Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



سلاسل الدوال .pdf



Nom original: سلاسل الدوال.pdf
Auteur: ency-education.com

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Microsoft® Word 2013, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 24/09/2017 à 20:14, depuis l'adresse IP 154.121.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 429 fois.
Taille du document: 953 Ko (28 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


‫س ال س ل ا ل د وا ل‬

‫لتكن ‪ X‬و ‪ Y‬مجموعتين غير خاليتين بحيث‬
‫(‬

‫=‬

‫أو‬

‫= ( ‪ ،‬لتكن )‪(X,Y‬‬

‫‪ X‬و‬

‫‪ Y‬حيث‬

‫مجموعة الدوال المعرفة من ‪ X‬نحو‬

‫‪.Y‬‬
‫إن دراسة سالسل الدوال يعود إلى دراسة متتاليات الدوال‪.‬‬

‫‪ ) 1‬ت ع ا ري ف ‪:‬‬
‫ت ع ري ف ‪: 1‬‬
‫لتكن‬

‫سلسلة بحيث‬

‫مركبة معرفة على المجموعة الغير خالية‬

‫~ ‪~ 27‬‬

‫متتالية دوال حقيقية أو‬

‫لدراسة السلسلة‬
‫بحيث‬

‫ندرس متتالية المجموعات الجزئية‬
‫المعرفة ب‪:‬‬

‫ت ع ري ف ‪:2‬‬
‫‪ ‬السلسلة‬
‫من الرتبة‬

‫تسمى باقي السلسلة‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪ ‬نقول أن السلسلة‬

‫متقاربة عند النقطة‬

‫إذا كانت السلسلة العددية‬
‫‪ ‬نقول أن السلسلة‬

‫متقاربة‪.‬‬
‫متقاربة على‬

‫~ ‪~ 28‬‬

‫(على مجموعة جزئية‬

‫مع‬
‫نقطة‬

‫‪ )A‬نحو‬
‫من‬

‫(‬

‫إذا كانت السلسلة‬
‫على التوالي) نحو‬

‫متقاربة عند كل‬
‫و نقول في هذه‬

‫الحالة أن التقارب بسيط و نكتب‪:‬‬

‫‪ ‬تسمى ‪ S‬بمجموعة السلسلة‪.‬‬
‫و لدينا التكافؤات‪:‬‬
‫متقاربة‪.‬‬

‫متقاربة عند‬
‫متقاربة‪.‬‬

‫متقاربة‪.‬‬

‫متقاربة على‬
‫متقاربة نحو‬

‫~ ‪~ 29‬‬

‫‪ ) 2‬م ال ح ظ ا ت ‪:‬‬
‫م ال ح ظ ة ‪: 1‬‬
‫تعار يف و نظريات السالسل العددية تبقى صحيحة بالنسبة‬
‫ِلسالسل الدوال‪.‬‬

‫م ال ح ظ ة ‪: 2‬‬
‫متقاربة على‬
‫و فقط إذا كان الجزء الحقيقي‬
‫متقاربين على‬

‫و الجزء التخيلي‬

‫و لدينا ‪:‬‬

‫~ ‪~ 30‬‬

‫إذا‬

‫م ال ح ظ ة ‪: 3‬‬
‫إذا كانت السلسلة‬
‫يؤول نحو‪ 0‬لما‬

‫متقاربة على‬

‫فإن باقي السلسلة‬

‫ألن ‪:‬‬

‫م ال ح ظ ة ‪: 4‬‬
‫إذا كانت السلسلتين‬
‫على‬

‫فإن السلسلة‬

‫على‬

‫و لدينا المجموع‪:‬‬

‫و‬
‫حيث‬

‫~ ‪~ 31‬‬

‫متقاربتين‬
‫سلسلة متقاربة‬

‫‪ ) 3‬ا ل ت ق ا رب ا ل م ط ل ق ‪:‬‬
‫نقول أن السلسلة‬
‫السلسلة‬

‫متقاربة مطلقا على‬

‫إذا كانت‬

‫متقاربة ببساطة على‬

‫قضية‪:‬‬
‫إذا كانت‬
‫فإن جداؤهما‬

‫سلسلتين متقاربتين مطلقا على‬

‫و‬

‫سلسلة متقاربة مطلقا على‬

‫و لدينا‪:‬‬

‫~ ‪~ 32‬‬

‫بحيث‪:‬‬

‫‪ ) 4‬ا ل ت ق ا رب ا ل م ن ت ظ م ‪:‬‬
‫ت ع ري ف ‪:‬‬
‫نقول أن السلسلة‬
‫إذا كانت‬

