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Les suites

Chapitre 1
Les suites

I

Terminale ES
Mathématiques

Etude globale d'une suite
A

DÉFINITION

Définition
Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ.
La fonction définie pour tout entier naturel n par u (n) = 2n + 1
REMARQUE

est une suite.

Pour désigner la suite u, on peut écrire (un ).
L'écriture un désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u (n).

DÉFINITION

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.
1. Définition explicite

La suite (un ) est définie directement par son terme général :
un = f (n)

2. Définition par récurrence

Soient f une fonction définie sur ℝ et un réel a, une suite (un ) peut être définie par récurrence
par son premier terme u0 = a et par, pour tout entier naturel n :
un + 1 = f (un )

3. Définition implicite

La suite (un ) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un
problème.
On donne :
∀n ∈ ℕ∗ , un = 5n2 +

2
n

La suite est définie de manière explicite.
On donne :

 u0 = 15



 ∀n ∈ ℕ, un + 1 = 8un − 12

La suite est définie par récurrence.

B

Kartable.fr

Les suites majorées, minorées, bornées

1/7

Cours

Les suites

Chapitre 1
Les suites
DÉFINITION

Terminale ES
Mathématiques

Suite majorée

La suite (un ) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel

n pour lequel un est défini :

un ≤ M

On définit la suite (un ) par :
∀n ∈ ℕ∗, un =

1
n

On a, pour tout entier naturel non nul n :
1
≤1
n

Ainsi, (un ) est majorée par 1.
DÉFINITION

Suite minorée

La suite (un ) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n
pour lequel un est défini :

un ≥ m

On définit la suite (un ) par :
∀n ∈ ℕ∗, un =

1
n

On a, pour tout entier naturel non nul n :
1
≥0
n

Ainsi, (un ) est minorée par 0.
DÉFINITION

Suite bornée

La suite (un ) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
La suite (un ) définie pour tout entier n non nul par un =
majorée par 1. Elle est donc bornée.

C

Kartable.fr

1
est à la fois minorée par 0 et
n

Le sens de variation

2/7

Cours

Les suites

Chapitre 1
Les suites
DÉFINITION

Terminale ES
Mathématiques

Suite croissante

La suite (un ) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est
défini :

un + 1 ≥ un

Considérons la suite (un ) définie par :

 u0 = 12



 ∀n ∈ ℕ, un + 1 = (un )2 + un

On a, pour tout entier naturel n :
un + 1 − un = (un )2

Or, pour tout entier naturel n :
(un )2 ≥ 0

Donc pour tout entier naturel n :
un + 1 − un ≥ 0

Soit :
un + 1 ≥ un

Ainsi, la suite (un ) est croissante.
DÉFINITION

Suite strictement croissante

La suite (un ) est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour
lequel un est défini :

un + 1 > un
DÉFINITION

Suite décroissante

La suite (un ) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est
défini :

un + 1 ≤ un

Considérons la suite (un ) définie par :
∀n ∈ ℕ∗ , un =

1
n

On a, pour tout entier naturel n non nul :
un + 1 − un =

1
1 n − (n + 1)
−1
− =
=
n+1 n
n (n + 1)
n (n + 1)

Or, pour tout entier naturel n non nul :
−1
⩽0
n (n + 1)

Donc, pour tout entier naturel n non nul :
un + 1 − un ≤ 0

Soit :
un + 1 ≤ un

Ainsi, la suite (un ) est décroissante.

Kartable.fr

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Cours

Les suites

Chapitre 1
Les suites
DÉFINITION

Terminale ES
Mathématiques

Suite strictement décroissante

La suite (un ) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour
lequel un est défini :

un + 1 < un
DÉFINITION

Suite constante

La suite (un ) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est
défini :
un + 1 = un
DÉFINITION

Suite monotone

La suite (un ) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer
de sens de variation).

