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Annexe A

Solutions d’une équation
différentielle linéaire
homogène à coefficents
constants d’ordre 2.
A.1

Calcul des solutions.

On se propose dans cette annexe de démontrer la proposition suivante :
Proposition A.1
Soit y une solution de l’équation différentielle linéaire homogène à coefficents constants :
dy
d2 y
+ p + qy = y¨ + py˙ + qy = 0
2
dx
dx

(A.1.1)

où p et q sont des nombres réels non tous nuls.
On appelle équation caractéristique de l’équation (A.1.1) l’équation d’inconnue u
définie par :
u2 + pu + q = 0

(A.1.2)

Δ = p2 − 4q

(A.1.3)

On note :

le discriminant de (A.1.2), alors :

1

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
1. si Δ > 0 l’équation caractéristique (A.1.2) admet deux racines réelles u1 et u2 :



−p + Δ


 u1 =
2√

Δ

p


u =
2
2

(A.1.4)

et la solution générale de l’équation différentielle (A.1.1) est :

y ( x ) = A1 e u1 x + A2 e u2 x

(A.1.5)

où A1 et A2 sont deux constantes.
2. si Δ = 0 l’équation caractéristique (A.1.2) admet une racine réelle double u0 :

u0 = −

p
2

(A.1.6)

et la solution générale de l’équation différentielle (A.1.1) est :

y ( x ) = ( A1 + A2 x ) e u0 x

(A.1.7)

où A1 et A2 sont deux constantes.
3. si Δ < 0 l’équation caractéristique (A.1.2) admet deux racines complexes conjuguées u1 et u2 :



− p + i −Δ


 u1 =
= r + iω
2√


 u2 = − p − i −Δ = r − iω
2

(A.1.8)

où r et ω sont respectivement les parties réelle et imaginaire de u1 et u2 , et la
solution générale de l’équation différentielle (A.1.1) est :

y( x ) = A1 eu1 x + A2 eu2 x = ( A1 eiωx + A2 e−iωx )erx
où A1 et A2 sont deux constantes.

2

(A.1.9)

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
Remarque A.1
Le polynôme P défini par :
P(u) = u2 + pu + q

(A.1.10)

est appelé polynôme caractéristique de l’équation différentielle (A.1.1).

Démonstration A.1 Supposons que y 6= 0, on peut alors diviser l’équation (A.1.1)
par y :


+ p +q = 0
y
y

(A.1.11)

Posons alors :

u=


y

(A.1.12)

2


= − u2
y
y

(A.1.13)

et dérivons cette nouvelle fonction :

u˙ =

¨ − y˙ 2
yy

= −
y
y2

Il vient donc :

= u˙ + u2
y

(A.1.14)

L’équation (A.1.1) devient donc :
u˙ + u2 + pu + q = 0

(A.1.15)

Il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre à variables séparables, en utilisant la notation de Leibnitz on voit en effet que :
du
du
= −(u2 + pu + q) ⇐⇒ 2
= −dx
dx
u + pu + q

(A.1.16)

Cette équation se résoud donc par intégration directe des deux membres :
3

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
Z

du
=−
2
u + pu + q

Z

(A.1.17)

dx = − x

L’intégrale du premier membre porte sur une fraction rationnelle, que l’on
notera R dans la suite, elle dépend donc des pôles de cette fractions solutions
de l’équation :
u2 + pu + q = 0

(A.1.18)

Cette équation est l’équation caractéristique (A.1.2), elle se résoud aisément
puisqu’il s’agit d’une équation algébrique du deuxième degré. Deux cas se présentent (on regroupe les cas où le discriminant est positif ou négatif strictement
qui sont formellements identiques) :
— 1er cas : Δ 6= 0
Alors l’équation caractéristique admet deux racines u1 et u2 , calculées
par les relations (A.1.4) ou (A.1.8), et le polynôme caractéristique se factorise comme :
u2 + pu + q = (u − u1 )(u − u2 )

(A.1.19)

La fraction R se décompose donc comme :

R( u) =

u2

C2
C1
1
1
+
(A.1.20)
=
=
(u − u1 )(u − u2 )
u − u1
u − u2
+ pu + q

où C1 et C2 sont deux constantes. En multipliant R par u − u1 et en remplaçant u par u1 il vient :
1
= C1
u1 − u2

(A.1.21)

En multipliant R par u − u2 et en remplaçant u par u2 il vient :
1
= C2 = −C1
u2 − u1

(A.1.22)

D’où la décomposition de R :

