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Livre du professeur Déclic Term S Hachette partie 1 .pdf



Nom original: Livre du professeur Déclic Term S Hachette partie 1.PDF

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1

C H A P I T R E

Suites numériques

Introduction
1. Programme
Contenus
Suites
Raisonnement par récurrence.
Limite finie ou infinie d’une suite.

Limites et comparaison.

Opérations sur les limites.
Comportement à l’infini de la suite ^qnh ,
q étant un nombre réel.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

Suite majorée, minorée, bornée.

Capacités attendues

Commentaires

• Savoir mener un raisonnement par récur- Ce type de raisonnement intervient tout au
long de l’année et pas seulement dans le
rence.
cadre de l’étude des suites.
 Dans le cas d’une limite infinie, étant Pour exprimer que un tend vers , quand n
donnés une suite croissante ^unh et un tend vers + 3 , on dit que : « tout intervalle
nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algo- ouvert contenant , contient toutes les
rithme un rang à partir duquel un est supé- valeurs un à partir d’un certain rang ».
rieur à A.
Pour exprimer que un tend vers + 3
quand n tend vers + 3 , on dit que : « tout
intervalle de la forme @ A ; + 3 6 contient
toutes les valeurs un à partir d’un certain
rang ».
Comme en classe de Première, il est
important de varier les approches et les
outils sur lesquels le raisonnement s’appuie.
On présente des exemples de suites qui
n’ont pas de limite.
Démontrer que si ^unh et ^vnh sont deux On démontre que si une suite est croissante
et admet pour limite ,, alors tous les termes
suites telles que :
– un est inférieur ou égal à vn à partir d’un de la suite sont inférieurs ou égaux à ,.
Le théorème dit « des gendarmes » est admis.
certain rang ;
– un tend vers + 3 quand n tend vers + 3 ;
alors vn tend vers + 3 quand n tend vers
+ 3.
• Étudier la limite d’une somme, d’un produit
ou d’un quotient de deux suites.
Démontrer que la suite ^q nh , avec q 2 1, a On démontre par récurrence que pour a réel
strictement positif et tout entier naturel n :
pour limite + 3 .
^1 + ahn H 1 + na .
• Déterminer la limite éventuelle d’une suite On peut étudier des situations où intervient
géométrique.
la limite de la somme des premiers termes
d’une suite géométrique.
• Utiliser le théorème de convergence des Ce théorème est admis.
suites croissantes majorées.
Il est intéressant de démontrer qu’une suite
croissante non majorée a pour limite + 3 .
Des exemples de suites récurrentes, en particulier arithmético-géométriques, sont traités
en exercice.
 Des activités algorithmiques sont menées
dans ce cadre.
AP Approximations de réels (r, e, nombre d’or,
etc.).

Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole
de type algorithmique sont signalées par le symbole .

. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

1

2. Intentions des auteurs
Dans ce premier chapitre sur les suites numériques :
• on fait le point sur les connaissances de Première, en
particulier : sens de variations d’une suite, suites arithmétiques et géométriques ;
• on met en place un nouveau type de raisonnement : le
raisonnement par récurrence ;
• on fait une étude approfondie de la notion de limite
d’une suite : définitions précises, opérations sur les
limites, théorèmes de comparaison, cas des suites
monotones.
Toutes ces notions sont abordées à travers la résolution
de problèmes le plus souvent liés à la vie courante ou
aux autres disciplines par une modélisation de phénomènes discrets. De nombreux QCM, « Vrai ou faux ? »
permettent de faire le point rapidement sur la compréhension du cours et aussi la mise en place de raisonnements par contre-exemple.

Comme a2 H 0 , on a :

Partir d’un bon pied
Objectif
Réactiver chez l’élève :
– les différentes façons de définir une suite ;
– les variations d’une suite numérique ;
– la lecture d’un algorithme.
A

1 b. et c.

2 b. et c.

3 a.

4 a. et c.

B

1 Faux.

2 Vrai.

3 Faux.

4 Vrai.

C

1 Vrai.

2 Faux.

3 Faux.

2 Vrai.

3 Vrai.

D 1 Vrai.
5 Vrai.

Un objectif important est de préparer la notion de limite
d’une fonction numérique.
Une attention particulière est portée sur le raisonnement : la récurrence bien sûr, mais aussi le raisonnement
par condition suffisante.
Les algorithmes permettent également d’appréhender
les phénomènes discrets décrits par les suites, sans être
forcément formalisés, c’est la démarche algorithmique
qui importe.
Tout au long de ce chapitre se précise l’utilisation
de logiciels : calculatrices graphiques, traceurs de
courbes, tableurs, logiciels de géométrie dynamique
ou de programmation. L’utilisation d’un logiciel de
calcul formel doit permettre, en fonction des élèves, de
surpasser les difficultés du calcul algébrique.

4 Faux.

Découvrir
1 Vers le raisonnement
par récurrence

+
^1 + ahn 1 H 1 + ^n + 1ha .
Donc Pn + 1 est vraie.
◗ La propriété Qn se traduit par 10 n = 9k + 1 , avec k un
entier.
Donc 10 n + 1 - 1 = 10^9k + 1h - 1 = 90k + 9
= 9^10k + 1h .
Donc Qn + 1 est vraie.
◗ On a :
A = 61 # 2 + 2 # 3 + f + n^n + 1h@ + ^n + 1h^n + 2h.
Donc en utilisant Rn ,
n # ^n + 1h # ^n + 2h
+ ^n + 1h^n + 2h
A=
3
^n + 1h^n + 2h
=
^n + 3h .
3
Donc Rn + 1 est vraie.

Activité

Objectif : Aborder le raisonnement par récurrence en
distinguant les différentes étapes.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

1 ◗ P1 : « 1 + a H 1+ a  ». Propriété vraie.

◗ Q1 : « 101 - 1 est divisible par 9 ». Propriété vraie.
1#2#3
◗ R1 : « 1 # 2 =
 ». Propriété vraie.
3
n+1
2 a. ◗ Pn + 1  :  « ^1 + ah
H 1 + ^n + 1ha. »
n+1 ◗ Qn + 1  : «  10
1 est divisible par 9 ».
◗ Rn + 1  : « 1 # 2 + 2 # 3 + f + ^n + 1h # ^n + 2h
^n + 1h # ^n + 2h # ^n + 3h
=
 ».
3
n
b. ◗ Si Pn est vraie, alors ^1 + ah H 1 + na . Donc en
multipliant par 1 + a , on obtient :
+
^1 + ahn 1 H 1 + ^n + 1ha + na2 .
2

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Activité

2 La balle au rebond

Objectif : Modéliser une situation simple et utiliser la
calculatrice ou un tableur.
3 #
1 = 0, 75 et
4
3 # 3
= 0, 5625 .
u2 =
4 4
On modélise cette situation
par la suite u de terme général
n
3
un = d n .
4
u10 . 0,056 ;
u1000 = 1,15 # 10-125 .
1 On a u1 =

2 En

utilisant un tableau
(voir ci-contre), à partir du
97e rebond, la hauteur de la
balle est inférieure à 10-12 m.

Suites numériques

Activité

c. Soit f 2 0 . On a :

3 Un calcul d’aire

Objectif : Résoudre un problème classique qui a joué un
rôle historique d’Archimède à Riemann en :
– faisant intervenir un raisonnement par récurrence ;
– abordant une limite « naturelle ».
1 a. b. Pour tout entier n H 1 , les rectangles ont pour
2

k
1
et pour longueur d n , où k est l’entier désin
n
gnant le numéro du rectangle (de 0 à n - 1 ).
c. On conjecture que la somme des aires de ces
1
rectangles tend vers
lorsque n tend vers + 3 .
3
largeur

2 D’après 1 a., Sn =

2

2

2

1 >d 1 n d 2 n
n-1 H
n
+
+f+d
n
n
n n

1 n-1 2
/i .
n3 i = 1
3 Démontrons par récurrence la propriété Pk :
k
k^k + 1h^2k + 1h
« / i2 =
 » pour tout entier k H 1 .
6
i=1
◗ Initialisation : k = 1 .
1
/ i2 = 1 et 1^1 + 16h^2 + 1h = 1. Donc P1 est vraie.
i=1
=

k+1

k

i=1

i=1

Donc en utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
k+1
/ i2 = k^k + 1h6^2k + 1h + ^k + 1h2
i=1
^k + 1h k^2k + 1h
;
=
+ ^k + 1hE
6
6
= ^k + 1h62k2 + 7k + 6 @.
k+1
^k + 1h^k + 2h^2k + 3h
Donc / i2 =
.
6
i=1

Donc Pk + 1 est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier k H 1 ,
k
/ i2 = k^k + 1h6^2k + 1h .
i=1
4 On a :

^n - 1h^nh^2n - 1h
1
1
1 n
= d1 - nd1 .
Sn =
3
3
2
n
n
6n
1
tend vers 0 lorsque n tend vers + 3 , on a
Comme
n
1
lim Sn = .
3
n "+3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

Activité

5 Variations et équations

Objectif
Mettre en place un large panel de techniques de base pour
étudier une suite récurrente : représentation graphique,
conjectures, sens de variations, utilisation d’une suite
auxiliaire.
1 La fonction f est affine de coefficient 0,5, donc elle
est croissante sur R. On a le tableau ci-dessous.

f ^xh

/ i2 = / i2 + ^k + 1h2 .

Activité

n "+3

x

◗ Hérédité : soit un entier k H 1 tel que Pk est vraie.
k+1
^k + 1h^k + 2h^2k + 3h
Montrons que / i2 =
.
6
i=1
On a

1
1
1 f + n2 2 .
f
n2
1
m , alors 0 1 un 1 f .
On en déduit que si n H 1 + E c
f
1
1
2 Soit f 2 0 . On a 0 1 vn 1 f +
1f + n 2 .
f
n
1
On en déduit que si n H 1 + E c 2 m , alors 0 1 vn 1 f .
f
Donc lim vn = 0 .
0 1 un 1 f + 0 1

4 Convergence vers 0

Objectifs
– Lire et modifier un algorithme.
– Approcher la définition mathématique de la convergence
d’une suite vers 0.
1 a. L’algorithme donne la valeur N de n à partir de
laquelle un 110-3 .
b. Modification : « TantQue u H 10-6 ».

0

2
2

1

Pour tout x d 60 ; 2 @ on a f ^ x h d 61 ; 2 @, donc :
f ^ x h d 6 0 ; 2 @.
2 a. u0 = 0 , u1 = 1 , u2 = 1, 5 , u3 = 1, 75 .
b. La suite u semble être croissante.
c. Pour tout entier naturel n, démontrons la propriété
Pn : « un G un + 1  ».
◗ Initialisation : u0 G u1 (voir 2 a.), donc P0 est vraie.
◗ Hérédité : soit un entier naturel n tel que Pn est vraie.
Démontrons qu’alors Pn + 1  : « un + 1 G un + 2 » est vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence un G un + 1 . Comme
la fonction f est croissante, f ^unh G f ^un + 1h , donc
un G un + 1 . Donc Pn + 1 est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, un G un + 1 . Donc la suite u est croissante.
3 a. En

B3, il faut écrire
=0,5*B2+1
b. La suite u semble converger
vers 2.
4 a. En C2, écrire =B2-2 (voir
ci-contre). La suite v semble être
une suite géométrique de raison
0,5 et de premier terme - 2 .
b. Pour tout entier naturel n,
vn + 1 = un + 1 - 2 = 0, 5 # un + 1 - 2
= 0, 5 # ^un - 2h .
Donc, pour tout entier naturel n,
vn + 1 = 0, 5vn .
Donc la suite v est géométrique
de raison 0,5 et de premier
terme v0 = u0 - 2 =- 2 .
c. Pour tout entier naturel n, on a vn =- 2 # ^0, 5hn .
Donc un = 2 + vn = 2 - 2 # ^0, 5hn .
d. La suite u est donc convergente vers 2, car
lim 2 # ^0, 5hn = 0 .
n "+3

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

3

Exercices d’application
Savoir faire Mener

un raisonnement par récurrence
1

Pour tout entier naturel n non nul, on note P^nh la
propriété :
n^n + 1h^2n + 1h
« 12 + 22 + 32 + f + n2 =
 ».
6
◗ Initialisation : pour n = 1 ,
1 # ^1 + 1h # ^2 # 1 + 1h
= 1.
on a 12 = 1 et
6
Donc P^1 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 1 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que :
n^n + 1h^2n + 1h
.
12 + 22 + 32 + f + n2 =
6
2
Alors : 12 + 22 + 32 + f + ^n + 1h
= 612 + 22 + 32 + f + n2 @ + ^n + 1h2
n^n + 1h^2n + 1h
=
+ ^n + 1h2
6
d’après l’hypothèse de récurrence.
2

Donc 12 + 22 + 32 + f + ^n + 1h

n^2n + 1h
+ ^n + 1hn
6
2+
2n
7n + 6
= ^n + 1h #
.
6
Or, ^^n + 1h + 1h^2^n + 1h + 1h = ^n + 2h^2n + 3h
= 2n2 + 7n + 6 .
Donc :
^n + 1h^n + 2h^2n + 3h
2
,
12 + 22 + 32 + f + ^n + 1h =
6
c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 1 ,
P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier n H 1 ,
n^n + 1h^2n + 1h
.
12 + 22 + 32 + f + n2 =
6
= ^n + 1h # d

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

2 Démontrons, pour tout entier naturel n, la proposi-

tion P^nh : « 23n - 1 est un multiple de 7 ».
◗ Initialisation : 20 - 1 = 0 qui est un multiple de 7.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier, P^nh est
vraie. Montrons alors P^n + 1h   : «  23n + 3 - 1 est un
multiple de 7 ».
D’après l’hypothèse de récurrence, 23n = 1 + 7k , où k
est un entier. En multipliant par 8, on obtient
23n + 3 = 8 + 56k , donc 23n + 3 - 1 = 7^7 - 8k h .
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, « 23n - 1 est un multiple de 7 ».

◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh
2
est vraie, c’est-à-dire que un = ^n + 1h .
2
Alors un + 1 = un + 2n + 3 = ^n + 1h + 2n + 3 d’après
l’hypothèse de récurrence.
2
Donc un + 1 = n2 + 4n + 4 = ^n + 2h ,
c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 ,
P^nh est vraie.
2
Donc, pour tout entier n H 0 , un = ^n + 1h .
4 Pour tout entier n H 2 , on note P^nh la propriété :

« le nombre de cordes reliant n points du cercle est
n^n - 1h
 ».
2
◗ Initialisation : pour n = 2 on a une seule corde
2^2 - 1h
= 1 . Donc P^2 h est vraie.
possible et
2
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier, P^nh est
vraie. Montrons alors P^n + 1h  : « le nombre de cordes
^n + 1hn
reliant n + 1 points du cercle est
 ».
2
Pour obtenir n + 1 points du cercle, on ajoute un point
aux n déjà existants. Donc on ajoute n cordes au nombre
total de cordes. En utilisant l’hypothèse de récurrence,
^n + 1hn
n ^n - 1 h
+ n cordes, soit
on a
, c’est-à-dire
2
2
que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 2 ,
P^nh est vraie. Donc pour tout entier n H 2 , le nombre
n^n - 1h
de cordes reliant n points du cercle est
.
2

Savoir faire Déterminer la limite

d’une suite à l’aide de la définition
5 On conjecture :

a. la suite u semble ne pas
admettre de limite ;
b. la suite v semble converger
vers 0,5 ;
c. la suite w semble diverger
vers + 3 .

6

5
5
- 1.
Gf+nH
f
n+1
5
On en déduit que si n H 1 + E a - 1 k , alors un 1 f .
f
La suite u converge vers 0.
2 a. À partir de N = 500, on a un G 0, 01 .
b. À partir de N = 5 # 1012 , on a un G 10-12 .
◗ Soit f 2 0 , on a un G f +

3 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :

2
« un = ^n + 1h  »
2
◗ Initialisation : pour n = 0 , on a u0 = 1 et ^0 + 1h = 1 .
Donc P^0 h est vraie.

4

Livre du professeur - CHAPITRE 1

1 ◗ On conjecture que la suite u converge vers 0.

7

1 a. i. vn 2105 + n2 + n - 105 2 0

- 1 + 1 + 4 # 105
+nH
2
Comme n est un entier naturel, n H 316 .

