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Lycée pilote Médenine
4ème Sc exp

Mr : HADJ SALEM Habib

Série n° 3
Nombres complexes 2

2017 - 2018

Exercice 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (o, u, v ) pour zÎ

- {0} on désigne par A, A', M et

2

M' les points d'affixes respectives:2,-2, z et z'=

z +1
.
z

a

1- a) Vérifier que 1 + e
b) Pour z=

ia

æ a ö i2
= 2cos ç ÷ e
è2ø

e a . Déduire la forme exponentielle de z'
i

c) Déterminer et construire L'ensemble des points M'(z') Si M décrit le cercle z(O,1)
2

2- a) Pour q Î IR réel résoudre dans

l'équation (E):

z +1
=2sin( q ).
z

b) Vérifier que sin q -icos q =-i(cos q +isin q ).
c) Déduire alors la forme exponentielle de chacune des solutions

Exercice 2
On considère dans l’ensemble des nombres complexes a = 2 + i 2 et b= 3 + i
1) a) Ecrire a et b sous forme exponentielle
b) Placer dans un plan rapporté à un repère orthonormé les points A(a), B(b) et C(a + b)
p
p
2) Mettre a.b sous forme algébrique et forme trigonométrique, puis déduire cos
et sin
12
12
a
a
3) a) Mettre sous forme exponentielle puis 1 +
b
b
b) En déduire la forme exponentielle de a + b
Exercice 3 :
Soit q un réel de [0,2p [ , on considère les points A ; B et C d’affixes respectives a = 2eiq ; b = (1 + i ) eiq et
c = (1– i ) eiq
æ pö
iç q + ÷
2e è 4 ø

æ pö
içq - ÷
2e è 4 ø

et c =
1) Montrer que b =
b
2) Calculer
c
3) Montrer que le quadrilatère OBAC est un carré.
p
4) Dans cette question q =
3
a) Ecrire c sous forme algébrique.
p
p
b) En déduire les valeurs exactes de cos
et sin
12
12
Exercice 4 :

(

r r

)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé O, u, v ; on considère les points A , B et C
d’affixes respectifs : a=1 ; b=i et c= 1+i . A tout point M d’affixe z ¹ 1 associe le point M’(z’) tel que
z’=

iz
.
z -1

1) a-Placer les points A ;B et C.
b-Montrer que OACB est un carré.
2) Mettre c sous forme trigonométrique et calculer c2015.
3) Pour quelles valeurs de l’entier n , cn est-il un réel ?

4) Déterminer les ensembles : E1= {M(z) tels que z ' = 1} et E2= {M(z) tels que z 'est un réel}

5) a-Montrer que pour tout nombre complexe z ¹ 1 on a : z’-i=
b-En déduire que BM’.AM=1

{

i
z -1

}

6) a-Déterminer l’ensemble z = M(z) tels que (z - 1)(z - 1) = 4 .
b- Montrer que si M appartient à z alors M’ appartient à un cercle que l’on précisera .
7) On pose z= eiq , avec qÎ ]0, p[

q i q2
a-Montrer que e - 1 = 2i sin e
2
iq

b- En déduire le module et un argument de z’.

Exercice 5: Soit a un nombre complexe non nul .Le plan est rapporté à un repère orthonormé

(

r r

)

( O, u, v , on désigne par A,B,M1 et M2 les points d’affixes respectives a ,2a ,z1=a+ia et z2=a-ia.
1)a)Déterminer le milieu de [ M1M 2 ] .
b) Montrer que

z1
=i
z2

c) Montrer que OM1BM2 est un carré .
2) On suppose que a= eiq ; qÎ [ 0, 2p[
a) Donner la forme exponentielle de z1.
b) Dans cette question on prend q =

p
3

Ecrire z1 sous la forme algébrique et en déduire la valeur de cos
Exercice 6 (bac 2012)

(

rr

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct O,u,v

7p
7p
et celle de sin
12
12

)

On désigne par (C ) le cercle de centre O et de rayon 1 et par I et A les points d'affixes respectives 1 et
a= 3 + i
1 ) a/ Donner la forme exponentielle de a.
b/ Construire le point A.
2) Soit B le point d'affixe b =

a-1
1-a

a/ Vérifier que b b = 1. En déduire que le point B appartient au cercle(C ).

b -1
est un réel. En déduire que les points A, B et I sont alignés.
a-1
rr
cl Construire le point B dans le repère O,u,v .
b/ Montrer que

(

)

3) Soit q un argument du nombre complexe b .
Montrer que cos q =

2 3 -3
2-2 3
et sin q =
5-2 3
5-2 3

Exercice 7 : ( bac sc exp 2011 )
r r
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, u, v .

(

)

1
3
3
1
On considère les points A et B d’affixes respectives a= + i
et b=
+i .
2
2
2
2
1) a) Donner l’écriture exponentielle de chacun des nombres complexes a et b.

b) Vérifier que b2=a.

