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Complexes

Mathématiques
4ème année

ghadhab Lassad

Bac 2018

Exercice N°1 : ( corrigé ) Vidéo1
 

Le plan est muni d’un repère orthonormé R  (O, u , v ) .
on donne les points A 2  i  , B 3i  et C i  .
1) a- Placer les points A, B et C dans R
b- Calculer les distances AB , AC et BC . En déduire que ABC est rectangle en C.
c- A l'aide d'une autre méthode montrer que ABC est rectangle en C.
d- Déterminer l'affixe du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.
z  2i
2) A tout point M z  tel que z  3i , on associe le point M ' d'affixe z ' tel que z ' 
.
3  iz
a- Calculer z ' pour z  4 .
z 2i
b- Résoudre dans ℂ l'équation
2
3  iz
z 2i
3) a- Vérifier que  iz ' 
.
z  3i
b- Déterminer l'ensemble des points M z  tels que z ' soit imaginaire pur.
c- Déterminer l'ensemble des points M z  tels que z ' soit réel.
d- Déterminer l'ensemble des points M z  tels que z '  1 .
4) a- Montrer que z 'i  z  3i  2 5 avec z  3i .
b- En déduire que si M appartient au cercle de centre B et de rayon 1 alors M ' appartient à un cercle
dont on précisera le centre et le rayon
Exercice N°2 : ( corrigé) Vidéo2
Dans le plan complexe 𝒫, muni d'un repère orthonormé direct O, u ,v , Soit le point Ai  .
On désigne par f l’application qui à tout point M de 𝒫, d’affixe z  i ,
iz  1
associe le point M ' d’affixe z ' par : z ' 
.
z i
1) On prend z  2  i , écrire z ' sous forme trigonométrie puis calculer z '12 .





2) a – Montrer que  z  i , z '  z '  z  1 .

b – En déduire l’ensemble des points M z  lorsque M ' z' varie sur l’axe des abscisses.

3) a – Vérifier que :

z'i z  i   2 .











b – En déduire la valeur de AM '  AM et que u, AM '    u, AM

 2 .

1
3

i  i et B ' l’image de B par f.
2
2
i. Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe z B  z A .

c – Soit B un point d’affixe z B 





ii. Déterminer la valeur de AB' et une mesure de u, AB' .
iii. En déduire une construction de B ' .
1

Exercice N°3 :

Exercice N°4 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère O.N O; u, v ,on considère les points A, B d’affixes
respectives a 1  i , b 1  i . On note  le cercle de diamètre AB





1) On considère   0,   on note M le point d’affixe z  1  ie i ; M ' le point d’affixe z '  i  e i
a – vérifier que M   .
z'
b – Vérifier que  i , en déduire la nature du triangle OMM ' .
z
2) a – Calculer en fonction de  les affixes des vecteurs BM et BM '
b – Vérifier que

ei  1

 i tan
i
e 1
2

c – Prouver que les points B, M et M ' sont alignés.
2

Exercice N°5 : Session principale section Techniques 2017

Exercice N°6 : Session principale section sciences 2012

Exercice N°7:
 

Soit P le plan complexe rapporté à un R.O.N direct R = (O, u , v ) . Soit
1) On considère les points B et C d’affixes respectives Z B  i  e
a – Montrer que OB 

i

  0;   .

et Z C  i  ie

i

2  2 Sin et OC  2  2Cos .
3

b – Déterminer  pour que OBC soit un triangle isocèle en O.
2) Soient les points A et M d’affixes respectives Z A  i et Z M  i  1  i ei .
Z  ZA
i.
a – Montrer que C
ZB  Z A
b –Montrer que ABMC est un carré.
3) a – Ecrire sous la forme exponentielle de : Z M  Z A .







d – Montrer que : OA, AM 
c – En déduire la valeur de




4

2  .

 pour que O, A et M soient alignés.

