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ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
et d’après la définition (A.1.12) de u

1
= u0 +
y
x+K

(A.1.47)

Cette équation s’intègre aisément comme :
Z

ln |y| = u0 x +

dx
= u0 x + ln | x + K | + K ′
x+K

(A.1.48)

où K ′ est une constante, d’où :

|y| = eu0 x +ln | x +K |+K
= eu0 x eln | x +K | eK





(A.1.49)



= e u0 x e K | x + K |




= eu0 x |eK x + KeK |
Et en posant :
(

A1 = e K



A2 = KeK



(A.1.50)

On retrouve bien l’expression (A.1.7).

A.2 Solutions à valeurs réelles.
A.2.1 Cas où p = q = 0.
Dans ce cas l’équation (A.1.1) s’écrit :
y¨ = 0

(A.2.1)

Ce qui conduit par intégration directe à une solution affine de la forme :

y ( x ) = A1 x + A2
où A1 et A2 sont des constantes.
8

(A.2.2)

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
Vérifions que la proposition A.1 est en accord avec ce résultat.
L’équation caractéristique s’écrit :
u2 = 0

(A.2.3)

Ce qui conduit à une racine double u0 = 0, on se retrouve donc dans le
deuxième cas de la proposition :
y ( x ) = ( A 1 x + A 2 ) e u0 = ( A 1 x + A 2 ) e0 = A 1 x + A 2

(A.2.4)

A.2.2 Cas où p 6= 0 et q = 0.
Dans ce cas l’équation (A.1.1) s’écrit :
y¨ + py˙ = 0

(A.2.5)

Ce qui conduit par intégration directe à une équation différentielle linéaire
à coefficients constants du premier ordre :
y˙ + py = C

(A.2.6)

où C est une constante.
La solution de cette équation est, d’après l’étude des équations différentielles du premier ordre :

y( x ) = Ae− px +

C
p

(A.2.7)

où A est une constante.
Vérifions que la proposition A.1 est en accord avec ce résultat.
L’équation caractéristique s’écrit :
u2 + pu = u(u + p) = 0

(A.2.8)

Ce qui conduit à deux racines réelles :
(

u1 = 0
u2 = − p
9

(A.2.9)

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
On se retrouve donc dans le premier cas de la proposition :

y( x ) = A1 eu1 x + A2 eu2 x = A1 + A2 e− px

(A.2.10)

Ce qui est bien le résultat attendu si l’on pose :


 A1 = C
p

A2 = A

(A.2.11)

Le comportement aux limites de cette solution dépend du signe du coefficient p. Notons ε le signe de A2 :

(

ε = + si A2 > 0

(A.2.12)

ε = − si A2 < 0
— 1er cas : p > 0.
alors :

 lim y( x ) = ε



x →− ∞

(A.2.13)

 lim y( x ) = A1
x →+ ∞

La solution admet donc un comportement exponentiel en −∞ et un
comportement asymptotique constant en +∞.
— 2e cas : p < 0.
alors :

 lim y( x ) = A1
x →− ∞

 lim y( x ) = ε



(A.2.14)

x →+ ∞

La solution admet donc un comportement exponentiel en +∞ et un
comportement asymptotique constant en −∞.

10

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.

A.2.3 Cas où p = 0 et q 6= 0.
Dans ce cas l’équation (A.1.1) s’écrit :
y¨ + qy = 0

(A.2.15)

L’équation caractéristique s’écrit :
u2 + q = 0 ⇐⇒ u2 = −q

(A.2.16)

Deux cas sont alors possibles :
— 1er cas : q > 0
Dans ce cas on pose :
q = k2

(A.2.17)

on obtient alors deux racines imaginaires pures conjuguées :
(

u1 = ik
u2 = −ik

(A.2.18)

et la solution de (A.1.1) est :
y( x ) = A1 eikx + A2 e−ikx

(A.2.19)

La fonction y obtenue est une fonction à valeurs complexes, cherchons
les solutions à valeurs réelles. L’équation (A.2.19) montre que toute combinaison linéaire des fonctions ψ1 et ψ2 définies par :
(

ψ1 ( x ) = eik = cos (kx ) + i sin (kx )
ψ2 ( x ) = e−ik = cos (kx ) − i sin (kx )

(A.2.20)

est une solution de l’équation différentielle (A.1.1), et en particulier les
combinaisons χ1 et χ2 définies par :

1

 χ1 ( x ) = (ψ1 ( x ) + ψ2 ( x )) = cos (kx )
2

 χ ( x ) = 1 (ψ ( x ) − ψ ( x )) = sin (kx )
2
2
2i 1
11

(A.2.21)