Suites numériques

ii. vn 21010 + n2 + n - 1010 2 0

Savoir faire Déterminer une limite

- 1 + 1 + 4 # 1010
.
+nH
2
Comme n est un entier naturel, n 2 99999 .
b. On conjecture que la suite v diverge vers + 3 .
2 Soit A H 0 , on a vn 2 A + n2 + n - A 2 0
-1 +

par comparaison

11 a. Pour tout entier n non nul, - 1 G sin n G 1 ,

donc :

1
1
G un G .
n
n
1
1
= 0 et lim = 0 , on a
Comme lim
n
n "+3 n
n "+3
lim un = 0 d’après le théorème des gendarmes.
-

1+4#A

.
2
Comme n est un entier naturel,
-1 + 1 + 4 # A
n.
n H 1 + Ed
2
Donc la suite v diverge vers + 3 .
+nH

n "+3

b. Pour tout entier n non nul, - 1 G cos n G 1 , donc :
1
1
G un G 1 + .
1n
n
1
1
= 0 et lim = 0 , on a
Comme lim
n
n "+3 n
n "+3
lim un = 1 d’après le théorème des gendarmes.

Savoir faire Étudier

le comportement à l’infini d’une suite

n "+3

8 a. lim ^2n + 1h =+ 3 . Donc lim u =+ 3 .
n
n "+3

Multiplication des limites.
b. lim

n "+3

12 1 a. Pour tout entier naturel n,

n "+3

n2 - 3n + 5
-n+6
n+3
n2 - 3n + 5 - n^n + 3h + 6^n + 3h
23
=
=
.
n+3
n+3
Or, n + 3 2 0 , car n est un entier naturel.
Donc un - ^n - 6h H 0 , c’est-à-dire que un H n - 6 .
b. Comme lim n - 6 =+ 3 , d’après le théorème de
un - ^n - 6h =

n =+ 3 . Donc lim ^2 n + 5h =+ 3 .
n "+3

Multiplication des limites. Donc lim un = 0 . Division
n "+3

des limites.

n "+3

9 a. Pour tout entier naturel n non nul,

1
n .
4
un = 4 #
4
1+
n
1
11
n = 1 (somme et
4
= 0 , lim
Comme lim
4
n "+3 n
n "+3
+
1
n
quotient de limites). Donc lim un = 4 .
1-

n "+3

b. Pour tout entier naturel n non nul,
5
3
+
12
n
2
n2 .
un = 2n #
4
1+
n
1
1
= 0 et lim 2 = 0 , on a :
Comme lim
n "+3 n
n "+3 n
5
3
+
12n
n2 = 1 (somme et quotient de limites).
2
lim
4
n "+3
1+
n
Comme lim 2n =+ 3 , on a : lim un =+ 3 .
n "+3

n "+3

10 a. En utilisant l’algorithme ci-dessous, on obtient

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

en entrant A = 10-5 : N = 100 000 .
ALGO

Entrer ^ Ah  ;
N ! 2  ;
Tant que ^N2 - 1h ' ^N3 + 1h 2 A Faire
N ! N+1
FinTantQue ;
Afficher ^N h .

minoration lim un =+ 3 .
n "+3

2 Pour tout entier n ! 0 ,

5
5
n-3+
n-3+
n
n
=
un = n
3
3
n a1 + k
1+
n
n
5
3
=+ 3 et lim 1 +
= 1 . Donc,
Or, lim n - 3 +
n
n
n "+3
n "+3
par quotient, lim un =+ 3 .
n "+3

13 1 On conjecture que la suite v diverge vers - 3 .
2 Pour tout entier naturel n, - 1 G cos n G 1 , on a
vn G - 2n + 1 .

Comme lim ^- 2n + 1h =- 3 , d’après le théorème de
n "+3

minoration, on a lim vn =- 3 .
n "+3

3 Pour avoir vn 1 - 1000 , il suffit d’avoir :
- 2n + 11 - 1000 , soit n 2 500, 5 .
Dès que l’entier n est supérieur à 501, on a : vn 1 - 100 .

Savoir faire Déterminer

le comportement à l’infini
d’une suite récurrente

14 1 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la

propriété : « 4 G vn + 1 G vn  ».
◗ Initialisation : on a v0 = 6 , v1 = 4, 5 , donc 4 G v1 G v0 .
Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si pour un entier n, P^nh
est vraie, alors P^n + 1h  : « 4 G vn + 2 G vn + 1  » est vraie.
Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

5

x
+ 3 est une fonction affine
La fonction f : x
4
croissante, donc en utilisant l’hypothèse de récurrence 4 G vn + 1 G vn , on a f ^4h G f ^vn + 1h G f ^vnh , soit
4 G vn + 2 G vn + 1 .
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n, P^nh
est vraie.
Donc, pour tout entier naturel n, 4 G vn + 1 G vn .
2 La suite v est décroissante et minorée, donc elle
converge.
On note , la limite de v.
v
,
+ 3.
On a lim vn + 1 = , et lim n + 3 =
4
n "+3
n "+3 4
,
+ 3 . Donc , = 4 .
Par unicité de la limite, , =
4
un
1
3 wn + 1 = vn + 1 - 4 =
+ 3 - 4 = ^vn - 4h .
4
4
1
Pour tout entier naturel n, wn + 1 = wn . Donc la suite
4
1
et de premier
w est une suite géométrique de raison
4
terme w0 = 2 .
1 n
Donc pour tout entier naturel n , wn = 2 # a k . On en
4
1 n
déduit vn = 4 + 2 # a k .
4
n
1
Comme lim 2 # a k = 0 (suite géométrique de rai4
n "+3
son inférieure à 1 en valeur absolue), on a lim vn = 4 .

7

n "+3

15 a. Comme 3 2 1 ,

n

lim 3 =+ 3 . En multipliant

n "+3

par 0,1 (positif ), on obtient lim un =+ 3 .
n "+3

b. Comme - 0, 5 1 1 ,

n
lim ^- 0, 5h = 0 . En multi-

n "+3

pliant par 100, on obtient lim un = 0 .
n "+3

5 n
5
c. Comme
2 1 , lim a k =+ 3 . En multipliant
2
2
n "+3
5 n
par 2 (positif ), on obtient lim 2 a k =+ 3 .
2
n "+3
1 n
1
Comme
11 , lim a k = 0 . En multipliant par 4,
3
n "+3 3
4
on obtient lim
n = 0.
n "+3 3
Donc, par différence, lim un =+ 3 .
n "+3

2 Valider la conjecture formulée
1 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« OAn Bn est équilatéral  ».
◗ Initialisation : OA0 B0 est équilatéral . Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si pour un entier n, P^nh est
vraie, alors P^n + 1h  : «  OAn + 1 Bn + 1 est équilatéral   » est
vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence, OAn Bn est équilatéral.
La droite ^OAn + 1h est la médiatrice du segment 6 An Bn @,
donc An + 1 OAn = 30° . Donc, par construction du symétrique Bn + 1 , le triangle OAn + 1 Bn + 1 est équilatéral .
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie. Donc, pour tout entier naturel n, le
triangle OAn Bn est équilatéral.
3
2 On a, pour tout entier naturel n : cn+ =
c . La
2 n
3
suite c est géométrique de raison
et de premier
2
cn
terme 4. Comme an =
, la suite a est géométrique de
2
3
raison
et de premier terme 2.
2
3 , n est la somme des n premiers terme d’une suite
3
géométrique de raison
et de premiers termes 2,
2
donc :
n
3 m
1-c
2
.
,n = 2 #
3
-1
2
n
3 mm
On a donc : , n = 4^2 + 3 hc1 - c
.
2
n
3 m
4 Comme lim c
= 0 (suite géométrique de
2
n "+3
3
raison
inférieure à 1 en valeur absolue), on a
2
lim , n = 4^2 + 3 h (opération sur les limites).
n "+3

17 Convergence d’une suite

Objectifs : Construire un algorithme pour étudier une
somme. Utiliser le théorème des gendarmes.
Partie A
1 Extrait de l’algorithme complété :

ALGO

Pour i allant de n à 1 Faire
i
u ! u + sin 2
n
FinPour ;

Travaux pratiques

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

16 Longueur d’une spirale

1 Se faire une idée du résultat
B3
1 Faire la construction.
2 a0 = 2 ;
a1 . 1, 73 ;
A4
O
B2
a2 . 1, 5 et a3 . 1, 3 .
1,3
On a :
,2 . 2 + 1, 73 . 3, 73 et
A3
1,5
,3 . 5, 2 .
B1
3 La suite a semble
A2
1,73
géométrique de raison
2
0,8.
A0
A1
B0
6

Livre du professeur - CHAPITRE 1

2 Après avoir programmé cet algorithme, on obtient :

u10 . 0, 549 , u50 . 0, 505 et u100 . 0, 504 .
3 Il semble que la suite u soit décroissante et converge
vers 0,5.
Partie B
1+2+f+n
1 On a vn =
.
n2
n^n + 1h
1
1
2
=
+
.
Donc vn =
2
2n
n2
1
1
= 0 , on a lim vn = .
Comme lim
2
n " + 3 2n
n "+3

Suites numériques

i
r
! 90 ; C .
2
n2
3
i
i
i
i
1
- a 2 k G sin 2 G 2 , soit, en
On a
6 n
n2
n
n
sommant membres à membres ces inégalités pour i
1
613 + 23 + f + n3 @ G un G vn .
variant de 1 à n, vn 6n6
Donc, pour tout entier naturel n non nul,
2
1 ^n + 1h
G un G vn .
vn 24
n4
2
1 ^n + 1h
1
3 lim
= lim
2 = 0 et comme
n4
n " + 3 24
n " + 3 24n
1
1
(d’après le
lim vn = , on en déduit lim un =
2
2
n "+3
n "+3
théorème des gendarmes).
2 Pour tout entier i compris ente 1 et n,

18 Étudier une suite arithmético-géométrique

par deux méthodes
Objectif : Mettre en œuvre deux méthodes de base pour
démontrer la convergence d’une suite.
1 u1 = 2 ,
y
8
u2 = ,
3
28 .
u3 =
9

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

2 a. b. Voir

le graphique
ci-contre.
1
c. La suite u
0
semble croisx
sante et majorée
1 u 0 u 1 u 2 u3
par 4.
3 a. Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« un G un + 1 G 4 ».
◗ Initialisation :
u0 = 1 , u2 = 2 . Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh
est vraie, alors P^n + 1h  :
«  un + 1 G un + 2 G 4  » est vraie.
La fonction f est une fonction affine croissante.
D’après l’hypothèse de récurrence un G un + 1 G 4 , donc
f ^un + 1h G f ^un + 1h G f ^4h et comme f ^4h = 4 , on
obtient un + 1 G un + 2 G 4 .
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier naturel n, un G un + 1 G 4 . La suite
u est croissante et majorée par 4.
b. La suite u est croissante et majorée par 4, donc elle
converge.
Sa limite est une solution de l’équation f ^ x h = x , soit
2x + 4
, soit x = 4 . La suite u converge vers 4.
x=
3
4 a. On a :
2un + 4
2
- 4 = ^un - 4h .
vn + 1 = un + 1 - 4 =
3
3
2
Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 = vn . La suite
3
2
et de premier terme
v est géométrique de raison
3
v0 =- 3 .

2 n
b. Pour tout entier naturel n, vn =- 3 # c m .
3
n
2
Donc un = 4 - 3 # c m .
3
n
2
c. On a lim c m = 0 (suite géométrique de raison
n "+3 3
strictement inférieure à 1). Donc lim un = 4 .
n "+3

19 Étudier le comportement à l’infini d’une

suite
Objectif : Conjecturer et prendre des initiatives dans le
type de démonstration à utiliser.

1 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« un ! 0 ».
◗ Initialisation : u0 = a ! 0 , P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh
est vraie, alors P^n + 1h  : «  un + 1 ! 0  » est vraie.
^unh2 + 1
1
=
, donc un + 1 ! 0 .
un + 1 = un +
un
un
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier naturel n, un ! 0 . La suite u est
bien définie.
2 a. Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« un 2 0 ».
◗ Initialisation : u0 = a 2 0 , P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh

est vraie, alors P^n + 1h  : «  un + 1 2 0  » est vraie.
^unh2 + 1
1
=
un + 1 = un +
2 0 , donc un + 1 2 0 .
un
un
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier naturel n, un 2 0 .
1
un + 1 - un =
2 0 d’après ce qui précède. Donc la
un
suite u est croissante.
Si la suite u est majorée, alors, comme elle est croissante,
1
elle converge vers , solution de l’équation x = x + .
x
Cette équation n’a pas de solution, donc la suite n’est
pas majorée. Et comme elle est croissante, elle diverge
vers + 3 .
b. Dans le cas a 1 0 , en utilisant les mêmes méthodes,
on prouve que la suite u est négative, décroissante et
qu’elle tend vers - 3 .
20 Des « 1 » partout !

Objectif : Conjecturer, faire des recherches et bâtir une
démonstration.
◗ Par construction, le réel cherché (s’il existe) est la
limite de la suite u définie par u0 = 1 et pour tout entier
1
.
naturel n, un + 1 = 1 +
un
◗ Si la suite u converge, elle converge vers une solution
1
de l’équation x = 1 +
+ x2 - x - 1 = 0 .
x

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

7

1+ 5
= { et
Cette équation admet deux solutions
2
1
5
1
=
, où { est le nombre d’or.
2
{
Comme la suite u est simplement minorée par 1, elle ne
peut converger que vers { .
1
Comme { = 1 + , on a :
{
1
1
-1un + 1 - { = 1 +
{
un
un - {
.
soit :
un + 1 - { =
un {
Donc, comme pour tout entier naturel n, on a :
1
un + 1 - { G
u - { (1).
{ n
Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
n
1
« un - { G c m u0 - { ».
{
0
1
◗ Initialisation : u0 - { G c m u0 - { , donc P^0 h
{
est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh est
n+1
1
vraie, alors P^n + 1h  : « un + 1 - { G c m
u0 - {  »
{
est vraie.
1
D’après l’inégalité (1), un + 1 - { G
u - { et en
{ n
utilisant l’hypothèse de récurrence, on obtient :
un + 1 - { G

n

1 c1 m
#
u0 - { .
{
{
n+1

1 m
u0 - { .
{
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
1
n, P^nh est vraie. Comme
1 1 , la suite géométrique
{
n
1
de terme général c m u0 - { converge vers 0.
{
Donc lim un - { = 0 . La suite u converge vers { .

Donc un + 1 - { G c

n "+3

21 Que de racines !

Objectif : Conjecturer, faire des recherches et bâtir une
démonstration.
Que ce soit à l’aide de Geogébra ou
à l’aide d’un tableur, on conjecture
que la suite u n’est pas monotone,
mais semble converger vers 1.
y

n "+3

1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

1
3
◗ Initialisation :
G 2 G , P^0 h est vraie.
2
2
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh
1
3
est vraie, alors P^n + 1h  : «
G un + 1 G  » est vraie.
2
2
1
3
D’après l’hypothèse de récurrence,
G un G .
2
2
1
3
1
3
Donc
.
G 2 - un G , soit
G 2 - un G
2
2
2
2
3
3
1
3
1
1
et
Comme
G , on a
G un + 1 G .
G
2
2
2
2
2
2
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie.
2 - un - 1
un + 1 - 1 = 2 - un - 1 =
2 - un + 1
1
= ^1 - unh #
.
2 - un + 1
1
3
Comme
G 2 - un G , on a :
2
2
3
5
G 1 + 2 - un G .
2
2
1
2
Donc :
G .
3
2 - un + 1
On en déduit que pour tout entier naturel n :
2
un + 1 - 1 G
u -1 .
3 n
Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
2 n
« un - 1 G c 3 m
2 - 1  ».
2 0
◗ Initialisation :
2 -1 Gc 3 m
2 - 1 , P^0 h est
vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh est
2 n+1
vraie, alors P^n + 1h  : « un + 1 - 1 G c 3 m
2 - 1  »
2
est vraie. On a vu que un + 1 - 1 G
u -1 .
3 n
Donc, en utilisant l’hypothèse de récurrence, on obtient
2 c 2 mn
#
un + 1 - 1 G
2 - 1 , soit :
3
3
2 n+1
2 -1 .
un + 1 - 1 G c 3 m
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n,
2
P^nh est vraie. Comme 0 1 1 1 , la suite géométrique
3
2 n
de terme général c 3 m
2 - 1 converge vers 0.
Donc lim un - 1 = 0 . La suite u converge vers1.

Faire le point
0
0,2

u1 1u2 u0

2

Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
1
3
».
«
G un G
2
2
8

Livre du professeur - CHAPITRE 1

25 1 a. et b.

x

5 a. et b.

26 1 a. Faux.
2 Vrai.

Suites numériques

2 c.
6 b. et c.

b. Vrai.

3 Faux.

3 a. et c.
7 b.

c. Faux.
4 Vrai.

d. Faux.

4 c.
8 c.

Exercices d’application
1 Raisonnement par récurrence
27 1 Vrai.

