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Examen Rattrapage 2016 2017 SMA S6 .pdf


Nom original: Examen Rattrapage 2016-2017 SMA-S6.pdf

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Aperçu du document


Universit´
e Moulay Ismail
Facult´
e des Sciences Mekn`
es

epartement de Math´
ematiques
et Informatique

Ann´
ee universitaire: 2016-2017
Fili`
ere: SMA S6
Module: Prob et Proc Stoch
Prof: SGHIR AISSA

Examen (Session de rattrapage)
Dur´
ee: (1h30mn)
NB: Documents non autoris´
es. Toute r´
eponse non justifi´
ee sera rejet´
ee.

Questions de cours: (3 pts=1+1+1)
Soit B = (Bt , t ≥ 0) un mouvement Brownien et F = (Ft , t ≥ 0) sa filtration naturelle.
1) Rappeler les d´efinitions de F et B.
2) Rappeler la d´efinition d’une martingale.




3) Montrer que E (Bt − Bs )2 |Fs = E Bt2 − Bs2 |Fs pour tous s < t.
Exercice 1: (11 pts=1+1+1+1+1+1+3+1+1)
Soit X une variable al´eatoire discr`ete a` valeurs enti`eres. On appelle fonction g´en´eratrice de X la
fonction gX : [−1, 1] → R d´efinie par:
X

gX (s) = E(s ) =

+∞
X

sn P (X = n).

n=0

1) Montrer que gX est de classe C ∞ sur ] − 1, 1[ et continue sur [−1, 1].
(n)

(n)

2) En d´eduire que si gX est la d´eriv´ee d’ordre n de gX , alors ∀ n ∈ N, P (X = n) =

gX (0)
.
n!

3) D´eterminer la loi de X si gX (s) = exp(−s + 1).
4) Calculer gX (s) si X ∼ B(p) (la loi de Bernoulli).
5) Montrer si X1 , ..., Xn sont n variables al´eatoires enti`eres ind´ependantes, alors
∀ s ∈ [−1, 1], gX1 +...+Xn (s) =

n
Y

gXi (s).

i=1

6) En d´eduire gX (s) si X ∼ B(n, p) (la loi Binomiale).
0

7) Montrer que E(X) = gX (1),

00

E(X(X − 1)) = gX (1) et en d´eduire V (X).

8) Trouver E(X) et V (X) si X ∼ B(n, p).
9) Soit (Xn )n une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme lois B( 12 ). Trouver la
n
P
Xi
.
limite presque sˆ
ure de la suite X n =
n
i=1

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1

Exercice 2: (7 pts=2+1+1+2+1)
Soit (X, Y ) un couple al´eatoire de densit´e conjointe:
f(X,Y ) (x, y) = e−x−y 1]0,+∞[2 (x, y).
1) Quelle est la densit´e du couple (Z, W ) = (X + Y, X − Y ).
2) En d´eduire les densit´es marginales de Z et W .
3) Z et W sont-elles ind´ependantes.
4) Calculer E(W ) et V (W ).
5) Soit (Wn )n une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme lois que W . On pose:


n
P
Wi
W n −a
Wn =
.
Trouver
a
et
b
tel
que
la
suite:
n
converge en loi vers N (0, 1).
n
b
n

i=1

Bon courage

2


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