Résumé de cours angles orientés 3ème Maths et Sc exp .pdf


Nom original: Résumé de cours angles orientés 3ème Maths et Sc exp .pdfTitre: Lycée pilote Médenine Angles orientés ( 3ème Maths ) Prof : Habib Haj SalemAuteur: Asus

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Lycée pilote Médenine

Angles orientés ( 3ème Maths )

Prof : Habib Haj Salem

Définition (Ecriture de congruence)
Soit (x,y,z) Î IR3 et z ¹ 0.
On dit x congru y modulo z et on écrit x º y [z] si et seulement si x - y = kz avec k Î ¢ .

Remarque

L'écriture de congruence modulo z est une écriture qui néglige les multiples entiers de z.
ANGLE ORIENTE DE DEUX VECTEURS:
Théorème

ur ur

ur

ur uur

·

Soit u un vecteur non nul. On a : ( u $,u) º 0 [2π ] et ( u $, -u ) º π [2π ]

·

$ + v $,w [2π] ( Relation des
Soient u , v et w trois vecteurs non nuls. On a: ( u $,w ) º ( u,v
) ( )

ur ur

ur ur

ur

ur ur

ur ur

Chasles)
Théorème
ur

ur

Soient u et v deux vecteurs non nuls. On a:
ur ur

ur ur

1) ( u $,v ) º - ( v $,u) [2π ]
ur

ur

ur ur

2) ( u $, - v ) º π + ( u $,v ) [2π]
ur

ur

ur ur

3) ( -u,$ - v ) º ( u $,v ) [2π ]
Théorème
ur

ur

Soient u et v deux Vecteurs non nuls.
ur

ur

1/ u et v sont colinéaires de même sens

ur ur
Û u $,v º 0 [2π ]
ur
ur
2/ u et v sont colinéaires de sens contraires
ur ur
Û u $,v º π [2π]

( )
( )
ur

ur

ur ur

3/ u et v sont colinéaires Û ( u $,v ) º 0 [π] .
ur

ur

ur ur

4/ u et v sont orthogonaux Û ( u $,v ) º [π ]
π
2

2017-2018 Angles Orientés Prof : Habib Hadj Salem

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Lycée pilote Médenine

Angles orientés ( 3ème Maths )

Prof : Habib Haj Salem

Théorème
ur

ur

ur

ur

ur ur

ur

ur

Soient u et v deux vecteurs non nuls et (a, b) Î IR2. On a:
$
1/ (au,bv
) º (u $,v ) [2π] si ab > 0
ur ur

2/ (au $,bv ) º π + ( u $,v ) [2π ] si ab < 0
Théorème

(

ABC est un triangle quelconque. On a :

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
$
+ CA $, AB º π [2π ]
AB,$ AC + BC,BA

) (

) (

)

Définition (bissectrice)
A, B, C et D quatre points distincts du plan orienté.
uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

[AD) est la bissectrice de l'angle ( AB, AC ) si et seulement si ( AB,$ AD) º ( AD,$ AC) [2π ]

Théorème
ABC est un triangle isocèle en A et I = C *B on a :
uuur uur

uur uuur

( AB,$ AI) º ( AI,$ AC) [2π]
uuur uuur
uuur uuur
$
2/ ( BC,BA
) º (CA $,CB) [2π]
uuur uuur
uuur uuur
$
3/ 2 ( BC,BA
) º π - ( AB,$ AC) [2π]

1/

Théorème

(translation et angles orientés)

Soit A, B et C trois points d'images respectives A', B' et C' par une translation t.
uuuuur uuuuur

uuur uuur

$ 'C' º AB,AC
On a ( A ' B',A
) ( $ ) [2π] .

On dit que la translation conserve les mesures des angles orientés.

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Angles orientés ( 3ème Maths )

Théorème (Symétrie orthogonale et angles orientés)
Soit A, B et C trois points d'images respectives A', B' et C' par une symétrie orthogonale d'axe D .
uuuuur uuuuur

uuur uuur

$ 'C' º - AB,AC
On a : ( A ' B',A
) ( $ ) [2π]

On dit que la symétrie orthogonale change les mesures des angles orienté en leurs opposés.

Cercles et angles
Théorème
uuur uuur

Soit ( AB, AC ) un angle orienté inscrit dans un cercle C de centre O.
uuur uuur

uuur uuur

Désignons par (OB,OC ) l'angle au centre associé à ( AB, AC ) . On a :
uuur uuur

uuur uuur

1/ (OB,$ OC ) º 2 ( AB,$ AC ) [2π] .
uuur uuur

2/ ( AB,$ AC ) º

uuur uuur
1 uuur $ uuur
1 uuur $ uuur
OB,OC [2π ] ou AB,$ AC º π + OB,OC
[2π]
2
2

(

(

)

)

(

)

Remarque : Détermination d'u cercle
Soit G un cercle et désignons par O son centre et r son rayon. G = {M Î P / OM = r} .
G est aussi entièrement déterminer par la donnée de :

1/ Son centre O et un point A qui lui appartient donc son rayon r=OA.
2/ Trois points non alignés A, B et C de ce cercle.
donc {O} = méd[AB] Ç méd[AC] et r =OA
3/ Deux points A et B de ce cercle et la tangente TA en A à ce cercle.
Dans ce cas {0} = méd[AB] ÇD A avec D A la perpendiculaire à TA en A et r= OA
Théorème
Soient A, B et C trois points non alignés et désignons par G( ABC) le cercle circonscrit à ABC. Soit M
un point du plan distinct de A, B et C. On a :

uuuur uuuur
uuur uuur
uuuur uuuur
uuur uuur
M Î G ( ABC) Û MA $,MB º CA $,CB [2π ] ou MA $,MB º π + CA $,CB [2π ]

(

) (

)

(

)

(

)

Conséquence :
Soit A et B deux points distincts d'un cercle orienté C. Soient M et N
deux points distincts de C\{A, B}. On a:

uuuur uuuur
uuur uuur
Û MA $,MB º NA $,NB [2π] .
uuuur uuuur
uuur uuur
» et N Î BA
» Û MA $,MB º π + NA $,NB [2π] .
2/ / M Î AB
» et N Î AB
»
1/ M Î AB

(

(

) (
)
) (
)

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Angles orientés ( 3ème Maths )

Conséquence :
Soit θ Î ]-π,π] . Soient A et B deux points distincts du plan P orienté dans le sens direct.

{

uuuur uuuur

}

Désignons par E = M Î P tel que ( MA $,MB ) º θ [2π ] . On a :
1/Si θ = 0 alors E = (AB)\[AB].
2/ Si θ = π alors E = [AB]\{A, B}
3/
» \ {A,B} avec BA contenu dans le
si θ Î ]0,π] alors E = BA

cercle contenant A et B et tangent à la demi droite [AT) telle
uuur uuur

que ( AT $, AB ) º θ [2π]

4/
» \ {A,B} avec AB contenu dans le cercle
si θ Î ]-π,0[ alors E = AB

uuur uuur

contenant A et B et tangent à la demi droite [AT) telle que ( AT $, AB ) º θ [2π] .

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