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Nom original: La conjecture de Sendov.pdf
Titre: THEORIE DE NOMBRES
Auteur: KHOUYAMOH JAOUAD

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La conjecture de Sendov
SAADAOUI HAMID
25 Juin 2011

Remerciements

Je voudrais tout d’abord exprimer ma profonde reconnaissance à mon encadrant,
le Professeur M. BARRAA, qui est à l’origine de ce travail. C’est un honneur pour
moi d’avoir travaillé avec lui. Je lui suis infiniment reconnaissant, non seulement
parce qu’il a accepté de me prendre en mémoire, mais aussi parce qu’il a partagé ses
idées avec moi. Il a dirigé mon projet avec beaucoup de patience et il a dédié beaucoup de temps à mon travail en étant toujours trés disponible pour que l’on discute,
ce qui m’a énormément encouragé.
Je remercie également les Professeurs T. BENKIRAN et A. NOKRANE qui m’ont
fait l’honneur d’accepter d’examiner mon projet et de faire partie du jury.
Je tiens à remercier les Professeurs M. HOUIMDI et M. H. LALAOUI qui ont fait
beaucoup d’efforts pour qu’on puisse écrire en Latex.
Mes remerciments vont aussi à l’ensemble des professeurs du département de Mathématiques de la faculté des Sciences Semlalia de Marrakech qui ont assuré avec
succé l’encadrement et l’enseignement de la fili´re S.M.A .
Ces remerciements seraient incomplets sans un remerciement adressé aux membres
de ma famille, en particulier l’âme de mon père, ma chére mére, mes fréres et ma
petite soeur.
Je pense aussi à mes amies et mes collégues ainsi que tous les gens aimables et
serviables qui m’ont soutenu durant mes études.

1

Table des matières

1

2

3

Polynôme à coéfficients complexes
1
Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Relation entre les racines et les coéfficients . . . . . . . . .
2.2
Fonctions symétriques élémentaires des racines . . . . . . .
2.3
Relation entre les racines d’un polynôme et les racines de sa
dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
L’espace vectoriel des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Continuité des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . .
La conjecture de Sendov
1
Théorème de Gauss-Lucas . . . . .
1.1
Enveloppe convexe . . . . .
1.2
Théorème de Gauss-Lucas .
2
Quelques cas simple de la conjecture
3
Cas d’une racine réelle . . . . . . .

. . . .
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.

La matrice compagnon et distance de Hausdorff
1
Matrice Compagnon . . . . . . . . . . . . .
2
Distance de Hausdorff . . . . . . . . . . . .
3
Matrice D-compagnon . . . . . . . . . . . .
4
Conjecture avec Borcéa . . . . . . . . . . .

2

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4
4
4
5
6
7
7
9

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10
10
10
11
11
15

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19
19
20
25
26

Introduction

En 1958, Balgovest Sendov, lorsqu’il travaillait comme assistant du professeur N.
Obreshkov, a soulevé la question suivante : supposons que tous les zéros d’un polynôme P à coéfficients complexes se trouvent dans le disque unité fermé, existe-il
un point critique, c’est à dire un zéros de polynôme dérivé de P, dans une boule
centrée sur un zéro de P et de rayon un ?
La conjecture a été inclus dans le livre de W. Hayman, en 1967, des problèmes de
recherche rassemblés.
La conjecture de Sendov s’inscrit naturellement dans la ligne classique de la géométrie des polyômes et en même temps elle a des liens étroits avec la théorie du
potentiel et la théorie des opérateurs.
Mon projet comporte trois chapitres, le premier chapitre concerne les polynômes
complexes qui contient la relation entre les racines et les coéfficients, puis un chapitre sur la conjecture de Sendov qui explicite quelques cas simples de la conjecture.
Vers la fin, on fait un lien avec la conjecture de Sendov et la distance de Hausdorff
dans le dernier chapitre.
La conjecture de Sendov est vérifiée dans les cas suivants :
– Tous les zéros sont réels.
– Tous les zéros appartiennent au cercle unité.
– Tous les zéros sont contenues dans le disque unité fermé, et au moins une se
trouve au centre du disque.
– Si l’enveloppe convexe des zéros forme un triangle.

3

Chapitre

1

Polynôme à coéfficients complexes
L’ensemble des polynômes à coéfficients dans C sera noté C[X] et l’ensemble des
polynômes de degré ≤ n sera noté Cn [X].
1. Définition et propriétés générales
– Un polynôme P à coéfficients dans C est une suite d’éléments de C nulle à
partir d’un certain rang, et on écrit :
n

P = ∑ ai X i = a0 + a1 X 1 + · · · + an X n .
i=0






Si an 6= 0, alors on dit que P est de degré n et on écrit degP=n.
Par convention, le degré du polynôme nul vaut −∞.
Lorsque an = 1, on dit que P est unitaire.
0
Le polynôme dérivé de P noté P et on a :
0

P = a1 + 2a2 X 1 + · · · + nan X n−1 .
2.

Racines d’un polynôme

Définition 2.1
– Soit P ∈ C[X], on dit que α ∈ C est une racine de P lorsque P(α) = 0.
– On dit que α est racine de P d’ordre de multiplicité k si et seulement si :
0
i)P(α) = P (α) = · · · = P(k−1) (α) = 0.
ii)P(k) (α) 6= 0.
Proposition 2.1
Le nombre complexe α est une racine de P si et seulement si X − α dévise P.
Preuve 2.1
– Supposons que P(α) = 0.
On a P = (X − α)Q + R avec degR < deg(X − α) = 1, d’où : R = c, alors :
P = (X − α)Q + c, P(α) = 0 + c = 0, donc c = 0.
D’où : P = (X − α)Q, donc X − α dévise P.
4

1

CHAPITRE 1. POLYNÔME À COÉFFICIENTS COMPLEXES

– Réciproquement supposons que X − α dévise P donc il existe un polynôme Q
de C[X] tel que P = (X − α)Q, d’où : P(α) = (α − α)Q = 0, alors α est une
racine de P.
Théorème 2.1 (d’Alembert-Gauss)
Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine dans C.
Pour démontrer ce théorème on a besoin du Lemme suivant :
Lemme 2.1
Soit P un polynôme non constant à coéfficients dans C et a ∈ C.
Pour tout ε > 0, il existe z ∈ B(a, ε) tel que : |P(z)| < |P(a)|.
Cela signifie que P n’admet pas de minimum locale sur C.
Preuves : ( du théorème d’Alembert Gauss )
Par l’absurde, on suppose que P n’admet pas de racine.
Alors : f définie par f = P1 converge vers 0 lorsque |z| → +∞
Donc si : M = sup | f | , il existe R > 0 tel que |z| > R, implique | f (z)| ≤

M
2.

