poly distrib17entete .pdf



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Valérie BURDIN
Professeure
Département Image et Traitement de l’Information

valerie.burdin@imt-atlantique.fr

UV TC101
Bases mathématiques pour l’ingénieur(e)
Module TC101C
Analyse Harmonique et Distributions
Formation : IG1A
Polycopié de cours
Année 2017-2018
Responsable module : Valérie Burdin

Analyse Harmonique et Distributions
Polycopié de cours

Module TC101C
IG1A – UV TC101 – Bases mathématiques pour l’ingénieur(e)

Contact :
Valérie BURDIN
Département Image et Traitement de l’Information
valerie.burdin@telecom-bretagne.eu

Cours moodle :
http://formations.telecom-bretagne.eu/fad/course/view.php?id=23287

Fiche programme :
https://portail.telecombretagne.eu/portal/pls/portal/pkg_df.programmes.SHOW_FICHE?p_id_mod_er=31307

Table des mati`
eres
1 Pr´
eliminaires
1.1 Ensembles n´egligeables . . . . . . . . . . . . .
1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 L’espace L1 . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 L’espace L2 . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Th´eor`emes d’int´egration . . . . . . . . . . . .
1.4 Fonctions d’une variable complexe . . . . . . .
|
1.4.1 Topologie de C
. . . . . . . . . . . . .
1.4.2 S´eries enti`eres et fonctions analytiques
1.4.3 Fonctions holomorphes . . . . . . . . .
1.5 Convolution des fonctions . . . . . . . . . . .
1.5.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Interpr´etation physique . . . . . . . . .
1.5.3 Fonctions causales . . . . . . . . . . .

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2 Transformation de Laplace des fonctions
2.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Abscisse de sommabilit´e . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Holomorphie de la transform´ee de Laplace . .
2.2 Exemples de transform´ees de Laplace de fonctions . .
2.3 Transform´ee de Laplace d’une fonction d´eriv´ee . . . .
2.4 Transform´ee de Laplace des primitives d’une fonction
2.5 Transform´ee de Laplace et translation . . . . . . . . .
2.6 Transform´ee de Laplace et convolution . . . . . . . .
2.7 Inversion de la transformation de Laplace . . . . . . .
2.7.1 Lien avec la transform´ee de Fourier . . . . . .
2.7.2 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . .
1

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3 Transformation de Fourier des fonctions
3.1 Fonctions p´eriodiques et S´erie de Fourier . . . . . . .
3.1.1 D´eveloppement en s´erie de Fourier . . . . . .
3.1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 S´erie de Fourier dans L2 ([a, b]) . . . . . . . . .
3.2 D´efinition de la transform´ee de Fourier et exemples .
3.2.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Transformation de Fourier inverse . . . . . . . . . . .
3.3.1 Probl`eme d’inversion . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Interpr´etation physique . . . . . . . . . . . . .
3.4 Propri´et´es des transform´ees de Fourier . . . . . . . .
3.4.1 Translation, modulation, changement d’´echelle
3.4.2 D´eriv´ees et majorations . . . . . . . . . . . .
3.5 Transform´ee en cosinus et sinus . . . . . . . . . . . .
3.6 Convolution et transformation de Fourier . . . . . . .
3.7 Transform´ee de Fourier dans IR3 . . . . . . . . . . . .
3.8 Transformation de Fourier dans L2 . . . . . . . . . .
3.8.1 L’espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Relation de Parseval-Plancherel . . . . . . . .
3.8.3 Transformation de Fourier dans L2 (IR) . . . .
4 Th´
eorie ´
el´
ementaire des distributions
4.1 D´efinition des distributions . . . . . . . .
4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . .
4.1.2 D, espace des fonctions test . . .
4.1.3 D′ , espace des distributions . . .
4.2 Op´erations sur les distributions . . . . .
4.2.1 D´erivation . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . .
4.3 Topologie dans l’espace des distributions
4.3.1 Convergence dans D ′ . . . . . . .
4.3.2 Sur-ensembles de D . . . . . . . .
4.3.3 Sous-ensembles de D′ . . . . . . .
4.4 Les distributions `a plusieurs dimensions .
4.4.1 D´efinitions et exemples . . . . . .
4.4.2 D´erivation dans D ′ (IR3 ) . . . . .
4.4.3 Application . . . . . . . . . . . .
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64

5 La convolution des distributions
5.1 Convolution dans D′ . . . . . . . . . . .
5.1.1 Produit tensoriel . . . . . . . . .
5.1.2 Convolution de distributions . . .
5.2 R´egularisation . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Continuit´e de la convolution . . .
5.2.2 Notions de densit´e des ensembles
5.3 Convolution en physique . . . . . . . . .
5.3.1 Propri´et´es de l’op´erateur . . . . .
5.4 Alg`ebre de convolution . . . . . . . . . .
5.4.1 Equation de convolution . . . . .
5.4.2 Calcul symbolique . . . . . . . .

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6 Transformation de Fourier des distributions
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 L’espace de Schwartz, S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Convergence dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Propri´et´es des fonctions de S . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 L’espace S ′ des distributions temp´er´ees . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Exemples de distributions temp´er´ees . . . . . . . . . . . . .
6.4 Transform´ee de Fourier dans S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Transform´ee de Fourier dans E ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Convolution et transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Recherche des transform´ees de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Exemples de transform´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Transform´ee de Fourier de distributions p´eriodiques . . . . . . . . .
6.8.1 Peigne de Dirac de p´eriode 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Peigne de Dirac de p´eriode T . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.3 Distribution p´eriodique r´eguli`ere . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Transformation de Laplace de distributions . . . . . . . . . . . . . .
6.9.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.4 Application de la transformation de Laplace au calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 R´
ef´
erences

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94

. 95
99

3

4

Chapitre 1
Pr´
eliminaires
Dans ce cours, nous utiliserons des notions d’int´egration plus pouss´ees que la
notion d’int´egrale de Riemann vue commun´ement. Il s’agit de la notion d’int´egrale
de Lebesgue pour les fonctions num´eriques (de variables r´eelles) et de la notion
de fonction holomorphe pour les fonctions de la variable complexe. Ces notions
seront utilis´ees essentiellement dans les d´emonstrations et pour justifier l’existence
des objets manipul´es. Nous renvoyons le lecteur int´eress´e par ces aspects th´eoriques
vers deux documents cit´es en r´ef´erence :
— le livre de Dominique Pastor et Christophe Sintes “Probabilit´es pour l’ing´enieur : des fondements aux calculs”, paru chez Herm`es/Lavoisier, qui est
enseign´e dans le module de Probabilit´es de premi`ere ann´ee (TC101B),
— le polycopi´e de Bernard Petit “Introduction aux fonctions d’une variable complexe” (disponible sous moodle).
Dans le cadre du cursus de T´el´ecom Bretagne, et d`es la premi`ere ann´ee, les
notions pr´esent´ees dans ce cours seront largement utilis´ees dans les enseignements
de traitement du signal et de physique pour formaliser rigoureusement les ´equations
en jeu. En particulier, le lecteur est renvoy´e vers deux documents cit´es en r´ef´erence :
— le livre de Bruno Fracasso et Alain Peden “Physique des communications”
paru chez Ellipse en 2015. Il traite de la physique des t´el´ecommunications en
utilisant de nombreux exemples concernant la mod´elisation des signaux et du
bruit, les op´erateurs physiques, la propagation guid´ee (optique) et non guid´ee
(radio), utilisant ce formalisme,
— le polycopi´e de Karine Amis “Introduction aux Signaux et Syst`emes” qui est
enseign´e dans le module Th´eorie des signaux et filtrage de premi`ere ann´ee
(TC101F), et qui constitue un prolongement de ce cours.
Dans ce chapitre pr´eliminaire, nous d´ecrivons simplement les principales d´efinitions et notations que l’on utilisera dans tout le polycopi´e.
5

1.1

Ensembles n´
egligeables


efinition 1.1.1. On d´efinit une ´egalit´e presque partout entre deux fonctions f et
p.p.
g, et on note f = g, si f (x) = g(x) pour presque tout x. C’est-`a-dire que l’´egalit´e
peut ´eventuellement ne pas ˆetre v´erifi´ee sur un ensemble de mesure nulle, appel´e
aussi ensemble n´egligeable.
La d´efinition d’un ensemble de mesure nulle est complexe a` d´efinir rigoureusement. De mani`ere pratique, nous pourrons nous contenter des exemples suivants.
Exemple. Un point est un ensemble n´egligeable, on dit qu’il est de mesure nulle. Un
ensemble fini de points est de mesure nulle. Un ensemble d´enombrable de points est
| ).
de mesure nulle (par exemple l’ensemble des rationnels Q

1.2
1.2.1

Espaces fonctionnels
L’espace L1


efinition 1.2.1. Une fonction
f est dite sommable, si elle est absolument int´eZ
grable sur IR, c’est-`a-dire
|f (x)|dx existe.
IR
Notation. L’ensemble des fonctions sommables est not´e L1 . C’est l’espace des fonctions sommables d’une variable r´eelle `a valeurs complexes, quotient´e par la relation
d’´equivalence “´egale presque partout” afin d’obtenir une norme d´efinie par
Z
kf kL1 = |f (x)| dx.

efinition 1.2.2. Une fonction f est dite localement sommable, si elle est absolument int´egrable sur tout intervalle ferm´e [a, b] de IR, c’est-`a-dire pour tout ferm´e
Z b
[a, b] ⊂ IR,
|f (x)|dx existe.
a

Remarquons que toute fonction sommable (absolument int´egrable sur IR) est localement sommable.
Notation. L’ensemble des fonctions localement sommables est not´e L1loc .

1.2.2

L’espace L2


efinition 1.2.3. Une fonction f est dite
Z de carr´e sommable, si elle est absolument
de carr´e int´egrable sur IR, c’est-`a-dire
|f (x)|2 dx existe.
IR
6

Notation. L’ensemble des fonctions de carr´e sommable est not´e L2 . C’est l’espace
des fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs complexes de carr´e sommable, quotient´e
par la relation d’´equivalence “´egale presque partout” afin d’obtenir une norme d´efinie
par
21
Z
2
|f (x)| dx .
kf kL2 =

Proposition 1.2.1. Soient deux fonctions f et g appartenant `a L2 , alors leur produit
f g est sommable, c’est-`a-dire appartient `a L1 .
Preuve. A faire en exercice en ´ecrivant (|f | − |g|)2 ≥ 0.