2 Vrai.

3 Vrai.

4 Vrai.

5 Vrai.

28 1 a. Vrai, car si 6 n - 1 = 5k , alors :

6 n + 1 - 1 = 6 # 6 n - 1 = 6 # ^5k + 1h - 1 = 5^6k + 1h .
b. Vrai.
c. Faux.
2 a. Vrai, car si 6 n + 1 = 5k , alors :
6 n + 1 + 1 = 6 # 6n + 1 = 6 # ^5k - 1h + 1 = 5^6k - 1h .
b. Faux.
c. Vrai, par exemple n = 1 .
Démontrer par récurrence
29 1 Propriété pour tout entier n H 1 :

P ^n h : 1 3 + 2 3 + f + n 3 =

12 ^1 + 1h
; vrai.
4
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est
aussi vraie.
2
n2 ^n + 1h
3
+ ^n + 1h3 .
13 + 23 + f + n3 + ^n + 1h =
4
Donc, en factorisant :
2
3
2 n
+ ^n + 1hE .
13 + 23 + f + ^n + 1h = ^n + 1h ;
4
^n + 1h2
3
6^n + 2h2 @.
Donc 13 + 23 + f + ^n + 1h =
4
La propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : pour tout entier n H 1 ,
2
n2 ^n + 1h
.
13 + 23 + f + n3 =
4
2 Propriété P^nh pour tout entier n H 1 :
1
1
1
+
+f+
1#2#3
2#3#4
n # ^n + 1h # ^n + 2h
n^n + 3h
=
.
4^n + 1h^n + 2h
◗ Initialisation : pourn = 1 ,
1^1 + 3h
1
1
1
=
= .
et
6
6
1#2#3
4^1 + 1h^1 + 2h
Donc P^1 h est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est
aussi vraie.
1
1
+
+f
Soit A =
1#2#3
2#3#4
1
1
+
+
.
^n + 1h^n + 2h^n + 3h
n # ^n + 1h # ^n + 2h
n^n + 3h
1
+
Donc A =
+
+
+
+
^
h
^
h
^
h
^
4 n 1 n 2
n 1 n 2h^n + 3h
soit, en factorisant :
n^n + 3h
1
1
H
>
+
A=
4
^n + 1h^n + 2h
^n + 3h
◗ Initialisation : 13 =

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

2

2

n 2 ^n + 1 h
.
4

1
n3 + 6n2 + 9n + 4
=
H;
>
^n + 1h^n + 2h
4^n + 3h
donc :
^n + 1h2 ^n + 4h
^n + 1h^n + 4h
=
=
A
;
4^n + 1h^n + 2h^n + 3h
4^n + 2h^n + 3h

la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : pour tout entier n H 1 ,
1
1
1
+
+f+
1#2#3
2#3#4
n # ^n + 1h # ^n + 2h
n^n + 3h
=
.
4^n + 1h^n + 2h
30 Propriété P^nh pour tout entier n H 0 :

« la fonction f n est dérivable sur R et pour tout réel x,
^ f nhl^ x h = nx n - 1 ».
1. Donc, pour tout réel x,
◗ Initialisation : f 0 : x
^ f 0hl^ x h = 0 , donc P^0 h est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est
aussi vraie.
Soit f n + 1 ^ x h = x n + 1 = x # f n ^ x h ,
donc ^ f n + 1hl^ x h = f n ^ x h + x # ^ f nhl^ x h soit, en utilisant
l’hypothèse de récurrence :
^ f n + 1hl^ x h = x n + x # nx n - 1 = ^n + 1hx n .
La propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : pour tout entier n, ^ f nhl^ x h = nx n - 1 .

7

31 Pour tout entier n H 1 , on note P^nh la propriété :

« n! H 2 n - 1  ».
◗ Initialisation : pour n = 1 , on a 1! = 1 et 21 - 1 = 1 .
Donc P^1 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 1 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que : n! H 2 n - 1 .
On a ^n + 1h! = ^n + 1h # n! .
D’après l’hypothèse de récurrence, on a :
^n + 1h! H ^n + 1h # 2 n - 1 .
Or, n H 1 . Donc n + 1 H 2 et ^n + 1h # 2 n - 1 H 2 # 2 n - 1 .
On en déduit que ^n + 1h! H 2 n , c’est-à-dire que la
propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 1 ,
P^nh est vraie.
Donc pour tout entier n H 1 , n! H 2 n - 1 .
32 Soit P^nh la propriété définie sur N par :

« 4 n + 1 est divisible par 3 ».
Ce raisonnement est inexact, car on ne peut pas initialiser la récurrence.
33 Soit la propriété : « 1! + 2! + f + ^n - 1h ! G n!  ».

◗ Initialisation : P^2 h : 1! G 2! est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors :
1! + 2! + f + ^n - 1h! + n! G ^n + 1h!
On a, en utilisant l’hypothèse de récurrence :
1! + 2! + f + ^n - 1h! + n! G n! + n!
Mais 2n! G ^n + 1h! . On a donc :
1! + 2! + f + ^n - 1h! + n! G ^n + 1h!
◗ Conclusion : pour tout entier n H 2 ,
1! + 2! + f + ^n - 1h! G n!
34 Pour tout entier n H 2 , on pose :

2
P^nh : « 2 n H ^n + 1h  ».
2
1 Supposons que 2 n H ^n + 1h , démontrons que :
2
2 n + 1 H ^n + 2h .
2
D’après l’hypothèse de récurrence 2 # 2 n H 2^n + 1h .

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

9

On a :

2

2

y
15

2-

2^n + 1h - ^n + 2h = n
2 H 0 si n H 2 .
2
2
+
+
Donc 2^n 1h H ^n 2h . On en déduit que P^n + 1h
est vraie.
2 P^6 h est vraie, donc pour tout entier n H 6  :
2
2 n H ^n + 1h .

10

D

Étudier des suites
35 1 v = 1 , v = 4 , v = 9 , v = 16 .
1
2
3
4

On conjecture que pour tout entier naturel n, vn = n2 .
2 Propriété P^nh pour tout entier n H 0 : « vn = n2 ».
◗ Initialisation : 02 = 0 = v0 .
◗ Démontrons que si, pour un entier n, vn = n2 , alors
2
vn + 1 = ^n + 1h .
On a :
2
vn + 1 = vn + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = ^n + 1h .
Donc P^n + 1h est vraie.
◗ En conclusion, pour tout entier naturel n, vn = n2 .
36 1 La droite a pour équation y = 0,5x + 1   ; la

droite D a pour équation y = x .
On lit u1 =- 0,5  ; u2 . 0,8 et u3 . 1,4 .
2 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« un G 2 ».
◗ Initialisation : pour n = 0 , on a :
u0 =- 3 G 2 .
Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que : un G 2 .
On en déduit que :
0,5un + 1 G 0,5 # 2 + 1 ,
soit 0,5un + 1 G 2 .
Ainsi un + 1 G 2 , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est
vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 ,
P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier n H 0 , un G 2 .
3 Pour tout entier n,
un + 1 - un = 0,5un + 1 - un = 1 - 0,5un = 0,5^2 - unh .
Comme un G 2 , on a :
2 - un H 0 .
On en déduit que pour tout entier n, un + 1 - un H 0 .
Donc la suite u est croissante.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

37 1 Voir le schéma ci-après.

Livre du professeur - CHAPITRE 1



1
0 1
v0 v 1

5
v2

10
v3

38 On pose, pour tout entier naturel n,

P^nh : un = 4 # 3 n - 1 .
◗ Initialisation : u0 = 4 # 30 - 1 = 3 . P^0 h est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie alors :
un + 1 = 4 # 3 n + 1 - 1 .
En tenant compte de l’hypothèse de récurrence,
un + 1 = 3un + 2 = 3^4 # 3 n - 1h + 2 = 4 # 3 n + 1 - 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier n, un = 4 # 3 n - 1 .
39 Démontrons par récurrence la propriété :

P^nh : « 1 G un + 1 G un  ».
◗ Initialisation : comme u1 = 8 + 1 = 3 ,
P^0 h  1 G u1 G u0 est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors :
1 G un + 2 G un + 1 .
En tenant compte de l’hypothèse de récurrence et
comme f : x
x + 1 est une fonction croissante, on
a:
f ^1 h G f ^un + 1h G f ^unh ,
donc comme 1 G 2 , on a : 1 G un + 2 G un + 1 .
◗ Conclusion : la suite u est minorée par 1 et décroissante.

7

40 1 Pour tout réel x ! @ - 1 ; + 3 6 ,

6
2 0.
^ x + 1h2
La fonction f est strictement croissante sur @ - 1 ; + 3 6 .
1 Démontrons par récurrence la propriété :
P^nh : « un 2 2  ».
◗ Initialisation : P^0 h :  u0 = 3 2 2 est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors un + 1 2 2 .
En tenant compte de l’hypothèse de récurrence et
comme f est une fonction croissante, on a f ^unh 2 f ^2 h,
donc comme f ^2 h = 2 , on a un + 1 2 2 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un 2 2 .
3 Pour tout entier naturel n :
-^unh2 + 3un - 2
^2 - unh^un - 1h
=
.
un + 1 - un =
un + 1
un + 1
f l^ x h =

La suite v semble croissante.
2 On pose pour tout entier n, P^nh :
« vn H 0  ».
◗ Initialisation : v0 = 0 , donc P^0 h est vraie.
◗ Démontrons que si vn H 0 , alors vn + 1 H 0 .
Si vn H 0 , alors 2vn + 1 H 1 ,
donc vn + 1 H 0 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, vn H 0.
3 vn + 1 - vn H vn + 1 H 0 d’après la question précédente. Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 H vn . La
suite v est croissante.
10

5

Suites numériques

Comme un 2 2 , 2 - un 1 0 et un - 1 H 0 , donc
un + 1 - un G 0 . Pour tout entier naturel n, un + 1 G un .
La suite u est décroissante.

48 a. • La suite u est décroissante.

41 Démontrons par récurrence la propriété :

3n - 1
».
P^nh : « pour tout entier n H 1 , un =
2
◗ Initialisation :
30 - 1
31 - 1
= 0 et u1 =
= 1 , P^0 h et
comme u0 =
2
2
P^1 h sont vraies.
◗ Soit un entier n H 1 . Démontrons que si P^nh est vraie,
3n + 1 - 1
alors un + 1 =
.
2
En tenant compte de l’hypothèse de récurrence
3n - 1
3n - 1 - 1
4 # 3n - 4 - 3n + 3
-3
=
un + 1 = 4
,
2
2
2
n+1 3
1
.
soit :
un + 1 =
2
3n - 1
.
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un =
2
2 Limite finie ou infinie d’une suite
42 a. Faux.

b. Faux.

c. Vrai.

d. Faux.

43 a. Faux.

b. Vrai.

c. Vrai.

d. Faux.

44 1 Faux.

2 Faux.

45 1 a. 0 G u 1 e + 1 1 e + n 2 1 H E c 1 m .
n

e
e
n
b. Pour tout réel e strictement positif, il existe un entier
1
p = 1 + E c e m tel que dès que n H p , on a 0 G un 1 e ,
donc lim un = 0 .
2 On démontre de même que :

lim

n "+3

1
= 0.
n

1
2 = 0 et
n "+3 n
lim

46 1 Comme la suite u converge vers , , pour

,l - ,
, il existe un entier p tel que si n H p , alors
2
un ! @ , - f ; , + f 6 .
2 Comme la suite u converge vers ,l , pour
,l - ,
, il existe un entier m tel que si n H m , alors
f1
2
un ! @ ,l - f ; , + f 6 .
Comme les deux intervalles précédents sont disjoints,
dès que n H sup ^ p, mh il y a impossibilité. Donc les
limites , et ,l ne peuvent pas être différentes.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

f1

47 Soit e un réel strictement positif.

1 Pour x ! 60 ; + 3 6 ,

1 - 3x est telle que
x+2
1 0 . Donc la fonction f est décrois-

49 a. • La fonction f : x

7

-7
^ x + 2h2
sante sur 60 ; + 3 6 . La suite u est décroissante.
• On conjecture que la suite u converge vers - 3.
• Pour n H 69 999 , un ! @ - 3 - 10-4 ; - 3 + 10-4 6 .
f l^ x h =

7
• Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p = 1 + E c e m
tel que si n H p , alors un + 3 1 e .
Donc la suite u converge vers - 3.
x2
est telle que
b. • La fonction f : x
1 + x2
2x
H 0 . Donc la fonction f est croisf l^ x h =
^1 + x2h2
sante sur 60 ; + 3 6 . La suite u est croissante.
• On conjecture que la suite u converge vers 1.
• Pour n H 100 , un ! @ 1 - 10-4 ; 1 + 10-4 6 .
• Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p tel que si n H p,
1
alors un - 1 1 e (il suffit que p2 2 - 1 ).
e
Donc la suite u converge vers 1.

7

Utiliser des définitions

n "+3

• On conjecture que la suite u converge vers 0.
• Pour n H 20 000 , un ! @ - 10-4 ; 10-4 6 .
2
• Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p = 1 + E c e m
tel que si n H p , alors un 1 e .
Donc la suite u converge vers 0.
b. • La suite u est décroissante.
• On conjecture que la suite u converge vers 0.
• Pour n H 99 980 001 , un ! @ - 10-4 ; 10-4 6 .
• Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier
1 2
p = 1 + E ca1 - k m tel que si n H p alors un 1 e .
e
Donc la suite u converge vers 0.

3
3-e
.
1e + x 2
2e
2x + 1
3-e m
2 a. On pose p = 1 + E c
. Pour tout entier
2e
n H p, on a 0 G un 1 e .
b. On en déduit que la suite u converge vers 0.

50 1 On considère une suite u qui converge vers , .

Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p tel que si n H p,
alors un ! @ , - e ; , + e 6 .
On pose M le plus grand des réels u0, u1, f, up, , + e .
Alors, pour tout entier naturel n, un G M .
Donc la suite u est majorée.
On démontre de même que la suite u est minorée.
2 Une suite peut être bornée sans pour autant
converger, par exemple, la suite géométrique de raison
- 1.
51 1 Soit un réel A.

• A 1 0 , pour tout entier naturel un 2 A .
• Si A H 0 , alors un 2 A + n 2 A2 .
2 Quel que soit le réel A, dès qu’on a n 2 A2 , on a un 2 A.
Donc la suite u diverge vers + 3 .
52 1 On résout :

n2 + 3
2 10 + n2 - 10n + 3 2 0 , car n H 1.
n
On calcule D = 88   ; x1 = 5 - 22 . 0,3 et
x2 = 5 + 22 . 9,7 .
Comme n est entier, on a un 210 + n H 10 .
un 2 10 +

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

11

Ainsi, à partir du rang n0 = 10 , tous les termes de la
suite u appartiennent à l’intervalle @ 10 ; + 3 6 .
2 On résout :
n2 + 3
un 2 A +
2 A + n2 - A # n + 3 2 0 , car n H 1 .
n
On calcule D = A2 - 12 .
• Si A 1 12 , on a D 1 0 , et, pour tout entier n,
n2 - A # n + 3 2 0 . On peut choisir n0 = 0 .
A
,
• Si A = 12 , on a D = 0 , et, pour tout entier n !
2
2- # +
n
A n 3 2 0 . On peut choisir n0 = 0 .
• Si A 2 12 , on a D 2 0 , et pour tout entier
A + A2 - 12
, n2 - A # n + 3 2 0 .
n2
2
A + A2 - 12 n +
On peut choisir n0 = E d
1.
2
Ainsi, à partir du rang n0 , tous les termes de la suite u
appartiennent à l’intervalle @ A ; + 3 6 .
3 Par définition, la suite u diverge vers + 3 .
Donc lim un =+ 3 .

1
2 a. un = n2 et vn =
. On a lim un =+ 3
n
n "+3
lim vn = 0 ; lim un # vn = lim n =+ 3 .

n "+3

2x2 - 3 est croissante sur
60 ; + 3 6 . La suite u est croissante.
On conjecture que la suite u diverge vers + 3 .
i. Pour n H 224 , alors un H 105 .
ii. Pour n H 707 107 , alors un 2 1012 .
A+3
• Pour tout réel A 2 0 , il existe un entier p H
2
tel que si n H p , alors un H A .
Donc la suite u diverge vers + 3 .
2 • La fonction f : x
2 x + 5 est croissante sur
60 ; + 3 6 . La suite u est croissante.
On conjecture que la suite u diverge vers + 3 .
i. Pour n H 3 # 109 , alors un 2 105 .
ii. Pour n H 3 # 1023 , alors un 2 1012 .
A - 5 m2
• Pour tout réel A 2 0 , il existe un entier p H c
2
tel que si n H p , alors un H A .
Donc la suite u diverge vers + 3 .

