TD 4 Processus stochastiques .pdf


Nom original: TD 4 Processus stochastiques.pdf

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par TeX / MiKTeX pdfTeX-1.40.17, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 27/07/2017 à 14:24, depuis l'adresse IP 196.85.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 201 fois.
Taille du document: 131 Ko (1 page).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


Universit´
e Moulay Ismail
Facult´
e des Sciences Mekn`
es

epartement de Math´
ematiques
et Informatique

Ann´
ee universitaire: 2016-2017
Fili`
ere: SMA S6
Module: Prob et Proc Stoch
Prof: SGHIR AISSA

TD 4

Soit (Bt , t ≥ 0) un mouvement Brownien et (Ft , t ≥ 0) sa filtration naturelle.
Exercice 1
1) Montrer que Bt + Bs ∼ N (0, t + 3s) , s < t.
2) Montrer que (Bt , t ≥ 0) est une (Ft , t ≥ 0)-martingale.
3) Soit c > 0. Montrer que le processus Btc := ( 1c Bc2 t , t ≥ 0) est un mouvement Brownian.
Exercice 2
On d´efinit un pont Brownien par Zt = Bt − tB1 , 0 ≤ t ≤ 1.
1) Montrer que Z est un processus gaussien. Pr´eciser ses param`etres.
2) Calculer Cov(Zt , B1 ) et en d´eduire que Zt est ind´ependant de B1 .
3) Montrer que le processus Yt = Z1−t , 0 ≤ t ≤ 1 a mˆeme loi que Z.
4) Montrer que le processus Xt = (1 − t)B

t
1−t

, 0 < t < 1 a mˆeme loi que Z.

Exercice 3




1) Montrer que E (Bt − Bs )2 |Fs = E Bt2 − Bs2 |Fs pour tous s < t.
2) Montrer que (Bt2 − t, t ≥ 0) est une (Ft , t ≥ 0)-martingale.


3) En d´eduire E Bt2 |Fs pour tous s < t.
4) V´erifier que E(Bt2 ) = t et E(Bt3 ) = 0.
5) En d´eduire que E(Bs Bt2 ) = 0 pour tous s < t, (utiliser l’esp´erance conditionnelle).
6) On admet que E(Z 4 ) = 3σ 2 si Z ∼ N (0, σ 2 ). Calculer E(Bs2 Bt2 ) pour tous s < t.
Exercice 4
1) Utiliser le fait que la densit´e N (a, 1) est d’int´egrale 1 pour calculer E(eσBt ).
σ2 t

2) En d´eduire que (eσBt − 2 , t ≥ 0) est une (Ft , t ≥ 0)-martingale.


3) Calculer E eBt |Fs pour tous s < t.

1


Aperçu du document TD 4 Processus stochastiques.pdf - page 1/1


Télécharger le fichier (PDF)

TD 4 Processus stochastiques.pdf (PDF, 131 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP







Documents similaires


td 4 processus stochastiques
coursmonique
td 2 probabilites et variables aleatoires
examen 2 statistique
examen normale 2016 2017 sma s6
martingales

Sur le même sujet..