Donc il

C

existe z0 ∈ C tel que pour tout z ∈ C on ait :
|P(z0 )| < |P(z)|.
Cela contredit le Lemme, d’où P admet au moins une racine complexe.
Corollaire 2.1
Si P est unitaire de degré n, alors il existe α1 , · · · , αn dans C tel que :
P = (X − α1 )(X − α2 ) · · · (X − αn )
2.1.

Relation entre les racines et les coéfficients

Il s’agit d’écrire les coéfficients d’un polynôme P unitaire en fonction de ces
racines. Soit P = (X − α1 ) · · · (X − αn ) un polynôme de degré n sur C.
I Pour n = 2 :
On a : P = (X −α1 )(X −α2 ) et d’autre part on a : P = X 2 +a1 X +a0 , en développant,
on obtient l’identité :
X 2 − (α1 + α2 )X + α1 α2 = X 2 + a1 X + a0
Il vient que :
α1 + α2 = −a1 et α1 α2 = a0

5

1

CHAPITRE 1. POLYNÔME À COÉFFICIENTS COMPLEXES

I Pour n = 3 :
Soient P = (X − α1 )(X − α2 )(X − α3 ) et P = X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 , en développant,
on trouve :
X 3 −(α1 +α2 +α3 )X 2 +(α1 α2 +α1 α3 +α2 α3 )X −α1 α2 α3 = X 3 +a2 X 2 +a1 X +a0
Et on obtient :
α1 + α2 + α3 = −a2 , α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 = a1 et α1 α2 α3 = −a0
I Pour un polynôme de degré n quelconque :
Soit P = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 et identifiant cette écriture avec le développent de P = (X − α1 )(X − α2 ) · · · (X − αn ).
En comparant d’une part le terme de X n−1 et d’autre part le terme constant des deux
écritures, on obtient :
α1 + α2 + · · · + αn = −an−1 et α1 α2 · · · αn = (−1)n a0
Pour les termes en X n−k pour tout k ≤ n quelconque, on obtient la relation suivante :



αi1 αi2 · · · αik = (−1)k an−k

i1 <···<ik

2.2.

Fonctions symétriques élémentaires des racines

Définition 2.2
Soit P un polynôme de C[X] de degré n, on écrit :
P = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0
Notons α1 , α2 , · · · αn ses racines, les fonction symétriques élémentaires sont :
n

σ1 = α1 + α2 + · · · + αn = ∑ αi
i=1

σ2 = α1 α2 + · · · + αn−1 αn
..
.
σk = ∑ αi1 αi2 · · · αik
i1 <···<ik

..
.

n

σn = α1 α2 · · · αn = ∏αi
i=1

IRelation coéfficients-racines :
Pour tout k ,tel que 1 ≤ k ≤ n , on a : σk = (−1)k an−k .
6

1

CHAPITRE 1. POLYNÔME À COÉFFICIENTS COMPLEXES

ISommes de Newton :
les sommes de Newton sont :
Sk = αk1 + αk2 + · · · + αkn , 1 ≤ k ≤ n.
Oú les αi sont les racines de P = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 , (En particulier
S0 = n)
S1 + an−1 = 0
S2 + an−1 S1 + 2an−2 = 0
S3 + an−1 S2 + an−2 S1 + 3an−3 = 0
..
.
Sn + an−1 Sn−1 + an−2 Sn−2 + · · · + a1 S1 + na0 = 0
2.3.

Relation entre les racines d’un polynôme et les racines de sa dérivé

– Pour n = 2 :
0

2
P(X) = (X − α1 )(X − α2 ) 7→ P (X) = 2(X − α1 +α
2 )
2
(α1 , α2 ) 7→ β1 = α1 +α
2

– Pour n = 3 :
0

P(X) = (X −α1 )(X −α2 )(X −α2 ) →
7 P (X) = 3X 2 −2(α1 +α2 +α3 )X +α1 α2 +α1 α3 +α2 α3
(α1 , α2 , α3 ) →
7 (β2 , β2 )

Avec :

(
β1 + β2 = 23 (α1 + α2 + α3 ) = t
β1 β2 = 31 (α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 ) = s

(
β1 + β2 = t
d’où :
β1 β2 = s

(X − β1 )(X − β2 ) = X 2 − (β1 + β2 )X + β1 β2 = X 2 − tX + s

3.

Avec β1 et β2 sont les racine de : X 2 − tX + s = 0
Donc :


t + t 2 − 4s
t − t 2 − 4s
β1 =
et β2 =
2
2
L’espace vectoriel des polynômes

Proposition 3.1
– L’ensemble C[X] est un C espace vectoriel.
– Pour n fixé : Cn [X] = {P ∈ C[X] , degP ≤ n} est un sous espace vectoriel de
C[X].
Proposition 3.2
L’application D : C[X] → C[X] est une application linéaire.
0
P 7→ P
7

1

CHAPITRE 1. POLYNÔME À COÉFFICIENTS COMPLEXES

Preuve 3.1
Soient P, Q ∈ C[X] et α ∈ C, on a :
0

0

0

D(αP + Q) = (αP + Q) = αP + Q = αD(P) + D(Q).
D’où D est une apllication linéaire.
Définition 3.1 (Rapells sur les normes)
Soit k.k : C[X] → R+ une application, on dit que k.k est une norme si :
1. ∀P ∈ C[X] : kPk = 0 ⇔ P = 0.
2. ∀P ∈ C[X] ∀λ ∈ C kλPk = |λ kPk.
3. ∀P, Q ∈ C[X] : kP + Qk ≤ kPk + kQk.
Exemples 3.1
Sur C[X], on définie les deux normes suivante :
– kPk∞ = sup |ak |.
1≤k≤n
n

– kPk1 =

∑ |ak |.
k=1

Proposition 3.3
Soit P ∈ C[X] de degré n, toute racine α de P dans C vérifie : |α| ≤
Si P est unitaire alors : kPk1 ≥ |α|.

kPk1
|an | .

Preuve 3.2
Soit α une racine de P.
– Si |α| ≤ 1 , l’inégalité est évidente comme : kPk1 ≥ |an |
– Si |α| > 1 alors :
n−1

|α|n−1 ∑ |ai | ≥ |a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 | = |an αn |
i=0

n−1



∑ |ai| ≥ |an||α|

i=0

n−1

Or : kPk1 ≥

∑ |ai|

i=0

D’oú :

kPk1
|an |

≥ |α| .