7

7

54 Soit A 2 0 . On a - 2n2 + 3 1 - A + n 2

A+3
.
2

Pour tout réel A 2 0 , il existe un entier
A+3 m
tel que si n H p , alors vn G - A .
p = 1 + Ec
2
La suite v diverge vers - 3 .
Utiliser des opérations sur les limites
55 1 a. lim u =+ 3 et lim v =- 3 ;
n
n
n "+3

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

n "+3

lim ^un + vnh = lim 1 - n2 =- 3 .

n "+3

n "+3

c. lim un =+ 3 et lim vn =- 3 ;
n "+3

n "+3

lim ^un + vnh = lim 3 = 3 .

n "+3

n "+3

d. lim un =+ 3 et lim vn =- 3  ;
n "+3

n

n "+3

un + vn = ^- 1h qui n’a pas de limite.
12

Livre du professeur - CHAPITRE 1

et

1
. On a lim un =+ 3 et
n
n "+3
lim vn = 0 ; lim un # vn = lim - n =- 3

c. un = n

2

et vn =-

n "+3

n "+3

n "+3

4
d. un = n et vn = . On a
lim un =+ 3
n
n "+3
lim vn = 0 ; lim un # vn = lim 4 = 4 .
n "+3

n "+3

et

n "+3

56 a. lim u = lim - 4n =- 3 .
n
n "+3

n "+3

b. lim vn = lim n2 =+ 3 .
n "+3

n "+3

57 a. lim u =+ 3 .
n
n "+3

b. lim vn = lim n3 =+ 3 .
n "+3

n "+3

3
= 0.
2
n "+3
n "+3 n
2
2
= lim
= 0 . Donc lim vn = 5 .
b. lim
n "+3 n + 1
n "+3 n
n "+3
58 a. lim u = lim
n

59 a. Pour tout entier n ! 0 ,

5
5
k
3n
n
=
un =
.
1
1
n a2 + k
2+
n
n
5
1
= 3 et lim 2 +
= 2.
Or, lim 3 n
n
n "+3
n "+3
3
Donc, par quotient, lim un = .
2
n "+3
b. Pour tout entier n ! 0 ,
2
2
n2 a1 - k
n a1 - k
n
n
=
.
un =
3
3
+1
na + 1k
n
n
2
3
= 1 et lim
+ 1 = 1.
Or, lim n =+ 3  ; lim 1 n
n "+3
n "+3
n "+3 n
Donc, par produit et quotient, lim un =+ 3 .
n a3 -

n "+3

60 a. La suite u est divergente.

b. On a vn =
Comme lim

n "+3

61 a. On a

n "+3

n "+3

lim un =+ 3

n "+3

1
= 0.
n "+3 n

n "+3

n "+3

n "+3

b. lim un =+ 3 et lim vn =- 3 ;

n "+3

lim vn = 0 ; lim un # vn = lim

lim ^un + vnh = lim n2 =+ 3 .

n "+3

n "+3

1
b. un = n et vn = 2 . On a
n

n "+3

53 1 • La fonction f : x

et

1
.
n+1 + n
n + 1 + n =+ 3 , on a lim vn = 0 .
n "+3

lim n2 =+ 3 et lim

n "+3

n "+3

1
= 0 , donc
n+1

lim un =+ 3 .

n "+3

b. On a

lim

n "+3

lim vn =- 3 .

1
= 0 et
n2

lim 2 n =+ 3 , donc

n "+3

n "+3

62 a. On a lim 3 = 0 et lim
n "+3 n

Donc lim un = 2 .
n "+3

Suites numériques

3
2 = 0.
n "+3 n

b. On a lim

n "+3

n =+ 3 et lim

donc lim vn =+ 3 .

n "+3

1
= 0,
n

3 Limites et comparaison
67 1 a. Vrai.

n "+3

63 a. lim u = lim 3n = lim 3 = 0 .
n
2

n
n "+3 n
3n
b. lim vn = lim
2 = lim 3 = 3 .
n "+3
n "+3 n
n "+3
n "+3

b. Faux.

c. Vrai.

2 Faux.

68 1 Vrai.

n "+3
2

2 Faux.

3 Vrai.

4 Vrai.

Théorème de majoration, de minoration

2
64 a. lim u = lim - n = lim - 1 =- 1 .
n
2
2
n "+3
n " + 3 2n
n "+3 2
2 + - -1/n
n
n 1
.
b. vn =
2n2
n2
1
Donc lim vn = lim d 2 n = .
2
n "+3
n " + 3 2n

69 1 C’est la définition de lim v .
n
n "+3

2 Comme à partir du rang p, vn 1 A et un G vn , on en

déduit que, pour tout entier n H p , un 1 A . On en déduit
que la suite u diverge vers - 3 .

En situation

70 a. Pour tout entier naturel n, n2 - n G u G n2 + n.
n

Comme lim n2 - n =+ 3 , on en déduit que :

65 1 Il semble que la suite u converge vers 0 :

n "+3

lim un =+ 3 .

n "+3

b. Pour tout entier naturel n, - 3n G un G - n , comme
lim - n =- 3 , on en déduit que lim un =- 3 .
n "+3

n "+3

71 1 La fonction x

2 Pour tout entier naturel n :

1 + un
1
1
+1 =
+1 =
+ 1 + 1 = vn + 1.
un + 1
un
un
Donc la suite v est arithmétique de raison 1 et de terme
1
+ 1 = 2 + 1 = 3.
initial v0 =
un
3 Pour tout entier n, vn = 3 + 1 # n = 3 + n .
1
1
1
=
+ 1 . Donc un =
.
Or, vn =
un
vn - 1
2+n
1
= 0 , la suite u converge vers 0.
Comme lim
n "+3 2 + n
x+1
66 1 La fonction f : x
est telle que :
2x3 + 1
3+
24x
6x
1
f l^ x h =1 0 sur 61 ; + 3 6 .
2
3
^2x + 1h
Donc la fonction f est décroissante.
La suite u est décroissante.
n
2 On a lim un = lim
3 = 0.
2
+
+
n" 3
n" 3 n
n+1
3 a. La distance entre un et 0 est égale à
.
2n3 + 1
b. On modifie l’algorithme comme ci-dessous.
c. i. Pour e = 10-2 on obtient N = 8 .
ii. Pour e = 10-5 on obtient N = 225 .
vn + 1 =

7

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

ALGO

Variables :
N : entier ; e : réel
Début :
Entrer (e)
N ! 0;
N+1
TantQue
H e faire
2N3 + 1
N ! N + 1 ;
FinTantQue
Afficher (N) ;
Fin.

7

1
est strictement décroisx

sante sur @ 0 ; + 3 6 .
Donc pour tout entier k tel que 1 G k G n ,
1
1
.
H
1H
k
n
2 Pour tout entier n H 1 :
1
1
1
1
1
;
 ;
 ; … ;
H
H
1H
2
n
3
n
n
1
1
.
H
n-1
n
En ajoutant membre à membre, on obtient :
1
1
1
+f+
un H
.
n
n . Donc un H n #
n
1 4444 2 4444 3
n termes

Ainsi, un H
3 Comme

n.
lim

n "+3

n =+ 3 , d’après le théorème de

minoration, on a lim un =+ 3 .
n "+3

72 1 Il semble que la suite u diverge vers - 3 .
2 a. Pour tout entier naturel n, on note P^nh la

propriété : « vn G 0 ».
◗ Initialisation : pour n = 0 , on a v0 = 0 G 0 .
Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que : vn G 0 .
On en déduit que 2vn - 3 G - 3 , soit vn + 1 G - 3 .
Ainsi, vn + 1 G 0 , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h
est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 ,
P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier n H 0 , vn G 0 .
Or, vn + 1 - vn = 2vn - 3 - vn = vn - 3 .
Donc :
vn + 1 - vn G - 3 .
b. Pour tout entier naturel n,
vn = ^vn - vn - 1h + ^vn - 1 - vn - 2h + f + ^v1 - v0h .

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

13

Et, comme pour tout entier k, vk - vk - 1 G - 3 , on a :
vn G ^- 3h + ^- 3h + f + ^- 3h
1 444444 2 444444 3 .
n termes

Donc vn G - 3n .
c. Comme lim - 3n =- 3 , d’après le théorème de
n "+3

majoration, on a lim vn =- 3 .
n "+3

Ainsi, la suite v diverge vers - 3 .

n "+3

2
2
73 1 f ^ x h - ^ x + 1h = x - x + 1 = c 1 x - 1 m H 0.

2
4
Donc, pour tout réel x, f ^ x h H x + 1 .
2 D’après 1 , un + 1 - un = f ^unh - un H 1 . La suite u est
croissante.
3 un - u0 = ^un - un - 1 h + ^un - 1 - un - 1h + f
+^u1 - u0h .
Donc d’après 2 , un - u0 H 1 + 1 + f + 1 , soit
un H n + 3 .
On en déduit que lim un =+ 3 .
n "+3

4 Pour que un H 10 6 , il suffit que n + 3 H 103 , soit

n H 103 - 3 ; on prend, par exemple, N = 997 .
Théorème des gendarmes

-1
1
G un G
.
n+1
n+1
-1
1
= 0 et lim
= 0 , on
Comme lim
+
+
n
1
n
1
n "+3
n "+3
en déduit que lim un = 0 d’après le théorème des
n "+3
gendarmes.
b. Pour tout entier naturel n non nul, - 1 G cos n G 1,
-1
-1
1
on a
lim
2 G vn G
2 . Comme
2 = 0 et
n
n
n "+3 n
1
lim 2 = 0 , on en déduit que lim vn = 0 d’après le
n "+3 n
n "+3
théorème des gendarmes.
74 a. Pour tout entier naturel n,

1
est
+
n
k
1
1
1
.
décroissante. Donc
G
G
+
n
1
n+ n
n+ k
On en déduit que :
n
n
.
G un G
n+1
n+ n
n
1
2 lim
= lim
=1
n "+3 n + n
n "+3 + 1
1
n
n
1
= lim
= 1.
et lim
n "+3 n + 1
n "+3 + 1
1
n
Donc lim un = 1 d’après le théorème des gendarmes.
75 1 La suite de terme général v =
k

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

n "+3

76 1 Pour tout entier n H 2 :
n

3n + ^- 1h cos ^nh
-3
n-1
n
n
3n + ^- 1h cos ^nh - 3n + 3
3 + ^- 1h cos ^nh
=
=
.
n-1
n-1
2 Pour tout entier n H 2 :
- 1 G ^- 1hn cos ^nh G 1 , donc 2 G 3 + ^- 1hn cos ^nh G 4.
un - 3 =

14

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Comme n - 1 H 1 , on obtient :
2
4
.
G un - 3 G
n-1
n-1
4
.
On en déduit que un - 3 G
n-1
4
= 0 , par le théorème des gendarmes,
Avec lim
n "+3 n - 1
on obtient que lim un - 3 = 0 .
On en déduit que lim un = 3 .
n "+3

3 Pour que un - 3 G 0,01 , il suffit que

4
G 0,01 ,
n-1

c’est-à-dire que n H 401 .
À partir du rang N = 401 , on est sûr que la distance
entre un et 3 est inférieure à 0,01.
77 1 u . 1,9964 et u . 2 .
10
100

La suite u semble converger vers 2.
2 Pour tout entier naturel n, - 3 G - 3 sin n G 3 . On en
déduit que, pour tout entier naturel non nul n :
2n2 + 3
2n2 - 3
G un G 2
2+
n
1
n +1
22n
3
2n2
= lim
lim
2+
2 = 2.
1
n "+3 n
n "+3 n
De même,
2n2 + 3
2n2
= lim
lim
2+
2 = 2.
1
n "+3 n
n "+3 n
On en déduit que la suite u converge vers 2 en utilisant
le théorème des gendarmes.
3 a. D’après 2 , pour tout entier n :
-5
1
.
G un - 2 G 2
n2 + 1
n +1
5
.
b. On a donc un - 2 G 2
n +1
Pour que la distance entre un et 2 soit inférieure à 10-3 ,
5
il suffit que 2
G 10-3 , soit n H 71 .
n +1
c. Non, u74 . 2,0002 .
4 Convergence de certaines suites
78 1 Vrai.

2 Faux.

3 Vrai.

79 1 Vrai.

2 Vrai.

3 Faux.

4 Vrai.

Cas des suites monotones
80 1 La fonction

7

f : x
1 + x et la fonction
x
1 + x ont même sens de variations sur l’intervalle 6- 1 ; + 3 6 . Donc la fonction f est croissante sur
6- 1 ; + 3 6 .
2 Remarque : l’équation f ^ x h = x admet bien une
unique solution, car :
f ^ x h = x + 1 + x = x + 1 + x = x2 et x H 0
+ x2 - x - 1 = 0 et x H 0
+ x = 1 +2 5 .
1+ 5
On sait que a =
. 1,618 .
2

Suites numériques

7

La fonction f est croissante sur 6- 1 ; + 3 6, donc sur 61 ; a @.
Donc, pour tout réel x de 61 ; a @, f ^1 h G f ^ x h G f ^ah .
Or, f ^1 h = 2 , et f ^ah = a . Donc 2 G f ^ x h G a .

On en déduit que 1 G f ^ x h G a , c’est-à-dire f ^ x h ! 61 ; a @.
3 Pour tout entier naturel n, on note la propriété :
« 1 G un G a et un G un + 1  ».
◗ Initialisation : pour n = 0 , on a u0 = 1 .
Donc 1 G u0 G a .
Et u1 = 1 + 1 = 2 . Donc u0 G u1 .
Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que :
1 G un G a et un G un + 1 .
D’après la question 2 , f ^unh ! 61 ; a @.
Donc 1 G un + 1 G a .
De plus, la fonction f est croissante sur 61 ; a @.
Donc f ^unh G f ^un + 1h .
On en déduit un + 1 G un + 2 .
Ainsi, la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 ,
P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier n H 0 , 1 G un G a et un G un + 1 .
4 D’après la question 3 , la suite u est croissante et
majorée (par a).
Donc la suite u converge.
81 1

Variables :
e, U, L : réels ; N : entier ;
Début :
Entrer(e) ;
N ! 0;
U ! 0;
5 + 29
L!
;
2
TantQue L – U H e Faire
N ! N + 1 ;
5
U ! 6;
U+1
FinTantQue ;
Afficher(N) ;
Fin.
b. i. N = 6  ;

ii. N = 10 .

82 1 Démontrons par récurrence que pour tout entier

y




1
0
u0

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

Comme f ^0 h = 1 et f ^ah = a on a bien :
0 G un + 1 G un + 2 G a .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n,
0 G un G un + 1 G a .
3 La suite u est croissante et majorée. Donc elle
converge vers la solution de l’équation f ^ x h = x .
Donc sa limite , est égale à a .
4 a. ALGO

1
u1

u2

u3

Il semble que la suite u soit croissante et converge vers
un réel compris entre 5 et 6.
2 a. f ^ x h = x + x2 - 5x - 1 = 0 , qui admet pour
5 + 29
solution a =
dans 60 ; + 3 6 .
2
b. Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, 0 G un G un + 1 G a .
◗ Initialisation : u1 = 1 .
Donc 0 G u0 G u1 G a .
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G un + 1 G a est
vraie, alors :
0 G un + 1 G un + 2 G a .
La fonction f est dérivable sur 60 ; + 3 6 et
5
, donc f est croissante sur 60 ; + 3 6 .
f l^ x h =
^ x + 1h2
En utilisant l’hypothèse de récurrence,
f ^0 h G f ^unh G f ^un + 1h G f ^ah .

naturel n, un H 0 .
◗ Initialisation : u0 = 0 .
◗ Hérédité : démontrons que si un H 0 , alors un + 1 H 0.
D’après l’hypothèse de récurrence, u n2 + 3un + 1 H 0 ,
donc un + 1 H 0 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 0 :
un + 1 - un = u n2 + 2un + 1 H 0 .
Donc la suite u est croissante.
2 Si la suite u est majorée, comme elle est croissante, elle converge vers une solution de l’équation
2
x = x2 + 3x + 1 + ^ x + 1h = 0 + x =- 1 .
3 La suite étant positive, elle ne peut pas converger vers
- 1.
Donc la suite u n’est pas majorée. Comme elle est croissante, elle diverge vers + 3 .
4 a.

ALGO

Variables :
A, U : réels ; N : entier ;
Début :
Entrer(A) ;
N ! 0;
U ! 0;
TantQue U G A Faire
N ! N + 1 ;
U ! U² + 3U + 1 ;
FinTantQue ;
Afficher(N) ;
Fin.
b. i. N = 4  ;

ii. N = 5 .

