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Nom original: Cours2_Prob et Stoch_SMA-S6.pdf
Titre: Cours et exercices pour SMA-(S6) Probabilités et Processus Stochastiques
Auteur: Faculté des Sciences Meknès Année universitaire: 2016-2017 Enseignant: Sghir Aissa

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Cours et exercices pour SMA-(S6)
Probabilités et Processus Stochastiques

Faculté des Sciences Meknès
Année universitaire: 2016-2017
Enseignant: Sghir Aissa

Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, a été décrit pour la première fois en 1827
par le botaniste Robert Brown. C'est une description mathématique du mouvement aléatoire
d'une grosse particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre
interaction que des chocs avec les petites molécules du fluide environnant

Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Plan :

1

Espaces probabilisés

2

Variables aléatoires

3

Vecteurs Gaussiens

4

Convergences et approximations

5

Processus stochastiques

6

Examens normale et rattrapage 2016-2017

Sghir Aissa

Probabilités et processus stochastiques pour SMA-(S6 )

Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Plan :

1

Espaces probabilisés

2

Variables aléatoires

3

Vecteurs Gaussiens

4

Convergences et approximations

5

Processus stochastiques

6

Examens normale et rattrapage 2016-2017

Sghir Aissa

Probabilités et processus stochastiques pour SMA-(S6 )

Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Dans cette section, nous rappelons quelques notions de base sur la théorie
des probabilités vue en semestre (SMA-S3), et nous présentons le lien avec la
théorie des tribus et mesures vue en semestre (SMA-S5).

Sghir Aissa

Probabilités et processus stochastiques pour SMA-(S6 )

Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Introduction
Tout expérience aléatoire fait appel à deux ensembles de type di érent :
Un ensemble Ω appelé espace fondamental ou univers, qui contient
l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience aléatoire. Ces
derniers sont également appelés épreuves.
Une famille A de P(Ω) : l'ensemble des parties de Ω. Les parties de A
sont appelées des événements. On dit que l'événement A s'est réalisé si
et seulement si le résultat ω de Ω qui s'est produit appartient à A.
La théorie des probabilités doit cependant donner des résultats quanti és,
donc associer à chaque événement un nombre qui évalue sa chance de
réalisation.

Sghir Aissa

Probabilités et processus stochastiques pour SMA-(S6 )

Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Probabilité sur un espace discret
Dé nition

Soit I une partie de N. Une probabilité P sur un ensemble au plus
dénombrable Ω = (ωk )k∈I est une pondération (pk )k∈I des éléments de cet
ensemble telle que :
• Pour tout k ∈ I , pk ≥ 0,


P

pk = 1.

k∈I

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Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Dé nition

On attribue à toute éventualité ωi ∈ Ω la probabilité pi = P({ωi }), et
on attribue à tout événement A ⊂ Ω la probabilité :
P(A) =

X

pk .

k,ωk ∈A

La probabilité discrète P est dé nie par :
P=

X

pk δωk

avec P(Ω) = 1 et δωk (A) =

k∈I

Sghir Aissa

ß

1 si ωk ∈ A,
0 sinon.

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Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Exemple
Dans un lancer d'un dé équilibré, on a Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et pk = 16 pour
tout k ∈ [1 : 6]. Si l'événement A=(obtenir un nombre pair strictement
supérieur à 3), alors A = {4, 6} et par suite :
P(A) = P({4}) + P({6}) =

Sghir Aissa

1 1 1
+ = .
6 6 3

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Variables aléatoires
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Convergences et approximations
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Espaces probabilisés

Remarque (Équiprobabilité)

Si Ω est ni et les symétries font que tous les résultats possibles ω1 , ..., ωn
1
sont équiprobables, c-à-d ces résultats ont la même pondération pk = Card(Ω)
pour tout k ∈ [1 : n], alors
P(A) =

card(A)
.
card(Ω)

Dans l'exemple précédent, on a
P(A) =

card(A)
2 1
= = .
card(Ω)
6 3

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
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Processus stochastiques
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Espaces probabilisés

Probabilité sur un espace quelconque
Si on souhaite modéliser le temps de première obtention de Pile dans une
suite de jets d'une pièce à Pile ou Face, on choisit naturellement

Ω = {P, F }N , ensemble qui est in ni non-dénombrable. Dans ce cas, il est
nécessaire de restreindre les événements que l'on considère à une sous-classe
de P(Ω) appelée tribu, où P(Ω) est l'ensemble des parties de Ω.