1
Remarque 1.2.1. On note
Z g le conjugu´e complexe de la fonction g. Si f g ∈ L alors
f g ∗ aussi et l’int´egrale
f (x)g ∗(x) dx est sommable (existe). Ainsi, a` tout couple

de fonctions (classe de fonctions) de L2 , f et g, on peut associer le nombre complexe
fini hf, gi d´efini par
Z
hf, gi =

f (x)g ∗(x) dx.

On montre que cette expression d´efinit une forme hermitienne d´efinie positive c’est`a-dire un produit scalaire sur L2 .


efinition 1.2.4. L’espace L2 est dit pr´ehilbertien. Il est complet pour la norme
correspondant au produit scalaire hermitien, on dit que c’est un espace de Hilbert.
Remarque 1.2.2. On sait que les espaces Lp (p ≥ 1) sont des espaces vectoriels
norm´es complets (Banach) pour la norme
Z
p1
p
|f (x)| dx .
kf kLp =

Parmi les espaces Lp , seul L2 est un Hilbert. On dit que la norme L2 est induite par
le produit scalaire ci-dessus :
Z
Z
2
2
kf kL2 = |f (x)| dx = f (x)f ∗ (x) dx = hf, f i

Remarque 1.2.3. La norme euclidienne de IRn est une norme L2 , elle est induite par
le produit scalaire de IRn .

efinition 1.2.5. Une fonction f est dite de carr´e localement sommable, si elle est
absolument int´egrable sur tout intervalle ferm´e [a, b] de IR, c’est-`a-dire pour tout
Z b
ferm´e [a, b] ⊂ IR,
|f (x)|2 dx existe.
a

Remarquons que toute fonction de carr´e sommable (de carr´e absolument int´egrable
sur IR) est de carr´e localement sommable.
7

Notation. L’ensemble des fonctions de carr´e localement sommables est not´e L2loc .
Exercice. Montrer que L2[a,b] ⊂ L1[a,b] , pour a et b r´eels finis.

1.3

Th´
eor`
emes d’int´
egration

Nous aurons aussi besoin des deux r´esultats ci-dessous.
Th´
eor`
eme 1.3.1 (de convergence domin´ee de Lebesgue). Soit fk une suite de fonctions qui converge presque partout vers une fonction f . On suppose qu’il existe une
fonction positive sommable fixe g telle que l’on ait : |fk (x)| ≤ g(x) p.p. pour tout k.
On a alors
Z
|f (x) − fk (x)|dx = 0
et
lim
k→+∞
Z
Z
fk (x)dx = f (x)dx.
lim
k→+∞

Th´
eor`
eme 1.3.2 (de Fubini).
Soit f (x, y) une fonction d´efinie dans IR × IR.
a) Si f est `a valeur dans IR+ , on d´efinit l’´egalit´e suivante, o`
u les trois membres
sont positifs finis ou infinis


ZZ
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dy dx =
f (x, y)dx dy
IR2
IR
IR
IR
IR
| et sont
b) Si f est sommable sur IR2 , les trois membres ont un sens dans C
´egaux.

Remarque 1.3.1. Attention si f (x, y) n’est pas sommable sur IR2 , il se peut que
seulement l’une des expressions ait un sens ou, si elles ont toutes deux un sens, que
les valeurs soient distinctes.
x2 − y 2
sur E = {0 ≤ x ≤ 1} × {0 ≤ y ≤ 1}. f est non
Exemple. f (x, y) = 2
(x + y 2 )2
π
sommable sur IR2 et les expressions donnent ± selon la variable d’int´egration
4
choisie en premier.
Indication : Pour int´egrer, on pourra remarquer que




y
x


=−
f (x, y) =
∂y x2 + y 2
∂x x2 + y 2

8

1.4

Fonctions d’une variable complexe

Dans ce cours nous manipulons essentiellement des fonctions de la variable r´eelle
mais nous sommes aussi appel´e `a consid´erer des fonctions de la variable complexe
z. Dans cette section nous donnons les d´efinitions relatives a` la continuit´e et la
d´erivabilit´e des fonctions d’une variable complexe et, sans d´emonstration, certains
r´esultats utiles dans le cadre de ce cours.
Cependant, nous ne parlerons pas de l’int´egration des fonctions d’une variable complexe. Les lecteurs int´eress´es pourront trouver l’information n´ecessaire dans les r´ef´erences [Petit B.] et [Spiegel M.R.]. N´eanmoins, nous reportons ici des extraits du
polycopi´e de B. Petit, quand les notions sont directement utilis´ees dans ce cours.

1.4.1

|
Topologie de C

| d´
C
esigne le corps des nombres complexes qu’on munit de la distance d´efinie par

d(z, z ) = |z−z ′ |. Tr`es souvent, et conform´ement `a l’usage, nous identifierons l’espace
| et r
norm´e ainsi d´efini avec IR2 muni de la norme euclidienne. Etant donn´es a ∈ C

r´eel strictement positif, on appelle disque ouvert (respectivement disque ferm´e) de


| | |z − a| < r (respectivement
centre a et de rayon r, l’ensemble D(a, r) = z ∈ C




| | |z − a| ≤ r ) ; on notera C(a, r) = z ∈ C
| | |z − a| = r le cercle
D(a, r) = z ∈ C
| est un ouvert si, ou
de centre a et de rayon r. On dit qu’un sous-ensemble U de C
bien U = ∅, ou bien :
∀ a ∈ U,

∃ ra > 0,

tel que D(a, ra ) ⊂ U.

| est dit
Par exemple, tout disque ouvert est un ouvert. Un sous-ensemble F de C
| \ F est un ouvert. Par exemple, tout disque ferm´
ferm´e si C
e est un ferm´e.

1.4.2


eries enti`
eres et fonctions analytiques

XSoit {an }n≥0 une suite de nombres complexes. On consid`ere la s´erie enti`ere
an z n ; on sait qu’il existe un r´eel positif R, appel´e rayon de convergence de
n≥0

la s´erie, v´erifiant :

1. Si R > 0, pour tout r ∈ ]0, R[, la s´erie converge normalement (donc uniform´ement) sur D(0, r). Attention : ceci n’implique pas la convergence uniforme
sur D(0, R) !
2. Si R < ∞, la s´erie diverge pour |z| > R (en fait an z n ne tend pas vers 0).

9

3. On ne peut rien dire, a priori, pour |z| = R (i.e. tous les cas de figure sont
possibles ainsi qu’en t´emoignent des exemples ´el´ementaires).
On rappelle ´egalementX
que les s´eries enti`
obtenues par d´erivation et int´egration,
Xeres
an n+1
n−1
z , ont le mˆeme rayon de converc’est-`a-dire les s´eries
nan z
et
n
+
1
n≥1
n≥0
gence.
| une fonction d´

efinition 1.4.1. Soit f : U → C
efinie sur l’ouvert non vide U. On
dit que f est analytique sur U si :
| , tels que
∀ a ∈ U, ∃ r > 0, ∃ {αn }n≥0 ⊂ C
X
D(a, r) ⊂ U et ∀ z ∈ D(a, r), f (z) =
αn (z − a)n .
n≥0

Autrement dit, la fonction f (z) est d´eveloppable en s´erie enti`ere en tout point de
U. Dans cette d´efinition, il est important de noter que les coefficients αn d´ependent
1
| \ {1} :
de a. Ainsi a-t-on, pour la fonction f (z) =
, qui est analytique sur C
z

1
X
• Pour a = 0, f (z) = −
z n pour z ∈ D(0, 1).
Xn≥0
• Pour a = 2, f (z) =
(−1)n (z − 2)n pour z ∈ D(2, 1).
n≥0

Nous rappelons, sans d´emonstration, les propri´et´es classiques suivantes :
Proposition 1.4.1 (Analyticit´e de la somme d’une s´erie enti`ere). Soit {αn }n≥0 la
suite des
Xcoefficients d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence R > 0, et soit
αn (z − a)n pour z ∈ D(a, R). Alors f est analytique sur D(a, R).
f (z) =
n≥0

(Plus pr´ecis´ement, si b ∈ D(a, R) et si βk =

X

n(n − 1). . .(n − k + 1)(b − a)n−k ,

n≥k

la s´erie enti`ere de coefficients βk /k! a un rayon de convergence ≥ R − |b − a| et, sur
X βk
D(b, R − |b − a|), on a f (z) =
(z − b)k .)
k!
k≥0

Proposition 1.4.2 (Principe des z´eros isol´es). Soient f une fonction analytique sur


l’ouvert connexe Ω et Zf = z ∈ Ω | f (z) = 0 . Alors, ou bien Zf = Ω (i.e. f est
identiquement nulle) ou bien Zf n’admet aucun point d’accumulation dans Ω ; dans
ce dernier cas, pour chaque a ∈ Zf , il existe un entier positif α et une fonction g
analytique sur Ω tels que g(a) 6= 0 et f (z) = (z − a)α g(z).
(Le fait que Zf n’admette pas de point d’accumulation dans Ω, i.e. le principe des
z´eros isol´es, se traduit par :
∀ a ∈ Zf , ∃ r > 0, tel que D(a, r) ⊂ Ω et D(a, r) ∩ Zf = {a}.)
10

1.4.3

Fonctions holomorphes

Une fonction holomorphe n’est pas autre chose qu’une fonction d´erivable au sens
| :
de C
| (o`
| ). On dit que

efinition 1.4.2. Soit f : U → C
u U est un ouvert non vide de C
f est holomorphe sur U si :
| , ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tels que
∀ z ∈ U, ∃ f ′ (z) ∈ C

u ∈ D(z, δ) ∩ U =⇒ |f (u) − f (z) − (u − z)f ′ (z)| ≤ ε|u − z|.
Exemples
| et f ′ (z) = nz n−1 .
1. Pour tout entier positif n, f : z 7→ z n est holomorphe sur C