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

15

83 1 Démontrons par récurrence que pour tout entier

naturel n, 0 G wn G 1 .
◗ Initialisation : w0 = 0,6 , donc w0 ! 60 ; 1 @.
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G wn G 1 est vraie,
alors 0 G wn + 1 G 1 .
La fonction f : x
0,7x + 0,1 est croissante sur R. En
utilisant l’hypothèse de récurrence, f ^0 h G f ^wnh G f ^1 h.
Comme f ^0 h = 0,1 et f ^1 h = 0,8, on a bien
0 G wn + 1 G 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, wn + 1 G wn .
2 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, wn + 1 G wn .
◗ Initialisation : w1 = 0,56 , donc w1 G w0 .
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G wn + 1 G wn est
vraie, alors 0 G wn + 2 G wn + 1 .
La fonction f est croissante sur R. En utilisant l’hypothèse de récurrence, f ^wn + 1h G f ^wnh .
Donc on a bien wn + 2 G wn + 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, wn + 1 G wn .
La suite w est décroissante.
3 La suite w est décroissante et minorée par 0. Donc elle
converge vers une solution de l’équation f ^ x h = x , qui
1
est ici .
3

7

Limite d’une suite géométrique
n
84 a. La suite de terme général c 2 m est une suite

3
2
géométrique de raison . Donc elle converge vers 0.
3
Donc lim un =- 1 (opération sur les limites).
n "+3

6 n
b. vn = 7 n cc 7 m - 1 m . La suite de terme général
6 n
c m est une suite géométrique de raison 6 , donc
7
7
elle converge vers 0 ; la suite de terme général 7 n est
géométrique de raison 7, donc elle diverge vers + 3 ,
donc lim vn =- 3 (opération sur les limites).
n "+3

85 a. Pour tout entier naturel n,

5 n
5n + 3
= 53 # c m .
n
8
8
n
5
5
Or,
1 1 . Donc lim c 8 m = 0 .
8
n "+3
On en déduit que lim un = 0 .
un =

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

n "+3

b. On factorise par les termes dominants au numérateur
et au dénominateur. Pour tout entier naturel n :
3 n
3 n
4 n # aa k - 1 k
4 n a 4 k -1
4
.
vn =
n =a 3 k #
2 n
n#c + 2
3
1 c mm
1+c m
3
3
3 n
4 n
On a : lim c 3 m =+ 3  ; lim c 4 m = 0
n "+3
n "+3
2 n
et lim c 3 m = 0 .
n "+3
Par produit et quotient, on obtient :
lim vn =- 3 .
n "+3

16

Livre du professeur - CHAPITRE 1

n

86 a. lim 1 = 0 et la suite de terme général c 1 m

3
n "+3 n
1
est une suite géométrique de raison
, donc elle
3
converge vers 0. Donc lim un = 0 (opération sur les
n "+3
limites).
n
3
b. vn = c 4 m est le terme général d’une suite géomé3
trique de raison
, donc convergeant vers 0.
4
Donc lim vn = 0 .
n "+3

87 Démontrons par récurrence pour tout entier n H 1

que : pour tout entier non nul k G n , uk = 2 # 3 k - 2 k .
◗ Initialisation :
u1 = 2 # 31 - 21 = 4 et u2 = 2 # 32 - 22 = 14 vérifiées.
◗ Hérédité : soit un entier n H 2 . Démontrons que si
pour tout entier k, 1 G k G n , on a uk = 2 # 3 k - 2 k ,
alors un + 1 = 2 # 3 n + 1 - 2 n + 1 .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
un + 1 = 5^2 # 3 n - 2 nh - 6^2 # 3 n - 1 - 2 n - 1h .
Donc : un + 1 = 10 # 3 n - 5 # 2 n - 4 # 3 n + 3 # 2 n .
Donc : un + 1 = 6 # 3 n - 2 # 2 n = 2 # 3 n + 1 - 2 n + 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1 ,
un = 2 # 3 n - 2 n
2 n
un = 2 # 3 n c1 - c m m .
3
2 n
La suite de terme général c 3 m est une suite géomé2
qui converge vers 0. La suite de
trique de raison
3
terme général ^3 hn est une suite géométrique de raison
qui diverge vers + 3 . Donc lim un =+ 3 .
n "+3

88 Il s’agit de calculer la limite de la suite de terme

2 n
rc
2
1 + + f + c 3 m m , c’est-à-dire la
2
3
somme des n premiers termes d’une suite géométrique
2
de raison .
3
2 n+1
1-c 3 m
r
r
r 2 n+1
= 3 -3 c m
.
Donc :
sn =
2
2
2
2 3
13
2
converge vers 0.
Toute suite géométrique de raison
3
3r
. Le ressort a pour longueur
Donc lim sn =
2
n "+3
3r
cm.
2
général sn =

89 1 La suite de terme général u = 1 est une suite
k
k

géométrique de raison
n+1

1
=
10 k

1
. Donc :
10

10

1 n+2
1 - c 10 m

1
1
1
-1=
c1 - n m .
1
10
90
10
k=2
110
n+1
1
2 vn = 1, 2 + 7 f /
k p, donc :
10
k=2

/

7
7
1
.
1 - n m , donc lim vn = 1,2 +
90
90 c
10
n "+3
7
115
=
.
Soit lim vn = 1,2 +
90
90
n "+3
vn = 1,2 +

Suites numériques

Prépa Bac
Exercices guidés
90 1 Vrai. Démontrons par récurrence que pour tout

n
.
n+1
0
= 0 vraie.
◗ Initialisation : u0 =
1
n
, alors
◗ Hérédité : démontrons que si un =
n+1
n+1
.
un + 1 =
n+2
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
n^n + 2h + 1
n
1
+
=
un + 1 =
n+1
^n + 1h^n + 2h
^n + 1h^n + 2h
^n + 1h2
=
.
^n + 1h^n + 2h
n+1
Donc un + 1 =
.
n+2
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n,
n
.
un =
n+1
2 Faux. Pour tout entier naturel n non nul :
n^n + 1h
1
1
1
=
+
.
Sn = 2 ^1 + 2 + f + nh =
2
n
2
2
n
2n
1
est décroissante et elle
La suite de terme général
2n
1
1
= 0.
converge vers , car lim
2
n " + 3 2n
n
3 Vrai. Pour tout entier naturel n, 0 G 1 + ^- 1h sin n G 2,
2
donc 0 G vn G
G 2 . La suite v est bornée par
n+1
0 et 2, et elle converge vers 0 d’après le théorème des
gendarmes.
entier naturel n , un =

91 1 a. Pour tout réel x de l’intervalle 60 ; 14 @ ,

f l^ x h = 1,4 - 0,1x H 0 . Donc la fonction f est croissante sur 60 ; 14 @.
b. Sur 60 ; 14 @, f ^ x h = x + x^0,4 - 0,05x h = 0 + x = 0
ou x = 8 .
c. La fonction f est croissante sur 60 ; 14 @. Si 0 G x G 8,
alors f ^0 h G f ^ x h G f ^8 h , soit f ^ x h ! 60 ; 8 @.
De même, si x appartient à l’intervalle 68 ; 14 @, alors
f ^ x h appartient à l’intervalle 68 ; 14 @.
2 a.
y

On peut conjecturer que la suite u est croissante et
semble converger vers 8.
b. Démontrons par récurrence, que pour tout entier
naturel n, 0 G un G un + 1 G 8 .
◗ Initialisation : u0 = 6 et u1 = 6,6 , donc 0 G u0 G u1 G 8 .
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G un + 1 G 8 , alors
0 G un + 1 G un + 2 G 8 .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a
0 G un G un + 1 G 8 et comme f est croissante sur
60 ; 8 @ , on a :
f ^0 h G f ^unh G f ^un + 1h G f ^8 h ;
donc 0 G un + 1 G un + 2 G 8 .
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n,
0 G un G un + 1 G 8 .
La suite u est donc croissante et majorée par 8.
c. La suite u est croissante et majorée par 8. Donc elle
converge vers une solution de l’équation f ^ x h = x ,
c’est-à-dire 0 ou 8. Or, pour tout entier naturel n, un H u0,
soit un H 6 .
Donc la suite u converge vers 8.
3 On a f ^8 h = 8 .
◗ Si u0 ! @ 0 ; 8 6 , la suite u est croissante et converge vers
8 comme vu ci-dessus.
◗ Si u0 ! @ 8 ; 14 @, la suite u est décroissante à partir du
deuxième terme et converge vers 8.
◗ Si u0 = 8 , la suite u est stationnaire à 8.
◗ Si u0 = 0 , la suite u est stationnaire à 0.
92 1 a. Pour tout entier naturel n,

1
1
1
# vn .
=
u 5 n 5
5
1
et de
Donc la suite v est géométrique de raison
5
terme initial v0 = u0 - 1 = 12 .
1 n
b. Pour tout entier naturel n, vn = 12 # c 5 m . Donc :
1 n
un = 1 + vn = 1 + 12 # c 5 m .
1
Comme 0 1 1 1 , lim un = 1 .
5
n "+3
2 a. Pour tout entier naturel n,
Sn + 1 - Sn = ^u0 + f + un + un + 1 - ^n + 1h - 1h
vn + 1 = un + 1 - 1 =

-^u0 + f + un - n - 1h = un + 1 - 1 = 12 # c

1 n+1
m
.
5

Donc Sn + 1 - Sn 2 0 . La suite S est croissante.

1 1
S1 - S0 = 12 # c 5 m ,
1 n
1 2
S2 - S1 = 12 # c 5 m , … , Sn - Sn - 1 = 12 # c 5 m .
En sommant ces égalités, on obtient :
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

b. D’après la question



5

1
1 2
1 n
+a k + f +a k m
5
5
5
n
1
1 -a k
1
1 n
5
#
#
= 3 a1 - a k k .
= 12
5
1
5
15
Comme S0 = u0 - 1 = 12 , on a :
1 n
1 n
Sn = S0 + 3 - 3 # a k = 15 - 3 # a k .
5
5
Sn - S0 = 12 # c


1
0 1

2 a.,

5 u0 u1 u2 u3

10

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

17

1
1 1 , on a : lim Sn = 15 .
5
n "+3
3 a. L’algorithme donné est erroné. De proche en
proche, on calcule la somme des termes un , puis le
terme Sn , jusqu’à ce que la distance entre Sn et 15 soit
inférieure à 10-3 .

ALGO

c. Comme 0 1

Variables :
N : entier ; a ,u réels ;
Début :
Entrer (a) ;
N ! 0;u ! a;
TantQue u H 0,01 Faire
N ! N + 1 ;
u ! u2 + u ;
FinTantQue
Afficher (N) ;
Fin.

ALGO

Variables :
N : entier ;
U , Somme , S : réels ;
Début :
N ! 0;
U ! 13 ;
Somme ! U ;
S ! Somme – N – 1 ;
TantQue S - 15 2 10-3 Faire
N ! N + 1 ;
U ! U / 5 + 4/5 ;
Somme ! Somme + U ;
S ! Somme – N – 1 ;
FinTantQue ;
Afficher (N) ;
Fin.
b. Il s’agit de rajouter l’instruction : « Entrer (e) ; » et de
modifier la condition dans la boucle TantQue : « TantQue
S - 15 2 e Faire ».
c. i. N = 4  ;
ii. N = 8 .

Exercices d’entraînement
2
93 1 Pour tout entier naturel n, u
n + 1 - un = u n H 0 .

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

La suite u est croissante.
2 a. Pour tout x ! R , hl^ x h = 2x + 1 . Doù le tableau de
variations :
1
x
0 +3
-3 -1
2
+3
+3
h^ x h
0
0
1
4

On en déduit que, pour tout x appartenant à @ - 1 ; 0 6 , le
nombre h^ x h appartient aussi à @ - 1 ; 0 6 .
b. Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, - 11 un 1 0 .
◗ Initialisation : u0 = a et a ! @ - 1 ; 0 6 .
◗ Hérédité : démontrons que si - 1 G un G 0 , alors
- 11 un + 1 1 0 .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a un ! @ - 1 ; 0 6
et en utilisant la question 2 a. on a : h^unh ! @ - 1 ; 0 6,
donc - 11 un + 1 1 0 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, - 11 un 1 0 .
3 La suite u est croissante et majorée par 0, donc elle
converge vers une solution de l’équation h^ x h = x , soit
x2 = 0 , c’est-à-dire 0.
4 a. Voir ci-après l’algorithme complété.
b. Modifier les lignes :
Variables :
N : entier ; a, e, u réels ;
Entrer(e) ;
TantQue u H e .
18

Livre du professeur - CHAPITRE 1

c. i. N = 99 987 .
94

ii. N = 99 985 .

1 10w10 = ^10 + 1h w9 + 1 = 11 # 19 + 1 = 210 ,

donc w10 = 21 .
2 Il semble que la suite w soit une suite arithmétique de
raison 2 et de premier terme 1.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel
n, wn = 1 + 2n .
◗ Initialisation : 1 + 2 # 0 = 1 = w0 .
◗ Hérédité : démontrons que si wn = 1 + 2n , alors
wn + 1 = 1 + 2^n + 1h .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
^n + 1hwn + 1 = ^n + 2h^1 + 2nh + 1 = 2n2 + 5n + 3
et ^n + 1hwn + 1 = ^n + 1h^2n + 3h , soit wn + 1 = 2n + 3.
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, wn = 1 + 2n .
w2012 = 4 025 .
95 Partie A

Comme

lim un =+ 3 , pour tout réel A, il existe un

n "+3

rang N tel que pour tout entier n H N , un ! @ A ; + 3 6 .
Comme pour tout entier n, un G vn pour tout réel A,
il existe un rang N tel que pour tout entier n H N ,
vn ! @ A ; + 3 6 , donc lim vn =+ 3 .
n "+3

Partie B

5
14
14
; u2 =; u3 =.
3
9
27
2 a. Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n H 4 , un H 0 .
1
67
◗ Initialisation : u4 = u3 + 3 - 2 =
H 0.
3
81
◗ Hérédité : démontrons que pour n H 4 , si un H 0 ,
alors un + 1 H 0 .
Comme n H 4 , n - 2 2 0 et en utilisant l’hypothèse de
récurrence, on a un + 1 H 0 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 4 , un H 0 .
b. Comme n H 5 , un H 0 , donc un + 1 H n - 2 H n - 3 .
c. lim n - 3 =+ 3 . Donc, d’après le théorème de
1 u1 =-

n "+3

comparaison, lim un =+ 3 .
n "+3

21
, soit :
2
1
21
.
vn + 1 =- 2 c 3 un + n - 2 m + 3^n + 1h 2
2
7
vn + 1 =- un + n - .
3
2
1
Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 = vn .
3
3 a. vn + 1 =- 2un + 1 + 3^n + 1h -

Suites numériques

1
La suite v est une suite géométrique de raison
et de
3
25
.
premier terme v0 =2
b. On en déduit que pour tout n ! N ,
25 c 1 mn
2 3
1
3
21
, donc :
et comme un =- vn + n 2
2
4
25 c 1 mn 3
21
+ n.
un =
4 3
2
4
vn =-

97 Partie A

25 c 1 mn
est le terme général d’une suite
4 3
1
géométrique de raison
elle converge vers 0.
3
3
21
=+ 3 .
Donc lim un = lim
n4
n "+3
n "+3 2
4 Pour tout entier n H 4 , un H 0 et un H n - 3 . Donc :
Sn = u0 + u1 + f + un H u0 + f + u4 + n - 3 .
Donc lim Sn =+ 3 en utilisant le théorème de compac. Comme

n "+3

raison.

96 1 a.