8

1

CHAPITRE 1. POLYNÔME À COÉFFICIENTS COMPLEXES

4.

Continuité des racines d’un polynôme
n

Dans cette partie, on fixe une norme d’un polynôme P : kPk1 =

∑ |ak |. Soit
k=1

(Pk ) une suite de polynômes de degré n qui converge vers un polynôme P dans C[X]
n

lorsque k → +∞. On pose : Pk = ∏(X − αi,k ). Soit α une racine de P dans C et p sa
i=1

multiplicité.
Résultat :
L0 ensemble : Ak = {αi,k / i ∈ [1, n]} est borné.
Preuve :
Soit an,k le coéfficient (non nul) de X n dans Pk , comme lim an,k = an 6= 0 alors la
k→+∞

suite

kpk
( |an,k1| )

est convergente, donc borné.

Vu l’inégalité de la proposition 3.2, on en déduit que Ak est borné.
Théorème 4.1
Soit α une racine de P d’ordre p, ε > 0 et D le disque de centre α et de rayon ε. On
range les racines de Pk de sorte que : |α1,k − α| ≤ |α2,k − α| ≤ · · · ≤ |αn,k − α| ; alors :
|α p,k − α| < ε.
Preuve 4.1
Par l’absurde, on suppose que pour tout k0 ∈ N , il existe k ≥ k0 tel que |α − αi,k | ≥
ε pour i ≥ p. On peut alors construire une suite extraite (Pϕ(k) ) telle que on ait cette
propriété :
Si on considére la suite ((α1,ϕ(k) , · · · , αn,ϕ(k) ))k∈N alors elle appartient à un fermé
borné de Cn , donc compact, alors on peut extraire une suite convergente :
((α1,ϕoψ(k) , · · · , αn,ϕoψ(k) ))k∈N et soit (y1 , · · · , yn ) sa limite
n

n

Or comme : Pϕoψ(k) = an,ϕoψ(k) ∏(X − αn,ϕoψ(k) ), admet pour limite P = an ∏(X − yi )
i=1

i=1

ceci prouve qu’au moins p des nombres yi sont égaux à αi . Or ceci est impossible,
car par construction : |yi − α| ≥ ε pour i ≥ p .

9

Chapitre

2

La conjecture de Sendov
Le but de notre mémoire est de présenter la conjecture d’Ilief-Sendov et de la
prouver dans certains cas particuliers, on la note dans toute la suite (I.S).
I Présentation de la conjecture :
Soit P ∈ C[X] de degré au moins deux et α une racine de P telle que |α| 6 1.
• On dit que P et α vérifient (I.S) s’il existe une racine β du polynôme P0 vérifiant :
|α − β| 6 1.
• On dit que P vérifie (I.S), si pour toute racine α de P, P et α verifient (I.S).
La conjecture d’Ilief-Sendov et que tout polynôme de degré au moins deux, et
dont les racines sont de module au plus 1, vérifie (I.S).
Dans la suite, on fixe un entier n > 2 et un polynôme P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a0
de C[X], de degré n. On note α0 , α1 , . . . , αm les racines distinctes de P (ainsi m est
un entier tel que 0 6 m < n). Pour i = 0, 1, . . . , m, on note ni la multiplicité de αi .
On a donc :
m

m

ni

P = ∏(X − αi ) , et
i=0

∑ ni = n

i=0

On suppose que les αi vérifient |αi | 6 1.
1.
1.1.

Théorème de Gauss-Lucas
Enveloppe convexe

Définition 1.1
Soit A une partie de C, l’enveloppe convexe de A, noté Co(A), est l’intersection de
toutes les parties convexes de C qui contiennent A.
Cette définition a un sens, puisqu’il existe au moins une partie convexe de C qui
contient A, à savoir C lui même. De cette définition et du fait qu’une intersection
quelconque d’ensembles convexes est un ensemble convexe, on déduit la caractérisation suivante de l’enveloppe convexe.

10

2

CHAPITRE 2. LA CONJECTURE DE SENDOV

Proposition 1.1
L’enveloppe convexe de A est la plus petite partie convexe de C qui contient A.
L’enveloppe convexe vérifie les trois conditions suivantes :
– Co(A) est convexe.
– A est inclus dans Co(A).
– Si B est un sous ensemble convexe de C qui contient A, alors Co(A) est inclus
dans B.
1.2. Théorème de Gauss-Lucas
Théorème 1.1
0
Soient P un polynôme non constant à coéfficients complexes et P le polynôme dérivé
0
de P, alors tout zéro de P appartient à l’enveloppe convexe de l’ensemble des zèros
de P.
Preuve 1.1 r
Soit
P = ∏(z − αi )ni , les αi sont les zèros de P et ils sont tous distincts et les ni
i=1

leurs multiplicité, on a alors :

0

r
ni
P
=∑
P i=1 z − αi
0

En particulier si : P (z) = 0 et P(z) 6= 0
n

n
z¯ − α¯i
ni
∑ z − αi = 0 où encore : ∑ ni |z − αi|2 = 0.
i=1
i=1

Ce qui s’écrit aussi :

r

r
ni
ni
∑ |z − αi|2 z¯ = ∑ |z − αi|2 α¯i.
i=1
i=1

En prenant les conjugués, on voit que z est un barycentre à coéfficients positifs des
αi .
Le cas oú z est aussi zéro de P est évident.

2.

Quelques cas simple de la conjecture

Proposition 2.1
Soit P ∈ C[X] de degré n = 2, alors P vérifie (I.S).
Preuve 2.1
0
2
On a ici : P = (X − α1 )(X − α2 ), d’où : P0 = [(X − α1 )(X − α2 )] = 2(x − α1 +α
2 ) .
2
Donc α1 +α
est une racine de P0 .
2
Or :
α1 + α2
α1 α2
|α1 | |α2 | 1 1
|α1 −
|=| − |6
+
6 + = 1.
2
2
2
2
2
2 2
11

2

CHAPITRE 2. LA CONJECTURE DE SENDOV

Et :

α1 + α2
α2 α1
|α2 | |α1 | 1 1
|=| − |6
+
6 + = 1.
2
2
2
2
2
2 2
D’où P vérifie (I.S) pour n = 2, la conjecture (I.S) est vérifie pour les polynômes de
degré deux.
|α2 −

Proposition 2.2
m
Soit P ∈ C[X] avec P = ∏(X − αi )ni , si n0 > 2 alors P et α0 vérifie (I.S).
i=0

Preuve 2.2
La preuve est évidente car α0 est aussi racine de P0 .
Remarques 2.1
1. ) Il existe des nombres complexes w1 , . . . , wm non racines de P tel que :
m