Exercice N°8 : Session contrôle section Techniques 2017

Exercice N°9:
Soit  un réel appartenant à 0 ,   On considère dans ℂ l’équation E  : z 2  2iz  1  ie2i  0
1) Résoudre E  pour  


4



i  
4

e

2) a – Vérifier que
b – Résoudre E 

est une racine carrée de ie i 2





3) le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v On considère les points A, B, C et I
 
i  
e  4

d’affixes respectives : 2i , i 
, i
Soit  le cercle de centre I et de rayon 1

 
i  
e  4

et i .

a – Calculer les affixes des vecteurs IB et IC . En déduire que BC est un diamètre du cercle 

b – Montrer alors que pour   le quadrilatère OBAC est un rectangle.
4
4

Exercice N°10:
1) Soit  un réel de l’intervalle 0,  .
Résoudre l’équation : z 2  2iz  e 2i  0 .





2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v , on considère les points

A, M et N d’affixes respectives  1  i , i  ei et i  e i où  est un réel de 0,  .

a- Montrer que les vecteurs AM et AN sont orthogonaux.
b- Montrer que lorsque  varie dans 0,  les points M et N varient sur un cercle  que l’on déterminera.
3) a- Déterminer en fonction de  l’aire 𝒜   du triangle AMN .
b-Déterminer la valeur de  pour laquelle l’aire 𝒜   est maximale et placer dans ce cas les points
M et N sur le cercle  .
Exercice N°11:
1) Résoudre dans ℂ l’équation z 2  i 3z  i  0 .

 


On considère l’équation dans ℂ : E  : z 2  2iSin z  2iCos  0
2) Soit  un réel de l’intervalle 0, 
2

a – vérifier que Cos  i   Sin2  2iCos .
b – Résoudre l’équation E 
2





3) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v .On désigne par A, B et C les points
d’affixes respectives a  i , b  Cos  i1  Sin  et c  Cos  i1  Sin 
a – Déterminer  pour que A, B et C soient alignés.
b – Déterminer  pour que B et C appartiennent à un cercle de centre O . Quel est le rayon de ce cercle.
Exercice N°12: (corrigé Vidéo 4)
I – Soit  un réel de l’intervalle 0,  
1) vérifier que e 2i  2ie i Sin  1 .
2) Résoudre dans ℂ l’équation : z 2  2ei z  2ie i Sin  0
II – Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct o, u, v . On considère les points A, B et C d'affixes
i

respectives e , e

i

 1 et e

i





1

1) a- Montrer que A est le milieu de BC  et que AB  u .
 
b-Placer dans le plan P le point A dans le cas où    0,  et construire alors les points B et C
 6
2) a- Montrer que O, B et C ne sont pas alignés.
1
b-Montrer que OA  BC et en déduire la nature du triangle OBC .
2
c- Déterminer  pour que le triangle OBC soit isocèle.

  
 .
2
4


3) a- Montrer que OA  OB  OC  1  2 2 cos

b-Déterminer la valeur de  pour laquelle la distance OA  OB  OC est maximale.

5

Exercice N°13: Session principale section sciences 2015

6

Exercice N°14: Session contrôle section sciences 2015

7

Exercice N°15: Session principale section sciences 2016 ( corrigé vidéo

Exercice N°16: Session principale section sciences 2017

8

Exercice N°17: Session contrôle section sciences 2017

9

Exercice N°18:





Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v .
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : z A  1  i 3 , z B  i et zC  3 .
A tout point M du plan d’affixe z  i , on associe le point M ' d’affixe z ' 
1) a- Vérifier que :  iz ' 

z 3
zi

puis que

z' 

z 3
.
1  iz

CM
.
BM

b- Déduire les ensembles suivantes:

E1  M z   P tel que M ' varie sur le cercle trigonomé tique de centre O
E2  M z   P tel que z' est réel

z 'i
; z C
z i
a- Vérifier que : z  i 1  iz   i z 2  1 .
z
b- Déduire que : W  2 A .
z 1
 
3) On pose z  e i ;   0, 
 2
 e  i
zA .
a- Montrer que : W  i
e  e i
b- Donner la forme exponentielle de z A .

