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exemples limites .pdf



Nom original: exemples limites .pdf
Auteur: DELL

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LIMITES ,Continuité et dérivabilité

EXEMPLE 1
Soit la fonction f définie sur 0,1 par
f(x)=

x 1
si x  0,1
ln x

f(0)=0 et f(1)=1
a)Continuité de f sur 0,1
les fonctions g(x) =x-1 et h(x)= lnx sont continues sur 0,1 et lnx  0 ,
Donc  x  0,1 la fonction f est continue sur 0,1

lim f(x) = lim
x 0

x 0

x 1
= 0 = f(0)
ln x

Donc f est continue à droite en 0

lim f(x) = lim
x 1

x 1

x 1
=
ln x

lim
x 1

1
= 1 = f(1)
ln x
x 1

Donc f est aussi continue à gauche en 0
Conclusion : f est continue en 0,1
b) dérivabilité de f sur 0,1

 x  0,1 :

lim
x 0

f ( x )  f (o)
x 1
=
x
x ln x

( x  1)
f ( x )  f (o)
x  1 lim
x 0
= lim
=
= +
x
x 0 x ln x
lim( x ln x)
x 0

Donc f n’est pas dérivable à droite en 0

EXEMPLE 2
Soit f la fonction définie sur 0,  par :

f(x) =

ex 1
x

si x>0

f(0)=1
a) Continuité de f en 0 :

lim
x 0

ex 1
= 1 =f(0) donc f est continue à droite en 0
x
b) dérivabilité de f en 0 :

 x  0,  et pour t  0,  on pose g(t)=(
g(t) est dérivable sur 0,  et g’(t)=2

ex  x 1 2 t
) t - e +1
x2

ex  x 1 t
t- e
x2

g(t) est continue sur 0, x  et g(t) est dérivable sur 0, x
alors il existe un réel c tel que

g ( x )  g (0)
=g’(c)
x

or g(x)=g(0) donc il éxiste c  0, x tel que
2(

ex  x 1
e x  x  1 ec  1
c

)c+1
=
e
 x  0, 
x2
x2
2c

Or  x  0,  on a :

f ( x )  f (o) e x  x  1 e c  1
=
=
avec c  0, x
x2
x
2c

Lorsque x→ 0 on a c→ 0 donc

lim
x 0

f ( x )  f (o)
ec  1 1
= lim
=
x
2
2c
c 0

Il en résulte que f est dérivable à droite en 0 et f’(x)d(o)=
Soit la fonction f définie sur 0,1 par :
f(x)=(1- e x )lnx pour 0 <x  1
f(0)=0
a)continuité de f sur 0,1

1
2

f est continue sur 0,  , en particulier sur 0,1
donc f est continue sur 0,1

1  ex
(1- e )lnx = lim (
)
lim
x
x 0
x 0
x

Donc

e x  1
xlnx = lim (
)
xlnx = 1×0 =0
lim
 x lim
x 0
x 0
x 0

lim f(x)=f(0) et par suite f est continue sur 0,1
x 0

c) dérivabilité de f sur 0,1
f est dérivable sur 0,  , en particulier sur 0,1
donc f est dérivable sue 0,1

 x  0,1 ,

lim
x 0

f ( x )  f (o) 1  e x
=
lnx et on a :
x
x

f ( x )  f (o)
1  ex
= lim
x
x
x 0

lim lnx= 1×(-  )=- 
x 0

Conclusion : f n’est pas dérivable à droite en 0

lim
x 0

e2 x  e x
x
=

lim
x0

e3 x  1
e3 x  1
x
e (
) = lim (3 e ) (
)= 3×1=3
lim
x
3x
x 0
x 0
x

e x  e x
e2 x  1
ex 1 ex  1
= lim
= lim (
)( x )=2
x
xe x
x
e
x0
x0

Soit x 

e2 x  2
tel que
>0
ex 1

x
x
e2 x  2
x e  2e
e
ln( x
)=
ln(
)= lim x +
lim
e  1 lim
1  e x
x
x
x

Or

lim ln(
x

e x  2e x
)=+  donc
1  e x

lim ln(
x

e x  2e x
ln(
)
lim
1  e x
x

e2 x  2
)=+ 
ex 1


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