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
Or, χ1 et χ2 étant des combinaisons linéaires de ψ1 et ψ2 , toute combinaison linéaire de χ1 et χ2 est aussi une combinaison linéaire de ψ1 et
ψ2 , et est donc solution de (A.1.1). On verra que ce raisonnement peut
se condenser à l’aide de la notion d’espace vectoriel dans le tome X de
cet ouvrage.
De sorte que les solutions à valeurs réelles de l’équation (A.1.1) peuvent
s’écrire sous la forme :
y( x ) = C1 cos (kx ) + C2 sin (kx )

(A.2.22)

où C1 et C2 sont des constantes réelles.
La solution (A.2.22) peut s’écrire de manière plus compacte, posons :
q
R=

C12 + C22

(A.2.23)

Alors :

C

 1 ≤1
R

C
 2 ≤1
R

(A.2.24)

On peut donc poser par exemple :

C

 cos ( ϕ) = 1
R

C
 sin ( ϕ) = 2
R

(A.2.25)

avec ϕ ∈ [0; 2π [, (A.2.22) s’écrit alors :

y( x ) = R(cos ( ϕ) cos (kx ) + sin ( ϕ) sin (kx )) = R cos (kx − ϕ) (A.2.26)
Il s’agit d’une solution sinusoïdale de période d’amplitude R, de phase
à l’origine − ϕ et de période λ définie par :
λ=

12


k

(A.2.27)

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
— 2e cas : q < 0
Dans ce cas on pose :

−q = r2

(A.2.28)

on obtient alors deux racines réelles :

(

u1 = r
u2 = −r

(A.2.29)

et la solution de (A.1.1) est :

y( x ) = A1 erx + A2 e−rx

(A.2.30)

Cette solution peut être exprimée au moyen des fonctions trigonométriques hyperboliques, en effet :

(

erx = ch (rx ) + sh (rx )
e−rx = ch (rx ) − sh (rx )

(A.2.31)

De sorte que :
y( x ) = A1 (ch (rx ) + sh (rx )) + A2 (ch (rx ) − sh (rx ))
= ( A1 + A2 ) ch (rx ) + ( A1 − A2 ) sh (rx )

(A.2.32)

= C1 ch (rx ) + C2 sh (rx )

Cette solution est de type exponentielle est admet des comportements
aux infinis dépendants des signes de A1 , A2 et r.

A.2.4 Cas où p 6= 0 et q 6= 0.
— 1er cas : Δ ≥ 0
Dans ce cas on obtient les solutions (A.1.5) ou (A.1.7) de la proposition A.1 et aucune simplification suplémentaire n’est a priori possible
dans le cas général.

13

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
— 2e cas : Δ < 0
Dans ce cas on obtient la solution (A.1.9) de la proposition A.1. Pour obtenir les solutions à valeurs réelles on procède alors de la même manière
que pour le cas où p = 0 et q > 0 en posant cette fois :
(

ψ1 ( x ) = erx eik = erx (cos (kx ) + i sin (kx ))
ψ2 ( x ) = erx e−ik = erx (cos (kx ) − i sin (kx ))

(A.2.33)

Un raisonnement analogue conduit alors à la solution à valeurs réelles :

y( x ) = erx (C1 cos (kx ) + C2 sin (kx )) = Rerx cos (kx − ϕ)

(A.2.34)

Cette solution est dite pseudo périodique du fait du facteur sinusoïdal
cos (kx − ϕ). Elle possède une pseudo période λ définie par :
λ=


k

(A.2.35)

Le facteur sinusoïdal passe par des extrema valant ±1 pour x = x n ;
avec n ∈ Z tel que :
kxn − ϕ = nπ ⇐⇒ xn =

nπ + ϕ
k

(A.2.36)

En ces valeurs de x la fonction vaut alors :
y( xn ) = ± Rerxn

(A.2.37)

Les extrema de y suivent donc deux exponentielles opposées appelées
enveloppes de y.
Le comportement de y aux infinis dépend alors du signe de r et de R,
supposons R > 0, (il suffira d’inverser les signes pour le cas R < 0).
— Si r > 0 alors :

lim y = 0


x →− ∞



lim sup y = +∞
x →+ ∞




 lim inf y = −∞

(A.2.38)

x →+ ∞

On observe alors des oscillations s’amplifiant lorsque x tend vers
+∞.
14

ANNEXE A. SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
LINÉAIRE HOMOGÈNE À COEFFICENTS CONSTANTS D’ORDRE 2.
— Si r < 0 alors :

lim sup y = +∞




 x →−∞
lim inf y = −∞
x →− ∞




 lim y = 0

(A.2.39)

x →+ ∞

On observe alors des oscillations s’atténuant vers 0 lorsque x tend
vers +∞.

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