2. Les fonctions z 7→ ℜe z et z 7→ ℑm z ne sont holomorphes en aucun point.
3. On montre ais´ement que, si H(U) d´esigne l’ensemble des fonctions holo| dont les ´
morphes sur l’ouvert U, H(U) est une alg`ebre sur C
el´ements inversibles sont les fonctions holomorphes ne s’annulant pas sur U ; les formules
habituelles de d´erivation sont valables dans le cadre pr´esent et il est laiss´e au
lecteur le soin de s’en convaincre.
Nous ach`everons ces exemples par une propri´et´e fondamentale :
Proposition 1.4.3. Toute fonction analytique est holomorphe. R´eciproquement,
toute fonction holomorphe est analytique.
Remarque 1.4.1. L’implication d´ecoule des propri´et´es de convergence uniforme des
s´eries enti`eres dans le disque ouvert de convergence. La r´eciproque utilise un r´esultat
d´epassant le cadre de ce cours (voir [B. Petit]).
Nous allons maintenant donner une caract´erisation diff´erentielle de l’holomorphie.
Proposition 1.4.4 (Conditions de Cauchy). Soient U un ouvert non vide de C| et
f : U → C| . Si on note P (x, y) = ℜe f (z) et Q(x, y) = ℑm f (z), o`
u z = x + iy, f
est holomorphe sur U si, et seulement si, P et Q sont diff´erentiables sur U et
∂P
∂Q
=
=A
∂x
∂y

∂P
∂Q
=−
= −B.
∂y
∂x

et

La d´eriv´ee de f dans C| est alors f ′ (z) = A + iB.
11

1.5
1.5.1

Convolution des fonctions

efinition


efinition 1.5.1. On appelle produit de convolution de deux fonctions localement
sommables f (x) et g(x), la fonction h(x) d´efinie par
Z
h(x) = (f ∗ g)(x) =
f (t) g(x − t) dt.
IR
On note souvent f (x) ∗ g(x) lorsque les fonctions sont explicit´ees.
Ce produit n’est pas toujours d´efini. En g´en´eral, une des fonctions est a` support
born´e ou tr`es rapidement d´ecroissante de sorte que le produit de convolution a un
sens. On ´etudiera les cas pour lesquels il est toujours d´efini.
On remarque que le nom de produit est bien choisi, puisque le produit de convolution
est commutatif (on pose θ = x − t) et distributif par rapport a` l’addition de deux
fonctions.

1.5.2

Interpr´
etation physique

Le produit de convolution peut ˆetre d´ecompos´e sch´ematiquement par la suite
d’op´erations suivantes :
1. retournement de g(t) donnant g(−t)
2. translation de g(−t) donnant g(x − t)
3. multiplication par f (t)
4. int´egration
Exercice. Calculer le produit de convolution Π(x/T )∗Π(x/T ), o`
u Π(y) est la fonction
porte de largeur 1 (D´efinition 4.1.1.).
Le produit de convolution de f par g a des fluctuations moins rapides que f si la
fonction g est suffisamment r´eguli`ere. Par exemple, f est le vrai signal a` mesurer et
g repr´esente l’effet de l’appareil de mesure qui a une r´esolution limit´ee. On n’obtient
pas la mesure de f mais celle de f ∗ g.
En traitement du signal, nous trouverons souvent la notion de causalit´e.
12

1.5.3

Fonctions causales


efinition 1.5.2. On dit qu’une fonction f (x) est causale s’il existe un r´eel a, tel
que f (x) = 0, pour tout x < a. En g´en´eral a = 0, on parle aussi de fonctions a`
support dans IR+ .
Pour des fonctions causales, nous avons le r´esultat important suivant :
Proposition 1.5.1. Soient f et g deux fonctions localement sommables `a support
dans IR+ , alors le produit de convolution, h(x), existe toujours.
Il est `a support dans IR+ et d´efini par
 Z x

f (t) g(x − t) dt
h(x) = (f ∗ g)(x) =
0

0
Preuve. A faire en exercice.

13

si x > 0
si x < 0

14

Chapitre 2
Transformation de Laplace des
fonctions
2.1


efinitions et propri´
et´
es


efinition 2.1.1. Soit f (t) une fonction de la variable r´eelle t, localement sommable
pour t ≥ 0 (nulle pour t < 0). On appelle transform´ee de Laplace (TL) de f (t), la
fonction L[f ](p), de la variable complexe p, d´efinie par
F (p) = L[f ](p) =

Z

+∞

f (t) e−pt dt.
0

Remarquons que L[.] est un op´erateur lin´eaire. L’int´egrale ci-dessus est appel´ee int´egrale de Laplace unilat´erale et f (t), l’originale. On note
f (t) ❂ F (p)
Remarque 2.1.1. Deux fonctions ´egales presque partout pour t ≥ 0 et diff´erentes
pour t < 0, ont la mˆeme TL.
On consid`ere toujours que f est nulle pour t < 0. Cela revient a` multiplier f par la
fonction Heaviside Y d´efinie par Consid´erons la fonction de Heaviside Y(x)

 0 si x < 0
Y(x) =
1/2 si x = 0

1 si x > 0

Nous verrons que pour l’´etude des filtres lin´eaires, cette condition (de causalit´e) n’est
pas restrictive.
15

2.1.1

Abscisse de sommabilit´
e

Remarque 2.1.2. Le module de f (t)e−pt est |f (t)|e−σt , avec p = σ + iω. Ainsi, la
sommabilit´e de l’int´egrale de Laplace ne d´epend que de la partie r´eelle de p.
Proposition 2.1.1. S’il existe p0 = σ0 + iω0 tel que f (t)e−p0 t soit sommable, il en
est de mˆeme pour tout p = σ + iω tel que σ ≥ σ0 .
Preuve. En effet, pour σ ≥ σ0 , |f (t)|e−σt ≤ |f (t)|e−σ0 t .
Corollaire 2.1.2. Il existe un r´eel a, de signe quelconque, tel que pour σ > a
l’int´egrale de Laplace existe et que pour σ < a, elle n’existe pas. Pour σ = a, on ne
peut rien dire.
Preuve. Pour une fonction f (t) donn´ee, on consid`ere E, l’ensemble des valeurs de
σ = ℜe (p) pour lesquelles f (t)e−pt est sommable. Soit a, la borne inf´erieure de E.
Si σ > a, d’apr`es la d´efinition de a, il existe σ0 compris entre a et σ, tel que
f (t)e−p0 t est sommable. Ainsi a < σ0 < σ et la proposition 2.1.1 impliquent f (t)e−pt
sommable.
Si σ < a, soit σ1 , tel que σ < σ1 < a, alors f (t)e−pt est non sommable, sans quoi
f (t)e−p1 t le serait aussi d’apr`es la proposition 2.1.1, ce qui contredirait la d´efinition
de a.

efinition 2.1.2. On appelle abscisse de sommabilit´e (ou de convergence absolue)
de f (t), le r´eel a, borne inf´erieure de E. L’ouvert ℜe (p) > a est le domaine de
sommabilit´e de l’int´egrale de Laplace.
2

Exemple. Pour f (t)√= Y (t)e−t , L[f](p) existe pour tout p donc a = −∞.
Pour f (t) = Y (t)e− t , L[f](p) existe pour tout p tel que ℜe (p) > 0 donc a = 0.
2
Pour f (t) = Y (t)et , L[f](p) n’existe jamais donc a = +∞.
En r´esum´e, la droite verticale x = a coupe le plan en deux demi-plans : l’un o`
u
−pt
f (t)e
est sommable, l’autre o`
u elle ne l’est pas.

efinition 2.1.3. Soit une fonction f (t) localement sommable (f nulle pour t < 0)
et v´erifiant, pour t ≥ t0 ≥ 0, la majoration
|f (t)| ≤ Mekt

M > 0, k ∈ IR,

on dit que f est d’ordre exponentiel k quand t tend vers +∞.
Proposition 2.1.3. Si f , localement sommable, (f nulle pour t < 0), est d’ordre
exponentiel k, alors l’abscisse de sommabilit´e a ≤ k.
16

Preuve. On doit montrer que pour tout σ > k, f (t)e−pt est sommable.
Z




0

+∞

Z

f (t) e−pt dt ≤

t0

−σt

|f (t)| e

0

dt +

Z

+∞

|f (t)| e−σt dt.
t0

−pt

Pour 0 < t < t0 , f (t)e
est sommable car f est localement sommable.
Pour t > t0 , on a |f (t)|e−σt ≤ Me(k−σ)t qui est sommable sur [t0 , +∞[ d`es que
k − σ < 0.
f (t)e−pt est donc sommable sur [0, +∞[ pour tout p tel que σ > k, c’est-`a-dire
a ≤ k.
Remarque 2.1.3. On peut donner deux cons´equences pour une fonction f d’ordre
exponentiel k. Si f est `a croissance polynˆomiale (ou born´ee), l’abscisse de sommabilit´e est n´egative ou nulle. En effet, pour t suffisamment grand, tout r´eel k positif
mˆeme tr`es petit permet la majoration.
Si f est `a support compact, tout r´eel k convient et a = −∞.