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Dé nition

On appelle tribu sur Ω une partie A de P(Ω) véri ant les propriétés
suivantes :
Ω ∈ A,
A est stable par complémentaire : si A ∈ A alors A¯ ∈ A,
A est stable par union dénombrable
: si (An )n est une suite des
[
événements de A alors An est un élément de A.
n

On appelle événements les éléments de A. (Ω, A) est appelé espace
probabilisable.

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
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Espaces probabilisés

Exemples
Tribu grossière : {∅, Ω} est la plus petite tribu sur Ω.
Tribu discrète : P(Ω) est la plus grosse tribu sur Ω.
¯ Ω} est une tribu sur Ω.
Si A ∈ A alors {∅, A, A,

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
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Espaces probabilisés

Remarque

Soit I une partie de N et (Ai )i∈I une famille
T de tribus sur le même
espace Ω. Alors la famille des parties A = Ai est une tribu sur Ω.
i∈I

Soit F une famille de parties de Ω. Il existe une plus petite tribu sur Ω
qui contient F . On l'appelle tribu engendrée par F , et on la note σ(F).
C'est l'intersection de toutes les tribus qui contient F .
Exemple : BR est la tribu borélienne engendrée par les intervalles
ouverts de R.

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Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
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Espaces probabilisés

Dé nition

Soit (Ω, A) un espace probabilisable, on appelle probabilité sur (Ω, A) toute
application P de A dans [0, 1] tel que :
P(Ω) = 1,
σ -additivité : si (An )n est une suite des événements de A deux à deux
disjoints, (c-à-d : ∀ i 6= j , Ai ∩ Aj = ∅), alors
P

Ä[

ä

An =

n

Sghir Aissa

X

P(An ).

n

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Remarque

est une mesure positive sur (Ω, A) telle que P(Ω) = 1.
Le triplet (Ω, A, P) est appelé un espace probabilisé.
P

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
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Espaces probabilisés

Propriétés

Pour tout A ∈ A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
¯ = 1 − P(A).
P(A)
P(Ω) = 1,

(événement certain) et P(∅) = 0, (événement impossible).
Si A ⊂ B alors P(A) ≤ P(B) et P(B \ A) = P(B) − P(A).

Sghir Aissa

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
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Espaces probabilisés

Soit A et B deux événements, alors
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Formule de Poincaré : Soit (Ai )1≤i≤n une suite des événements de A,
alors
P

n
Ä[
i=1

ä

Ai =

n
X

n
X

k=1

1≤i1 <i2 <...<in ≤n

(−1)k+1

P(Ai1 ∩ ... ∩ Aik ).

Inégalité de Boole : soit (Ai )i∈[1:n] une suite des événements de A, alors
P

n
Ä[

ä

Ai ≤

i=1

Sghir Aissa

n
X

P(Ai ).

i=1

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
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Espaces probabilisés

Continuité croissante de P : soit (An )n une suite croissante des
événements de A, alors
P

Ä[

ä

An = lim P(An ) = sup P(An ).
n→+∞

n

n

Continuité décroissante de P : soit (An )n une suite décroissante des
événements de A, alors
P

Ä\

ä

An = lim P(An ) = inf P(An ).
n→+∞

n

n

Sghir Aissa

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
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Espaces probabilisés

Dé nition

Un ensemble A est dit négligeable si P(A) = 0.
Une propriété est dite vraie presque sûre (p.s) si elle est vraie pour tout
ω ∈ Ω \ A où A est un ensemble négligeable.

Sghir Aissa

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Variables aléatoires
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Espaces probabilisés

Exercice
Soit n ≥ 1. Déterminer une probabilité P sur l'ensemble : Ω = {1, ..., n} telle
que pour tout k ∈ Ω, la probabilité de l'événement : Ak = {1, ..., k} soit
proportionnelle à k 2 .

Sghir Aissa

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Espaces probabilisés

Corrigé
Nous allons déterminer les valeurs P({k}) pour tout k ∈ Ω. Pour cela, nous
cherchons tout d'abord la constante de proportionnalité λ.
On a : 1 = P(Ω) = P({1, ..., n}) = λn2 , donc λ = n12 .
Maintenant puisque l'événement {k} = Ak \Ak−1 , alors
P({k}) = P(Ak ) − P(Ak−1 ).
Finalement
P({k}) = λk 2 − λ(k − 1)2 =

Sghir Aissa

2k − 1
n2

.

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Variables aléatoires
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Espaces probabilisés

Probabilité conditionnelle et indépendance
Dé nition

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et A un événement de A avec P(A) 6= 0.
On appelle probabilité conditionnelle PA la probabilité dé nie pour tout
événement B de A par :
PA (B) = P(B|A) =

P(A ∩ B)
.
P(A)

Proposition
(Ω, A, PA )

est un espace probabilisé.

Sghir Aissa

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Espaces probabilisés

Preuve
Il su t de montrer que PA est une probabilité sur (Ω, A).
A ∩ B ⊂ A =⇒ P(A ∩ B) ≤ P(A) =⇒ 0 ≤ PA (B) ≤ 1.
PA (Ω) =

P(Ω∩A)
P(A)

=

= 1.

P(A)
P(A)

Soit (An )n une suite des événements deux à deux disjoints dans A, alors
P
PA

Ä[

ÄÄ S

ä

ä

n

An =

P

P
=

P(A)

n

=

ä

An ∩ A

ÄSÄ

ää

An ∩ A

n

P(A)

P(An ∩ A)

n

P(A)

=

X

PA (An ),

n

car les (An ∩ A)n sont deux à deux disjoints et P est une probabilité sur
(Ω, A).
Sghir Aissa

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Variables aléatoires
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Processus stochastiques
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Espaces probabilisés

Théorème des probabilités composés

Si (Ai )1≤i≤n est une suites des événements de A telles que
P(A1 ∩ ..... ∩ An−1 ) > 0, alors
P(A1 ∩.....∩An ) = P(A1 )×P(A2 |A1 )×P(A3 |A2 ∩A1 )×.....×P(An |An−1 ∩.....∩A1 ).

Remarque

Pour n = 2, si P(A) > 0, alors
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).

Sghir Aissa

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
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Espaces probabilisés
Dé nition

On dit que (Ai )i∈[1:n] est une famille indépendante de sous tribus de A
si pour toute famille des événements (Ai )i∈[1:n] où Ai ∈ Ai , pour tout
i ∈ [1 : n], on a
Ç
å
P

n
\

Ai

=

n
Y

P(Ai ).

i=1

i=1

On dit que les événements (Ai )i∈I sont mutuellement indépendants si
pour toute partie J nie et non vide de I , on a
!
P

\

Ai

i∈J

Sghir Aissa

=

Y

P(Ai ).

i∈J

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Processus stochastiques
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Espaces probabilisés

Dé nition

Deux événements A et B sont indépendants et on note A ⊥ B si
P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Exemple
Nous jetons un dé équilibré et nous considérons les deux événements :
A = (le résultat est impair) et B = (le résultat est ≤ 4). Alors
A = {1, 3, 5} ⇒ P(A) = 63 = 12
B = {1, 2, 3, 4} ⇒ P(B) = 46 = 23
A ∩ B = {1, 3} ⇒ P(A ∩ B) = 26 =

1
3.

On a P(A ∩ B) = = P(A) × P(B) donc A ⊥ B .
1
3

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Espaces probabilisés

Proposition

Si P(A) 6= 0, alors A ⊥ B ssi PA (B) = P(B).
Si A ⊥ B alors A¯ ⊥ B , A ⊥ B¯ et A¯ ⊥ B¯ .
Preuve
¯
Montrons par exemple que A¯ ⊥ B , c-à-d : P(A¯ ∩ B) = P(A)P(B).
Le fait que A ⊥ B et P(A ∩ B) + P(A¯ ∩ B) = P(B) nous donne directement
le résultat. En e et, on a
¯
¯
P(A)P(B)
= (1−P(A))P(B) = P(B)−P(A)P(B) = P(B)−P(A∩B) = P(A∩B).

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Espaces probabilisés

Exercice
Soient A et B deux événements d'un espace probabilité (Ω, A, P) tels que :
P(A) = 31 , P(B) = 14 et P(A ∪ B) = 94 .
¯ , et PB (A ∩ B)
¯ .
1) Calculer PB (A), PB (A)
2) Soit C un événement indépendant de A tel que P(A ∩ C ) = 15 .
Calculer P(C ), P(A ∩ C¯), P(A¯ ∩ C ) et P(A¯ ∩ C¯).

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Variables aléatoires
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Espaces probabilisés

Théorème de probabilités totales

Soit (Bi )1≤i≤n une partition de Ω, c-à-d : Ω =
Soit A un événement quelconque de A, alors
P(A) =

n
X

P(A ∩ Bi ) =

i=1

n
X

n
S
i=1

Bi

et ∀ i 6= j , Bi ∩ Bj = ∅.

P(Bi ) × P(A|Bi )

i=1

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Espaces probabilisés

Théorème de Bayes

Soit A un événement de A tel que P(A) > 0, alors pour tout i ∈ [1 : n], on a
P(Bi /A) =

P(Bi ) × P(A|Bi )
n
P
j=1

Sghir Aissa

.

P(Bj ) × P(A|Bj )

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Espaces probabilisés

Exemple
Supposons qu'une population d'adultes soit composée de 30% de fumeurs
(B1 ) et de 70% de non-fumeurs (B2 ). Notons A l'événement=(mourir d'un
cancer du poumon). Supposons en outre que la probabilité de mourir d'un
cancer du poumon est égale à P(A|B1 ) = 20% si l'on est fumeur et de
P(A|B2 ) = 1% si l'on est non-fumeur. Le théorème de Bayes permet de
calculer la probabilité d'avoir été fumeur si on est mort d'un cancer du
poumon notée P(B1 |A).

Sghir Aissa

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
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Processus stochastiques
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Espaces probabilisés

Corrigé
On a P(B1 ) =
P(B1 |A) =

30
100

= 0, 3, P(B2 ) =

P(B1 ) × P(A|B1 )

2
P

j=1

P(Bj ) × P(A|Bj )

=

70
100

= 0, 7

et Ω = B1 ∪ B2 . Donc

P(B1 ) × P(A|B1 )
' 0, 9.
P(B1 ) × P(A|B1 ) + P(B2 ) × P(A|B2 )

Le théorème des probabilités totales nous donne :
P(A) =

2
X

P(A|Bi ) × P(Bi ) = P(A|B1 ) × P(B1 ) + P(A|B2 ) × P(B2 ) ' 0, 13.

i=1

Sghir Aissa

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Espaces probabilisés

Espace probabilisé produit
Jusqu'à présent on a essentiellement parlé de l'observation d'un phénomène
unique. On peut pourtant s'intéresser à un phénomène ϕ qui est la
juxtaposition de n phénomènes ϕi où chaque phénomène ϕi est modélisé par
(Ωi , Ai , Pi ). Pour modéliser ϕ = (ϕ1 , ..., ϕn ), il nous faut déterminer l'espace
probabilisé (Ω, A, P) associé.

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Espaces probabilisés

Dé nition

Si ωi est l'observation du phénomène ϕi , le n-uplet ω = (ω1 , ..., ωn ) est une
observation du phénomène ϕ. On prendra donc comme espace fondamental
le produit cartésien :
Ω = Ω1 × ... × Ωn =

n
Y

Ωi .

i=1

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Espaces probabilisés

Intéressons nous maintenant à la construction de la tribu A sur Ω. Si pour
tout i ∈ [1 : n], l'ensemble Ai est un événement de Ai , il est naturel
d'attendre que le pavé A = A1 × ... × An soit un événement de A. C'est
pourquoi on pose la dé nition suivante :

Sghir Aissa

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Espaces probabilisés

Dé nition

On appelle tribu produit des (Ai )i∈[1:n] , et on la note A = A1 ⊗ ... ⊗ An , la
tribu engendrée par les pavés mesurables A1 × ... × An où Ai appartient à Ai ,
pour tout i ∈ [1 : n], c-à-d :
A=σ

Ķ

ä

A1 × ... × An , Ai ∈ Ai , i ∈ [1 : n]

.

Exemple : BRn = BR ⊗ ... ⊗ BR .

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Espaces probabilisés

Il nous faut maintenant dé nir une probabilité P sur cet espace produit
à partir de l'ensemble des (Pi )i∈[1:n] .

(Ω, A),

Théorème

Il existe une probabilité unique P sur l'espace produit (Ω, A) telle que pour
tout Ai dans Ai , pour i ∈ [1 : n], on a
Ä

ä

P A1 × ... × An =

n
Y

Pi (Ai ).

i=1

P est appelée probabilité produit des (Pi )i∈[1:n]
(Ω, A, P) est un espace probabilisé produit.

Sghir Aissa

et est notée P = P1 ⊗ ... ⊗ Pn .

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Espaces probabilisés

Exemple
Considérons le jeu du lancé de deux dés. Pour chaque dé, on a déjà dé ni
l'espace probabilisé associé au phénomène : Ω = {1, ..., 6}, A = P(Ω) et P
est l'équirépartition sur Ω.
Si on note ϕ = (ω1 , ω2 ) le résultat du lancé des deux dés, alors d'après ce qui
précède, on modélise ce phénomène par l'espace probabilisé produit :
(Ω × Ω, P(Ω) ⊗ P(Ω), P ⊗ P).

On pourra alors, grâce à cette structure, parler de la somme des deux
résultats, du produit, du maximum, du minimum, etc...

Sghir Aissa

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Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Remarque

Il n'est pas possible de généraliser la notion d'espace probabilisé produit
à une in nité dénombrable (Ωi , Ai , Pi )i∈N des espaces probabilisés
quelconques.
C'est la mesure de probabilisé produit qui pose problème si on ne fait
pas certaines hypothèses sur la structure des espaces probabilisables
(Ωi , Ai )i∈N .
Ce type des espaces probabilisés in ni est utilisé pour modélisé la
répétition d'une in nité d'expériences indépendantes, par exemple : le
temps d'attente du premier succès qui est modélisé par la loi
géométrique.

Sghir Aissa

Probabilités et processus stochastiques pour SMA-(S6 )

Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Exercices
Exercice 1
Soit n ≥ 1. Déterminer une probabilité P sur Ω = {1, ..., n} telle que :
pour tout k ∈ Ω, la probabilité de l'événement Ak = {1, ..., k} soit
proportionnelle à k 2 .

Sghir Aissa

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Variables aléatoires
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Processus stochastiques
Examens normale et rattrapage 2016-2017

Espaces probabilisés

Exercice 2
On pose : ∀ n ∈ N∗ , P({n}) = 21n et An =(les multiples de n).
1) Montrer que (N∗ , P(N∗ ), P) est un espace probabilisé.
2) Calculer la probabilité de l'événement : A = (n ∈ N∗ , n ≥ 10).
3) Véri er que : ∀ n ∈ N∗ , P(An ) = 2n1−1 .
4) Calculer la probabilité de A2 ∩ A3 puis A2 ∪ A3 .
5) Montrer par absurde que pour tous p, q ≥ 2, Ap et Aq ne sont pas
indépendants.
(Utiliser le ppcm de p et q ).

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Espaces probabilisés
Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
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Plan :

1

Espaces probabilisés

2

Variables aléatoires

3

Vecteurs Gaussiens

4

Convergences et approximations

5

Processus stochastiques

6

Examens normale et rattrapage 2016-2017

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Variables aléatoires
Vecteurs Gaussiens
Convergences et approximations
Processus stochastiques
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Variables aléatoires discrètes

Introduction
En pratique, on s'intéresse à certaines quantités attachées aux résultats
obtenus à l'issue d'une expérience aléatoire. Pour modéliser cela, on introduit
la notion de variables aléatoires. Ce sont des fonctions qui dépendent du
hasard, celui-ci étant modélisé par le tirage d'un point ω ∈ Ω.

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Variables aléatoires
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Convergences et approximations
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Variables aléatoires

Lois de probabilité d'une variable aléatoire
Dé nition

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et (E , B) un espace probabilisable. Toute
application mesurable X de (Ω, A, P) vers (E , B), (c-à-d :
∀ B ∈ B : X −1 (B) ∈ A), est appelée une variable aléatoire, (notée v.a).

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Variables aléatoires
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Variables aléatoires

Remarque

L'événement X −1 (B) = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B} est noté par : (X ∈ B).
La tribu engendrée par
¶ X est dé nie par
©:
σ(X ) := X −1 (B) = X −1 (B) : B ∈ B .

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Variables aléatoires

Notations :
Nous verrons dans la suite la classi cation des v.a grâce au théorème de
Radon Nikodym. Pour l'instant, notons qu'on étudie le plus souvent les v.a
quand l'espace d'arrivée est souvent :
Si (E , B) = (R, BR ), alors l'application X est dite variable aléatoire
réelle (v.a.r). Dans ce cas, pour tout intervalle I de R, on a
(X ∈ I ) ∈ A. De plus, pour tout réel x , Ä
on note ä
(X ≤ x) = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x} = X −1 ] − ∞, x] .
Si (E , B) = (Rn , BRn ), l'application X est dite vecteur aléatoire.
Si E est au plus dénombrable et B = P(E ), l'application X est dite
variable aléatoire discrète, (notée v.a.d).

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Variables aléatoires

Dé nition

Soit X une v.a de (Ω, A, P) vers (E , B). On appelle loi de probabilité de X et
on la note PX , la probabilité image de P par X dé nie sur (E , B) par :
∀ B ∈ B : PX (B) = P(X −1 (B)).

Proposition
(E , B, PX )

est un espace probabilisé.

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Variables aléatoires

Preuve
∀ B ∈ B : PX (B) = P(X −1 (B)) =⇒ 0 ≤ PX (B) ≤ 1.
PX (E ) = P(X −1 (E )) = P(Ω) = 1.

Soit (Bn )n une suite des événements deux à deux disjoints dans B, alors
PX

Ä[

Bn = P X −1

ä

Ä

Ä[

n

Bn

ää

=P

n

=

X −1 (Bn )

Ä[Ä

ää

n

P X −1 (Bn ) =

X Ä

ä

n

X

PX (Bn ),

n

car P est une probabilité sur (Ω, A).

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Variables aléatoires

Indépendance des variables aléatoires
Dé nition

Soit X une v.a de (Ω, A, P) vers (E , B) et g une application mesurable de
(E , B) vers R. Si g (X ) est dans L1 (Ω, A, P), (c-à-d : g (X ) est intégrable),
alors l'espérance de g (X ) est dé nie par :
Z
E (g (X )) =

Z
g (X (ω))dP(ω) =



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g (X )dP.


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Variables aléatoires

Théorème de transfert

Soit X une v.a de (Ω, A, P) vers (E , B) et de loi de probabilité PX et g une
application mesurable de (E , B) vers R. Si g (X ) ∈ L1 (Ω, A, P), alors
Z

Z

E (g (X )) =

g (X (ω))dP(ω) =


Sghir Aissa

g (x)dPX (x).
R

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