0

ni −1

P (X) = n ∏(X − αi )

m

∏ (X − w j )

(2.1)

j=1

i=0

car (X − αi )ni −1 dévise P0 si (X − αi )ni dévise P.
2. ) Si n0 = 1, on a :

1 m
∏ (α0 − w j ) = n ∏(α0 − αi)
i=1
j=1
m

En effet :

m

m

i=1

i=1

On a : P(X) = (X − α0 ) ∏(X − αi )ni d’où P0 (α0 ) = ∏(α0 − αi )ni ~
Or d’aprés l’expression (2.1) avec n0 = 1 et α0 à la place de X, on a :
m

0

ni −1

P (α0 ) = n ∏(α0 − αi )
i=1

m

∏ (α0 − w j )
j=1

et donc par identification à ~ on trouve :
m

1 m
∏ (α0 − w j ) = n ∏(α0 − αi)
i=1
j=1
Proposition 2.3
m
Soit P ∈ Cn [X] avec P = ∏(X − αi )ni , si n > 2m alors P vérifie (I.S).
i=0

Preuve 2.3
On fait le raisonnement sur α0 .
Soit n0 = 1, on a alors d’aprés l’expression (2.2) :
m

1 m
| ∏ (α0 − w j )| = | ∏(α0 − αi )|
n i=1
j=1
12

(2.2)

2

CHAPITRE 2. LA CONJECTURE DE SENDOV

m

Or :

|α0 − αi | 6 2, et donc : | ∏ (α0 − w j )| 6
j=1

2m
.
n

m

Or d’après la condition :

n > 2m ,

on a :

| ∏ (α0 − w j )| 6 1.
j=1

Ce qui prouve que l’un au moins des |α0 − w j | 6 1.
Si n0 > 2, alors d’après la proposition 2.2, on sait que P et α0 vérifient (I.S).
Comme on peut faire ce raisonnement avec toutes les racines de P, on peut conclure
que P vérifie (I.S).
Exemple 2.1
P = X 3 (X − 1) , n = 4 et m = 1
on a : n = 4 > 21 = 2, d’où P vérifie (I.S) d’après proposition 2.3 .
Proposition 2.4
Soit P = X n −C avec |C| 6 1, alors P vérifie (I.S).
En particulier si C=1, donc X n − 1 vérifie (I.S).
Preuve 2.4
√ i2kπ
Les racines de P = X n −C sont de la forme : n Ce n avec : 0 ≤ k ≤ n − 1.
On a : P0 = nX n−1 donc 0 est l’unique racine de P0 d’ordre n-1.
√ i2kπ
Or |n Ce n | 6 1, pour tout 0 ≤ k ≤ n − 1 . D’où P vérifie (I.S).
Dans la suite, on écrit

P0

n−1

= nan ∏ (X − ti ), où les ti sont des nombres complexes,
i=1

on suppose que n0 = 1
Proposition 2.5
00 (α )
00
Soientt α0 racine de P et P la dérivée seconde de P, si | PP0 (α00 ) | > n − 1, alors P et α0
vérifie (I.S).
Preuve 2.5 ”
n−1
P (X)
On a :
=

P0 (X)

1
, vu que n0 = 1, donc α0 n’est pas racine de P0 on a :
i=1 X − ti
00

n−1
n−1
P (α0 )
1
1
| 0
| = |∑
|6 ∑
P (α0 )
i=1 α0 − ti
i=1 |α0 − ti |
n−1

00

P (α0 )
Or : ∑ 1 = n − 1 6 | 0
|, d’où il existe ti tel que 1 6 |α01−ti | avec : 1 ≤ ti ≤ n − 1.
P (α0 )
i=1
D’où |α0 − ti | 6 1 ce qui montre que P et α0 vérifient (I.S).
13

2

CHAPITRE 2. LA CONJECTURE DE SENDOV

Remarque 2.1
On a :
00

m
P (α0 )
ni
=2∑
0
P (α0 )
i=1 α0 − αi

Proposition 2.6
Soit z ∈ C vérifie |z| 6 1, on disigne par R(z) la partie réelle de z, si z 6= 1 alors :
R(

1
1
)> .
1−z
2

Preuve 2.6
On écrit z = reiθ avec : 0 6 r < 1, d’où 1 − z = 1 − r cos θ − ir sin θ, alors :
1
r sin θ
1
1 − r cos θ
+
i
=
=
1 − z 1 − r cos θ − ir sin θ 1 − 2r cos θ + r2
1 − 2r cos θ + r2
D’où :
R(

1
1 − r cos θ
)=
1−z
1 − 2r cos θ + r2

On a : 0 6 r < 1, alors 1 6 1 + r2 < 2, d’où :
R(

1
1+r2

> 21 , donc :

1 − r cos θ
1
1
)>
=
1−z
2 − 2r cos θ 2

Proposition 2.7
1) Si α0 = 1, alors P et α0 vérifient (I.S).
2) Si |α0 | = 1 alors P et α0 vérifient (I.S).
Preuve 2.7
1) On a d’aprés la remarque 2.1 :
00

m
P (1)
ni
=
2

P0 (1)
i=1 1 − αi

Et puisque |αi | ≤ 1, αi 6= 1, d’aprés la proposition 2.6 on a :
00

m
P (1)
R( 0 ) > ∑ ni = n − 1.
P (1)
i=1

D’où P et α0 vérifient (I.S) d’après la proposition 2.5 .
2) Si l’on a α0 est de module 1, on l’écrit α0 = eiθ , on pose alors Q(X) = P(eiθ X).
0
P admet 1 comme racine simple, donc Q et 1 vérifient (I.S). Les racines de Q
sont les e−iθt j et donc s’il existe j tel que : |1 − e−iθt j | ≤ 1 alors, pour ce même
j, on a |α0 − t j | ≤ 1. Donc P est α0 vérifient bien (I.S).
14

2

3.

CHAPITRE 2. LA CONJECTURE DE SENDOV

Cas d’une racine réelle

Dans toute cette partie, on suppose que n0 = 1 et que α0 est un nombre réel a avec
w−a
0 < a < 1. Pour w ∈ C r { 1a } on pose T (w) = aw−1
. On note P˜ le polynôme de C[X]
tel que :
X −a
˜
P(X)
= (aX − 1)n P(
).
aX − 1
˜
Et on écrit P(X)
= bn X n + bn−1 X n−1 + . . . + b0 où les bi sont dans C.
Remarques 3.1
1) On a : T 2 (w) = T ◦ T (w) = w pour tout w dans C r { a1 }.
˜
2) b0 = P(0)
= 0 puisque P(a) = 0.
˜
3) |b1 | 6 |bn | et |bn−1 | 6 (n − 1)|bn |. En effet, comme : P(X)
= (aX − 1)n P(T (X))
les racines de P˜ sont les α˜ i = T −1 (αi ) = T (αi ) avec les mêmes ordre de multiplicité. Ces racines sont aussi de module inférieur où égale à 1.
Puis, les relations entre coéfficients et racines d’un polynôme nous donnent :
m

| ∏ α˜ ni i | = |
i=1

Et :

b1
|61.
bn

m

m
bn−1
| ∑ ni α˜ i | = |
| 6 ∑ ni = n − 1.
b
n
i=1
i=1

I Maintenant on pose :
n

R(X) = ∑ [(n − i)bi X i +
i=1

ibi i−1
X ].
a

n−1

Et on écrit : R(X) = A ∏ (X − γk ) où A 6= 0 et les γk sont rangés de telle sorte que :
k=1

|γ1 | 6 |γ2 | 6 . . . 6 |γn−1 |
Donc on a le résultat suivant :
n−1

∏ |γk | 6

k=1

1
n − a(n − 1)

(2.3)

Le coéfficient constant de R(X) vaut ba1 et le coéfficient dominant de R(X) vaut
nbn
a +bn−1 6= 0 (car |bn−1 | 6 (n−1)|bn |). On a donc, toujours en utilisant les relations
coéfficients racines, on a :
n−1

|b1 |

b1

1

∏ |γk | 6 | nbn − abn−1 | 6 n|bn| − a|bn−1| 6 n − a(n − 1)

k=1

15

2

CHAPITRE 2. LA CONJECTURE DE SENDOV

•Relation entre P’(T(w)), a, w et R(w) :
On a :
a
R(w)
P0 (T (w)) =
.
1 − a2 (aw − 1)n−1
On remarque que les racines de P0 sont les transformés par T des racines de R.
Proposition 3.1
Soit µ un nombre réel tel que : |γ1 | 6 µ 6 1a .

µ(1−a2 )

On a P0 a une racine β vérifie : |β − a| 6 1−aµ .
1
0
Si de plus µ 6 1+a−a
2 , alors P a une racine β vérifiant |β − a| 6 1.
Preuve 3.1
Soient x,y deux nombres complexes différents de

1
a

alors :

(1 − a2 )|y − x|
~
|ax − 1||ay − 1|

|T (x) − T (y)| =

D’où si en prenant n = 0 et y = γ1 et posant β = T (γ1 ) on a β racine de P0 , d’après
~ on a :
(1 − a2 )|γ1 | µ(1 − a2 )
6
(car |aγ1 − 1| > 1 − a|γ1 | > 1 − aµ > 0).
|a − β| =
|aγ1 − 1|
1 − aµ
1
, alors µ(1 + a − a2 ) 6
1+a−a2
µ(1−a2 )
µ(1 − a2 ) 6 1 − µa, alors : 1−µa

Si µ 6

1, d’où µ(1 − a2 ) + µa 6 1 ce qui implique

que :
D’où |β − a| 6 1 .

61.

I Pour n ∈ {3, 4}, on a :
1
1
6
.
n − a(n − 1) (1 + a − a2 )n−1

(2.4)

En effet :
On utilise la fonction : ϕ(x) = ln(n − x(n − 1)) − (n − 1)n(1 + x − x2 ) sur ]0, 1[. On a
ϕ est dérivable sur ]0, 1[, donc pour toute x ∈]0, 1[ on a :
(n−1)(1−2n)
n−1
n−1
ϕ0 (x) = − n−x(n−1)
− 1+x−x2 = [n−x(n−1)](1+x−x
2 ) (n − 1)[x(2n − 3) − (n + 1)].
ϕ0 s’annule donc pour x = 1 et x =
n2 −1

ϕ(0) =
résultat.

n

n+1
2n−3 ,

et que

n+1
2n−3

> 1 si n 6 4, et donc comme

> 0 et que ϕ(1) = 0, on en déduit que ϕ(x) est positif sur ]0, 1[, d’où le

Proposition 3.2
Avec les mêmes hypothéses de cette partie on a :
1) Si n 6 4, alors P et a vérifient (I.S).
2) Si n 6 4, alors pour toute racine α de P avec : 0 < |α| < 1, P et α vérifient (I.S).
16

2

CHAPITRE 2. LA CONJECTURE DE SENDOV

Preuve 3.2
n−1
n−1
On a : |γ1 |
6 ∏ |γk |, or d’après l’inégalité (2.3) de cette partie on a :
k=1

n−1

|γ1 |

n−1

6

∏ |γk | 6

k=1

1
.
n − a(n − 1)

1
1
6 (1+a−a
Et d’après l’inégalité 2.4, on a : n−a(n−1)
2 )n−1 , d’où |γ1 | 6
permet de choisir µ comme à la proposition 3.1 est de conclure.

1
(1+a−a2 )

ce qui

Théorème 3.1
Tout polynôme P de C[X] de degré 3 où 4, ayant ses racines de module au plus 1
vérifie (I.S).
Preuve 3.3
Soit P ∈ C[X] de degré 3 où 4 et α0 une racine de P .
Si n0 > 2, d’aprés proposition 2.1, on a P et α0 vérifient (I.S)
Si n0 = 1 et |α0 | = 1, d’aprés la proposition 2.7, on a P et α0 vérifient (I.S).
Si n0 = 1 et α0 = 0, alors P et α0 vérifient (I.S).
Si n0 = 1 et 0 < |α0 | < 1, alors d’aprés la proposition 3.2, on a P et α0 verifient (I.S).
Conclusion :
En vertu de l’étude exhaustive que l’on vient de faire on peut dire qu’en effet, si P
est un polynôme de degré 6 4 alors il vérifie (I.S).
Proposition 3.3
On suppose que n = 5, 6, 7 et que P a une racine double au moins et de module 1,
alors P et a vérifient (I.S).
Preuve 3.4
On étudie : ψ(x) = (n − 2)n(1 + x − x2 ) − ln(n − (n − 1)x) on a :

1 − 2x
n−1
(n − 1)(2n − 5)x2 − (3n2 − 8n + 3)x + n2 − n − n
ψ (x) = (n−2)
+
=
.
1 + x − x2 n − (n − 1)x
(1 + x − x2 )(n − (n − 1)x)
0

Pour : n = 5, 6, 7 ψ0 (x) 6= 0, donc ψ est décroissante et comme ψ(1) = 0, alors
ψ(x) > 0 ∀x ∈]0, 1[. Soit α0 le zéro double au moins, de module 1, de P, α0 est aussi
racine de P0 et donc T (α0 ) est une racine de polynôme R (définie dans cette partie).
On a donc : T (α0 ) = γi où γi est une racine de module 1, on a alors :
n−2

|γ|

n−1

6



k=1k6=i

Et donc |γ1 | 6

1
,
1+a−a2

n−1

|γk | =

1

1

∏ |γk | 6 n − a(n − 1) 6 (1 + a − a2)n−2

k=1

on applique la proposition 3.1 d’où le résultat.
17

2

CHAPITRE 2. LA CONJECTURE DE SENDOV

Théorème 3.2
Tout polynôme de C[X] de degré 5, 6 où 7 ayant une racine double au moins et de
module 1, et toutes ses autres racines de module au plus 1, vérifient (I.S).
Remarque :
Pour plus de détail de ce chapitre voir : [3]

18

Chapitre

3

La matrice compagnon et distance de Hausdorff
1.

Matrice Compagnon

Définition 1.1
n−1
n
Soit P ∈ Kn [X] un polynôme unitaire tel que : P = X + ∑ ai X i .
i=0

On appelle matrice compagnon de P la matrice A ∈ Mn (K) définie par :


0 0 · · · 0 −a0
 1 0 · · · 0 −a1 


.
.


.
.
.
.
. .
.
A= 0 1

 . .

 .. . . . . . 0 −an−2 
0 · · · 0 1 −an−1
Théorème 1.1
Le polynôme caractéristique de A est égale à (−1)n fois le polynôme P.
Preuve 1.1
On a :


−X 0 0 . . . 0

−a
0


1 −X 0 . . . 0

−a
1


.
.
.
.
0

.
.
.
.
.
. .
1
.


PA (X) = ..

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
. 0
.


0 . . . 0 . . . −X

−a
n−2

0
0 . . . 0 1 −an−1 − X
On remplace la premiére ligne L1 par L1 + XL2 + ... + X n−1 Ln , puis on développe le
nouveau déterminant selon la première ligne.
Et On a donc :

19

3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF




0 0 0 . . . 0
−P(X)



1 −X 0 . . . 0
−a
1


.
.

0 1 . . . . . . ..
.
.


PA (X) = .. . . . . . .
= (−1)n+2 P(X) = (−1)n P(X).
.
..

.
.
.
. 0



0 . . . 0 . . . −X
−a
n−2



0 0 . . . 0 1 −a

X
n−1
2.

Distance de Hausdorff

Définition 2.1
Soient L et M deux parties fermées bornnées de C.
L’écart de Hausdorff entre L et M est définie par :
h(L, M) = sup d(λ, M) = sup inf |λ − µ|
λ∈L µ∈M

λ∈L

La distance de Hausdorff entre L et M est définie par :
H(L, M) = max(h(L, M), h(M, L))
Proposition 2.1
La distance de Hausdorff H est une distance.
Preuve 2.1
1. H(L, M) = 0 ⇔ L = M
H(L, M) = 0 ⇔ max(h(L, M), h(M, L)) = 0
⇔ h(L, M) = 0 et h(M, L) = 0
⇔ sup d(λ, M) = 0 et sup d(µ, L) = 0
µ∈M

λ∈L

⇔ ∀λ ∈ L, ∀µ ∈ M, |λ − µ| = 0
⇔ ∀λ ∈ L, ∀µ ∈ M, µ = λ
⇔L=M.
2. H est symétrique : dans la définition de H; M et L jouent un rôle symétrique
d’où :
H(L, M) = H(M, L).
3. L’inégalité triangulaire :
H(L, M) 6 H(L, M) + H(M, N)
Soient (λ, µ, ν) ∈ L × M × N on a :
d(λ, ν) 6 d(λ, µ) + d(µ, ν)
20

3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF

donc : inf d(λ, ν) 6 d(λ, µ) + inf d(µ, ν)
ν∈N

ν∈N

c-à-d :
d(λ, N) 6 d(λ, µ) + d(µ, N)
6 d(λ, µ) + h(M, N).
Et on a aussi : d(λ, N) 6 d(λ, M) + h(M, N)
D’où : sup d(λ, N) 6 sup d(λ, M) + H(M, N)
λ∈L

λ∈L

i.e :
h(L, N) 6 H(L, M) + H(M, N).(∗)
D’autre part :
d(ν, L) 6 d(µ, L) + d(µ, ν)
6 h(M, L) + d(µ, ν).
Et : d(ν, L) 6 d(ν, M)+h(M, L), ce qui implique : h(N, L) 6 h(N, M)+H(M, L)
d’où :
h(N, L) 6 H(N, M) + H(M, L)(∗∗).
(∗)et(∗∗)donnent :
H(L, N) 6 H(M, N) + H(L, M)(∗∗).



Exemple 2.1
Soient :
L = {0, m − ε, m + ε} et M = {m, ε, −ε}
Alors H(L, M) = ε. En effet on a :
dist(m + ε, M) = inf ε, m, m + 2ε = ε.
dist(m − ε, M) = inf ε, |m − 2ε|, m = ε.
dist(0, M) = ε.
Donc :
h(L, M) = ε.
On a aussi :
h(M, L) = ε.
D’où :
H(L, M) = ε
Proposition 2.2
Si : T ∈ Mn (C) et kT k < 1 alors In + T est inversible.
Preuve 2.2
On a :



∑ (−1)k T k est convergente et
k=0


(In + T )( ∑ (−1)k T k ) = In
k=0

21



3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF

On a besoin du théorème "Théorème de Schur" suivant :
Théorème 2.1
Soit A ∈ Mn (C). Alors il existe une matrice unitaire U (U ∗U = UU ∗ = In ) telle que
A = UTU ∗ ; où T est une matrice triangulaire supérieure.
Preuve 2.3
Par récurrence sur n.
– Si n = 1 est évident.
– Supposons qu’on a le résultat à l’ordre n-1, montrons le pour n. On sait qu’il
existe une valeur propre α de A, soit u son vecteur associé alors Au = αu.
Et on a :
Cn = vect(u) ⊕ vect(u)⊥ .
On peut donc trouver une base orthonormée
, xn ) avec x2 , . . . , xn ∈ Cn
 (u, x2 , . . . 
α b∗
 0




Soit P = [u, x2 , . . . , xn ] et B = P AP. B =  ..
 avec Bn−1 est d’ordre
 . Bn−1 
0
n − 1, donc il existe Un−1 et Tn−1 telle que :

Bn−1 = Un−1 Tn−1Un−1
.

