2
 2 

2°) Indiquer les valeurs de : x A ;

yM

Exemple : Soit N le point de coordonnées (4 ; 2), l’abscisse du point N est 4, il est noté x N . L’ordonnée de N
est 2 et il est noté :

yN .

Ex 3 : 1°) Construire un repère orthogonal (les deux axes sont perpendiculaires), les unités étant le
centimètre.
Placer les points A (1 ; 2) ; B( 1 ; 4) ; C(4 ; 2).
2°) On admet que le triangle ABC est rectangle en A.
a) Donner la distance AB, et calculer
b) Calculer xC

y B  y A . que constate-t-on ?

 x A . A quoi cela correspond ?

3°) À l’aide du théorème de Pythagore, montrer que : BC

 13.

4

Corrigé :
Ex 1 :

O0 ; 0 ; D0 ;  2 ; I 1 ; 0 ; L 3 ;  2 ; E 2 ; 4 ; A1 ; 2 ; B3 ; 0 ; J 0 ; 1

Ex 2 : 1°)

2°) x A

 2; y M  0,5.

Ex 3 : 1°)

2°) a) AB=2,

y B  y A  4  2  2. On observe que la distance se calcule aussi par la formule : AB  y B  y A .
b)

xC  x A  4  1  3. Cela correspond à AC.

3°) Je sais que le triangle ABC est rectangle en A.
Donc j’utilise le théorème de Pythagore :

AB²  2²  4, AC ²  3²  9.
Donc : BC ²  4  9  13.
BC  13.

5

Les fonctions
On considère la fonction 𝑓 définie, pour tout nombre 𝑥 compris entre -2 et 5 par:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥
On appelle 𝐶𝑓 sa représentation graphique dans un repère.

1. Représentation graphique d’une fonction
Un point 𝑀(𝑎; 𝑏) appartient à 𝐶𝑓 , si 𝑓(𝑎) = 𝑏
Réciproquement, si 𝑓(𝑎) = 𝑏 alors le point 𝑀(𝑎; 𝑏) appartient à la courbe 𝐶𝑓 .

Exemples :


Si 𝑀(2; −2), 𝑎 = 2 ; 𝑏 = −2
𝑓(𝑎) = 𝑓(2) = 22 − 3×2 = −2 = 𝑏, donc 𝑀 appartient à la courbe représentative de 𝑓.
𝑀 ∈ 𝐶𝑓



Si 𝑀(−1; 2) , 𝑎 = −1 ; 𝑏 = 2
𝑓(𝑎) = 𝑓(−1) = (−1)2 − 3×(−1) = 4,
4 ≠ 𝑏 donc 𝑀 n’appartient pas à la courbe représentative de 𝑓.
𝑀 ∉ 𝐶𝑓

Entraine-toi : Montre que 𝐴(3; 0) appartient à la courbe représentative de 𝑓 et que 𝐵(5; 5) n’appartient pas
à la courbe représentative de 𝑓.

6

Valeurs
choisies
pour 𝑥

2. Tableau de valeurs et courbe
Pour tracer une courbe dans un repère, on a besoin de plusieurs points qu’on reliera « à la main ».

Abscisse
−𝟐
𝑥
Ordonnée
𝟏𝟎
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Point de
coordonnées (−𝟐; 𝟏𝟎)
(𝑥; 𝑦)

−𝟏

𝟎

𝟏

𝟐

𝟑

𝟒

𝟓

𝟒

𝟎

−𝟐

−𝟐

𝟎

...

...

(−1; 4)

(0; 0)

(1; −2)

(2; −2)

(3; 0)

...

...

Par exemple, pour la 1ère colonne, pour 𝑥 = −2, on calcule son
image 𝑓(−𝟐) = (−2)2 − 3×(−2) = 𝟏𝟎
Le point de coordonnées (−𝟐; 𝟏𝟎) appartient à la courbe.

On calcule
image
les images

y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-1
-2

Entraine-toi : Complète les quatre cases vides du tableau à l’aide de deux calculs et place les deux points
correspondants dans le repère ci-dessus.

7

3. Calcul d’antécédents
Exemple :

Calculons les antécédents de 0 par 𝑓.
Cela revient à résoudre 𝑓(𝑥) = 𝟎
C’est-à-dire : 𝑥 2 − 3𝑥 = 0

Factorisons : 𝑥(𝑥 − 3) = 0
L’équation est alors sous la forme d’une équation « produit nul » :
𝑥=0
𝑥=0

ou

𝑥−3=0
𝑥=3

Les antécédents de 𝟎 par 𝑓 sont 𝟎 et 𝟑.

