Maths 2 CCS(1) .pdf

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On note P l’ensemble des polynˆomes a` coefficients dans l’ensemble {0, 1, 2},
et pour n ∈ N , on pose an le nombre de polynˆomes p de P tq P (2) = n.
• Donner a0 , a1 , a2 , a3 .
• Justifier l’existence de chaque an (ie montrer que pour tout n, il y a un
nombre fini de polynˆomes P de P tq P (2) = n).
• Mq pour tout n, a2n+1 = an et pour n > 0, a2n = an−1 + an .
• En d´eduire un script python calculant an .
• On pose A(x) la s´erie enti`ere des an xn . Mq cette s´erie a un rayon de
convergence ´egal `a 1.
• Mq pour x dans ] − 1, 1[, A(x) = (1 + x + x2 )A(x2 ). En d´eduire que
A(x) = lim

n
Q

k

k+1

(1 + x2 + x2

n→+∞ k=0

).

Voici quelques petites questions donn´ees en plus par l’examinatrice :
- Ecrivez bien la bijection entre les ensembles que vous ´ecrivez.
- Montrez que la s´erie enti`ere des na (a > 1) est de rayon 1.
- Qu’est-ce qui vous autorise `a s´eparer termes pairs et impairs dans votre
s´erie enti`ere ?

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