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Examen Normale 2016 2017 SMA S6 .pdf


Nom original: Examen Normale 2016-2017 SMA-S6.pdf

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Aperçu du document


Universit´
e Moulay Ismail
Facult´
e des Sciences Mekn`
es

epartement de Math´
ematiques
et Informatique

Ann´
ee universitaire: 2016-2017
Fili`
ere: SMA S6
Module: Prob et Proc Stoch
Prof: SGHIR AISSA

Examen (Session normale)
Dur´
ee: (1h30mn)
NB: Documents non autoris´
es. Toute r´
eponse non justifi´
ee sera rejet´
ee.

Questions de cours: (3 pts=0.5+1+0.5+1)
Soit B = (Bt , t ≥ 0) un mouvement Brownien et F = (Ft , t ≥ 0) sa filtration naturelle.
1) Rappeler la d´efinition d’un processus Gaussian.
2) Rappeler les d´efinitions de F et B.
3) Donner la caract´erisation de B en terme de covariance.
4) Montrer que B est une F-martingale.
Exercice 1: (12 pts=1+1+1+1+1+2+1+2+2)
La fonction caract´eristique d’une variable al´eatoire (v.a) X d´efinie sur un espace probabilis´e
(Ω, F, P ) et de loi de probabilit´e PX est d´efinie par:
Z
itX
ϕX (t) = E(e ) =
eitx dPX (x), ∀t ∈ R.
R

1) Montrer que ∀ t ∈ R, |ϕX (t)| ≤ ϕX (0) = 1 et ϕX (t) = ϕX (−t).
2) Montrer que si U = X−m
est la v.a centr´ee r´eduite associ´ee `a la v.a X, alors
σ
t
tm
∀ t ∈ R, ϕU (t) = e−i σ ϕX
et ϕX (t) = eitm ϕU (σt).
σ
0

3) Montrer que si U ∼ N (0, 1), alors ϕU v´erifie: ϕU (t) = −tϕU (t) et en d´eduire ϕU (t),

∀t ∈ R.

(p)

4) Montrer que ∀ p ≥ 1, ϕU (0) = ip E(U p ) et en d´eduire tous les moments de la loi N (0, 1).
5) Soit X ∼ N (m, σ 2 ). Trouver ϕX (t), ∀t ∈ R.
6) Calculer les fonctions caract´eristiques des deux lois: B(n, p) et P(λ).


7) En d´eduire que si (Xn )n est une suite de v.a de lois B(n, pn ) telles que npn → λ > 0
n

lorsque n → +∞, alors Xn converge en loi vers X ∼ P(λ).
8) Soit (Yn )n une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme lois Geo(p), p ∈]0, 1[.
n
P
Yi
Calculer E(Y1 ) et en d´eduire la limite presque sˆ
ure de la suite: Zn =
.
n
i=1


converge en loi vers N (0, 1).
9) Calculer V (Y1 ) et trouver a et b tel que la suite:
n Znb−a
n

Tournez la page SVP
1

Exercice 2: (5 pts=1+2+1+1)
Soit X et Y deux v.a a` valeurs dans N. On suppose que la loi conjointe de X et Y v´erifie:


i+j
2
∀ (i, j) ∈ N , P (X = i, Y = j) = a
, avec a ∈ R∗ .
i+j
2
1) Montrer que a = 81 .
2) D´eterminer les lois marginales de X et Y .
3) Les variables X et Y sont elles ind´ependantes ?
4) Calculer P (X = Y ).
Rappel:

∀ |q| < 1,

+∞
X

1
q =
1−q
n=0
n

et

+∞
X
n=1

nq

n−1

1
=
(1 − q)2

!
.

Bon courage

2


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