2) Soit C le point d’affixe c=a+b
a) Placer les points A ,B et C.
2 + 6 i p4
b) Vérifier que c=
e
2
3) On considère dans £ , l’équation (E ) ; z2+z-c=0.
a) Vérifier que b est une solution de l’équation ( E ).
æ 11p ö

b) On désigne par d la deuxième solution de l’équation ( E). Montrer que d=
c) Placer alors le point D d’affixe d.
Exercice 8 :
(1) Résoudre dans l’équation E: z2 - 2(1 + i)z - 1 + i = 0 z.
é pù
(2) Soit a un réel de l’intervalle ê 0, ú
ë 2û
2
Résoudre dans l’équation (Ea ) :z - 2eiaz + ei2 a - 1 = 0 .

2 + 6 içè - 12 ÷ø
e
2

rr
(3) Le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O,u,v .On considère les points A, B, C et D

(

)

æ 2
æ 2
2 ö
2 ö
d’affixes respectives zA = 1 + eia , zB = 1 + e- ia , zC = 1 + ç
+
i ÷ et zD = 1 + ç
+

2 ø
2 ø
è 2
è 2
a

a

a i
a i
(a) Vérifier que zA = 2cos e 2 et zA = 2isin e 2
2
2
(b) En déduire la forme exponentielle de zC et zD .
(c) Déduire de (a) que le triangle OAB est un triangle rectangle en O.
(d) Déterminer la valeur de a tel que le triangle OAB soit isocèle en O.

(5) Soit M un point d’affixe z déterminer l’ensemble de point M tel que
Exercice 9 :
1) a) Vérifier que : (3+i)2 = 8 +6i.
b) Résoudre dans C l’équation : (E1) : z2 + (1+3i) z -4 =0.
2) Soit l’équation (E2): z3 + (1+i) z2 + (2 -2i) z +8i =0
a) Vérifier que 2i est une solution de (E2).
b) Résoudre dans £ l’équation (E2).

z - zD
=1
z - zC

rr
3) Le plan complexe est munie d’un repère orthonormé direct O,u,v .On considère les points A, B et C

(

d’affixes respectifs : zA =2i , zB =1-i et zC =-2-2i. v u,
a) Placer les points A, B et C dans le repère.
b) Montrer que ABC est isocèle et rectangle en B.
4) A tout point M d’affixe z on associe le point M’ d’affixe Z’ =
2i ( z - 2i )
.
z -1 + i
b) Déterminer l’ensemble des points M tel que : OM’ =2.

)

2iz + 4
avec z ≠ 1-i .
z -1 + i

a) Montre que : Z’=

Exercice 10 :

rr
Le plan est munie d’un repère orthonormé direct O,u,v .

(

)

On considère les points A, B et C d’affixes respectifs ZA=

(

)

i

p

3 - i e 3 , ZB= -1 + i 3 et ZC = i.

3 - i sous forme exponentielle puis déduire la forme exponentielle de ZA.
z
b) Ecrire sous forme exponentielle ZB puis A
zB
c) Déduire que le triangle OAB est isocèle et rectangle en O.
d) Déterminer l’affixe du point D sous forme algébrique pour que OADB soit un carré.

1)a) Ecrire

-i

2) A tout point M du plan d’affixe Z≠i on lui associe le point M’ d’affixe Z’=

p

e 3z -

(

3 -i

)

z -i

p
-i
3

æ z - zA ö
ç
÷
è z - zC ø
b) Déterminer l’ensemble des point M tel que Z ' =1.

a) Montrer que : Z’= e

Exercice 11 :
i

p

1. Soit les nombres complexes et z1= 2e 4 et z2= 1 + i 3
a) Ecrire z1 sous forme algébrique.
b) Ecrire z2 sous forme exponentielle.

rr
2. Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormé direct 0,u,v

(

)

, on considère les points A et B

d’affixes respectifs et zA= 2z1 et z2= i zA
a) Montrer que OAB est un triangle isocèle.
z
b) Ecrire A sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
zB
uur uuur
$
c) En déduire une mesure de l’angle OB,OA
.

(

)

æ pö
æ pö
d) Donner les valeurs exactes de cos ç ÷ et sinç ÷
12
è ø
è 12 ø

3. Pour tout point M(z) ÎP \ {B} , on associe le point M’(z’) tel que : . z' =
r
a) Déterminer l’ensemble des points M lorsque décrit la droite 0,u .

z - zA
z - zB

( )

b) Déterminer l’ensemble des points lorsque M décrit la médiatrice du segment [AB].
Exercice 12 : (Dc lycée pilote)

Pour tout réel θ Î ∴0,πΖ , on considère l'équation: ∋Eθ ( : z 2-2 (1+2 i sin θ ) z + 4 eiθ - 4 = 0.

1) - a/ Vérifier que pour tout réel θ Î ∴0,πΖ , on a : (1 - 2cos θ ) 2 = (1 + 2 i sin θ )2 + 4 -4 eiθ .
b/ Résoudre, dans £ , l'équation ∋Eθ ( .

rr
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O,i, j . Soient M et N les deux points d'affixes

respectives :a = 2 eiθ et b = 2- 2 e,iθ .



(

2) - a/ Déterminer l'ensemble (C1) sur le quel varie le point M lorsque θ varie sur Ζ0,π ∴ .
En déduire l'ensemble (C2) sur le quel varie le point N lorsque θ varie sur Ζ0,π ∴ .

b/Ecrire le nombre complexe b sous forme exponentielle.
3) - a/ Déterminer l'affixe du point B pour que OMBN soit un parallélogramme.
b/ Déterminer le réel θ pour que OMBN soit un losange.


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