Donc :

Tn−1 = Un−1
Bn−1Un−1 .

Alors :





|

1 0···0
0
..

. Un−1
0







α b∗
0
..
. Bn−1
0
{z







1 0···0
0
..
. Un−1
0



Un = 




α

 
 
=
(0)


b∗Un−1



Tn−1





}

T trianglaire superieure







1 0 ... 0

0

 ∈ Mn (C) est unitaire.
..

.
Un−1
0

Ce qui donne B = Un TU ∗ , d’où :
A = PBP∗ = PUn TUn∗ P∗ = (PUn )T (Un P)∗ = UTU ∗ .
Corollaire 2.1
Si A est est une matrice normale (AA∗ = A∗ A), alors il existe une matrice diagonale
D et une matrice unitaire U telle que :
T = UDU ∗ .
22

3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF

I La norme sur Mn (C), si A ∈ Mn (C), alors :
kAk = sup kAxk = max kAxk
kxk=1

kxk=1
n

1

ici : kxk = ( ∑ |xi |2 ) 2 sur Cn .
i=1

Si D = diag(α1 , . . . , αn ), alors kDk = max |αi |.
16i6n

De plus kUAU ∗ k = kAk (il suffit de revenir à la définition)
kUAU ∗ k = sup kUAU ∗ k, et :
kxk=1

kUAU ∗ k2 = hUAU ∗ x,UAU ∗ xi = hAU ∗ x,U ∗UAU ∗ xi = hAy, Ayi = kAyk2 .
Avec
y = U ∗ x et kyk2 = hU ∗ x,U ∗ xi = hx, xi = 1
Conclusion :
Si A est une matrice normale alors kAk = max |α j | avec σ(A) = {α1 , . . . , αn }
16 j6n

Remarque 2.1
Si A est une matrice normale et inversible alors A−1 est aussi normale et on a :
kA−1 k =

1
min |α j |

16 j6n

En effet :
A est normale ⇔ AA∗ = A∗ A ⇔ (A∗ )−1 A−1 = A−1 (A∗ )−1
et (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
D0 autre part si : UAU ∗ = diag(α1 , . . . , αn ) et A inversible alors :
(UAU ∗ )−1 = (U ∗ )−1 A−1U −1 = UA−1U ∗ = diag(
Donc :
kA−1 k = max |
16 j6n

1
1
,..., )
α1
αn

1
1
|=
αj
min |α j |
16 j6n

Théorème 2.2
Soient A une matrice normale et B une matrice quelconque. Alors :
h(σ(B), σ(A)) 6 kA − Bk.
Avec σ(A) est l’ensemble des valeurs propres de A.
23

3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF

Preuve 2.4
Soient ε = kA − Bk et β une valeur propre de B (β ∈ σ(B)) . On doit montrer qu’il
existe un indice j tel que : |β − α j | 6 ε
On peut supposer β = 0 (remplacer B par B − β et A par A − β)
Supposons pour tout α j ∈ σ(A) |α j | > ε, donc A est inversible. Or A est normale
donc :
1
1
<
kA−1 k =
min | α j | ε
Par conséquent :
1
kA−1 (A − B)k 6 kA−1 kkB − Ak < .ε = 1
ε
Comme B = A(I + A−1 (B − A)), ceci montre que B est inversible,
C’est à dire 0 6∈ σ(B) absurde.

Corollaire 2.2
Si A et B sont deux matrices normales. Alors :
H(σ(A), σ(B)) 6 kA − Bk.
Preuve 2.5
A normale, par théorème 2.2 h(σ(B), σ(A)) 6 kA − Bk.
B normale, par théorème 2.2 h(σ(A), σ(B)) 6 kA − Bk.
Et par le théoreme précédent, on a le résultat.

I Etant donner un polynôme P, on peut toujours associe à P une matrice MP et
0
au polynôme P une matrice MP0 , on considére les ensembles :
0

0

Z(P) = {α ∈ C / P(α) = 0} et Z(P ) = {β ∈ C / P (β) = 0}.
Donc si P vérifie (I.S) on a alors :
0

H(Z(P), Z(P )) ≤ 1.
Ainsi on peut espérer d’avoir une relation entre les spectres de MP et de MP0 , posons
MP = CP = A et MP0 = CXP0 , on a alors si A et B sont normales :
H(σ(A), σ(B)) 6 kA − Bk.
Cherchons donc les conditions sur A et B pour qu’elles soient normales.
I Soit P un polynôme et A = C p , la matrice

 compagnon,
 on posen = 3.
0
1
0
0 0 −a0
0
1 
On a : P = X 3 +a2 X 2 +a1 X +a0 , et C p = 1 0 −a1 , et C∗p =  0
−a¯0 −a¯1 −a¯2
0 1 −a2
Alors :
  2



0 0 −a0
0
1
0
|a0 |
a0 a¯1
a0 a¯2
C pC∗p = 1 0 −a1   0
0
1  = a1 a¯0 1 + |a1 |2
a1 a¯2 
0 1 −a2
−a¯0 −a¯1 −a¯2
a2 a¯0
a2 a¯1
1 + |a2 |2
24

3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF

Et :




 
0
1
0
0 0 −a0
1
0
−a1

C∗pC p =  0
0
1  1 0 −a1  =  0
1
−a2
−a¯0 −a¯1 −a¯2
0 1 −a2
−a¯1 −a¯2 |a0 |2 + |a1 |2 + |a2 |2
Condition pour que C p soit normale, i.e : C pC∗p = C∗pC p , et donc :


2


|a0 | = 1
|a0 | = 1
alors la condition et que : a1 = 0
a0 a¯1 = 0




a2 = 0
a0 a¯2 = −a1
0

0

Toujours, n=3, on a : P = 3X 2 + 2a2 X + a1 , alors : XP = 3X 3 + 2a2 X 2 + a1 X
Donc :




0
1
0
0 0 0
0

0
1 



B = CXP0 = 1 0 −1
=
et
B
a
3 1


−1
−2
−2
0 1 3 a2
0
a¯1 3 a¯2
3



 
0
0
0
0 0
0
1
0

 0

2
1
−1
 
2


1 0

0
0
1
|a
|
a
a
¯
0
1
+
a


1
1 2 
1
BB = 
=


9
9
3
 −1
 
−2



−2
2
4
0
a¯1
a¯2
2+1
0 1
a2
0
a
a
¯
|a
|
2 1
2
3
3
3
9
9

 

−1
0

 0 0
1
0
a1

3
0 1
0
 

−1


−2




1  1 0 3 a1  = 
B B = 0 0
a
0
1
2




3
−2


−2
0 −1
a
¯
a
¯
−1
−2
1
3 1 3 2
0 1
a2
2
2
a¯1
a¯2 (|a1 | + 4|a2 | )
3
3
3
9
Alors B ne peut pas être normale, donc la matrice companon n’est pas toujours utile
pour étudier la conjecture de Sendov. On passe maintenant à un autre type des matrices.
3. Matrice D-compagnon
Théorème 3.1
n
Soit :
P(X) = ∏(X − αi ) avec n > 2.
i=1




α1
0
1 ... 1


 .
. 
...
Soit D = 
,I = In−1 et J =  .. . . . ..  d’ordre n-1.
0
αn−1
1 ... 1
αn
1
L’ensemble des valeurs propres de A = D(I − J) + J. est égale a` l’ensemble des
n
n
0
racines du polynôme dérivé P .
25

3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF

Preuve 3.1
On va se restreindre au cas n=3. P(X) = (X − α1 )(X − α2 )(X − α3 ).
0

P (X) = 3X 2 − 2(α1 + α2 + α3 )X + (α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 )
= 3(X − λ1 )(X − λ2 ).
0

λ1 et λ2 sont les racines de P et vérifient :

λ1 + λ2 = 23 (α1 + α2 + α3 )
λ1 λ2 = 13 (α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 ).
Et :
 

2 −1
α3 α3 
α3 + 2α1 α3 − α1


3 
3 3  
3
3
α1 0  3
 

=
A=

+

0 α2  −1 2 
α3 α3   α3 − α2 α3 + 2α2
3 3
3
3
3
3





.


Donc :


α3 + 2α1

α3 − α1



X


3
3


PA (X) =



α

α
α
+

3
2
3
2

− X

3
3
1
= [(α3 + 2α1 − 3X)(α3 + 2α2 − 3X) − (α3 − α2 )(α3 − α1 )]
9
2
1
= X 2 − (α1 + α2 + α3 )X + (α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 ).
3
3
0

Les valeurs propres de A sont donc les racines de P .
4.

Conjecture avec Borcéa

Puisque, on s’interesse à la géométrie des racines d’un polynôme, il est naturel
d’introduire certains estimations de leur position relative dans le plan.
On note Z(P) = {α ∈ C / P(α) = 0} l’ensemble de zéros de P ∈ C[X].
Définition 4.1 n
Soit :
P = ∏ (X − αk ) ∈ C[X] et p ∈]0, +∞[, on définie la p-variance de
k=1

l’ensemble des zéros de P par :
1
1 n
σ p = min( ∑ |αk − c| p ) p
c∈C n k=1

26

3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF

Cas particuliers :

1
1 n
B σ2 (P) est appelé la variance avec σ2 = min( ∑ |αk − c|2 ) 2 .
c∈C n k=1
1 n
B σ1 (P) est appelé l’écart moyen avec σ1 = min( ∑ |αk − c|).
c∈C n k=1
B Nous définissons aussi :
σ∞ (P) = min max |αk − c|.

c∈C 16k6n

Lemme 4.1
Pour chaque polynôme P ∈ C[X] et 0 < p < q < ∞, on a :
σ p (P) 6 σq (P) 6 σ∞ (P)
Preuve 4.1
Soit C un centre optimal pour σq
1
1 n
σq (P) = ( ∑ |αk −C|q ) q
n k=1

En vertu l’inégalité de Hölder, on a :
n

n

q p

p

∑ |αk −C| 6 [ ∑ |αk −C| p. p ] q n1− q
p

k=1

k=1

par conséquent :
1
1 n
1 n
p 1p
σ p (P) = [ ∑ |αk −C| ] 6 [ ∑ |αk −C|q ] q = σq (P)
n k=1
n k=1

D’où la premiere inégalité.
La seconde inégalité est obtenue de manière similaire, en commençant par unn centre
C optimal par rapport à σ∞ .
Remarque 4.1
Dans le cas de la variance σ2 , le centre optimale est le barycentre des zéros de P.
E(P) =
Donc :

n

1 n
∑ αk .
n k=1
n

2

min ∑ |αk −C| =

C∈C k=1
0

Soit h(P, P ) = max

∑ |αk − E(P)|2.
k=1

min |α − β| la distance de Hausdorff non symétrisée entre

P(α)=0 P0 (β)=0

les deux ensembles Z(P) et Z(P’). Tandis que H(P, P0 ) = max(h(P, P0 ), h(P0 , P)) est
la distance de Hausdorff symétrisée entre les deux ensembles Z(P) et Z(P’) une série
27

3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF

de conjecture, données par Borcéa du problème Ilief-Sendov.
Conjecture 1 : (conjecture variance Borcéa)
Soit P un polynôme de degré au moins égale à deux et p ∈ [1, +∞[ alors :
h(P, P0 ) 6 σ p (P)
Lorsque p = ∞, cela n’est que la conjecture de Sendov d’origine. La conjecture
de Borcéa pour une valeur spécifié de p implique que l’inégalité est vérifie pour tout
q > p.
Conjecture 2 :(conjecture variance Borcéa)
Si pour p > 1, alors l’égalité dans la conjecture 1 se produit si et seulement si P est
de la forme :
P = (X − c)n − b où b,c ∈ C.
Exemple 4.1
Soit n > 2 et P = X(X − 1)n−1 , alors P0 = (X − 1)n−2 (nX − 1) de sorte que
Z(P) = {1, 0} et Z(P0 ) = { 1n , 1}, nous tirons de là que :
h(P, P0 ) =

1
1
et σ∞ (P) = .
n
2

28

Bibliographie

[1 ] R.Bhatia, Matrix Analysis. Graduate Texts in Mathematics 169 Springer 1997.
[2 ] B.Bolloboas, W. Fulton, A. Katik et F. Kirwan, P. Sarnak, Complexx Polynomials : (206 :220). CAMBRIDGE STUDIES IN ADVANCED MATHEMATICS 73.
0

[3 ] ENS PARIS-Filiére M . Session 1989, seconde composition e Mathématique.
[4 ] H. Lassére, F. Rodriguez. Autour des Matrices de Forbenius ou Compagnon, 12
Février 2007.
[5 ] D. Khavinson, R. Pereire, M. Putinar, E. B. Saff et S. Shimorin, arXiv :1010.5167v1
[maths.CV] 25 Oct 2010.

29

3

CHAPITRE 3. LA MATRICE COMPAGNON ET DISTANCE DE HAUSDORFF

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