©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

1 u4 u3 u2 u1

1
1
un + 1 - 1
un - 1
un + 2
1
1
=
= .
3
un - 1
3^un - 1h

vn + 1 - vn =

Partie B
1 a. La fonction f définie est dérivable sur 60 ; 20 @ et
1
f l^ x h = ^10 - x h , d’où le tableau de variations :
5
0

10

20

10
0

0

b. D’après le tableau ci-dessus pour tout x ! 60 ; 20 @,
f ^ x h ! 60 ; 10 @.

u05

2 • Démontrons par récurrence que pour tout entier

b. Il semble que la suite u soit décroissante et converge
vers 1.
2 a. Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, un H 1 .
◗ Initialisation : u0 = 5 , donc u0 H 1 .
◗ Hérédité : démontrons que si un H 1 , alors un + 1 H 1 .
La fonction f est dérivable sur @ - 2 ; + 3 6 et
9
f l^ x h =
2 0 . Donc la fonction f est une fonc^ x + 2h2
tion croissante sur @ - 2 ; + 3 6 . En utilisant l’hypothèse
de récurrence, on a un H 1 et comme f est croissante
sur @ - 2 ; + 3 6 on a f ^unh H f ^1 h .
Comme f ^1 h = 1 , on a un + 1 H 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 1 .
b. Pour tout entier naturel n :
^un - 1h2
=G0
un + 1 un
un + 2
d’après la question précédente.
Donc la suite u est décroissante.
c. La suite u est décroissante et minorée par 1. Donc la
suite u converge vers un réel , , solution de l’équation
f ^ x h = x , c’est-à-dire , = 1 .
3 a. Pour tout entier naturel n :

0

f ^xh

1
0

a. La suite u est croissante, donc pour tout entier n H n0,
on a un H un0 .
b. D’après la définition, l’intervalle ouvert @ , - 1 ; un0 6
contient , , donc il existe un rang N tel que pour tout
entier n H N , on a un ! @ , - 1 ; un0 6 .
c. D’après b., si n H sup ^N, n0h , un 1 un ce qui contredit
la question a.. Donc la suite u est majorée par , .

x



5

1
et de
Donc la suite v est arithmétique de raison
3
1
1
= .
terme initial v0 =
4
u0 - 1
1
n
+ .
b. Pour tout entier naturel n, vn =
4
3
12
1
= 1+
.
Donc un = 1 +
vn
3 + 4n
12
= 0 . Donc lim un = 1 .
c. On a lim
+
3
4n
+
n" 3
n "+3

naturel n, 0 G un G un + 1 G 10 .
◗ Initialisation : u0 = 1 et u1 = 1,9 , donc :
0 G u0 G u1 G 10.
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G un + 1 G 10 ,
alors 0 G un + 1 G un + 2 G 10 .
La fonction f est croissante sur 60 ; 10 @. En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
f ^0 h G f ^unh G f ^un + 1h G f ^10h
et comme f ^0 h = 0 et f ^10h = 10 , on en déduit que
0 G un + 1 G un + 2 G 10 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n,
0 G un G un + 1 G 10 .
3 La suite u est croissante et majorée par 10. Donc
elle est convergente vers une solution de l’équation
f ^ x h = x . Donc elle converge vers 10.
4 D’après cette modélisation, le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat ne dépassera
pas 10 millions.
98 Partie A
1 P1 : Faux ; P2 : faux  ; P3 : vrai ; P4 : vrai.
2 La propriété P3 est la négation de la proposition P1.

Partie B
1 Soit un entier p H 1 .
a. 4^ p + 1h + 1 - 4^4p + 1h = 1 - 12p .
b. Si p H 1 , alors 1 - 12p 1 0 .
Donc 4^4p + 1h 2 4^ p + 1h + 1 .
Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

19

2 Démontrons par récurrence que pour tout entier

naturel n 2 1 , 4 n 2 4n + 1 .
◗ Initialisation : 42 2 4 # 2 + 1 est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si 4 n 2 4n + 1 , alors
4 n + 1 2 4^n + 1h + 1 ;
4 n + 1 = 4 # 4 n , donc en utilisant l’hypothèse de récurrence, 4 n + 1 2 4 # ^4n + 1h H 4^n + 1h + 1 d’après la
question 1 b..
◗ Conclusion : pour tout entier naturel, n 2 1 ,
4 n 2 4n + 1 .
0
• Pour n = 0  : 4 = 1 et 4 # 0 + 1 = 1 .
• Pour n = 1  : 41 = 4 et 4 # 1 + 1 = 5 .

f est dérivable sur 60 ; 1 @ et
10
f l^ x h =
2 0 , d’où le tableau des variations de f :
^ x + 4h2

99 1 La fonction

x
f l^ x h

0

1
+

1
1
2
2 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, un ! I .
◗ Initialisation : u0 = 0 , donc u0 ! I .
◗ Hérédité : démontrons que si un ! I , alors un + 1 ! I .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, un ! I et le
tableau de variations ci-dessus, f ^unh ! I . Donc
un + 1 ! I .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un ! I .
3 a.
y
f ^xh

1

3x + 2
= x + ^1 - x h^ x + 2h = 0 .
x+4
Les solutions sont 1 et - 2.
La suite u étant positive, elle converge vers 1.
4 a. Pour tout entier naturel n :
3un + 2
-1
2un - 2
u
1
un + 4
=
=
.
vn + 1 = n + 1
5un + 10
un + 1 + 2
3un + 2
+2
un + 4
2
Donc vn + 1 = vn .
5
2
La suite v est une suite géométrique de raison .
5
1
1 c 2 mn
b. v0 =- . Donc vn =.
2
2 5
2v + 1
.
c. Pour tout entier naturel n, un = n
1 - vn
2 n
1-c 5 m
Donc :
.
un =
1 c 2 mn
1+
2 5
2
, donc elle
d.  La suite v est géométrique de raison
5
converge vers 0. La suite u converge donc vers 1 (opérations sur les limites).
100

Partie 1

1 On peut compléter un tableau de suivi des variables :

i
Étapes
n
u
S
Initialisation 3
1
1
0
Boucle « Tant Que »
2#1+ 1- 0= 3 1+ 3= 4 0+ 1= 1
013
2 # 3 + 1 - 1 = 6 4 + 6 = 10 1 + 1 = 2
113
2
# 6 + 1 - 2 = 11 10 + 11 = 21 2 + 1 = 3
213
Fin de la boucle « Tant Que »
Affichage : u = 11 et S = 21.
2

Valeur de n

0

1

2

3

4

5

Affichage de u

1

3

6

11

20

37

Affichage de S

1

4

10

21

41

78

Partie 2
1 Elles représentent les valeurs successives de un et Sn .
2 a. Recopier et compléter le tableau suivant :
n

0

1

2

3

4

5

un

1

3

6

11

20

37

un - n

1

2

4

8

16

32

n

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

0

u0

u1

u2 u3 1

x

b. Il semble que la suite u soit croissante et convergente
vers 2.
c. Pour tout entier naturel n, on a :
^1 - unh^un + 2h
.
un + 1 - un =
un + 4
Comme un ! I , on a 1 - un H 0 et un + 2 H 0 . Donc,
pour tout entier n, un + 1 - un H 0 . La suite u est croissante.
d. La suite u est croissante et majorée par 1, donc elle
converge vers une solution de l’équation f ^ x h = x .
20

Livre du professeur - CHAPITRE 1

On peut conjecturer que un - n = 2 .
b. Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, un = 2 n + n .
◗ Initialisation : u0 = 20 + 0 = 1 vraie.
◗ Hérédité : démontrons que, si un = 2 n + n , alors
un + 1 = 2 n + 1 + n + 1 .
un + 1 = 2un + 1 - n . Donc, en utilisant l’hypothèse
de récurrence, un + 1 = 2^2 n + nh + 1 - n   ; donc
un + 1 = 2 n + 1 + 2n + 1 - n , soit un + 1 = 2 n + 1 + n + 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un = 2 n + n .
3 Sn = ^2 0 + 0h + ^21 + 1h + f + ^2 n + nh
Sn = ^1 + 21 + f + 2 nh + ^1 + 2 + f + nh .

Suites numériques

Donc :
n^n + 1h
n^n + 1h
1 - 2n + 1
+
= 2n + 1 - 1 +
.
Sn =
2
2
1 2
5#6
= 78 .
Vérification : S5 = 26 - 1 +
2
101

Partie A
Soit un réel q. Si q ! @ 0 ; 16 , alors

1
2 1 et
q
n
1
1
,
lim c m =+ 3 . Donc, comme q n =
q
n "+3
1 n
c m
q
lim q n = 0 en utilisant les opérations sur les limites.
n "+3

Partie B
1 a. Pour n = 5 on obtient u = 5 000 # 0,85 = 1638,4 .
b. Modification :
Pour i allant de 1 à n faire u ! 0, 8u + 1500 ; FinPour
c. La suite u semble croissante et converger vers 7 500.
2 a. Pour tout entier naturel n,
vn + 1 = un + 1 - 7 500 = 0,8un + 1500 - 7 500
= 0,8^un - 7 500h = 0,8vn .
La suite v est une suite géométrique de raison 0,8 et de
premier terme v0 =- 2 500 .
b. Pour tout entier naturel n, vn =- 2 500 # 0,8 n .
Donc un = vn + 7 500 = 7 500 - 2 500 # 0,8 n .
3 • un + 1 - un = 2 500 # 0,8 n # 0,2 2 0 .
Donc la suite u est croissante.
• lim 0,8 n = 0 (suite géométrique de raison qui en
n "+3

valeur absolue est strictement inférieure à 1).
Donc lim un = 7 500 .
n "+3

4 a. On calcule un de proche en proche, jusqu’à ce que

la distance à 7 500 soit inférieure à 0,1.
b. Algorithme modifié.

Variables :
N : entier ; u ; e réels ;
Début :
N ! 0 ; u ! 5 000 ;
Entrer(e) ;
TantQue 7 500 - u H e Faire
N ! N + 1 ;
u ! 0,8 u + 1 500 ;
FinTantQue
Afficher (N) ;
Fin.

102

1 a. b.

103

Partie A

1 La suite u est non majorée si pour tout réel M, il existe

un entier naturel n tel que un H M .
2 Soit un réel M.
a. On suppose qu’il existe un entier n0 tel que un0 H M .
Comme la suite u est croissante, pour tout entier n H n0 ,
un H M .
b. On en conclut que la suite u diverge vers l’infini.
3 Si la suite u est croissante et non majorée, alors
lim un =+ 3 .
n "+3

Partie B
1 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, un H 1 .
◗ Initialisation : u0 = 1 H 1 .
◗ Hérédité : démontrons que si un H 1 , alors un + 1 H 1 .
1
Si un H 1 , alors
2 0 . Donc un + 1 H un H 1 .
un
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 1 .
1
2 Pour tout entier naturel n, un + 1 - un =
H 0.
un
La suite u est croissante.
3 a. Si la suite u est majorée, comme elle est croissante,
elle converge.
b. La limite , de la suite u est solution de l’équation
1
par unicité de la limite d’une suite.
x = x+
x
4 Comme l’équation précédente n’a pas de solution, la
suite u ne converge pas. Donc la suite u n’est pas majorée
et alors lim un =+ 3 .

ALGO

c. i. N = 36  ;

c. La suite u semble croissante et converger vers 4.
2 Si la suite u converge, les limites possibles sont les
1
solutions de l’équation 2x - x2 = x + x^ x - 4h = 0.
4
Les limites possibles sont 0 et 4.
3 La fonction f est croissante sur 60 ; 4 @ .
Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, 0 G un G 4 .
◗ Initialisation : u0 = 1 , donc u0 ! 60 ; 4 @.
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G 4 , alors
0 G un + 1 G 4 .
D’après l’hypothèse de récurrence, 0 G un G 4 et le fait
que f est croissante sur 60 ; 4 @, on a f ^0 h G f ^unh G f ^4h,
soit 0 G un + 1 G 4 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, 0 G un G 4 .
Pour tout entier naturel n,
1
un + 1 - un = un c1 - 4 un m H 0 d’après la question
précédente. La suite u est donc croissante.
4 La suite u est croissante et majorée par 4, donc elle
converge vers 4 d’après la question 2 .

ii. N = 46 .
y

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

n "+3

Problèmes
104

1
0

1 Pour tout entier naturel n :

1
2
+ u - un + 1 ;
u
3 n+1 3 n
2
2
soit vn + 1 =- ^un + 1 - unh =- vn .
3
3
vn + 1 = un + 2 - un + 1 =

1 u 0 u1

u2

u3

x

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

21

2
La suite v est une suite géométrique de raison et
3
de premier terme v0 = 1 .
2 Pour tout entier naturel n :
2
1
2
2
wn + 1 = un + 2 + un + 1 = un + 1 + un + un + 1 .
3
3
3
3
=
wn + 1 wn . La suite w est constante.
3 w0 = 1 . Donc pour tout entier naturel n, wn = 1 .
3
4 Pour tout entier naturel n, un =
w - vnh .
5^ n
n
2
Comme vn = c- 3 m et wn = 1 , on a :
un =

2 n
3c
1 - c- 3 m m .
5

2 n
3
Or, lim c- 3 m = 0 . Donc lim un = .
5
n "+3
n "+3
x
est croissante
1+x
sur 60 ; + 3 6 et f ^0 h = 0 et lim f ^ x h = 1 . Donc pour
x "+3
tout entier n, 0 G vn G 1 .
2 Vrai. Car dans ce cas, 1 + un converge vers un réel non
nul.
3 Vrai. Pour tout entier n, un G un + 1 .
Comme f est croissante, alors f ^unh G f ^un + 1h , c’est-àdire vn G vn + 1 .
vn
4 Faux. Pour tout entier naturel n, un =
.
1 - vn
Si la suite v converge vers 1, alors la suite u diverge.
105

106

1 Vrai. La fonction f : x

7

1 Si pour tout entier naturel n, un G M , la suite u

est majorée par M.
2 Si P1 et P5 sont vraies, alors la suite u converge.
3 Si P2 et P5 sont vraies, la suite u diverge vers + 3 .
4 Vrai.
107

1 a. On propose :

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

1 Si m H 83 , alors um H 5 .
2 Pour tout entier naturel n non nul,

1
H 0 . Donc la suite u est croissante.
n+1
3 Pour tout entier naturel n non nul et tout entier
naturel i inférieur à 2 n on a 2 n + i G 2 n + 2 n = 2 n + 1 ,
1
1
.
donc n + 1 G n
2 +i
2
4 a. La somme Sn comporte 2 n termes, chacun étant
1
supérieur à n + 1 d’après la question 3 .
2
2n
1
Donc Sn H n + 1 , c’est-à-dire Sn H .
2
2
b. Pour n H 1 ,
un + 1 - un =

1
1
1
k+a + k+ f
2
3
4
1
1
+c n
+f+ n
m.
2 +1
2 + 2n
Donc S0 + S1 + f + Sn = u2n + 2n = u2n+1 .
1
c. On a : S0 + S1 + f + Sn H ^n + 1h # . Donc :
2
n+1
n
1
+
. Donc la suite u n’est pas majorée.
u2 H
2
n+1
5 Comme lim
=+ 3 , on a alors lim un =+ 3.
2
+
n" 3
n "+3

Variables :
N, i : entiers ; U : réel ;
Début ;
Entrer(N) ;
U ! 1;
Pour i allant de 2 à N faire
1
U ! U # c1 - 2 m ;
i
FinPour ;
Afficher(U) ;
Fin.

109

1
b. La suite u semble décroissante et converger vers .
2
2 a. Pour tout entier, on a :
1
un + 1 = un c1 m,
+
^n 1h2
n^n + 2h
donc :
un + 1 =
un .
^n + 1h2
b. Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n H 2 :
n+1
.
un =
2n
Livre du professeur - CHAPITRE 1

108

S0 + S1 + f + Sn = a1 +

ALGO

22

2+1
1
3
=
=
vraie.
4
4
2#2
n+1
◗ Hérédité : démontrons que si un =
, alors
2n
^n + 1h + 1
.
un + 1 =
2^n + 1h
En utilisant l’hypothèse de récurrence :
n^n + 2h
n^n + 2h
n+1
.
un + 1 =
2 un , soit un + 1 =
2 #
2n
^n + 1h
^n + 1h
^n + 2h
Donc :
.
un + 1 =
2^n + 1h
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 2 ,
n+1
.
un =
2n
• On a pour tout entier n H 2 ,
-1
un + 1 - un =
G 0,
2n^n + 1h
donc la suite u est décroissante.
1
n
= .
• lim un = lim
2
n "+3
n " + 3 2n

◗ Initialisation : u2 = 1 -

a. Démontrons par récurrence que pour tout entier
kn
kk
.
G
n H k,
n!
k!
kk
kk
vraie.
◗ Initialisation : pour n = k ,
G
k!
k!
kn
kk
, alors
◗ Hérédité : démontrons que si
G
n!
k!
kn + 1
kk
.
G
k!
^n + 1 h !
kn + 1
kn
k
#
=
On a
, en utilisant l’hypothèse
n
!
+
n
1
+
^n 1h!
kn + 1
kk
k
kk
#
, car
de récurrence,
G
G
k!
k!
n+1
^n + 1h!
k
G 1.
n+1

Suites numériques

kn
kk
.
G
n!
k!

◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H k ,

x n kn
xn
=c m #
d’après la
k
n!
n!
x n c x mn k k
question précédente,
.
G k #
n!
k!
n
x
c. La suite de terme général c k m est géométrique de
x
inférieure à 1 en valeur absolue.
raison
k
x n
Donc lim c k m = 0 .
n "+3
x n kk
= 0.
On en déduit que lim c k m #
k!
n "+3
xn
= 0 d’après le théorème des gendarmes.
Donc lim
n " + 3 n!
b. Pour tout entier n H k  :

110

1 u1 = 1 , u2 =

2
24
1
, u = , u5 =
,
9
625
2 3

567
.
1562 500
La suite u semble décroissante et convergente vers 0.
2 a. Pour tout entier n H 1 :
+
^n + 1hn 1
^n + 1hn
un
n!
n!
= n #
= n #
n!
un + 1
^n + 1h!
n
n
u10 =

n "+3

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

Z
]] an + 1 = 0,9an + 0,1bn + 0,01cn
111 1
a. On a [ bn + 1 = 0,9bn + 0,1an + 0,01cn
]c
= 0,98cn
\ n+1
b. À l’aide du tableur, on obtient :

n "+3

que lim an = 5 500 et lim bn = 5 500 .