2.1.2

Holomorphie de la transform´
ee de Laplace

Th´
eor`
eme 2.1.4. Dans son domaine de sommabilit´e, la transform´ee de Laplace est
une fonction de p, continue, et qui tend vers 0 lorsque ℜe (p) tend vers +∞.
Remarque 2.1.4. L’op´erateur L[f ] est lin´eaire pour les fonctions localement sommables.
Preuve. La continuit´e provient du th´eor`eme de Lebesgue : la fonction ft (p) =
f (t) e−pt est continue en p0 pour presque tout t.
Soit p0 dans le domaine de sommabilit´e (ℜe (p0 ) > a). Il existe un voisinage de p0 ,
V (p0 ), et un r´eel σ1 tel que pour tout p ∈ V (p0 ), on ait ℜe (p) > σ1 > a, c’est-`a-dire
|f (t) e−pt | < |f (t)| e−σ1 t = g(t) sommable car a est l’abscisse de sommabilit´e. Ainsi
la transform´ee de Laplace est continue en tout p0 appartenant au domaine de sommabilit´e.
De plus : soit p = σ + iω, on a
Z t0
Z +∞
−σt
e−(σ−k)t dt
|L[f ](p)| ≤
|f (t)| e dt + M
Z0 ξ
Z t0 t0
M −(σ−k)t0

|f (t)| dt + e−σξ
|f (t)| dt +
e
σ−k
0
ξ
On choisit ξ pour que le premier terme soit n´egligeable, les autres termes tendant
vers 0 lorsque σ tend vers +∞.
17

Th´
eor`
eme 2.1.5. La transform´ee de Laplace d’une fonction f ∈ L1loc (IR+ ) et
d’abscisse de sommabilit´e a est holomorphe dans tout le demi-plan complexe ℜe (p) >
a et on a
dm
L[f ](p)
Y(t) (−t)m f (t) ❂
dpm
Preuve. Montrons d’abord que les int´egrales de Laplace de f (t) et (−t)m f (t) ont
les mˆemes abscisses de sommabilit´e.
Soit a, l’abscisse de sommabilit´e pour L[f (t)] et a′ , celle de L[(−t)m f (t)], on peut
´ecrire
Z

+∞
−pt

f (t) e

dt =

0

Z

1
−pt

f (t) e

dt +

0

Z

+∞

f (t) e−pt dt = I1 + I2
1

I1 existe car f (t) est localement sommable, reste `a ´etudier I2 .
Pour t ≥ 1, on a tm ≥ 1 et
|I2 | <

Z

+∞
−σt

|f (t)| e

dt ≤

1

Z

+∞

|f (t)| |t|m e−σt dt

1

et la sommabilit´e de (−t)m f (t) e−σt entraˆıne celle de f (t) e−σt , donc a′ est au moins
´egale `a a (a′ ≥ a).
D’autre part : ∀ε > 0, on a tn < eεt pour t assez grand, donc
∃t0 / t > t0 ⇒ |(−t)m f (t) e−pt | ≤ |f (t)| e−(σ−ε)t
donc pour σ − ε > a ou σ > a + ε, cette expression est sommable et l’abscisse de
sommabilit´e relative `a (−t)m f (t) e−σt est inf´erieure ou ´egale `a a + ε. Comme c’est
vrai quel que soit ε > 0, on a a′ ≤ a.
Les deux in´egalit´es ne sont compatibles que si a = a′ . La premi`ere partie se d´eduit
alors facilement. On peut d´eriver l’int´egrale de Laplace de f (t) sous le signe somme
si l’int´egrale ainsi d´eriv´ee est uniform´ement sommable. Cela est le cas d`es que σ >
a. D’o`
u le r´esultat. La fonction L[f ](p) ´etant d´erivable par rapport a` la variable
complexe p pour σ > a, elle est holomorphe dans ce domaine.
Z

+∞

1
1
e−pt dt = , pour tout ℜe (p) > 0. Ainsi 2 est la transp
p
0
n!
form´ee de Laplace de t et n+1 est la transform´ee de Laplace de tn .
p
Exemple. L[1](p) =

18

2.2

Exemples de transform´
ees de Laplace de fonctions

La transform´ee de Laplace d’une fonction de L1loc (IR+ ) se calcule a` l’aide de l’int´egrale donn´ee par la d´efinition 2.1.1. Cependant, de nombreuses fonctions utilis´ees de
mani`ere intensive en physique ont ´et´e r´epertori´ees dans des tables de transform´ees de
Laplace remarquables dont on donne ici un extrait. Soit une fonction f ∈ L1loc (IR+ ),
et σ0 l’abscisse de sommabilit´e pour sa transform´ee :

Originale



Y(t)



Y(t) t



tn−1
, n ∈ IN∗
(n − 1)!



|
Y(t) eat , a ∈ C



Y(t) eat tn , n ∈ IN



|
Y(t) eiat , a ∈ C



|
Y(t) sin(at), a ∈ C



|
Y(t) cos(at), a ∈ C



|
Y(t) sinh(at), a ∈ C



|
Y(t) cosh(at), a ∈ C



Y(t) ta , ℜe (a) > −1



Y(t)

o`
u Γ(a + 1) =

Z

Transform´ee
1
p
1
p2
1
pn
1
p−a
n!
(p − a)n+1
1
p − ia
a
2
p + a2
p
2
p + a2
a
2
p − a2
p
2
p − a2
Γ(a + 1)
pa+1

+∞

ua e−u du, pour ℜe (a) > −1.

0

19

σ0
0
0
0
ℜe (a)
ℜe (a)
−ℑm (a)
|ℑm (a)|
|ℑm (a)|
|ℜe (a)|
|ℜe (a)|
0

2.3

Transform´
ee de Laplace d’une fonction d´
eriv´
ee

Soit une fonction continue sur IR+ , d’ordre exponentiel k, d´erivable pour t > 0, de
d´eriv´ee continue (´eventuellement par morceaux) et localement sommable. Calculons
la transform´ee de Laplace de f ′ pour p = σ + iω. Pour ℜe (p) > a′ , abscisse de
sommabilit´e de L[f ′ ](p)
Int´egrons par parties
Z +∞

L[f ](p) =
f ′ (t) e−pt dt
0


+∞
= f (t) e−pt 0 + p

ℜe (p) > a′
Z

+∞

f (t) e−pt dt

0

f ´etant d’ordre exponentiel k, pour σ > k ≥ a, on a |f (t)|e−σt ≤ Me−(σ−k)t qui tend
vers 0 quand t tend vers +∞.
Pour σ > k et σ > a′ , c’est-`a-dire σ > σ0 = max(k, a′ ), on a

L[f ′ ](p) = pL[f ](p) − lim+ f (t) e−pt ,
t→0

ainsi, on ´enonce la proposition suivante

Proposition 2.3.1. Pour σ > σ0 , L[f ′ ](p) existe si et seulement si lim+ f (t), not´ee
t→0

f (0+ ), existe. On a alors
L[f ′ ](p) = pL[f ](p) − f (0+ ).

Remarque 2.3.1. Par hypoth`ese f (0− ) = 0. Ainsi, pour une fonction continue en 0,
on a L[f ′ ](p) = pL[f ](p). On verra que c’est toujours le cas pour les distributions car
les discontinuit´ees sont prises en compte dans la d´erivation (voir paragraphe 6.9.3.).
Remarque 2.3.2. Si la fonction f admet un point de discontinuit´e en x0 alors, en

notant σf (x0 ) = f (x+
e, on a
0 ) − f (x0 ), le saut de la discontinuit´
L[f ′ ](p) = pL[f ](p) − f (0+ ) − σf (x0 ) e−px0 .
On admettra les deux th´eor`emes suivants, tr`es utiles pour la r´esolution d’´equations diff´erentielles avec conditions aux limites.
Th´
eor`
eme 2.3.2 (de la valeur initiale). Si L[f ](p) et f (0+ ) existent alors
lim pL[f ](p) = f (0+ ).

p→+∞

20

Th´
eor`
eme 2.3.3 (de la valeur finale). Si L[f ](p) existe et si f (+∞) = lim f (t)
t→+∞

existe et est finie alors
lim pL[f ](p) = f (+∞).

p→0

Exercice. A l’aide de la transform´ee de Laplace, r´esoudre l’´equation diff´erentielle
tf ′′′ (t) − f ′′ (t) + tf ′ (t) − f (t) = 0

∀t > 0

avec f (0+) = 0, f ′ (0+) = 0, f ′′ (0+) = 0, et f ′′′ (0+) = 1.

2.4

Transform´
ee de Laplace des primitives d’une
fonction
Z

t

Cherchons l’image de g(t) =
f (s) ds o`
u a > 0. En d´erivant on obtient g ′ (t) =
a
Z a
f (t), et g(0) = −
f (s) ds. Ainsi la transform´ee de Laplace de g ′ , qui est unique
0

(voir proposition 2.7.1), est, d’apr`es la proposition 2.3.1 :
Z a

L[g (t)](p) = pL[g(t)](p) +
f (s) ds
0

c’est-`a-dire

2.5

Z

t

1
1
f (s) ds ❂ L[f (t)](p) −
p
p
Za t
1
f (s) ds ❂ L[f (t)](p)
p
0

Z

a

f (s) ds

0

Transform´
ee de Laplace et translation

Soit a l’abscisse de sommabilit´e de f . Pour ℜe (p − λ) > a ou σ > a + ℜe (λ), on
a:

Z

L[f (t)](p − λ) =

+∞

f (t) e−(p−λ)t dt

0

c’est-`a-dire

eλt f (t) ❂ L[f (t)](p − λ)
Inversement,
−λp

e

L[f (t)](p) =

Z

+∞
−p(s+λ)

f (s) e

0

c’est-`a-dire

ds =

Z

+∞

f (t − λ) e−pt dt
λ

Y(t − λ) f (t − λ) ❂ e−λp L[f (t)](p),
21

λ>0

Exercice. Calculer la transform´ee de Laplace d’une fonction f (t) p´eriodique de p´eriode T , nulle pour t < 0, et montrer
Z T
1
Y(t) f (t) ❂
f (t) e−pt dt,
ℜe (p) > 0.
−pT
1−e
0

2.6

Transform´
ee de Laplace et convolution

Soient f (t) ❂ F (p) et g(t) ❂ G(p), cherchons l’original du produit ordinaire F G
Z +∞ Z +∞
F (p)G(p) =
f (t)g(s) e−p(t+s) dt ds
0

0

Par changement de variable, t = x − y et s = y, de Jacobien ´egal a` 1, on obtient
Z x

Z +∞
−px
F (p)G(p) =
e
f (x − y)g(y) dy dx
0
0
Z x
or avec nos hypoth`eses f (t) = g(t) = 0 pour t < 0, on reconnaˆıt
f (x − y)g(y) dy
0

comme le produit de convolution de deux fonctions causales, (f ∗ g)(x). Ainsi
f ❂ F,

=⇒ f ∗ g ❂ F G

g❂G

Remarque 2.6.1. Comme la transform´ee de Fourier, la transform´ee de Laplace change
le produit de convolution en produit simple.

