TD2 .pdf



Nom original: TD2.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par TeX / pdfTeX-1.11a, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 01/10/2017 à 07:25, depuis l'adresse IP 41.96.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 696 fois.
Taille du document: 80 Ko (3 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)










Aperçu du document


Université Abdelhamid Ben Badis - Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AnalyseI
Responsable : Prof. Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 2
(02 Octobre 2017)

Extrémums - Bornes
Dans presque tous les exercices, vous pouvez utiliser les faits suivants sans
preuve :
inf([a; b]) = min([a; b]) = a; sup([a; b]) = max([a; b]) = b:
inf(]a; b]) = a; ]a; b] n’a pas un minimum; sup(]a; b]) = max(]a; b]) = b:
inf([a; b[) = min([a; b[) = a; sup([a; b[) = b; [a; b[ n’a pas un maximum.
inf(]a; b[) = a; ]a; b[ n’a pas un minimum; sup(]a; b[) = b; ]a; b[ n’a pas un
maximum.
Exercise 1 Au cours, nous avons a¢ rmé que la notion de borne supérieure
est une généralisation de la notion de maximum. Il s’avère que si le maximum
d’un ensemble existe, alors la borne supérieure est ce maximum. Véri…ez ceci
en montrant que si S est un sous-ensemble non vide de R avec maximum s0 ,
alors sup S = s0 :
Exercise 2 Soit S un sous-ensemble non vide et majoré de R.
(a) Prouvez que si sup S 2 S, alors sup S = max S.
(b) Prouvez que si sup S 2
= S, alors S n’a pas de maximum. (Un argument
identique montre que si inf S 2
= S, alors S n’a pas un minimum.)
Exercise 3 Soit S un sous-ensemble non vide et borné de R.
(a) Prouvez que inf S

sup S.

(b) Que pouvez-vous dire du nombre d’éléments dans S si inf S = sup S.
Exercise 4 Supposons que S et T sont des sous-ensembles non vides et bornés
de R:
(a) Prouvez que si S

T , alors inf T

inf S

sup S

sup T .

(b) Provez que sup(S [ T ) = maxfsup S; sup T g. (Remarque: pour cette partie,
n’assumez pas S T .)
1

Exercise 5 Considérons la proposition suivante:
Proposition 6 Tout sous-ensemble S non vide et minoré de R possède une
borne inférieure.
Les questions suivantes vous conduisent à la preuve de la proposition6.
(a) Supposons que S soit comme dans la proposition ci-dessus.
l’ensemble S = f s : s 2 Sg. Montrer que S est majoré.
(b) Prouvez que

S a une borne supérieure, sup( S).

(c) Prouvez que

sup( S) est la borne inférieure de S.

Dé…nissez

Exercise 7 Soit A et B des sous-ensembles bornés non vides de R. Dé…nissons
A + B = fa + b : a 2 A et b 2 Bg:
Montrez que
sup(A + B) = sup A + sup B:
Astuce: montrez que pour tout b 2 B, sup(A + B) b est un majorant pour
A. Donc sup A
sup(A + B) b pour tout b 2 B. Ensuite, montrer que
sup(A + B) sup A est un majorant de B.
Exercise 8 Soit S et T des sous-ensembles non vides de R avec la propriété
suivante:
s t pour tout s 2 S et t 2 T:
(a) Montrer que S est majoré et T est minoré. (Ceci est presque évident. Votre
preuve devrait être courte.)
(b) Montrez que sup S

inf T .

(c) Donnez un exemple de ces ensembles S et T avec S \ T non vide.
(d) Donnez un exemple de ces ensembles S et T où sup S = inf T et S \ T est
l’ensemble vide.
Exercise 9 Pour chacun des ensembles suivants, répondez aux questions suivantes: Est-il majoré? Si oui, quel est sa borne supérieure? Est-il minoré? Si
oui, quel est sa borne inférieure? Vous n’avez pas besoin de justi…er vos réponses.
p p
(a)
2; 2 ;
(b) f 1; 0; e; g ;
(c) f1g ;
(d) [1
n=1 [2n
(e)

1

1
n

1; 2n] ;

:n2N ;
2

(f )

x 2 R : x2 < 1 ;
1
n; 1

1
(g) \1
n=1
[ 1; 1])

+

1
n

; (Astuce : montrer que \1
n=1

1
n; 1

1

+

1
n

=

Exercise 10 Suivez les mêmes instructions que dans l’exercice9 pour les ensembles suivants :
(a)

1
n2

(b)

n
1+

:n2N ;
( 1)n
n

(c) fq 2 Q : q
(d)

q 2 Q : q2

(e) \1
n=1
(f )

o
:n2N ;

1 1
n; n

x 2 R : x3

0g ;

0 ;
;
2 ;

(g) fsin n : n 2 Ng

Propriété d’Archiméde et Densité de

Q

dans

R

Exercise 11 Etant donné a; b 2 R, considérez l’ensemble ]a; b]. Prouvez, en
utilisant les dé…nitions, l’existence ou l’inexistence du maximum, du minimum,
de la borne supérieure et, de la borne inférieure de cet ensemble.
Astuce: Si vous voulez prouver qu’un certain nombre s0 est la borne supérieure
d’un ensemble, vous pouvez procéder comme suit. Tout d’abord, montrer que s0
est un majorant. Ensuite, raisonnez par l’absurde et supposez qu’il existe un
autre majorant s1 qui est encore plus petit, s1 < s0 . Ensuite, indiquez qu’il y a
un élément dans l’ensemble plus grand que s1 . Cela contredit le fait que s1 était
un majorant. Par conséquent, s0 doit être le plus petit majorant.
Exercise 12 Prouvez que si a > 0, il existe n 2 N satisfaisant
Exercise 13 Soient a; b 2 R. Montrer si a
a b. (Comparez avec l’exercice3 du TD1.)

3

b+

1
n

1
n

< a < n.

pour tout n 2 N, alors


TD2.pdf - page 1/3
TD2.pdf - page 2/3
TD2.pdf - page 3/3

Documents similaires


td2
an1 td3
alg1 td6
controle continu analyse s1 et solution novembre 2018
ensembles structures algebriques
fiche13relationsordre


Sur le même sujet..