^n + 1hn
1 n
=
= c1 + m .
n
n
n
n
Comme ^1 + x h H 1 + nx , on a :
un
un
1
H 2.
H 1 + n # , c’est-à-dire
un + 1
n
un + 1
b. La suite u est strictement positive.
Pour tout entier naturel n, un H 2un + 1 H un + 1 .
Donc la suite u est décroissante.
u
u
u
un
3 a. En remarquant que n = 1 # 2 # f #
u0
u0
u1
un - 1
u
1
et que, pour tout entier naturel n, 0 1 n + 1 G , on a :
un
2
1
tout entier naturel n, 0 1 un G n - 1 .
2
1
b. lim n - 1 = 0 , donc d’après le théorème des
n "+3 2
gendarmes, lim un = 0 .
n "+3

On conjecture que la suite a est croissante à partir d’un
certain rang et converge vers 5 500, que la suite b est
croissante et converge vers 5 500 et que la suite c est
décroissante et converge vers 0.
c. Pour tout entier naturel n :
dn + 1 = an + 1 - bn + 1 = ^0,9an + 0,1bn + 0,01cnh
-^0,9bn + 0,1an + 0,01cnh .
Donc dn + 1 = 0,8^an - bnh = 0,8dn . La suite d est géométrique de raison 0,8 et de premier terme 3 000.
1 a. Les suites c et d sont géométriques. Donc pour tout
entier naturel n :
cn = 4 000 # ^0,98hn et dn = 3 000 # ^0,8hn .
b. On a pour tout entier naturel n :
an + bn + cn = 11000 et an = bn + dn .
1
Donc bn = 5 500 - ^dn + cnh , soit :
2
bn = 5 500 - 2 000 # 0,98 n - 1500 # 0,8 n
1
et an = 5 500 - ^cn - dnh , soit :
2
an = 5 500 - 2 000 # 0,98 n + 1500 # 0,8 n .
c. Comme lim cn = 0 et lim dn = 0 , on en déduit
n "+3

n "+3

Cela signifie qu’au bout d’un temps assez long, les populations des zones A et B se stabilisent chacune autour de
5 500 habitants.
112

1 On a naturellement pour tout entier naturel n
non nul :
1
mn + 1 = 3mn et an + 1 = an .
4
2 En prenant a = 1 , la suite u semble converge vers 0,5.
On peut conjecturer que le triangle sera entièrement
recouvert.
3 Pour tout entier naturel n, un + 1 - un est l’aire de
la surface recouverte en plus après n + 1 étapes du
processus.
3
un + 1 - un = mn + 1 # an + 1 = mn # an .
4
D’après 1 , les suites m et a sont géométriques de
1
, donc mn = 3 n - 1 et
raisons respectives 3 et
4
n-1
2
a c1 m
.
an =
8 4
3n
a2
.
Donc :
un + 1 - un = n + 1 #
2
4
4 En « additionnant » les égalités :

1
3
a2
#
#
4
4
2

6 000

u2 = u1 +

5 000

1 c 3 m2 a2
#
#
u3 = u2 +
4
4
2


4 000

a(n)

b(n)

c(n)

3 000

un = un - 1 +

2 000

3 n-1
a2 c 3 c 3 m2
+
+f+c m m ;
4
4
8 4
n-1
2
2
3
a
3a c
+
un =
1 - c 4 m m.
8
8

On obtient un = u1 +

1 000
0

1 c 3 mn - 1 a2
#
#
.
4
4
2

100

200

300

donc :

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

23

3 n-1
m
est une suite
4
3
inférieure à 1 en valeur
géométrique de raison
4
absolue, donc elle converge vers 0.
a2
On en déduit lim un =
. Donc le triangle sera entiè2
n "+3
rement recouvert.

Prendre des initiatives

5 La suite de terme général c

113

1 a. Pour tout entier naturel n,

Tn + 1 =
donc :

18Tn + 2 # 16
,
20

Tn + 1 = 0,9Tn + 1,6 .

b. On calcule le terme Tn jusqu’à obtenir une valeur inférieure à 40.
ALGO

Variables :
N : entier ; T : réel ;
Début :
N ! 0;
T ! 80 ;
TantQue T H 40 Faire
N ! N + 1 ;
T ! 0,9 × T + 1,6 ;
FinTantQue ;
Afficher(N) ;
Fin.
On obtient N = 10 .
2 Pour tout entier naturel n, on a :
Un + 1 = Tn + 1 - 16 = 0,9Tn + 1,6 - 16 ,
donc :
Un + 1 = 0,9^Tn - 16h = 0,9Un .
La suite U est une suite géométrique de raison 0,9 et de
premier terme 64.
3 Pour tout entier naturel n, Un = 64 # ^0,9hn .
Donc Tn = 16 + 64 # ^0,9hn
3
ln
3
n
Tn 1 40 + ^0,9h 1
+ n 2 ln 08,9 .
8
3
ln c 8 m
Or,
. 9,3 et n est un entier.
ln ^0,9h
La température de 40 °C est atteinte au bout de 10 s.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

114

1 Si la suite u converge vers 1, tout intervalle
ouvert contenant 1 contient tous les termes à partir d’un
rang p.
1 3
On choisit l’intervalle E 2 ; 2 ; qui contient 1. Donc à
1 3
partir du rang p, un ! E 2 ; 2 ; .
Ainsi, à partir du rang p, la suite u est positive.
, 3,
2 Même raisonnement avec l’intervalle E
;
;
2 2 .
115

1 u4 = 0,2357 , u5 = 0,235711 .

2 La suite u est croissante et majorée par 1, donc elle est
convergente.

24

Livre du professeur - CHAPITRE 1

116

En utilisant un tableur, on
remarque que la suite u n’est pas
monotone, mais qu’elle semble
converger vers 1.
De plus, dès que n H 6 , alors
0 G un G 2 .
Pour tout entier naturel n, on note
P^nh la propriété : pour n H 6 ,
alors 0 G un G 2 .
◗ Initialisation :
pour n = 6 , on a u6 . 0,4 .
Donc P^6 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 6 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que : 0 G un G 2 . Démontrons que
0 G un + 1 G 2 est vraie.
En utilisant l’hypothèse de récurrence,
u
2
+ 1 G 2,
0 G n +1 G
n
n
soit 0 G un + 1 G 2 , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h
est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 6,
alors P^nh est vraie.
u
Pour tout entier naturel n H 6 , un + 1 - 1 = n .
n
2
Donc, d’après ce qui précède, 0 G un + 1 - 1 G .
n
2
= 0 , on a lim un - 1 = 0 .
Comme lim
n "+3 n
n "+3
=
Donc lim un 1 .
n "+3

1 + 3 + f + ^2n + 1h
.
^2n + 3h + ^2n + 5h + f + ^4n + 3h
^n + 1h^2n + 2h
• 1 + 3 + f + ^2n - 1h =
2
= ^n + 1h^n + 1h .
• Soit A = ^2n + 3h + ^2n + 5h + f + ^4n + 3h
^n + 1h^6n + 6h
= ^n + 1h^3n + 3h .
A=
2
^n + 1h^n + 1h
1
= .
Donc un =
3
^n + 1h^3n + 3h
1
La suite u est constante égale à .
3
117

118

On aun =

Pour tout entier n H 1 , on pose wn = nun .
nun + 4
, on a ^n + 1hun + 1 = nun + 4,
Comme un + 1 =
n+1
donc wn + 1 = wn + 4 .
La suite w est arithmétique de raison 4 et de premier
terme w0 = 1 .
Donc pour tout entier n H 1 ,
wn = 1 + 4^n - 1h = 4n - 3 .
4n - 3
.
On en déduit que, pour tout entier n H 1 , un =
n
4n
= 4.
On a lim un = lim
n "+3
n "+3 n

Suites numériques

7

tion x
4x + 5 (fonction affine de coefficient directeur positif ). En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a
5
1 G un G 5 et comme f est croissante sur E - 4 ; + 3 ;,
on a f ^1 h G f ^unh G f ^5 h, soit 3 G un + 1 G 5 . Donc

Pistes pour l’accompagnement
personnalisé
Revoir les outils de base
119

a. Pour tout entier naturel n, un + 1 - un = 7 2 0 .
Donc la suite u est croissante.
b. Pour tout entier naturel n, un + 1 - un = 2n + 4 H 0 .
Donc la suite u est croissante.
1 n+1
c. Pour tout entier naturel n, un + 1 - un =- c 2 m
G 0.
Donc la suite u est décroissante.
d. u0 = 4 , u1 = 3 et donc la suite u n’est pas croissante.
120

a. Faux. u5 = 5 et u6 = 9 .
b. Vrai.
c. Faux.
d. Vrai.

1 G un + 1 G 5 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, 1 G un G 5 .
La suite u est bornée.
123

a. On a lim

n "+3

1 n
b. On a lim c 3 m = 0 (suite géométrique de raison
n "+3
1
= 0.
inférieure à 1 en valeur absolue) et lim
3
+
n" 3 n
Donc lim vn = 0 .
- n2
2 =- 1 .
n "+3 n

c. On a lim wn = lim

121

Démontrons par récurrence, que pour tout entier
7
naturel n, un =
.
11
7
, vrai.
◗ Initialisation : u0 =
11
7
, alors :
◗ Hérédité : démontrons que si un =
11
7
.
un + 1 =
11
On a un + 1 = 100un - 63 , donc :
7
700 - 693
7
- 63 =
=
.
un + 1 = 100 #
11
11
11
7
.
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un =
11
La suite u est stationnaire.
y

1

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

1
= 0.
n

n "+3

n "+3

0

n "+3

Donc lim un =+ 3 .

n "+3

Les savoir-faire du chapitre

122

n =+ 3 et lim -

6 n
d. tn = 6 n - 9 n = 9 n cc 9 m - 1 m . Donc en utilisant le
théorème sur la convergence des suites géométriques,
6 n
on a lim 9 n =+ 3 et lim c 9 m = 0 .
n "+3
n "+3
Donc lim tn =+ 3 .
n "+3

124

1 La suite u semble croissante et converger vers 2.
2 Pour tout entier naturel n :

1
^ u 2 + 12h - 4
4 ^ nh
1
1
= ^unh2 - 1 = vn .
4
4

vn + 1 = ^un + 1h2 - 4 =

1
et de
Donc la suite v est géométrique de raison
4
premier terme - 4.
3 La suite v converge vers 0 (sa raison est en
valeur absolue inférieure strictement à 1). Comme
un = vn + 4 , la suite u converge vers 2 (composée de
suites).
125

1 Vrai.

2 Faux.

3 Faux.

4 Vrai.

126

1 Faux.

1 Vrai.

3 Vrai.

4 Faux.

127

Partie A

AB
AC
x
1
=
=
, donc
, soit :
AC
BC
1
x-1
x2 - x - 1 = 0 .
1+ 5
2 Cette équation admet deux solutions
et
2
1- 5
.
2
1+ 5
Donc le nombre d’or est { =
.
2
^3 + 5 h^1 - 5 h
1
3+ 5
3 1+
=
=
^1 + 5 h^1 - 5 h
1+ 5
1+ 5
2
1+ 5
=
= {.
2
1 On doit avoir :

1u0

u1

u2 u3

x

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel
n, 1 G un G 5 .
◗ Initialisation : u0 = 1 , donc 1 G u0 G 5 .
◗ Hérédité : démontrons que si 1 G un G 5 , alors
1 G un + 1 G 5 .
La fonction f : x
4x + 5 est croissante sur
5
E; + 3 ; , car de même sens de variation que la fonc4

7

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

25

Partie B
1 Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n :
P^nh : « pour tout entier naturel k G n , ak H 1  ».
◗ Initialisation : a0 = 1 , a1 = 1  ; vrai.
◗ Hérédité : soit un entier n H 1 ; démontrons que si P^nh
est vraie, alors P^n + 1h est vraie, c’est-à-dire an + 1 H 1 .
On a an + 1 = an + an - 1 . En utilisant l’hypothèse de
récurrence, an + 1 H 1 + 1 H 2 H 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, an H 1 .
a
2 • u0 = 1 = 1 .
a0
+ an
a
a
an
= 1+
.
• un + 1 = n + 2 = n + 1
an + 1
an + 1
an + 1
1
.
Donc pour tout entier naturel n, un + 1 = 1 +
un
3 Si la suite u converge, alors elle converge vers , solu-

1
, soit x2 - x - 1 = 0 .
x
Comme , doit être positive, , = { .

tion de l’équation x = 1 +

1
1
et { = 1 + . On soustrait
un
{
membre à membre, pour tout entier naturel n :
{ - un
1
1
=
.
un + 1 - { =
un
{
{un
4 a. On a un + 1 = 1 +

b. Pour tout entier naturel n :
un + 1 - { =

1 un - {
.
un
{

un - {
.
{
c. Démontrons par récurrence que pour tout entier
n
1
naturel n, un - { G d n 1 - { .
{

Comme un H 1 , on obtient un + 1 - { G

0

1
◗ Initialisation : d n 1 - { = 1 - { = u0 - { .
{
◗ Hérédité : démontrons que si :
n
1
un - { G d n 1 - { , alors :
{
n+1
1
un + 1 - { G d n
1-{ .
{
un - {
. En utilisant l’hypothèse de
On a un + 1 - { =
{
récurrence, on a un + 1 - { G

1 d1 n
{ {

n+1

1-{ .

1 n
1-{ .
{
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n,
n
1
un - { G d n 1 - { .
{
n
1
d. La suite de terme général d n est une suite
{
1
strictement inférieure à
géométrique de raison
{
1 en valeur absolue, donc elle converge vers 0, d’où
lim un - { = 0 .
Donc un + 1 - { G d

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

n+1

n "+3

Donc la suite u converge vers { .
26

Livre du professeur - CHAPITRE 1

128

1 En prenant u0 = 4 :

y

1
0
1

u2

u1

u0

x

La suite u semble être décroissante et converger vers
1,4.
2 Démontrons par récurrence que pour tout entier

2.
1 ,2 + 2
;
◗ Initialisation : u1 =
,
2
2
^, - 2 h
donc u1 - 2 H
H 0 . Donc u1 H 2 .
2,
◗ Hérédité : démontrons que si un H 2 , alors
un + 1 H 2 .
La fonction f est dérivable sur 6 2 ; + 3 6 et
^ x - 2 h^ x + 2 h
f l^ x h =
H 0.
2x2
Donc la fonction f est une fonction croissante sur
6 2 ; + 3 6.
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a un H 2 et f
est croissante sur 6 2 ; + 3 6 . Donc on a f ^unh H f ^ 2 h.
Comme f ^ 2 h = 2 , on a un + 1 H 2 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1 , un H 2 .

naturel n H 1 , un H

1

2

3 un + 1 - un =
u +
2 c n un

m - un =

2 - ^unh2
.
2un

Comme un H 2 , on a un + 1 - un G 0 .
Donc la suite u est décroissante. Or, elle est minorée,
donc elle converge vers une solution de l’équation :
f ^ x h = x + x2 = 2 .
Donc la suite u converge vers 2 .
4 a. Pour tout entier naturel n,

un + 1 - 2 =

2
1
2
1
- 2=
u - 2h .
u +
2 c n un m
2un ^ n

Comme pour tout entier naturel n H 1 , un H 2
1 _u - 2 i2 1 _u - 2 i2
.
un + 1 - 2 G
G
n
2 n
2 2
b. Démontrons par récurrence que pour tout entier
n
1 2
naturel n H 1 , un - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h .
◗ Initialisation :
2
1
1
u1 - 2 G
^u0 - 2 h G 4 ^u0 - 2 h.
2 2
◗ Hérédité : démontrons que si :
n
1 2
un - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h ,
n+1
1 2
alors :
un + 1 - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h .