2) Soit le nombre complexe

W



 i, i.



c- Déduire en fonction de  le module et un argument de W .

10

Exercice N°19:
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, u, v .







 



Soit A le point d’affixe a  1  i 3 et B le point d’affixe b  1  3  i 1  3 .
ba
 i , en déduire que le triangle OAB est rectangle et isocèle en A .
a
b- Donner l’écriture exponentielle de a puis construire les points A et B . (page annexe)

1) a-Vérifier que

2) Soit   0,2  .On considère les points A' et B ' d’affixes respectives a'  aei et b'  bei .






a- Montrer que OB  OB' et que OB, OB '   2 
2
. Construire le point B ' et placer le point A' .
3
3) On se propose de montrer que la droite  AA' coupe le segment BB ' en son milieu.

b- Dans cette question, on prend  

Soit P le milieu de AA' et Q le milieu de BB ' .
a- Montrer que

    ei  1  1 i  .
Aff AA'  ei  1  2 

b- Montrer que e

Aff PQ

i





  i
  i
 1  2iSin  e 2 et que ei  1  2Cos e 2
2
2

c- Conclure.
Exercice N°20:

11

Exercice N°21: (corrigé vidéo : préparation devoir contrôle 2 ( exercice2))
  
,  et E  l’équation dans ℂ : z 2  2cos  z  21  sin    0 .
I - Soit   
 2 2

a – Vérifier que : i1  sin  2  cos 2   2 sin   2
b – Résoudre dans ℂ l’équation E  .

II - Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O, u,v) on note A, M 1 , M 2 et M les points
d’affixes respectives z A  i ; z1  ei  i ; z2  ei  i et z  2 cos .
1) a – Montrer que M1 appartient à un cercle de centre A et de rayon 1.



b – Déterminer en fonction de  une mesure de u, AM1



  

    i  
2) a – Vérifier que z1  2 cos  e  4 2 
 4 2




i   
z
b – Vérifier que z1 et z 2 sont conjuguées, et en déduire que 1  e  2  .
z2

c – Montrer que le quadrilatère OM1MM 2 est un losange.

d – Construire le losange OM1MM 2 pour la valeur  
sur la figure ci-dessous.
3
3) Préciser la valeur de  pour la quelle OM1MM 2 est un carré.

12

Limites-continuités-composées

Mathématiques
4ème année

Bac 2018

ghadhab Lassad

Exercice N°1 :
I – Pour chaque question, répondre par Vrai ou Faux.

1) Si lim f x    et si pour tout x  1 , on a g  x   2 x  1  x alors lim g  f x    .
x

x

1
alors lim f x   3
x
x
3) Soit f la fonction définie et continue sur  3;4 dont le tableau des variations est :
x
4
3
0
2
5
1
f x 
3
1

2) Si pour tout x réel strictement négatif on a : f x   3  

L’image de l’intervalle  2;3 par f est  3;5
4) Si f est une fonction définie sur ℝ et dont la courbe représentative admet, dans un repère du plan, pour
asymptote au voisinage de   la droite d’équation y   x  1 alors lim f x    .
x

5) Soit la fonction f définie sur 0;1 par f  x   x  2 x  1 . Pour tout x de 0;1 , le réel f  f x   x

II – Calculer les limites suivantes :
1
1) lim xSin 

 x 2 
2) lim Tan 2 
x 
 2x  1 


  
3) lim x 4 1  Cos 2  
x
x

4) lim

x 0

x

x 1  1 x
Sinx

x 0
 

III – continuité d’une fonction composée :
1
 
Soit les fonctions g : x 
et f : x  Sinx . Montrer que h  g  f est continue sur  0, 
x1  x 
 2

Exercice N°2 :

Soit f la fonction définie sur ℝ*, par :


x 2 1 1
 f x  
x


 
x 3 Sin 

x
 f x  
2

x 1

si x  0

si x  0

1) a- Montrer que pour tout x  0 , on a f x   x .
b- Montrer que f est prolongeable par continuité en 0.
2) Calculer lim f et montrer que lim f x    . Interpréter graphiquement les résultats.
3

x



 1 
3) Soit g la fonction définie sur  ,1 par g x   f 
.
 1 x 
a- Montrer que g est continue sur  ,1 .
g.
b- Calculer lim g et lim



1

13

Exercice N°3 :


x2  1  1


g
x

si x  1

x

Soit g la fonction définie sur ℝ, par :
.

 
 x  Sin x 

2 
 g x  
si x  1
1) a- Déterminer lim g x 

x
x 1

1 x
b- Montrer que pour tout x  1, on a  1  g x  
. En déduire lim g x  .
x
1 x
 
Sin x   1
2 
2) a- Vérifier que pour tout x  1, g  x   1 
.
1 x
b- Montrer que g est continue en  1.
1
3) Montrer que l’équation g x    admet au moins une solution   0;3 .
2

4) Dans un repère orthonormé

O; i , j  on

considère la courbe d’une fonction f.
a- Déterminer graphiquement le domaine de
1
définition de f , de u 
et de v  f .
f
b- La fonction u est elle prolongeable par
continuité en 1.
5) Soit h  g  f .

a- Déterminer Dh .
b- Déterminer lim h x  et lim h x  . Que peut-on déduire pour la courbe de h.
x  

x  

c- h est elle continue à droite en 0 ?
Exercice N°4 :
Les courbes C g et C u représentent respectivement la fonction g définie sur IR\ 2 et une

fonction u définie sur 4; .

Cg

Cu

On considère la fonction composée f  u  g définie sur  ;2   3;  .
2 
1) Déterminer graphiquement : f (1).
2) Déterminer graphiquement : lim f ( x) ; lim f et lim f .
1

x  

2

3

14

Exercice N°5 :

 x  cos  x 
si x  1

x 1
Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = 
 2
 x  x  2  x si x  1
2
x
1) Montrer que pour tout x  1,  , f  x  
. En déduire lim f (x) . interpréter
x 
1 2
1 
1
x x2
x 1
2) Montrer que pour tout x  ;1 , on a
 f(x)  1 . En déduire lim f (x)
x 1
x  
1

3) Etudier la continuité de f en 1.
 1 
4) Montrer que l’équation f(x) =0 admet au moins une solution  dans   ,0 
 2 

5) En déduire que sin      1  2

 1 
 
g(x)  f 
 si x  0, 
 2
 cos x 
6) Soit g la fonction définie sur 0 ,   par 

 2


g     1
 

 2 2

Etudier la continuité de g à gauche en 
2

Exercice N°6 :
Dans un repère orthonormé

 O,i , j  on donne la

courbe représentative C f ci-contre d’une fonction
f définie et continue sur IR\ 3
  et  ' deux asymptotes à C f d’équations
respectives x  3 et y  2 x  1
 C f admet une branche parabolique de direction celle
de la droite (O, j ) au voisinage de + 
1) Déterminer

lim  f  x  ,

x 3

lim

x  

f x 
,
x

f x 
x   x
f  f 4 , lim  f  f x 

lim  f x   2 x et lim

x  

2) a- Déterminer

x 3



1 

x  


f
x



f 3x  1
 6
b- Montrer que lim
x  
x
3) Déterminer  f  f 3,4
et lim

 f x 2  1  cos

4) On considère les fonctions g et h définies par g x  

x4
et h  g  f . on suppose que f 0  1,75
x 1

a- Montrer que h est continue sur  ,2 .
b- Déduire que l'équation hx   2 admet une solution dans 0,1 .

15

Exercice N°7:

16

Exercice N°8:
I- Soit la fonction f définie sur IR par f x   1  x 2  2 x et C f sa courbe représentative dans un
repère orthonormé
1) a- Déterminer

 O,i , j 

lim f x 

x  

b- Montrer que la droite d’équation y  3x est une asymptote à Cf au voisinage de +  .


1

2) a- Montrer que pour tout x   ,0 ; f x   x 2 

1
2

x


f x 
b - Déduire lim f  x  et lim
x  
x   x
puis calculer lim  f x   x . Interpréter graphiquement ce résultat.
x  

II- Soit la fonction g définie sur IR\ 1

 g x   1  x 2  2 x


 
par : 
x Sin 

x
 g x  
x 1

et C g sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1) a- Montrer que pour tout x  0,1 ;

si x   ,0
si x  0, 1

 O,i , j 

x
 x
 g x  
x 1
x 1

b- g est-elle continue en 0 ? justifier.
 
sin  

x
  
2) a- Vérifier que pour tout x  0, \ 1 , g  x  
 
x  x  1
 
x
b- Déduire lim g x  et interpréter graphiquement ce résultat.
x  

Exercice N°9: (corrigé vidéo N°7)
La courbe ci contre est la représentation graphique d’une fonction f continue sur IR.
C f admet au voisinage de :



  une asymptote d’équation y  0 .
  une branche infinie parabolique de direction la droite d’équation x  0

1) Déterminer : lim f  x  , lim
x  

x  

f x
x

2) Déterminer : f IR  et f  f  IR 
3) a- Déterminer graphiquement le
domaine de définition de f ,
1
de u 
et de v  f .
f

b- La fonction u est elle prolongeable par
continuité en 2?

17

4) On considère la fonction g : x 

x2  1
et la fonction h  g  f
x

a – Montrer que h est continue sur 2, .
b – Déterminer lim h x  et h3 .
x  

 f x

5) Soit k la fonction définie sur ℝ, par k  x    2 
  

x
1

cos
  
 
 x 
 

si x  0
si x  0

a – Montrer que pour tout x  0 , on a 0  k  x   2 x 2 .
b – En déduire que k est continue en 0.

c – Montrer que lim k  x  
x  

2
2

. Interpréter graphiquement le résultat.

18

Suites réelles

Mathématiques
4ème année

ghadhab Lassad

Bac 2018

Exercice N°1 :
Soit les suites u et v définies sur ℕ par : un 

n



k 0

1
2

k

 1

1 
1 1
1

 2  ....  n et vn  21  n 
2 2
 2 
2

1) a – Etudier la monotonie de la suite u.
b – Montrer par récurrence que pour tout n ℕ, un  2 
2) Montrer que pour tout n ℕ, on a : vn 1  vn  
3) Montrer que les suites u et v sont adjacentes.

1
2n

1
2n
.

Exercice N°2 :
On considère les deux suites (un ) et ( vn ) définies, pour tout entier naturel n, par :

 u0  3

un  vn

 un1  2

 v0  4

un1  vn .
et  v
 n1 
2

1. Calculer u1 , v1 , u2 , v2 .
2. Soit la suite

( wn ) définie pour tout entier naturel n par wn  vn  un .

1
.
4
b. Exprimer wn en fonction de n et préciser la limite de la suite ( wn ) .

a. Montrer que la suite ( wn ) est une suite géométrique de raison

3. Après avoir étudié le sens de variation des suites (un ) et ( vn ) , démontrer que ces deux suites sont
adjacentes. Que peut-on en déduire ?
un  2vn
4. On considère à présent la suite ( tn ) définie, pour tout entier naturel n, par tn 
.
3
a. Démontrer que la suite ( tn ) est constante.
b. En déduire la limite des suites (un ) et ( vn ) .
Exercice N°3 :
n

On considère la suite u n  définie sur ℕ* par u n  

 1k

k 1

k

1) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n , u2n  2  u2n 
b) En déduire que la suite u2 n n 1 est décroissante
2) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, u2n  3  u2n 1 
b) En déduire que la suite u2 n 1 n 1 est croissante

1
1

2n  2
2n  1
1
1

2n  2
2n  3

3) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, u2n  u2n 1

4) Montrer que u2n 1 n 1 et u2 n n 1 sont deux suite adjacentes.
5) En déduire que la suite un n 1 est convergente.
19

Exercice N°4 :

2un
1
et un 1 
.
2
1  un2

Soit la suite u définie sur IN par u0 

1
 un  1
2
b-Etudier la monotonie de u ,en déduire qu’elle est convergente et calculer sa limite.
2
2) a- Montrer que n  IN , 0  1  u n 1  1  un  .
5

1) a- Montrer que n  IN ,

b- En déduire que n IN , 0  1  un 
n

3) On pose sn   uk , vn 
k 1

n

12
  . Retrouver lim un .

25

sn
, n  IN *
n

1 2
a- Montrer que n IN , n  1   
3   5 

n

  s  n.
 n


b- Déterminer alors lim sn et lim vn .




Exercice N°5 :
Soit u la suite réelle définie par u0  2 et pour tout n  IN ,

un 1  6  un

1) Montrer que pour tout n  IN , 0  un  3
2) Montrer que la suite u est croissante.
1
un  3
3

3) Montrer que pour tout n  IN , u n 1  3 
4) Montrer que pour tout n  IN , un  3 

1
3n

5) Déterminer la limite de la suite u .

1 n
 uk
n k 0
1
1
a- Montrer que pour tout k  IN , 3  k  uk  3  k
3
3
3 3 
1 
3 3 
1 
b- Montrer que pour tout n  IN * , 3  
1  n 1   vn  3  
1  n 1 
n 2n  3 
n 2n  3 
c- En déduire la limite de la suite v

6) Soit v la suite réelle définie sur IN * par : vn 

Exercice N°6 :
On considère la suite U définie sur ℕ par :
1) a – Vérifier que U n 1  2 

Un  2

U 0  3

2U n2  U n  2 ;

U

 n 1
2  U n2


pour tout n ℕ.

2  U n2

b – Montrer que pour tout n ℕ, on a U n  2





2) a – Vérifier que :  x3  2 x 2  x  2  x  2 x 2  1 .
b – Montrer que U n  est une suite décroissante.
c – Déduire de ce qui précède que U n  converge vers un réel l que l’on déterminera.
20

3) a – Montrer que pour tout n ℕ, on a 0  U n 1  2 

1
U n  2.
2
n

1
b – En déduire que pour tout n ℕ, on a 0  U n  2    .
2
c – Retrouver alors la limite de la suite U.

Exercice N°7:
u0  IR

Soit la suite u n  définie sur IN par : 
1  u n2
u n 1   1  u
n

I- On pose u0  2

,

pour tout n  IN

1) a- Montrer que pour tout n IN , on a : un  1
b- En déduire que la suite u n  est croissante.

2) Montrer que u n  n’est pas majorée puis déterminer la limite de u n .
1
II- On pose u0   .
2
1) a- Montrer que pour tout entier naturel n on a  1  un  0 .
b- Montrer que la suite u n  est décroissante.
c- Déduire qu’elle est convergente et déterminer sa limite.
2) Pour tout n  IN * , on pose , sn 

n 1

 uk  1 .

k 0

a- Montrer que la suite sn  est croissante.
k 1

1
b- On suppose qu' on a : uk  1    , pour tout k  IN .
2
Montrer alors que la suite sn  est majorée par 1 .

v0  1
3) Soit vn  la suite définie sur IN par: 
2

vn 1  vn  vn  un
a- Montrer que pour tout n IN , vn 1  vn  un .
b- Déduire que pour tout n IN , vn  n  sn  1
c- Calculer lim vn .

,

pour tout n  IN

x  

  U converge vers 

Si   f continue en 
  f U   U
n
n 1


alors

f l   l

U et V deux suites adjacentes lorsqu’elles vérifient les conditions :
 U est croissante

V est décroissante
 Un < Vn


lim U n  Vn   0

n  

21


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