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Les suites

Chapitre 6
Les suites

I

Première ES
Mathématiques

Etude globale d'une suite
A

DÉFINITION

Définition
Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ.
La fonction définie pour tout entier naturel n par u (n) = 2n + 1
REMARQUE

est une suite.

Pour désigner la suite u, on peut écrire (un ).
L'écriture un désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u (n).
Une suite u peut n'être définie qu'à partir d'un certain rang n0 . Dans ce cas, on écrit
(un )n ⩾n0 pour désigner la suite u.

DÉFINITION

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.
1. Définition explicite

La suite (un ) est définie directement par son terme général :
un = f (n)

2. Définition par récurrence

Soient f une fonction définie sur ℝ et un réel f, une suite (un ) peut être définie par récurrence
grâce à son premier terme et une relation de récurrence valable pour tout entier n :
 u0 = a



 un + 1 = f (un )

3. Définition implicite

La suite (un ) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un
problème.
REMARQUE

B

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Quel que soit le mode de génération d'une suite, il se peut qu'elle ne soit définie qu'à partir
d'un certain rang n0 .

Le sens de variation

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Cours

Les suites

Chapitre 6
Les suites
DÉFINITION

Première ES
Mathématiques

Suite croissante

La suite (un ) est croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est
défini :

un + 1 ≥ un

Considérons la suite (un ) définie pour tout entier naturel n, par récurrence, par u0 = 12
et, pour tout entier naturel n :

un + 1 = (un )2 + un

On en déduit que, pour tout entier naturel n :
un + 1 − un = (un )2

.

Or (un )2 ≥ 0 . Donc, pour tout entier naturel n :
un + 1 − un ≥ 0

Ainsi, pour tout entier naturel n :
un + 1 ⩾ un

Donc la suite (un ) est croissante.
DÉFINITION

Suite strictement croissante

La suite (un ) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour
lequel un est défini :

un + 1 > un
DÉFINITION

Suite décroissante

La suite (un ) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est
défini :
un + 1 ≤ un

Considérons la suite définie par :
∀n ∈ ℕ∗ , un =

1
n

On a, pour tout entier naturel n non nul :
un + 1 − un =

1
1 n − (n + 1)
−1
− =
=
.
n+1 n
n (n + 1)
n (n + 1)

Pour tout entier naturel n non nul, le rapport
un + 1 − un ≤ 0

−1
est négatif, donc :
n (n + 1)

Ainsi, pour tout entier naturel n non nul:
un + 1 ≤ un

Par conséquent la suite (un ) est décroissante.
DÉFINITION

Suite strictement décroissante

La suite (un ) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour
lequel un est défini :

un + 1 < un

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Cours

Les suites

Chapitre 6
Les suites
DÉFINITION

Première ES
Mathématiques

Suite constante

La suite (un ) est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est
défini :

un + 1 = un
DÉFINITION

Suite monotone

La suite (un ) est monotone si, et seulement si, elle est croissante ou décroissante (sans
changer de sens).

C
DÉFINITION

Représentation graphique
Représentation graphique d'une suite

Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite u est l'ensemble des points de
coordonnées (n; un ), où n décrit les entiers naturels pour lesquels un est défini.
On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par un = n2 − 1
tableau des premiers termes suivant :

n
un

0

. On a le

1 2 3 4

−1 0 3 8 15

On obtient les premiers points de la représentation graphique ci-dessous :

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Cours

Les suites

Chapitre 6
Les suites

II

Première ES
Mathématiques

Les suites particulières
A

DÉFINITION

Les suites arithmétiques
Suite arithmétique

Une suite (un ) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle
est définie :
un + 1 = un + r

On considère la suite définie par son premier terme u0 = 1 et par pour tout entier
naturel n :

un + 1 = un − 2

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.
(un ) est donc une suite arithmétique.
DÉFINITION

Raison

Le réel r est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite est une suite arithmétique de raison −2.
PROPRIÉTÉ

Soit (un ) une suite arithmétique de raison r .
si r > 0 , la suite est strictement croissante
si r < 0 , la suite est strictement décroissante
si r = 0 , la suite est constante

THÉORÈME

Terme général d'une suite arithmétique

Soit (un ) une suite arithmétique de raison r , définie à partir du rang p. Pour tout entier n
supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
un = up + (n − p) r

En particulier, si (un ) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
un = u0 + nr

Soit u une suite arithmétique de raison r = −2 et de premier terme u0 = 3 .
Pour tout entier naturel n, on a : un = 3 − 2n

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Cours

Les suites

Chapitre 6
Les suites
PROPRIÉTÉ

Première ES
Mathématiques

Soit u une suite arithmétique. Les points de sa représentation graphique sont alignés.
Considérons la suite arithmétique u de raison r = 0, 5 et de premier terme u0 = −2 . Voici
les premiers points de sa représentation graphique :

REMARQUE

Si u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 , alors les points de sa
représentation graphique appartiennent à la droite d'équation y = rx + u0 .

B
DÉFINITION

Les suites géométriques
Suite géométrique

Une suite (un ) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle
est définie :
un + 1 = un × q

On considère la suite définie par son premier terme u0 = 1 et pour tout entier naturel n
par :

un + 1 = 3un

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.
Cette suite est donc une suite géométrique.
DÉFINITION

Raison

Le réel q est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite est géométrique de raison 3.
PROPRIÉTÉ

Soit q un réel strictement positif.

si q > 1, la suite (qn ) est strictement croissante.

si q < 1, la suite (qn ) est strictement décroissante.
si q = 1, la suite (qn ) est constante.
REMARQUE

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On parle de croissance (ou de décroissance) exponentielle dans le cas d'une suite
géométrique.

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Cours

Les suites

Chapitre 6
Les suites
THÉORÈME

Première ES
Mathématiques

Terme général d'une suite géométrique

Soit (un ) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n
supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
un = up × qn − p

En particulier, si (un ) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
un = u0 × qn

On considère suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0 = 3 .
Pour tout entier naturel n, on a : un = 3 × 2n
PROPRIÉTÉ

Soit u une suite géométrique de raison q ≠ 1. Les points de sa représentation graphique ne
sont pas alignés.

Considérons la suite géométrique de raison q = 5 et de premier terme u0 = 0, 1 . Voici les
premiers points de sa représentation graphique :

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Cours


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