‫متقاربة بانتظام‬

‫بحيث‬

‫متتالية متقاربة بانتظام نحو أو إذا كانت السلسلة‬

‫متقاربة و الباقي‬

‫متتالية تؤول بانتظام نحو‪ 0‬و نكتب‪:‬‬

‫م ال ح ظ ة ‪:‬‬
‫على‬

‫التقارب المنتظم للسلسلة‬

‫~ ‪~ 33‬‬

‫يعني‪:‬‬

‫‪ ) 5‬م ع ي ا ر ك وش ي‪:‬‬
‫حتى تكون السلسلة‬

‫متقاربة بانتظام على‬

‫يكفي و‬

‫يلزم ما يلي ‪:‬‬

‫مثال ‪:1‬‬
‫السلسلة‬

‫متقاربة على المجال‬

‫‪.‬‬
‫لكن التقارب ليس منتظم على‬

‫ألن ‪:‬‬

‫~ ‪~ 34‬‬

‫نحو المجموع‬

‫على كل مجال‬

‫هناك تقارب منتظم ألن‪:‬‬

‫مع‬

‫مع‪:‬‬

‫مثال ‪:2‬‬
‫السلسلة‬

‫نحو‬

‫متقاربة على‬

‫التقارب منتظم على المجموعة‬
‫)يكفي أخذ تغيير المتغير‬

‫بحيث‪:‬‬
‫في المثال‪.)1‬‬

‫‪ ) 6‬ا ل ت ق ا رب ا ل ن ظ ي م ي ‪:‬‬
‫ت ع ري ف ‪ :‬نقول أن سلسلة الدوال‬

‫بحيث‬
‫~ ‪~ 35‬‬

‫متقاربة نظيميا على‬

‫إذا كانت السلسلة العددية ذات الحدود الموجبة‬

‫متقاربة مع‪:‬‬

‫نسمي‬

‫نظيما‪.‬‬

‫قضية ‪:‬‬
‫إذا كانت السلسلة‬

‫متقاربة نظيميا على ‪ X‬فإنها متقاربة‬

‫بانتظام على ‪.X‬‬

‫ا ل ب ره ا ن ‪ :‬لدينا‪:‬‬

‫~ ‪~ 36‬‬

‫متقاربة بانتظام على‬

‫و حسب معيار كوشي فان السلسلة‬

‫قضية‪:‬‬
‫نقول أن السلسلة‬
‫حدود موجبة‬

‫متقاربة نظيميا إذا وجدت سلسلة ذات‬
‫متقاربة بحيث‪:‬‬

‫م ال ح ظ ة ‪:‬‬
‫~ ‪~ 37‬‬

‫التقارب النظيمي أقوى من التقارب المنتظم ألنه يمكن إيجاد سالسل‬
‫متقاربة بانتظام و ليست متقاربة نظيميا‪.‬‬

‫م ث ا ل ‪ :‬لنعتبر سلسلة التوابع ذات الحد العام ‪:‬‬

‫لدينا‪:‬‬

‫و بما أن السلسلة‬

‫متباعدة فإن السلسلة‬

‫ليست‬

‫متقاربة نظيميا و لكنها متقاربة بانتظام لكون وجود على األكثر حد غير معدوم‪,‬‬
‫و حسب معيار كوشي فإن السلسلة متقاربة بانتظام ‪.‬‬

‫~ ‪~ 38‬‬

‫ن ظ ري ة آبال ) ‪: ( A b e l‬‬
‫لنفرض أن‬
‫أ‪.‬‬

‫مع الفرضيات التالية‪:‬‬
‫متتالية حقيقية أو مركبة بحيث ‪:‬‬
‫متقاربة‬

‫و‬
‫ب‪.‬‬
‫لدينا‪:‬‬

‫فان السلسلة‬

‫متقاربة بانتظام على‬

‫‪.‬‬

‫ا ل ب ره ا ن ‪:‬‬
‫نجد ‪:‬‬

‫بوضع‪:‬‬
‫~ ‪~ 39‬‬

‫باستعمال الفرضيات نجد ‪:‬‬

‫السلسلة متقاربة بانتظام‪.‬‬

‫و حسب معيار كوشي من أجل‬

‫مثال‪:‬‬
‫متقاربة على‬

‫السلسلة‬
‫و‬

‫~ ‪~ 40‬‬

‫و لنعتبر المجال‬

‫حيث‪:‬‬

‫و‬

‫بوضع‬

‫نالحظ أن فرضيات آبال محققة‪ ,‬بالفعل‪:‬‬

‫بحيث‪:‬‬
‫والفرضية (ب) محققة و منه السلسلة متقاربة بانتظام‪.‬‬

‫خ وا ص م ج م وع س ل س ل ة ا ل ت وا ب ع ‪:‬‬
‫ا إل س ت م را ري ة ‪:‬‬
‫ن ظ ري ة ‪:‬‬
‫إذا كانت سلسلة التوابع‬
‫كل التوابع‬

‫متقاربة بانتظام نحو ‪ S‬على‬

‫مستمرة عند النقطة ‪ x0‬من‬

‫مستمر عند النقطة‬

‫‪.x 0‬‬

‫~ ‪~ 41‬‬

‫فان المجموع ‪ S‬للسلسلة‬

‫و‬

‫قضية‪:‬‬
‫إذا كانت سلسلة التوابع‬
‫و كل التوابع‬

‫متقاربة بانتظام على المجال‬

‫مستمرة على‬

‫فإن المجموع ‪ S‬مستمر على‬

‫‪.‬‬

‫م ال ح ظ ة ‪:‬‬
‫إنطالقا من النظرية يمكن أن نكتب‪:‬‬

‫قضية‪:‬‬
‫متقاربة بانتظام على‬

‫إذا كانت سلسلة التوابع‬

‫~ ‪~ 42‬‬

‫و من أجل كل‬

‫بحيث‬

‫) فان السلسلة‬

‫تقبل النهاية‬

‫‪،‬‬

‫لما‬

‫متقاربة و لدينا على ‪:X‬‬

‫م ال ح ظ ة ‪:‬‬
‫إذا كانت الفرضيات غير محققة يمكن أن تكون النتائج غير صحيحة‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫و لدينا‪:‬‬
‫رغم أن‪:‬‬

‫~ ‪~ 43‬‬

‫يؤول إلى‬

‫غير متقاربة‪.‬‬

‫فإن السلسلة‬

‫و بالتالي غير ممكن أن يكون تقارب السلسلة‬

‫منتظم‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬
‫السلسلة (‬

‫متقاربة على‬

‫)‬

‫(‬

‫بحيث‪:‬‬

‫)‬

‫ألن‪:‬‬
‫بما أن‬

‫دالة غير مستمرة على المجال‬

‫التكامل‪:‬‬
‫ن ظ ري ة‪:‬‬
‫~ ‪~ 44‬‬

‫فان التقارب غير منتظم‪.‬‬

‫إذا كانت السلسلة‬
‫قابلة للمكاملة على‬

‫متقاربة بانتظام على‬
‫فإن مجموع السلسلة‬

‫و التوابع‬

‫قابل للمكاملة و لدينا‪:‬‬

‫مثال‪:‬‬
‫إنطالقا من السالسل الهندسية يمكن أن نبين أن السالسل‪:‬‬

‫متقاربة بانتظام على كل مجال‬
‫التكامل حد بحد من ‪ 0‬إلى‬

‫و بالتالي باستعمال‬
‫حيث‬
‫~ ‪~ 45‬‬

‫نجد‪:‬‬

‫ن ظ ري ة ‪:‬‬
‫سلسلة دوال مستمرة على المجال‬

‫لتكن‬

‫و متقاربة بانتظام على كل مجال محدود من‬
‫من أجل كل‬

‫بحيث‬

‫‪ ،‬التكامل‬

‫السلسلة ذات الحدود الموجبة‬

‫لنفرض زيادة على ذلك و‬
‫متقارب مطلقا و‬
‫متقاربة فان التكامل‬

‫موجود و يساوي‬

‫~ ‪~ 46‬‬

‫م ال ح ظ ة ‪:‬‬
‫لدينا المساواة‪:‬‬

‫ا ل ب ره ا ن ‪ :‬لنضع من أجل‬

‫المتتالية‬

‫متقاربة بانتظام نحو‬

‫على المجال‬
‫‬‫‪-‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫هو باقي لسلسلة ذات حدود موجبة و متقاربة نحو ‪ 0‬عندما‬
‫~ ‪~ 47‬‬

‫و لدينا‪:‬‬

‫ومن أجل كل‬

‫بحيث‬

‫تؤول‪ ,‬لما‬

‫‪,‬‬

‫يؤول إلى‬

‫نحو‪:‬‬

‫و بما أن فرضيات النظرية محققة فإن‪:‬‬

‫ا إل ش ت ق ا ق ‪:‬‬
‫ن ظ ري ة ‪:‬‬
‫ليكن‬

‫مجال محدود من‬

‫و‬

‫سلسلة دوال بحيث‬

‫كل حد قابل لإلشتقاق على ‪.‬‬
‫إذا وجد على األقل‬
‫متقاربة والسلسلة‬

‫من‬

‫بحيث تكون السلسلة‬
‫و السلسة متقاربة بانتظام على‬
‫~ ‪~ 48‬‬

‫فان السلسلة‬

‫متقاربة بانتظام على‬

‫و المجموع‬

‫قابل لإلشتقاق على‬

‫مع‪:‬‬

‫قضية‪:‬‬
‫لنعتبر‬

‫بحيث‬

‫أ‪.‬‬

‫السالسل‬

‫ب‪.‬‬

‫السلسلة‬

‫سلسلة دوال تحقق‪:‬‬
‫متقاربة على‬
‫متقاربة بانتظام على‬

‫فان كل السالسل‬
‫المجموع‬

‫للسلسلة‬

‫متقاربة بانتظام على‬
‫من صنف‬

‫~ ‪~ 49‬‬

‫على‬

‫و لدينا‪:‬‬

‫و‬

‫أ ع م ا ل م وج ه ة‬
‫م ت ت ا ل ي ا ت وس ال س ل ا ل د وا ل‬

‫ن ص وص ا ل ت م ا ري ن ‪:‬‬
‫ت م ري ن ‪: 1‬‬
‫~ ‪~ 50‬‬

‫أدرس التقارب المنتظم لمتتالية الدوال في حالة ما إذا كانت متقاربة‪:‬‬
‫‪x 1 , x]0,[ )1‬‬
‫‪1 nx‬‬
‫‪x x , x[0,[ )2‬‬
‫‪1 nx‬‬
‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬
‫‪, x[0,[  0  ) 3‬‬
‫‪1 nx‬‬

‫‪x xe , x[0,[ )4‬‬
‫‪nx‬‬

‫ت م ري ن ‪: 2‬‬
‫لنعتبر متتالية الدوال المعرفة كما يلي‪:‬‬
‫‪, x]0,a]a 0 , f (0) 0‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ .1‬بين أن ‪ f ‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪2n‬‬

‫‪f (x) x sin 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n‬‬

‫متقاربة ببساطة و ليست متقاربة بانتظام نحو نهاية ‪f‬‬

‫مستمرة عند النقطة ‪. x 0‬‬

‫‪ .2‬تحقق من أن المتتالية ‪ f ‬‬
‫‪n‬‬

‫مستمرة كذلك عند النقطة ‪. x 0‬‬

‫~ ‪~ 51‬‬

‫ت م ري ن ‪: 3‬‬
‫‪1‬‬
‫بين أن‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(x)‬‬
‫‪n 1‬‬

‫من صنف‬

‫‪f‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪C‬‬

‫ت م ري ن ‪ : 4‬أدرس تقارب سالسل الدوال التالية‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬

‫و‬

‫‪‬‬
‫‪n 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪xn‬‬

‫‪n 1‬‬

‫ت م ري ن ‪: 5‬‬
‫لنعتبر متتالية الدوال المعرفة على المجال [‪: [0,‬‬
‫‪n‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪‬‬

‫‪(x) ‬‬

‫~ ‪~ 52‬‬

‫‪n‬‬

‫‪f‬‬

‫على ‪IR‬‬

‫‪ .1‬بين أن ‪ f ‬‬

‫متقاربة ببساطة نحو نهاية ‪ f‬يطلب تعيينها‪.‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ .2‬بين أن ‪(x)dx :‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪(x)dx‬‬

‫‪n‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬
‫‪0‬‬

‫‪ .3‬بين أنه من أجل ‪ a 1‬متتالية الدوال‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪xe‬‬

‫‪ 0‬على المجال [‪. [a,‬‬
‫‪ .4‬استنتج أن ‪(x)dx0‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪f‬‬
‫‪0‬‬

‫ت م ري ن ‪: 6‬‬
‫ليكن‬

‫‪ ,  0‬بين أن ‪:‬‬
‫‪ 1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 1 x dx1 11  1 2...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪ n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫(لتثبت أن ‪ 1 x dx0 :‬‬

‫عندما ‪) n‬‬

‫‪0‬‬

‫ت م ري ن ‪: 7‬‬
‫~ ‪~ 53‬‬

‫متقاربة بانتظام نحو‬

‫ليكن‬

‫‪ ,  0‬بين أن ‪:‬‬
‫‪ 1‬‬

‫‪...‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ 1 x log 1xdx‬‬

‫‪  1  2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ xlog x‬‬
‫(لتثبت أن الدالة‬
‫‪1 x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫المعرفة على المجال [‪ ]0,1‬تقبل امتداد باالستمرار‬

‫على المجال ]‪[0,1‬‬

‫~ ‪~ 54‬‬


Documents similaires


Fichier PDF fichier pdf sans nom
Fichier PDF fichier pdf sans nom 1
Fichier PDF 4 2


Sur le même sujet..