Graphiquement, les antécédents de 0 par 𝑓 sont les abscisses des points d’intersection de
la droite 𝑦 = 𝟎 avec la courbe 𝐶𝑓 .
Entraine-toi : Détermine graphiquement les éventuels antécédents de -2, de 4, de -3.

8

La proportionnalité
La proportionnalité dans l’espace
Pour aborder l’activité qui suit, on rappelle :
1

- la formule du volume d’une pyramide : 𝑉 = ×aire de la base × hauteur
3

- le théorème de Thalès : si A, M, B alignés et A, N, C alignés tels que (BC) //(MN) alors, d’après le
théorème de Thalès, on peut dire que les longueurs des triangles sont proportionnelles.
- lorsqu’on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base la section obtenue est une
réduction de la base de départ c'est-à-dire qu’elle a les mêmes caractéristiques que la base.
Entraine-toi :
La dernière bouteille de chez Chenal a la forme d’une pyramide SABC
à base triangulaire de hauteur [AS] telle que :
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A avec AB= 7,5 cm et AS= 15 cm.
Pour fabriquer son bouchon SS’MN, les concepteurs ont coupé cette pyramide
par un plan P parallèle à sa base passant par le point S’ tel que SS’ = 6 cm.
Calculer le volume maximal de parfum que peut contenir cette bouteille en cm 3.
Pour t’aider :
➪ On calcule le volume de la pyramide SABC.
1
𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = ×𝐴𝐴𝐵𝐶 ×𝑆𝐴
3
1 𝐴𝐵×𝐴𝐶
𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = ×
×𝑆𝐴
3
2

𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 =
𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶

1 7,5×7,5
×
×15
3
2
= 140,625 cm3

➪ On calculer ensuite le volume de la petite pyramide SS’MN ( le bouchon )
Pour cela il faut déterminer le coefficient de réduction.
On applique le théorème de Thalès dans les triangles SS’M et SAB pour déterminer le rapport de
𝑆𝑆′
𝑆𝑀
𝑆′𝑀
2
réduction : 𝑘 =
=
=
. Donc 𝑘 = .
𝑆𝐴

𝑆𝐵

𝐴𝐵

5

2

La pyramide SS’MN est une réduction de SABC de rapport 𝑘 = , donc le volume de la pyramide réduite
5
s’obtient en multipliant le volume de la pyramide initiale 𝑘 3 .
Donc :

2 3

𝑉𝑆𝑆′𝑀𝑁 = ( ) ×𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶
5

9

2 3
𝑉𝑆𝑆′𝑀𝑁 = ( ) ×140,625
5

𝑉𝑆𝑆𝑀𝑁 = 9 cm3
➪ On calcule alors le volume du parfum dans le flacon

𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 − 𝑉𝑆𝑆𝑀𝑁
= 140,625 − 9 = 131,625

Le volume du parfum est donc égal à 132 cm3 si l’on arrondi au cm3.

INFORMATION : PENSES-Y QUAND TU REVERRAS LES NOTIONS SUR L’ESPACE ET LES
SOLIDES !!!
À toi de jouer :
Premier exercice (Extrait du brevet)
Sur la figure ci-contre SABCD est une pyramide à base carrée
de hauteur [SA] telle que AB = 9cm et SA = 12 cm.
Le triangle SAB est rectangle en A.
Soit M un point de [SA] tel que SM = 𝑥, où 𝑥 est compris entre 0 et 12.
On appelle MNPR la section de la pyramide SABCD
par le plan parallèle à la base passant par M.
1) Montrer que MN = 0,75 𝑥.
2) Soit 𝐴(𝑥) l’aire du carré MNPR en fonction de x. Montrer que A(x) = 0,5625 𝑥 2 .
3) Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

4) Placer dans un repère les points d’abscisse x et d’d’ordonnée A(x) donnés par le tableau.
5) L’aire de MNPR est-elle proportionnelle à la longueur SM ? Justifier à l’aide du graphique.
Solution :
1) Les plans MNPR et ABCD sont parallèles, leurs intersections avec le plan SAB sont donc deux
droites parallèles. Ces droites sont (MN) et (AB), elles sont donc parallèles.
Dans le triangle SAB, les droites (MN) et (AB) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de
Thalès :
𝑆𝑀
𝑆𝑁
𝑀𝑁
𝑆𝑀
𝑀𝑁
𝑥
𝑀𝑁
= =
donc
=
soit
=
𝑆𝐴

𝑆𝐵

𝐴𝐵

𝑆𝐴

𝐴𝐵

12

9

9

Donc MN= ×𝑥 soit MN = 0,75 𝑥.
12
2) D’après la question précédente MN = 0,75 𝑥 donc, MNPR étant un carré, on a
A(x)=MN2=(0,75𝑥 )2=(0,75)2 𝑥 2 = 0,5625 𝑥 2 .
3)

10

4)

5) Les points ne sont pas alignés donc l’aire de MNPR n’est pas proportionnelle à la longueur SM.