2.7
2.7.1

Inversion de la transformation de Laplace
Lien avec la transform´
ee de Fourier

Soit une fonction f (t), et un complexe p = σ + iω, sa transform´ee de Laplace est
donn´ee par
Z +∞

F (σ + iω) =
f (t) e−σt e−iωt dt
0

Ainsi, pour σ fix´e, F (σ+iω), consid´er´ee comme fonction de la variable ω, est la transform´ee de Fourier de Y(t) f (t) e−σt . Une transform´ee de Laplace ´equivaut donc a` une
famille de Fourier, la famille des transform´ees de Fourier des fonctions Y(t) f (t) e−σt ,
pour σ > a.
Proposition 2.7.1. Si la transform´ee de Laplace de f (t) est identiquement nulle
pour σ > a, alors f (t) est presque partout nulle.
Preuve. En effet f (t) e−σt a alors une transform´ee de Fourier nulle, elle est donc
partout nulle (en tant que fonction holomorphe), et par suite f (t) aussi. Donc une
fonction holomorphe n’a jamais plus d’un original.
22

2.7.2

Formule d’inversion

De la formule d’inversion de Fourier, on d´eduit la formule d’inversion de Laplace :
Z +∞
1
−σt
F (σ + iω) eiωt dω.
Y(t) f (t) e
=
2π −∞
Ces diff´erentes formules, correspondant aux diverses valeurs de σ > a, doivent donner
la mˆeme fonction Y(t) f (t). D’ailleurs on peut ´ecrire
Z +∞
1
Y(t) f (t) =
F (σ + iω) e(σ+iω)t dω
2π −∞
ou

1
Y(t) f (t) =
2iπ

Z

σ+i∞

F (p) ept dp.
σ−i∞

Exercice. Montrer que l’expression ci-dessus est ind´ependante de σ en int´egrant la
fonction holomorphe F (p) ept sur le bord du domaine rectangulaire
| / |y| ≤ ω, σ1 ≤ x ≤ σ2 } (voir [Schwartz, p. 250]).
{z = x + iy ∈ C

23

24

Chapitre 3
Transformation de Fourier des
fonctions
La transform´ee de Fourier (TF) est un outil math´ematique tr`es puissant qui
permet d’analyser un signal, par exemple temporel ou spatial, dans le domaine fr´equentiel. On verra que cette repr´esentation est particuli`erement bien adapt´ee aux
signaux physiques dont une grande partie ont une nature sinuso¨ıdale.
Dans ce chapitre, on s’int´eresse `a la d´efinition de la transform´ee de Fourier ainsi qu’`a
ses propri´et´es. On verra que peu de fonctions poss`edent une transform´ee de Fourier,
ce qui nous obligera `a d´efinir la transform´ee de Fourier au sens des distributions.
Avant cela, regardons le cas particulier important des fonctions p´eriodiques.

3.1

Fonctions p´
eriodiques et S´
erie de Fourier

On dit qu’une fonction f (x) a une p´eriode T > 0, ou que f est T -p´eriodique, si
pour tout x, f (x + T ) = f (x).

efinition 3.1.1. La plus petite valeur de T s’appelle la p´eriode de f .
Exemple. La fonction sinus a pour p´eriode 2π, 4π, 6π, . . ., mais 2π est la p´eriode de
sin x.

3.1.1


eveloppement en s´
erie de Fourier

| , une fonction de p´

efinition 3.1.2. Soit f : IR → C
eriode T , d´efinie sur [−T /2, T /2],
on d´efinit la s´erie de Fourier de f par l’expression


2πnx
2πnx
a0 X
,
an cos
+
+ bn sin
2
T
T
n=1

25

avec an et bn les coefficients de Fourier d´efinis par
2
an =
T

Z

2
bn =
T

T /2

f (x) cos

−T /2

Z

2πnx
dx,
T

T /2

f (x) sin
−T /2

2πnx
dx,
T

n = 0, 1, 2, . . .

n = 1, 2, . . .

a0
Remarque 3.1.1. Dans la s´erie de Fourier, la valeur
repr´esente la moyenne de la
2
fonction.
La s´erie de Fourier est donc une s´erie de fonctions. Si elle converge, on peut
calculer sa somme, qui sera elle-mˆeme une fonction de x. Nous avons la d´efinition
suivante et le th´eor`eme de Dirichlet qui seront le coeur du traitement du signal (voir
polycopi´e de TC101F).
| , T -p´

efinition 3.1.3. On dit qu’une fonction f : IR → C
eriodique, continue par
morceaux, est d´eveloppable en s´erie de Fourier, si f est la somme de sa s´erie de
Fourier.

Th´
eor`
eme 3.1.1 (de Dirichlet). Soit f une fonction, T -p´eriodique, de classe C 1 par
morceaux, alors
— la s´erie de Fourier de f converge sur IR et pour tout r´eel x on a


2πnx
2πnx
a0 X
1
+

(f (x ) + f (x )) =
+
an cos
+ bn sin
2
2
T
T
n=1
— si de plus f est continue sur IR, alors la s´erie converge normalement sur IR
et a pour somme la fonction f .
Remarque 3.1.2. On peut remarquer que la continuit´e de f `a elle-seule n’assure pas
la convergence de la s´erie de Fourier (il faut aussi que f ′ soit continue par morceaux).
Les conditions ci-dessus impos´ees `a f sont suffisantes mais non n´ecessaires.

3.1.2

Propri´
et´
es

— a−n = an et b−n = −bn , pour n = 1, 2, . . .
— Si f est r´eelle alors les coefficients an et bn sont r´eels.
— Si f est paire alors les coefficients bn sont nuls et
Z
2πnx
4 T /2
f (x) cos
dx,
n = 0, 1, 2, . . .
an =
T 0
T
26

— Si f est impaire alors les coefficients an sont nuls (bien sˆ
ur la moyenne de la
fonction est nulle) et
4
bn =
T

3.1.3

Z

T /2

f (x) sin

0

2πnx
dx,
T

n = 1, 2, . . .

Notation complexe

Relations d’Euler
Soit z, un nombre complexe de module 1 :
1
= e−iθ = cos θ − i sin θ,
z

z = eiθ = cos θ + i sin θ,
et
cos θ =

eiθ + e−iθ
,
2

sin θ =

eiθ − e−iθ
,
2i

o`
u i2 = −1.
Coefficients complexes de Fourier
Dans les expressions de an et bn de la d´efinition 3.1.2, on peut remplacer cos et
sin par les exponentielles complexes ci-dessus. On obtient les relations suivantes
∀n ∈ IN∗ ,

an = cn + c−n ,

∀n ∈ IN∗ ,

et a0 = 2c0 ,

bn = i(cn − c−n ),

o`
u les coefficients de Fourier complexes cn sont d´efinis par
1
cn =
T

Z

T /2

f (x) e−2iπnx/T dx.
−T /2

Si les conditions de Dirichlet sont v´erifi´ees alors la fonction est d´eveloppable en
s´erie de Fourier

X
f (x) =
cn e2iπnx/T .
n=−∞

1
Remarque 3.1.3. Il faut ´eventuellement remplacer f (x) par (f (x+ ) + f (x− )) aux
2
points o`
u f n’est pas continue.
27

3.1.4


erie de Fourier dans L2([a, b])

Cet espace est utilis´e pour ´etudier les fonctions p´eriodiques de p´eriode T = b − a
mais aussi les fonctions de carr´e localement sommable `a support born´e. Le produit
scalaire de f et g dans L2 ([a, b]) est d´efini par
Z
1 a+T
hf, gi =
f (x)g ∗(x) dx
T a
On d´efinit ainsi une norme associ´ee `a ce produit scalaire par
kf kL2 ([a,b]) =



1
T

Z

a+T

a

12
|f (x)| dx .
2

On montre que les fonctions exponentielles en (x) = e2iπxn/T forment une base orthonormale de L2 ([a, b]), c’est-`a-dire qu’elles v´erifient

1 si n = m
hen , em i =
0 si n 6= m
Ainsi, pour un “vecteur” f de l’espace vectoriel L2 ([a, b]), on peut trouver ses “coordonn´ees” fn (dans cette base d’exponentielles complexes) :
f (x) =

+∞
X

fn en (x) =

n=−∞

+∞
X

fn e2iπxn/T

n=−∞


efinition 3.1.4. Les coordonn´ees fn de f dans la base orthonormale des fonctions
exponentielles complexes ne sont autres que les coefficients de Fourier complexes de
f , not´es aussi cn (voir paragraphe 3.1.3) :
Z
1 a+T
fn = hf, en i =
f (x)e−2iπxn/T dx = cn .
T a
P
On a aussi
|fn |2 = hf, f i = kf k2 (Bessel-Parseval).

Remarque 3.1.4. L’ensemble des coefficients cn d´etermine la repr´esentation fr´equentielle de la fonction p´eriodique f . Cette repr´esentation n’est pas une fonction continue mais discr`ete : on parle de spectre de raies. En traitement du signal, on parle
aussi de fr´equences (fondamentale et harmoniques) qui correspondent a` des fonctions
cosinus ou sinus, oscillant plus ou moins vite, pr´esentes dans la s´erie de Fourier du
signal.

Regardons maintenant l’extension de la s´erie de Fourier d’une fonction p´eriodique
`a la transform´ee de Fourier d’une fonction quelconque.
28

3.2


efinition de la transform´
ee de Fourier et exemples


efinition 3.2.1. Soit f une fonction complexe de la variable r´eelle x. On appelle
transform´ee de Fourier de f (x), la fonction complexe de la variable r´eelle ν d´efinie
par :
Z
b
F[f (x)](ν) = f (ν) =
f (x) e−2iπνx dx.
IR
On remarque que si ni f , ni son support ne sont born´es, l’int´egrale n’a pas toujours
un sens.
Proposition 3.2.1 (Conditions suffisantes d’existence). Soit f une fonction sommable. Alors

Z
b
|f (x)| dx
f (ν) ≤
IR
et fb existe et est born´ee. Le th´eor`eme de Lebesgue appliqu´e a` la continuit´e des
int´egrales d´ependant d’un param`etre permet de montrer que fb est continue en ν si f
est sommable. De plus, on montre que |fb(ν)| tend vers 0 quand |ν| tend vers l’infini
(se souvenir du comportement des coefficients de Fourier `a l’infini).

Dans tout le chapitre, on consid`ere des fonctions sommables, ce qui est tr`es
restrictif.

3.2.1

Exemples

Exemple (1). Soit Π(x) la fonction porte de largeur 1 centr´ee,

0 si |x| ≥ 21
Π(x) =
1 si |x| < 12
Elle est sommable puisqu’`a support born´e
Z 1
2
sin(πν) d´ef
ˆ
= sinc (πν).
e−2iπνx dx =
Π(ν) =
πν
− 12
Cette fonction n’est que localement sommable, en effet la TF n’est pas une application de L1 dans L1 . On remarque qu’elle appartient `a L2 , tout comme la fonction
porte.
Plus g´en´eralement, ΠT (x) fonction porte de largeur T , centr´ee et de hauteur 1 :

0 si |x| ≥ T2
ˆ T (ν) = sin(πνT ) = T sinc (πνT )
ΠT (x) =
et
Π
T
1 si |x| < 2
πν
29

2.5

1.5

2

1

1.5

0.5

1

0

0.5

−0.5

0
−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

−1
−4

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figure 3.1 – Graphe de la fonction porte de largeur 1 et de sa TF.
Exemple (2). Soit f (x) = e−a|x| , sommable si a > 0, sa transform´ee de Fourier est
alors :
Z 0
Z +∞
2a
(a−2iπν)x
fb(ν) =
.
e
dx +
e−(a+2iπν)x dx = 2
a + 4π 2 ν 2
−∞
0

On remarque que la TF est sommable.

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0
−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

0
−4

4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figure 3.2 – Graphe de la fonction e−3|x| et de sa TF.
2

Exemple (3). Soit la fonction f (x) = e−πx , sommable, on admet que sa transform´ee
de Fourier est
Z
2
2
b
f (ν) =
e−π(x +2iνx) dx = e−πν
IR
La transform´e de Fourier d’une gaussienne est donc une gaussienne.
Ces fonctions gaussiennes interviennent en particulier pour mod´eliser un faisceau
gaussien ou une densit´e de probabilit´e gaussienne.
30

1.5

3

2.5

1

2

1.5

0.5

1

0.5

0
−3

−2

−1

0

1

2

0
−3

3

−2

Figure 3.3 – Graphe de la gaussienne e−x

−1

2 /2

0

1

2

3

et de sa TF.

2

Preuve. Soit la fonction f (x) = e−πx , sommable, on ´ecrit :
Z +∞+iν
2
−πν 2
b
f (ν) = e
e−πz dz
−∞+iν

2

o`
u z = x + iν. Pour ν fix´e, on doit int´egrer la fonction holomorphe g(z) = e−πz sur
une parall`ele `a l’axe Ox du plan complexe. On utilise le th´eor`eme de Cauchy sur
un rectangle ferm´e de longueur 2R et de largeur ν. Quand R tend vers l’infini, on
obtient :
Z
Z
+∞+iν

+∞

2

e−πz dz =

−∞+iν

2
c’est-`a-dire fb(ν) = e−πν , puisque

3.3

Z

2

e−πx dx

−∞

+∞

2

e−πx dx = 1.
−∞

Transformation de Fourier inverse


efinition 3.3.1. On peut d´efinir une transform´ee de Fourier inverse pour une
fonction g sommable par
Z
F[g(ν)](x) =
g(ν) e2iπνx dν.
IR
On note aussi F −1 .

3.3.1

Probl`
eme d’inversion

Si g = fb, et f sommable, le th´eor`eme de Fubini permet de retrouver f par
transform´ee inverse de g. Cependant ce n’est qu’une ´egalit´e presque partout puisque
31

l’on consid`ere l’int´egrale de Lebesgue. Ainsi, le th´eor`eme d’inversion n’est exact en
tout point que si f et fb existent et sont continues. On a vu qu’elles existent si elles
sont sommables et cela implique fb et f continues. Cependant, ces conditions de
sommabilit´e sur f et fb sont tr`es restrictives.

3.3.2

Interpr´
etation physique

Lorsqu’on ´ecrit
f (t) =

Z

IR

fb(ν) e2iπνt dν,

o`
u t est le temps , f (t) est la superposition d’une infinit´e de signaux sinuso¨ıdaux.
Les dimensions de ν sont inverses de celles de t, c’est une fr´equence.

3.4

Propri´
et´
es des transform´
ees de Fourier

La transform´ee de Fourier est lin´eaire et en particulier la TF d’une somme est la
somme des TF.
On note fb la transform´ee de Fourier de f (x).

3.4.1

Translation, modulation, changement d’´
echelle

Transform´
ee de Fourier de f (−x)

F[f (−x)](ν) =

Z

IR

f (−x) e

−2iπνx

dx =

Z

IR

f (x) e2iπνx dx = fb(−ν)

Si f est paire alors f (−x) = f (x) et fb(−ν) = fb(ν), c’est-`a-dire fb est paire. De
mˆeme, si f est impaire alors fb est impaire. La transform´ee de Fourier conserve la
parit´e.
Transform´
ee de Fourier de f (x − a)

F[f (x − a)](ν) =

Z

IR

−2iπνx

f (x − a) e

−2iπνa

dx = e

Z

IR

f (x) e−2iπνx dx = e−2iπνa fb(ν)

La transform´ee de Fourier transforme la translation en modulation.
32

Transform´
ee de Fourier de e2iπν0 x f (x)
F[e

2iπν0 x

f (x)](ν) =

Z

f (x) e−2iπ(ν−ν0 )x dx = fb(ν − ν0 )

IR
La transform´ee de Fourier transforme la modulation en translation.
Transform´
ee de Fourier de f (ax)

F [f (ax)](ν) =

Z

IR

f (ax) e

−2iπνx

Z
ν
1
1 bν
f (x) e−2iπ a x dx =
f( )
dx =
|a| IR
|a| a

Transform´
ee de Fourier de f ∗ (x), conjugu´
e complexe de f
F [f ∗ (x)](ν) = (fb)∗ (−ν)
Z

En effet, soit g(x) = f (x), on a b
g (ν) =
f ∗ (x) e−2iπνx dx, donc
IR
Z
(b
g )∗ (ν) =
f (x) e2iπνx dx = fb(−ν)
IR

3.4.2


eriv´
ees et majorations

Transform´
ee de Fourier de la d´
eriv´
ee f ′ (x)
F[f ′ (x)](ν) = 2iπν fb(ν).

Preuve. En effet, on suppose f sommable, continue et d´erivable et g = f ′ sommable.
Z
g (ν) =
b
f ′ (x) e−2iπνx dx
IR
En int´egrant par parties , on trouve
g (ν) =
b

Or f (x) = f (0) +

Z

x



+∞
f (x) e−2iπνx −∞

+

Z

IR

2iπνf (x) e−2iπνx dx

f ′ (u) du. f ′ ´etant sommable, f tend donc vers une limite

0

finie quand x tend vers ±∞. Mais comme f est sommable cette limite ne peut ˆetre
non nulle. Ainsi f (−∞) = f (+∞) = 0. D’o`
u le r´esultat, b
g (ν) = 2iπν fb(ν), avec
g = f ′.
33

La transform´ee de Fourier transforme l’op´eration de d´erivation par rapport a` x en
une multiplication par 2iπν. On verra comment r´esoudre des ´equations diff´erentielles
en utilisant cette propri´et´e.
Remarque 3.4.1. On obtient une majoration int´eressante :
Z
Z



−2iπνx
|f ′ (x)| dx
dx ≤
|2πν fb(ν)| = f (x) e
IR
IR
Plus g´en´eralement, si f admet des d´eriv´ees sommables jusqu’`a l’ordre m, alors :
et

F [f (m) (x)](ν) = (2iπν)m fb(ν),

|2πν| |fb(ν)| ≤
m

Z

IR

|f (m) (x)| dx

Proposition 3.4.1. Plus f (x) est d´erivable, avec des d´eriv´ees sommables, plus fb
A
. Si f est
d´ecroˆıt rapidement `a l’infini. Pour ν suffisamment grand, |fb(ν)| ≤
|ν|m
1
C ∞ , fb d´ecroˆıt plus vite que toute puissance de
quand ν tend vers l’infini.
|ν|

Transform´
ee de Fourier de xf (x)

F [−2iπxf (x)](ν) =
Preuve.
fb(ν) =

Z

dfb(ν)
.


f (x) e−2iπνx dx

IR
Il est possible de d´eriver sous le signe somme si l’int´egrale obtenue est uniform´ement
convergente par rapport `a ν lorsque ν parcourt un intervalle fini. Cela est le cas si
xf (x) est sommable.
Z
dfb(ν)
=
− 2iπxf (x) e−2iπνx dx.

IR
Remarque 3.4.2. Plus g´en´eralement, si xm f (x) est sommable, alors fb(ν) est m-fois
d´erivable :
dm fb(ν)
F[(−2iπx)m f (x)](ν) =
,
dν m
et
Z
(m)
|fb (ν)| ≤
|2πx|m |f (x)| dx
IR
34

Proposition 3.4.2. Plus f (x) d´ecroˆıt rapidement quand |x| tend vers l’infini, plus
fb est d´erivable (avec des d´eriv´ees born´ees). Si f d´ecroˆıt plus vite que toute puissance
1
de
quand x tend vers l’infini alors fb est C ∞ .
|x|

3.5

Transform´
ee en cosinus et sinus

Soit f (t) = fp + fi la d´ecomposition de f en partie paire et impaire
f (t) + f (−t)
2

fp (t) =

et

fi (t) =

f (t) − f (−t)
2

Si la TF existe, elle est lin´eaire et on a
fb(ν) = 2

Z

+∞

fp (t) cos(2πνt) dt − 2i

0

Z

= F cos [fp (t)](ν) − iF sin [fi (t)](ν)

+∞

fi (t) sin(2πνt) dt

0


efinition 3.5.1. On appelle transform´ees en cosinus et en sinus d’une fonction f ,
les int´egrales suivantes
Z +∞
F cos [f (t)](ν) = 2
f (t) cos(2πνt) dt
0

F sin [f (t)](ν) = 2

Z

+∞

f (t) sin(2πνt) dt

0

Remarque 3.5.1. Soit fb la TF d’une fonction f

— Si f est paire alors fi = 0 et fb est paire,
— Si f est impaire alors fp = 0 et fb est impaire,

— Si f est r´eelle et paire alors fb est r´eelle et paire,
— Si f est r´eelle et impaire alors fb est imaginaire et impaire,
— Si f est r´eelle, les parties r´eelles et imaginaires de fb peuvent ˆetre calcul´ees
s´epar´ement.

3.6

Convolution et transformation de Fourier

Proposition 3.6.1. Soient f et g deux fonctions sommables telles que f ∗ g existe
et est sommable, alors
F (f ∗ g) = F(f )F(g)
35

Preuve. On ´ecrit
F(f ∗ g)(ν) =

Z Z


f (x)g(t − x) dx e−2iπνt dt,

les fonctions ´etant sommables, on peut appliquer Fubini
Z
Z
= f (x) g(t − x)e−2iπνt dx dt

on change t − x en y

=

Z

f (x)e

−2iπνx

dx

Z

g(y)e−2iπνy dy

Exemple. On montre que la convolution d’une fonction porte ΠT de largeur T et
hauteur 1, par elle-mˆeme, donne la fonction triangle de hauteur T et de largeur 2T :

|t|
T − |t| si |t| ≤ T
ΠT ∗ ΠT (t) = ∧T (t) = T ∧1
=
T
0 sinon
En appliquant la proposition pr´ec´edente, la TF de ∧T est
2

sin(πT ν)
2
F [∧T ](ν) = (F[ΠT ](ν)) =
,
πν
´evitant ainsi le calcul direct.

3.7

Transform´
ee de Fourier dans IR3

En optique, en ´electromagn´etisme, les ph´enom`enes sont d´ecrits dans IR2 ou IR3 .
Ainsi la transform´ee de Fourier se g´en´eralise `a une fonction de plusieurs variables.

efinition 3.7.1. Soit x = (x1 , x2 , x3 ) et ν = (ν1 , ν2 , ν3 ) deux points de IR3 . Pour
une fonction f (x) sommable dans IR3 , on d´efinit la transform´ee de Fourier de f
not´ee, fb(ν) par
ZZZ
b
f (ν) =
f (x1 , x2 , x3 ) e−2iπhν,xi dx1 dx2 dx3
avec hν, xi = ν1 x1 + ν2 x2 + ν3 x3 .

Les propri´et´es sont du mˆeme type que celles qui correspondent au cas d’une
variable.
36

Exercice. D´emontrer les propri´et´es 5.3.1 pour n = 3.
Remarque 3.7.1. En particulier, si f (x1 , x2 , x3 ) = f1 (x1 )f2 (x2 )f3 (x3 ), on a
fb(ν) = fb1 (ν1 )fb2 (ν2 )fb3 (ν3 )

puisque

−2iπhν,xi

e

=

3
Y

e−2iπνi xi

i=1

Les propri´et´es de la Transform´ee de Fourier sont largement utilis´ees en traitement du signal et filtrage (voir polycopi´e de TC101F). En optique de Fourier, il est
possible d’illustrer visuellement ces propri´et´es `a l’aide d’un dispositif (montage 4f
par exemple). Toujours dans le cadre du cours TC101F, vous verrez ces d´emonstrations ainsi que les nombreuses applications industrielles ou grand public des ´el´ements
optiques diffractifs (EOD).

3.8

Transformation de Fourier dans L2

Cet espace joue un rˆole important en physique puisqu’il correspond a` des signaux
d’´energie finie.

3.8.1

L’espace L2

On rappelle (D´efinition 1.2.3.) que L2 est l’espace des fonctions d’une variable
r´eelle a` valeurs complexes de carr´e sommable, quotient´e par la relation d’´equivalence
“´egale presque partout” afin d’obtenir une norme d´efinie par
kf kL2 =

3.8.2

Z

21
|f (x)| dx .
2

Relation de Parseval-Plancherel

Proposition 3.8.1. Soient f et g, deux fonctions de L2 (IR), on a la relation suivante entre les domaines temporel et fr´equentiel :
Z
Z

f (x)g (x) dx = F(f )(ν)F ∗ (g)(ν) dν.
Si f = g, alors
l’´energie.

Z

2

|f (x)| dx =

Z

|F(f )(ν)|2 dν On dit qu’il y a conservation de

37

Preuve.

R

d’o`
u le r´esultat.

3.8.3

f (x)g ∗ (x) dx = [F (f g ∗)(ν)]ν=0
=
[FZ(f )(ν) ∗ F ∗ (g)(−ν)]ν=0
F(f )(t)F ∗ (g)(t − ν) dt
=
Z
ν=0

= F (f )(t)F (g)(t) dt

Transformation de Fourier dans L2(IR)

Proposition 3.8.2. Si une fonction f est dans L2 alors sa transform´ee de Fourier
fb est aussi dans L2 .
Preuve. Si on admet que fb est une fonction alors l’´egalit´e de Parseval permet de
conclure. (Pour une preuve plus d´etaill´ee voir [Choquet-Bruhat, p. 74].)

Proposition 3.8.3. On montre que la transformation de Fourier est un op´erateur
lin´eaire et continu de L2 dans L2 .
Remarque 3.8.1. Attention, si f est une fonction continue de L2 admettant une
transform´ee de Fourier, celle-ci n’est pas continue sur IR a priori (exemple du sinus
cardinal).
Dans L2 , la transform´ee de Fourier au sens des fonctions n’existe pas forc´ement car
f ∈ L2 mais peut-ˆetre que f ∈
/ L1 .
Par contre, pour les espaces locaux, on a l’inclusion L2 ([a, b]) ⊂ L1 ([a, b]).

38

Chapitre 4
Th´
eorie ´
el´
ementaire des
distributions
4.1
4.1.1


efinition des distributions
Introduction

Les fonctions math´ematiques sont largement utilis´ees pour d´ecrire et mod´eliser
des ph´enom`enes physiques. Cependant si on consid`ere des ph´enom`enes de dur´ee
tr`es courte (par exemple des impulsions), il est difficile de trouver une fonction qui
mod´elise bien ce ph´enom`ene. Donnons un exemple concret qui montre les limites de
la notion de fonctions.
Un exemple en ´
electrostatique
Introduisons tout d’abord une fonction qui aura un rˆole important en traitement
de signal comme en physique.

efinition 4.1.1 (La fonction porte). On appelle “fonction porte” et on note Π(x)
la fonction d´efinie par

0 si |x| ≥ 1/2
Π(x) =
1 si |x| < 1/2
Soit une densit´e de charge ρk (x) = kΠ(kx) en ´electrostatique. La charge totale
d’un
support lin´eaire est donn´ee par l’int´egrale de ρk sur ce support, c’est-`a-dire
Z

ρk (x) dx = 1 car ind´ependante de k.
IR
Essayons de mod´eliser une charge totale concentr´ee `a l’origine. Cela revient a` faire
39

tendre k vers l’infini. Le ph´enom`ene est alors mod´elis´e par une fonction presque partout nulle. Sur l’ensemble n´egligeable repr´esent´e par le point origine, cette fonction
a une valeur infinie. Le graphe de ρk est repr´esent´e par la figure 4.1.

50

40

30

20

10

0
−1

−0.5

0

0.5

1

Figure 4.1 – Fonctions ρk pour k = 1, 4, 10, 20 et 50.


efinition 4.1.2. On note delta “l’objet” d´efini par
delta(x) =

et v´erifiant

Z

IR



0
+∞

si x 6= 0
si x = 0

delta(x) dx = 1.

Vers un nouveau cadre th´
eorique
Cet objet delta, manipul´e en tant que fonction donne des r´esultats absurdes. En
effet, delta est une fonction presque partout nulle, d’int´egrale ´egale a` 1, or on sait
que l’int´egrale d’une fonction presque partout nulle est nulle. Ainsi, delta ne peut
ˆetre une fonction. Cependant Paul Dirac introduit cet objet en 1935, ce qui permet
de mod´eliser les ph´enom`enes physiques auxquels sont confront´es les physiciens. Ils
savent qu’un objet tel que delta existe, mais le cadre th´eorique dans lequel il est
utilis´e n’est pas satisfaisant et son utilisation implique des abus d’´ecriture.
Pendant dix ans les physiciens travailleront sans mod´elisation math´ematique correcte et en 1945, Laurent Schwartz, grand math´ematicien fran¸cais qui ´etudie alors,
entre autres choses, certains espaces vectoriels topologiques, introduit la notion de
40

distributions. Le cadre th´eorique est construit peu `a peu, les abus d’´ecriture disparaissent et l’objet delta, maintenant not´e δ (prononcer distribution Dirac), a alors
une d´efinition rigoureuse et y prend une place centrale. La d´erivation et l’int´egration
deviennent aussi plus simples. Finalement, ce cadre th´eorique complexe permet de
“manipuler” beaucoup plus simplement et ´el´egamment les outils de traitement du
signal et de la physique en g´en´eral.
Etant donn´ee la complexit´e de la th´eorie g´en´erale des distributions qui commence par l’´etude des fonctionnelles sur des espaces vectoriels topologiques, nous
nous restreindrons `a une pr´esentation simplifi´ee qui implique l’admission de certains
r´esultats. Cependant, nous esp´erons ne pas tomber dans le pi`ege de la pr´esentation
catalogue des seules formules utiles pour les cours de traitement du signal et d’´electromagn´etisme. Entre les deux extrˆemes, il y a place pour plusieurs cheminements.
Voici celui qui a ´et´e choisi.

4.1.2

D, espace des fonctions test

Une fonction est d´efinie par le r´esultat de son application `a tout un ensemble de
| n.
valeurs de IRn ou C
Notion de fonctionnelle

efinition 4.1.3. Une fonctionnelle est d´efinie par le r´esultat de son application a`
tout un ensemble de fonctions appel´ees fonctions test ou fonctions d’essai.
Autrement dit, une fonctionnelle est une fonction de fonctions (test). On peut faire
en sorte de choisir un ensemble de fonctions test afin d’obtenir le maximum de fonctionnelles ayant une propri´et´e donn´ee (par exemple la continuit´e). Dans ce cas, plus
les fonctions test ob´eiront `a des conditions s´ev`eres de r´egularit´e, plus les fonctionnelles, d´efinies sur elles, seront g´en´erales.

efinition 4.1.4 (Support d’une fonction). Pour une fonction f de la variable r´eelle
localement sommable, le compl´ementaire du plus grand ouvert dans lequel f est nulle
(presque partout), est appel´e le support de f et not´e K = Supp f . Si K est born´e,
on dit que f est `a support born´e (voir [Bony, p. 115]).
Remarque 4.1.1. Pour une fonction continue, Supp f est l’adh´erence de l’ensemble
des points x ∈ IR pour lesquels f (x) 6= 0.
Notation. On note D p , p = 0, 1, . . . , ∞, l’ensemble des fonctions C p (IRn ) a` support
born´e. Si p = ∞, on note D ∞ = D.
41

Les fonctions test
Remarque 4.1.2. D est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions a`
valeurs complexes d´efinies sur IRn .
Pour une fonction ϕ ∈ D, le plus petit ferm´e born´e K de IRn en dehors duquel ϕ est
nulle est appel´e le support de ϕ. Cet ensemble K existe et est diff´erent pour chaque
fonction ϕ.

efinition 4.1.5. Dans la th´eorie des distributions, l’ensemble des fonctions test
est not´e D, c’est l’ensemble des fonctions ϕ(x) (x ∈ IRn ) `a valeurs complexes, ind´efiniment d´erivables et `a support born´e.
Exemple. Si n = 1, la fonction ϕ d´efinie par

 0
si |x| ≥ 1
−1
ϕ(x) =
 exp
si |x| < 1
1 − x2

appartient `a D. C’est la fonction exhib´ee par L. Schwartz pour montrer que D n’est
pas vide.
1

0.03

0.9
0.025

0.8
0.7

0.02

0.6
0.5

0.015

0.4
0.01

0.3
0.2

0.005

0.1
0
−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

0
0.85

1.5

0.9

0.95

1

1.05

Figure 4.2 – Exemple de fonction test et zoom au point x = 1.

Propri´
et´
es de D
Nous ´enon¸cons sans d´emonstration
• D est un espace vectoriel de dimension infinie.
• Si ϕ appartient `a D, alors toutes ses d´eriv´ees appartiennent a` D.
• Si ϕ appartient `a D et si α est ind´efiniment d´erivable (on note α ∈ C ∞ et on
dit que α est de classe C ∞ ), alors le produit αϕ appartient a` D.
42

Notion de convergence sur D

efinition 4.1.6. Soit ϕj une suite de fonctions appartenant a` D. On dit qu’elle
converge vers une fonction ϕ au sens de la topologie de D, lorsque j → ∞ si
i) les supports des ϕj sont tous contenus dans un mˆeme ensemble born´e K
ind´ependant de j,
ii) les d´eriv´ees de chaque ordre des ϕj convergent uniform´
ement vers les
d´eriv´ees correspondantes de ϕ.
Il s’agit l`a d’une convergence tr`es forte.
D
Notation. On note cette notion de convergence dans D par ϕj −−−−→ ϕ.
j→∞

4.1.3

D′ , espace des distributions


efinition 4.1.7. On appelle distribution T, toute fonctionnelle lin´eaire continue
sur D.
Cela signifie qu’`a toute fonction ϕ de D, T associe le nombre complexe T(ϕ), not´e
aussi hT, ϕi avec les propri´et´es de lin´earit´e et de continuit´e sur D
– Lin´earit´e. hT, ϕ1 + ϕ2 i = hT, ϕ1 i + hT, ϕ2 i
– Lin´earit´e. hT, λϕi = λ hT, ϕi, λ ´etant une constante complexe,
– Continuit´e. Si ϕj converge vers ϕ lorsque j → ∞ au sens de la convergence
dans D, la suite de nombres complexes hT, ϕj i converge vers le nombre complexe hT, ϕi lorsque j → ∞. On note
D
ϕj −−−−→ ϕ
j→∞

=⇒

lim |hT, ϕj − ϕi| = 0.

j→∞

Remarque 4.1.3. On peut toujours consid´erer une suite de fonctions ϕj convergeant
vers 0 au sens de la topologie de D (d´efinition 4.1.6.).
Notation. Les distributions forment un espace vectoriel not´e D ′ . C’est une partie de
l’espace dual de D, ensemble de toutes les fonctionnelles lin´eaires sur D, continues
ou non.
Remarque 4.1.4. En pratique, pour montrer qu’une fonctionnelle T sur D est une distribution, on peut se contenter de montrer que T est lin´eaire. En effet, on n’a jamais
explicit´e de fonctionnelles lin´eaires non continues sur D. On d´emontre seulement
th´eoriquement qu’elles existent.
La notion de distributions d´efinit un nouvel objet math´ematique. Celui-ci a ´et´e
introduit afin de r´esoudre certains probl`emes pour lesquels la notion de fonction ´etait
insuffisante. Ainsi, les distributions ne “remplacent” pas les fonctions mais ´etendent
43

plutˆot leurs possibilit´es tout en conservant l’acquis math´ematique les concernant.
Elles sont en quelque sorte une g´en´eralisation des fonctions. Nous allons voir qu’il
existe des distributions tr`es li´ees `a la notion de fonctions, nous les appelerons distributions r´
eguli`
eres, puis d’autres qui sont des objets compl`etement nouveaux,
appel´es distributions singuli`
eres dont l’objet δ.
Remarque 4.1.5. Dans un premier temps et, afin de simplifier les formules, on se
place dans IR. Si x ∈ IRn , il faut consid´erer des int´egrales multiples, des d´eriv´ees
partielles et les ensembles born´es K sont des born´es de IRn . A la fin du chapitre,
nous travaillerons dans IR3 , ce qui permettra d’illustrer ces notions par des exemples
concrets de la physique.
Les distributions r´
eguli`
eres

efinition 4.1.8 (Distributions r´eguli`eres). A toute fonction f localement sommable, on associe la distribution r´eguli`ere not´ee Tf , d´efinie par
Z

ef
∀ϕ ∈ D hTf , ϕi =
f (x) ϕ(x) dx
IR
Cette int´egrale a bien un sens puisque l’on int`egre sur K, le support de ϕ, la fonction localement sommable f ϕ. L’int´egrale d´efinit bien une fonctionnelle lin´eaire par
rapport `a ϕ.
Exercice. Montrer que cette fonctionnelle est bien continue sur D.
Proposition 4.1.1. Deux fonctions localement sommables f et g, d´efinissent la
mˆeme fonctionnelle Tf = Tg si et seulement si elles sont presque partout ´egales.
p.p.

Preuve. Si f = g, alors on a Tf = Tg d’apr`es la d´efinition et les propri´et´es de
l’int´egrale de Lebesgue. Pour la r´eciproque, voir [Schwartz, p. 80].
Notation. Cela revient `a ne parler que de classes de fonctions presque partout ´egales
et la distribution Tf est alors associ´ee `a la classe de fonctions presque partout ´egales
`a f . On dit que c’est une distribution r´
eguli`
ere.
Notation. Pour all´eger l’´ecriture, on confond souvent f avec Tf et on ´ecrit
Z
∀ϕ ∈ D, hf (x), ϕ(x)i =
f (x) ϕ(x) dx
IR
Ainsi jusqu’`a pr´esent f (x) pouvait signifier
— la valeur (r´eelle ou complexe) que prend la fonction f en x,
44

— la fonction f de la variable x,
sans aucune confusion pour les esprits. Maintenant f (x) ´ecrit dans un crochet de
dualit´e, hf (x), ϕ(x)i, signifie la distribution Tf associ´ee, x ´etant l`a pour rappeler
que c’est la variable des fonctions test ϕ.
Exemple. Consid´erons la fonction cosinus. Elle est continue, non sommable mais
localement sommable. On peut lui associer une distribution r´eguli`ere Tcos que nous
notons cos pour simplifier, et d´efinie par
Z
∀ϕ ∈ D, hcos(x), ϕ(x)i =
cos(x) ϕ(x) dx
IR
A l’int´erieur des crochets, cos est la distribution r´eguli`ere. Sous l’int´egrale, il s’agit
de la fonction trigonom´etrique cosinus repr´esentant la classe des fonctions presque
partout ´egales `a cos(x).
Remarque 4.1.6. L’existence des distributions r´eguli`eres montrent que la notion de
distribution g´en´eralise la notion de fonction.
Notation. Une distribution T qui n’est pas associ´ee `a une fonction localement sommable, est une distribution singuli`ere.
Voici maintenant trois exemples de distributions singuli`
eres.
La distribution singuli`
ere Dirac

efinition 4.1.9. La distribution de Dirac au point a, est not´ee δa et est d´efinie
par
∀ϕ ∈ D,


ef

hδa , ϕi = ϕ(a)

Au point origine on note δ
∀ϕ ∈ D,

hδ, ϕi = ϕ(0)

Remarque 4.1.7. Pour que δa soit une fonctionnelle lin´eaire et continue, il suffit que
ϕ soit continue en a. Ainsi l’ensemble D des fonctions test est l’ensemble commun a`
toutes les distributions mais certaines d’entres elles ont aussi un sens lorsqu’on les
applique `a des fonctions test moins restrictives.
Exercice. Montrer qu’il n’existe aucune fonction sommable associ´ee a` δ, c’est une
distribution singuli`ere.

45

5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−2

−1

0

1

2

3

4

5

Figure 4.3 – Repr´esentation d’un Dirac en a = 3.
La distribution singuli`
ere Peigne de Dirac
Toute combinaison lin´eaire de distributions de Dirac est aussi une distribution.
On peut citer en particulier la distribution “peigne de Dirac”, not´ee ∐∐, d´efinie par
+∞
X
∐∐ =
δn , avec n entier. Cette distribution est tr`es utilis´ee en traitement de
n=−∞

signal, notamment pour ´echantillonner un signal.
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−10

−5

0

5

10

Figure 4.4 – Repr´esentation d’un Peigne de Dirac.

46


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