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4/7

Cours

Les suites

Chapitre 1
Les suites

II

Terminale ES
Mathématiques

Les suites particulières
A

DÉFINITION

Les suites arithmétiques
Suite arithmétique

Une suite (un ) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle
est définie :

un + 1 = un + r

On considère la suite définie par son premier terme u0 = 1 et par, pour tout entier
naturel n :
un + 1 = un − 2

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.
Cette suite est donc arithmétique.
PROPRIÉTÉ

Soit (un ) une suite arithmétique de raison r :
Si r > 0 , la suite (un ) est croissante.
Si r < 0 , la suite (un ) est décroissante.
Si r = 0 , la suite (un ) est constante.

DÉFINITION

Raison de la suite

Le réel r est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.
THÉORÈME

Terme général d'une suite arithmétique

Soit (un ) une suite arithmétique de raison r , définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel
n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
un = up + (n − p) r

En particulier, si (un ) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
un = u0 + nr

Si (un ) est une suite arithmétique de raison r = −2 et de premier terme u0 = 3 , alors,
pour tout entier naturel n :
un = 3 − 2n

B

Kartable.fr

Les suites géométriques

5/7

Cours

Les suites

Chapitre 1
Les suites
DÉFINITION

Terminale ES
Mathématiques

Suite géométrique

Une suite (un ) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier
naturel n pour lequel elle est définie :
un + 1 = un × q

On considère la suite définie par son premier terme u0 = 1 et par, pour tout entier
naturel n :

un + 1 = 3un

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.
Cette suite est donc géométrique.
PROPRIÉTÉ

Soit q un réel strictement positif :

Si q > 1, la suite (qn ) est croissante.

Si 0 < q < 1, la suite (qn ) est décroissante.
Si q = 1, la suite (qn ) est constante.
DÉFINITION

Raison de la suite

Le réel q est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.
THÉORÈME

Terme général d'une suite géométrique

Soit (un ) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel
n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
un = up × qn − p

En particulier, si (un ) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
un = u0 × qn

Si (un ) est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0 = 3 , alors pour
tout entier naturel n :
un = 3 × 2n
THÉORÈME

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q strictement positif :
Si q < 1, alors qn a pour limite 0
Si 1 < q, alors qn a pour limite +∞
Si q = 1, alors qn a pour limite 1
lim

n→+∞

n

1
=0
( 4)

lim 5n = +∞

n→+∞

Kartable.fr

car 0 <

1
<1
4

car 5 > 1

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Cours

Les suites

Chapitre 1
Les suites
REMARQUE

Terminale ES
Mathématiques

Dire que qn a pour limite 0 signifie que qn est aussi proche de 0 que l'on veut dès que n est
suffisamment grand.

Dire que qn a pour limite +∞ signifie que qn est aussi grand que l'on veut dès que n est
suffisamment grand.
THÉORÈME

Somme des premiers termes d'une suite géométrique

Soient n un entier naturel et q un réel différent de 1 :
1 + q1 +. . . +qn =

1 − qn + 1
1−q

On a :
1 + 21 +. . . +215 =
PROPRIÉTÉ

1 − 215+ 1
= 216 − 1
1−2

Si q est un réel strictement compris entre 0 et 1, on a :

1
lim (1 + q1 +. . . +qn ) =
1−q

n→+∞

On a :
lim

n→+∞

C
DÉFINITION

n

1
1
1+
+. . . +
=
( 2)
( 2) )
(
1

1

1
1−
2

=

1
=2
1
2

Les suites arithmético-géométriques
Suite arithmético-géométrique

Soient u0 , q et r trois réels. On considère la suite (un ) définie par son premier terme u0 et par,
pour tout entier naturel n :
un + 1 = un × q + r

La suite (un ) est appelée suite arithmético-géométrique.
On considère la suite définie par son premier terme u0 = 2 et par, pour tout entier
naturel n :

un + 1 = 5un − 1

Cette suite est arithmético-géométrique.
REMARQUE

Si q = 1, la suite est arithmétique de raison r .
Si r = 0 , la suite est géométrique de raison q.

ASTUCE

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Pour étudier ces suites, on utilise une suite géométrique auxiliaire fournie dans l'énoncé.

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Cours


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