Suites numériques

2
1
u - 2h .
2^ n
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :

On a un + 1 - 2 G

n

2

1 1 2
ca k u - 2 hm
2 2 ^ 0
n+1
^u0 - 2 h
1 2
,
G a k ^u0 - 2 h #
2
2
n
1
+
1 2
donc un + 1 - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1 ,
n
1 2
un - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h .
c. Pour que un soit une valeur approchée de 2 à 10-9
près, il suffit que :
n
10-9
1 2
1
c m # ^2 - 2 h 1 10-9 + 2 n ln c m 1 ln e
o
2
2
2- 2
J
N
-9
K ln c 10
mO
+ n 2 ln1^2h ln KK 2 -1 2 OO + n H 5 ,
K
O
ln c 2 m
L
P
car n est un entier.
5 a. On généralise la démarche du 4 c.
b. i. n = 4  ;
ii. n = 4 .
c. L’algorithme paraît converger très vite, la valeur initiale
de , paraît sans influence sur la vitesse de convergence.
un + 1 - 2 G

129

A. 1 • f ^1 h = 3 .

4
• Pour tout réel x de l’intervalle 61 ; + 3 6 , f l^ x h =- 2 ;
x
donc f l^1 h =- 4 .
• T1 a pour équation y =- 4x + 7 .
• La droite T1 coupe l’axe des abscisses au point de coor7
données a ; 0 k .
4
7
7
9
64
2 fc m=
, f lc 4 m =. La tangente T2 a pour
4
7
49
64
25
équation y =et coupe l’axe des abscisses
x+
49
7
175
au point d’abscisse x2 =
.
64
3 a. De même la tangente en An ^ xn ; f ^ xnhh a pour
8 - xn
4
.
équation xn + 1 =2 x+
xn
^ xnh

8xn - ^ xnh2
.
4
b. On a pour tout entier naturel n H 1 , xn + 1 = g^ xnh
7
et x1 = , où g est la fonction définie sur R par
4
8x - x2
.
g^ x h =
4
1 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n H 1 , xn G 4 .
7
◗ Initialisation : x1 =
G 4.
4
◗ Hérédité : démontrons que si xn G 4 , alors xn + 1 G 4 .
La fonction g est dérivable sur 60 ; 4 @ et
4-x
gl^ x h =
H 0, donc g est une fonction crois2
sante sur 60 ; 4 @. En utilisant l’hypothèse de récurrence,
on a xn G 4 et comme g est croissante sur 60 ; 4 @ on a
g^ xnh G g^4h .

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

Donc xn + 1 =

Comme g^4h = 4 , on a xn + 1 G 4 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1, xn G 4 .
2 On démontre aussi par récurrence que la suite de
terme général xn est croissante.
3 Donc, comme elle est majorée, la suite ^ xnh converge
vers une solution de l’équation g^ x h = x , c’est-à-dire la
solution de l’équation f ^ x h = 0 , c’est-à-dire 4.
B. 1 Soit la fonction f définie sur R par f ^ x h = x2 - 3,
de courbe représentative .
En toute abscisse a, la tangente à admet pour équation : y = 2ax - a2 - 3   ; elle coupe l’axe des abscisses
3
1
a2 + 3
en c
; 0 m , c’est-à-dire en d ca + a m ; 0 n .
2
2a
La méthode de Newton appliquée à l’équation f ^ x h = 0
conduit donc à l’étude de la suite v définie sur N par
1
3
, avec v0 = 3 , par exemple.
vn + 1 = cvn +
2
vn m
2 On démontre par récurrence que la suite v est
minorée par 3 .
3 Pour tout entier naturel n :
3 - ^vnh2
G 0.
vn + 1 - vn =
2vn
Donc la suite v est décroissante.
4 Comme la suite v est décroissante et minorée, elle
3
1
converge vers un réel , solution de x = c x + x m ,
2
c’est-à-dire vers , = 3 .
5 On calcule :
97
18 817
7
et v4 =
.
v0 = 3 ; v1 = 2  ; v2 =  ; v3 =
56
10 864
4

Approfondissement
K^a + 1h
K^a + 1h
xn et Pn + 1 =
xn + 1
a
a
en transposant dans
Pn + 1 - Pn
P
= a c1 - n m ,
Pn
K
on obtient :
xn + 1 = ^1 + ahxn ^1 - xnh , soit en posant k = 1 + a :
xn + 1 = kxn ^1 - xnh .
• Pour tout entier naturel n, 0 G xn G 1 .
Car si xn 2 1 , alors xn + 1 1 0 .
2 a. Les seules limites possibles sont les solutions de
l’équation f ^ x h = x où la fonction f est définie sur R
par f ^ x h = kx^1 - x h ;
f ^ x h = x + x^k - 1 - kx h = 0 .
Les seules limites possibles de la suite x sont donc 0 et
k-1
.
k
k-1
b. Si k G 1 , alors
G 0 . La seule limite possible de
k
la suite ^ xnh est donc 0.
Pour tout entier naturel n :
k-1
- xn m G 0 .
xn + 1 - xn = kxn c
k
Donc la suite ^ xnh est décroissante. Or, elle est minorée
par 0. Elle est donc convergente.
On en déduit que la suite ^ xnh converge vers 0.
130

1 On a Pn =

Livre du professeur - CHAPITRE 1

Suites numériques

27

c. On suppose que 11 k 1 2 .
• Le tableau de variations de la fonction f est :
x
f ^xh

0

0

1
2
k
4

1

0

1
k
1 , on montre par récurrence
4
2
1
que pour tout entier naturel n H 1 , 0 G xn G , puis en
2
1
utilisant le sens de variation de f sur ;0 ; 2 E , on montre
par récurrence que la suite ^ xnh est monotone à partir
du rang 1.
• On en déduit que la suite ^ xnh est convergente.
• Si la suite ^ xnh est croissante à partir du rang 1, elle
ne peut pas converger vers 0. Donc elle converge vers
k-1
.
k
• Si la suite ^ xnh est décroissante à partir du rang 1, pour
tout entier n H 1 , on a :
k-1
- xn m G 0 .
xn + 1 - xn = kxn c
k
k-1
k-1
- xn G 0 , soit xn H
Donc
.
k
k
La suite ^ xnh ne peut pas converger vers 0. Donc elle
k-1
.
converge vers
k

Vers le Supérieur

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

132

Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, un H 2 n + 3 .
◗ Initialisation : u0 H 23 ; vrai.
◗ Hérédité : démontrons que si un H 2 n + 3 , alors :
un H 2 n + 4 .
On a un + 1 = 3un - 5 .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
un + 1 H 3 # 2 n + 3 - 5 , soit un + 1 H 2 # 2 n + 3 + 2 n + 3 - 5 .
Comme pour tout entier naturel n, 2 n + 3 - 5 est positif,
on a un + 1 H 2 n + 4 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n,
un H 2 n + 3 .
28

Livre du professeur - CHAPITRE 1

d’après le théorème de comparaison.

lim un =+ 3

n "+3

1 Soit f un réel strictement positif. Comme

1
= 0 , il existe un entier naturel n0 tel que si
n
f f
1
! E- 2 ; 2 ;.
n H n0 , alors
n
f f
1
Si m H n0 , alors
! E- 2 ; 2 ;.
m
Donc, pour tous entiers n et m supérieurs à n0 ,
1
1
G f , car la distance entre deux points d’un
n
m
intervalle est inférieure à la longueur de l’intervalle.
Donc la suite u est une suite de Cauchy.
2 a. En écrivant que um - un = um - , + , - un , on
obtient um - un = um - , + , - un , donc en utilisant
l’inégalité triangulaire, pour tous entiers m et n :
um - un G um - , + , - un .
lim

n "+3

lim un = , . Donc, à partir d’un certain rang n0 , on a
f
pour tout entier n H n0  : un - , G .
2
b. Si n et m sont deux entiers naturels supérieurs à n0,
f
f
et um - , G
; donc, d’après a.,
alors un - , G
2
2
um - un G f .
La suite u est une suite de Cauchy.
n "+3

134

a. Faux.

b. Faux.

c. Faux.

d. Vrai.

e. Faux.

n-1

2
2
a+f+c 3 m
a . C’est la
3
somme des n premiers termes d’une suite géométrique
2
et de premier terme a .
de raison
3
2 n
1-c 3 m
2 n
= 3a ;1 - c m E .
Donc :
Sn = a #
3
2
13
2
2 lim Sn = 3a , car la suite géométrique de raison
3
n "+3
inférieure à 1 en valeur absolue converge vers 0.
Ce procédé limite la profondeur du champ.
1 On a Sn = a +

n "+3

2 strictement supérieure à 1). Donc

133

En utilisant que 0 1

131

On a lim 2 n + 3 =+ 3 ( suite géométrique de raison

135

1 Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel k H 1 , k! H 2k - 1 .
◗ Initialisation : 1! = 1 et 21 - 1 = 1 , donc vrai.
◗ Hérédité : démontrons que si k! H 2 k - 1 , alors :
^k + 1h! H 2k .
On a ^k + 1h! = ^k + 1h # k! . En utilisant l’hypothèse de
récurrence, on a ^k + 1h! H ^k + 1h # 2 k - 1 et, pour tout
entier naturel k H 1 , k + 1 H 2 , donc ^k + 1h! H 2 k .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel k H 1 , k! H 2k - 1 .
2 D’après la question précédente,
1
1
un G 1 + 1 + + f + n - 1 .
2
2
Par ailleurs :
1
1- n
1
1
2
,
1 + + f + n-1 =
2
1
2
12
car c’est la somme des n premiers termes d’une suite
1
et de premier terme 1.
géométrique de raison
2
1
Donc un G 3 - n - 1 G 3 .
2
Donc la suite u est majorée par 3.
1
3 un + 1 - un =
H 0 . Donc pour tout entier
^n + 1h!
n H 1 , un + 1 H un .
La suite u est croissante et comme elle est majorée, elle
converge vers un réel inférieur à 3.

Suites numériques

2

C H A P I T R E

Limites et fonctions
continues
Introduction
1. Programme
Contenus
Limites de fonctions

Capacités attendues

Commentaires
Le travail réalisé sur les suites est étendu
aux fonctions, sans formalisation excessive.

Limite finie ou infinie d’une fonction à
l’infini.
Limite infinie d’une fonction en un point.

Limite d’une somme, d’un produit, d’un
quotient ou d’une composée de deux
fonctions.
Limites et comparaison.
Asymptote parallèle à l’un des axes de
coordonnées.
Continuité sur un intervalle, théorème
des valeurs intermédiaires

L’objectif essentiel est de permettre aux
élèves de s’approprier le concept de limite
tout en leur donnant les techniques de
base pour déterminer des limites dans les
exemples rencontrés en Terminale.
• Déterminer la limite d’une somme, d’un
produit, d’un quotient ou d’une composée
de deux fonctions.
• Déterminer des limites par minoration,
majoration et encadrement.
• Interpréter graphiquement les limites
obtenues.

La composée de deux fonctions est
rencontrée à cette occasion, mais sans
théorie générale.

On se limite à une approche intuitive de la
continuité et on admet que les fonctions
usuelles sont continues par intervalle. On
présente quelques exemples de fonctions
non continues, en particulier issus de
situations concrètes.
Le théorème des valeurs intermédiaires est
admis.
On convient que les flèches obliques d’un
tableau de variation traduisent la continuité
et la stricte monotonie de la fonction sur
l’intervalle considéré.
On admet qu’une fonction dérivable sur un
intervalle est continue sur cet intervalle.
• Exploiter le théorème des valeurs
intermédiaires dans le cas où la fonction
est strictement monotone, pour résoudre
un problème donné.

Ce cas particulier est étendu au cas où f est
définie sur un intervalle ouvert ou semiouvert, borné ou non, les limites de f aux
bornes de l’intervalle étant supposées
connues.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

 Des activités algorithmiques sont
réalisées dans le cadre de la recherche de
solutions de l’équation f ^ x h = k .
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole
de type algorithmique sont signalées par le symbole .

. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités

2. Intentions des auteurs
Dans ce deuxième chapitre sur les « limites et fonctions
continues » :
• on transpose aux fonctions numériques ce qui a été
rencontré dans le chapitre 1 pour les suites au voisinage
de l’infini ;

• on précise la notion de limite en un point pour introduire la notion de continuité en un point ;
• on définit la continuité sur un intervalle pour introduire
le théorème des valeurs intermédiaires et déterminer
les éventuelles solutions de l’équation f ^ x h = k  ;

Livre du professeur - CHAPITRE 2

Limites et fonctions continues

1

• on introduit la notion d’asymptote à une courbe à
travers les asymptotes horizontales et verticales.
Toutes ces notions sont abordées à travers la résolution
de problèmes le plus souvent liés à la vie courante ou
aux autres disciplines.
De nombreux QCM, Vrai-Faux permettent de faire le
point rapidement sur la compréhension du cours et
aussi la mise en place de raisonnement par contreexemple.

Comme au chapitre précédent une attention particulière est portée sur le raisonnement, en particulier le
raisonnement par condition suffisante.
Tout au long de ce chapitre se précise l’utilisation
de logiciels  : calculatrices graphiques, traceurs de
courbes, tableurs, logiciels de géométrie dynamique
ou de programmation. L’utilisation d’un logiciel de
calcul formel doit permettre, en fonction des élèves, de
surpasser les difficultés du calcul algébrique.

Partir d’un bon pied
Objectif
Réactiver chez l’élève :
– la limite d’une suite ;
– les lectures graphiques variées  : image, antécédents  ,
variations, signe d’une dérivée, inégalités.
A

1 b. c.
3 a. c.

B

1 Vrai.

2 c.
4 a.

1 Faux.
3 Vrai.

2 a. On a x1 = 4 , x2 = 14 , x3 = 2

2 Vrai.
4 Vrai.

Découvrir
Activité

1 Droites passant par un point

Objectif : Appréhender la notion de limite sur un exemple
géométrique en utilisant un logiciel de géométrie.
1 a. b. Lorsque x devient «  très grand  », le point M
s’éloigne de O sur l’axe des abscisses, le point N se
rapproche de Q et l’aire du triangle ANQ tend vers 0.
c. Lorsque l’abscisse du point M devient très proche de
2, le point N s’éloigne du point O sur l’axe des ordonnées, l’aire du triangle ANQ devient « très grande ».
2 a. En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle
OM
ON
=
MON on a :
,
QA
NQ
f ^xh
x
=
,
donc :
2
f ^xh - 1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

Objectif : Définir l’asymptote à une courbe à l’infini par
la distance entre un point de la courbe et un point sur la
droite qui tend vers 0.
1 Le point M a pour coordonnées ^ x ; f ^ x hh et N
a pour coordonnées ^ x ; 1h , donc pour tout réel x,
MN = f ^ x h - 1 .

2 Faux , par exemple prendre x 1 0 .
3 Vrai.
4 Faux.

C

2 Notion d’asymptote
horizontale
Activité

499 .
2
b. Pour tout réel x, f ^ x h - 1 = 2
.
x +4
Soit un réel f 2 0 .
2
2
MN 1 f + 2
1 f + x2 2 - 4 .
f
x +4
2
- 4 , alors MN 1 f . La distance MN
Donc si x 2
f
peut être rendue aussi petite qu’on le désire dès que x
dépasse une certaine valeur.
2
3 Si x 1 - 4 , alors MN 1 f . La distance MN
f
peut être rendue aussi petite qu’on le désire dès que x
est inférieur à une certaine valeur

3 Comportement à l’infini
des fonctions de base
Activité

Objectif : On sait visualiser le comportement des fonctions
de base en + 3 , il s’agit ici de mettre en place une définition
plus rigoureuse comme il a été fait avec la convergence des
suites numériques.
1 Voir ci dessous.

soit : x f ^ x h - x = 2 f ^ x h ,
x
donc : f ^ x h =
.
x-2
b. Lorsque x tend vers + 3 , f ^ x h tend vers 1.
QA # QN
3 a. On a Aire de ANQ =
, donc :
2
^ f ^ x h - 1h # 2
x
2
=
-1 =
.
g^ x h =
2
x-2
x-2
b. Lorsque x tend vers + 3 , l’aire de ANQ tend vers 0.
2

Livre du professeur - CHAPITRE 2

Limites et fonctions continues

2 a. Si x0 = 107 , alors f ^ x0h H 1014 . Comme la fonc-

tion f est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors
f ^ x h H 1014 .
b. ◗ Si x0 = 105 , alors g^ x0h H 1014 . Comme la fonction g
est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors g^ x h H 1014 .
◗ Si x0 = 1028 , alors h^ x0h H 1014 . Comme la fonction h
est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors h^ x h H 1014 .
3 Soit A 2 0 .

a. Si x0 = A , alors f ^ x0h H A . Comme la fonction f
est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors f ^ x h H A .
b. ◗ Si x0 = 3 A , alors g^ x0h H A . Comme la fonction g
est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors g^ x h H A .
◗ Si x0 = A2 , alors h^ x0h H A . Comme la fonction h est
croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors h^ x h H A .

4
Comportement au voisinage de 0
Activité

Objectif : L’objectif est le même que pour l’activité 3 sauf
que le parallèle avec les suites numériques est absent.
1 La courbe 2 représente f et la courbe 1 représente g.
1
2 a. