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3) a – Montrer que pour tout n ℕ, on a 0  U n 1  2 

1
U n  2.
2
n

1
b – En déduire que pour tout n ℕ, on a 0  U n  2    .
2
c – Retrouver alors la limite de la suite U.

Exercice N°7:
u0  IR

Soit la suite u n  définie sur IN par : 
1  u n2
u n 1   1  u
n

I- On pose u0  2

,

pour tout n  IN

1) a- Montrer que pour tout n IN , on a : un  1
b- En déduire que la suite u n  est croissante.

2) Montrer que u n  n’est pas majorée puis déterminer la limite de u n .
1
II- On pose u0   .
2
1) a- Montrer que pour tout entier naturel n on a  1  un  0 .
b- Montrer que la suite u n  est décroissante.
c- Déduire qu’elle est convergente et déterminer sa limite.
2) Pour tout n  IN * , on pose , sn 

n 1

 uk  1 .

k 0

a- Montrer que la suite sn  est croissante.
k 1

1
b- On suppose qu' on a : uk  1    , pour tout k  IN .
2
Montrer alors que la suite sn  est majorée par 1 .

v0  1
3) Soit vn  la suite définie sur IN par: 
2

vn 1  vn  vn  un
a- Montrer que pour tout n IN , vn 1  vn  un .
b- Déduire que pour tout n IN , vn  n  sn  1
c- Calculer lim vn .

,

pour tout n  IN

x  

  U converge vers 

Si   f continue en 
  f U   U
n
n 1


alors

f l   l

U et V deux suites adjacentes lorsqu’elles vérifient les conditions :
 U est croissante

V est décroissante
 Un < Vn


lim U n  Vn   0

n  

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