Proportionnalité et grandeurs
Pour aborder l’activité qui suit, on rappelle :
-

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs
de l’autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

Entraine-toi :
Les grandeurs des tableaux ci-dessous sont-elles proportionnelles ?

Solution :
➪ 4 x 14,2 : 7 ≠ 4,8 donc A et B ne sont pas proportionnelles ; cette méthode est celle dite de « la
règle de 3 ».
➪ 17,1 : 3 = 5 ,7 et 7 x 5,7 = 39,9 donc les deux grandeurs sont proportionnelles ; cette méthode est
celle du « coefficient de proportionnalité » : on calcule le coefficient possible sur l’une des
colonnes et on le vérifie ensuite sur toutes les colonnes du tableau.
INFORMATION : PENSES-Y QUAND TU ETUDIERAS LA COLINEARITE DE 2 VECTEURS !!!
À toi de jouer :
➪ Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?

11



Solutions :
➪ 0,8 × 5,4 : 3 = 1,44 donc ce tableau est bien un tableau de proportionnalité.


AB × AD : AC = 3 × 5,1 : 2,125 =7 ,2 = AE donc il y a proportionnalité des longueurs.
Les points B, A , E d’une part et C, A, D d’autre part sont alignés dans le même ordre avec AB × AD : AC
= AE , donc d’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (BC) et (AD) sont parallèles.

Proportionnalité et pourcentages
Pour aborder l’activité qui suit, on rappelle :
-

Calculer 𝑡% d’une quantité revient à multiplier cette quantité par

𝑡

.

100

Entraine-toi :
Une somme d’argent de 4 500 € est placée à la banque. Le taux d’intérêt du placement est de 2,8 % par an.
Quelle somme a-t-on à la fin de la première année ?
Solution :
Façon 1 :
2,8
calcul des intérêts : 2,8 % de 4 500 =
×4500 = 126 euros.,
100
calcul de la somme obtenue : 4 500 + 126 = 4 626 €
Façon 2 :
la fonction linéaire permettant de passer du nombre de départ au nombre après augmentation est :
𝑥 ↦ ( 1 + 2,8 % )×𝑥 donc 𝑥 ↦ 1,028𝑥 ;
Avec 𝑥 = 4 500 on trouve 1,028 x 4 500 = 4 626 euros.

12

A toi de jouer !
➪ Un manteau coûtant 185 € est soldé avec une remise de 74 €.
Quel est le pourcentage de réduction ?
➪ Une écharpe qui coutait 32,50 € est soldée et coûte désormais 23,4 €.
Quel est le pourcentage de réduction ?
Solutions :
➪ Façon 1 :

74 × 100 : 185 = 40 ; le pourcentage de réduction est de 40 %.
Façon 2 : on considère la fonction linéaire qui au prix de départ associe le prix soldé ; 𝑥 ↦ a𝑥 .
Ici on a 185 ↦ 111 car 185 – 74 = 111.
Donc a = 111 : 185 = 0,6 = ( 1 – 0,4 ) = ( 1 – 40 % ).
Le pourcentage de réduction est donc de 40 %.
➪ Façon 1 :

32,5 – 23,4 = 9,1 € = montant de la remise
9,1 x 100 : 32,5 = 28 ; le pourcentage de réduction est de 28 %.
Façon 2 : on considère la fonction linéaire qui au prix de départ associe le prix réduit ; 𝑥 ↦ a𝑥 .
Ici on a 32,50 ↦ 23,40
Donc a = 23 ,40 : 32,50 = 0,72 = ( 1 – 0,28 )= ( 1 – 28 % ).
Le pourcentage de réduction est donc de 28 %.
INFORMATION : PENSES-Y : TOUT AU LONG DE TA SCOLARITE AU LYCEE TU VAS
RETROUVER LA PROPORTIONNALITE 2nde ! !!!!

13


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