R( u) =

1
1
=
u1 − u2
u2 + pu + q
4



1
1

u − u1
u − u2


(A.1.23)

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
On a alors :
Z

du
1
=
2
u1 − u2
u + pu + q

Z

du

u − u1

Z

du
u − u2


(A.1.24)

Soit :

Z

du
1
=
[ln |u − u1 | − ln |u − u2 |] + K
u1 − u2
u2 + pu + q


u − u1
1
+K

=
ln
( u1 − u2 ) u − u2

(A.1.25)

où K est une constante, l’équation (A.1.17) devient alors :


u − u1
= −( x + K )(u1 − u2 ) = (u2 − u1 )( x + K )
ln
u − u2

(A.1.26)

Posons :

X = x+K

(A.1.27)



u − u1
= ( u2 − u1 ) X

ln
u−u

(A.1.28)

Il vient alors :

2

d’où :


u − u1
u − u1
( u2 − u1 ) X


= ±A
⇐⇒
u − u = e
u − u2
2

(A.1.29)

En posant :
A = e ( u2 − u1 ) X

(A.1.30)

alors :
u − u1 = ± A(u − u2 ) ⇐⇒ u = ± Au ∓ Au2 + u1

⇐⇒ u(1 ∓ A) = u1 ∓ Au2
5

(A.1.31)

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
et donc :

u=

u1 ∓ Au2
1∓ A

(A.1.32)

en remplaçant A par son expression :

u=

u1 ∓ u2 e ( u2 − u1 ) X
u1 ∓ u2 e( u2 −u1 )( x +K )
=
1 ∓ e ( u2 − u1 ) X
1 ∓ e( u2 −u1 )( x +K )

(A.1.33)

et :

u=

u1 ∓ u2 e ( u2 − u1 ) K e ( u2 − u1 ) x
1 ∓ e ( u2 − u1 ) K e ( u2 − u1 ) x

(A.1.34)

Comme e( u2 −u1 )+K est un facteur constant on peut y introduire l’opérateur ∓ et poser :
B = ∓ e ( u2 − u1 ) K

(A.1.35)

Ce qui donne :

u=

u1 + u2 Be( u2 −u1 ) x
1 + Be( u2 −u1 ) x

(A.1.36)

Mettons en facteur e−u1 x au numérateur et au dénominateur de cette
expression, alors :

u=

u1 eu1 x + u2 Beu2 x
e−u1 x (u1 eu1 x + u2 Beu2 x )
=
e−u1 x (eu1 x + Beu2 x )
eu1 x + Beu2 x

(A.1.37)

En revenant à la définition (A.1.12) de u on voit que :
u eu1 x + u2 Beu2 x

= 1 ux
y
e 1 + Beu2 x

(A.1.38)

On voit alors immédiatement que :
y( x ) = eu1 x + Beu2 x
6

(A.1.39)

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
On retrouve donc bien les expressions (A.1.5) et (A.1.9) en posant :
(

A1 = 1
A2 = B

(A.1.40)

— 2e cas : Δ = 0
Alors l’équation caractéristique admet une racine double u0 , calculée
par la relation (A.1.6), et le polynôme caractéristique se factorise comme :
u2 + pu + q = (u − u0 )2

(A.1.41)

La fraction R se décompose donc directement comme :

R( u) =

u2

1
1
=
+ pu + q
( u − u0 ) 2

(A.1.42)

On a alors :
Z

du
=
2
u + pu + q

Z

du
1
+K
=−
2
u − u0
( u − u0 )

(A.1.43)

où K est une constante.
L’équation (A.1.17) s’écrit alors :



1
+K = −
u − u0

1
= x+K
u − u0
1
⇐⇒ u − u0 =
x+K
1
⇐⇒ u = u0 +
x+K

Z

dx = − x ⇐⇒

(A.1.44)

et d’après la définition (A.1.12) de u

1
= u0 +
y
x+K

(A.1.45)

Cette équation s’intègre aisément comme :
Z

ln |y| = u0 x +

dx
= u0 x + ln | x + K | + K ′
x+K
7

(A.1.46)

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
où K ′ est une constante, d’où :

|y| = eu0 x +ln | x +K |+K
= eu0 x eln | x +K | eK





(A.1.47)



= e u0 x e K | x + K |




= eu0 x |eK x + KeK |
Et en posant :
(

A1 = KeK
A2 = e K

On retrouve bien l’expression (A.1.7).

A.2 Etude des solutions.

8





(A.1.48)



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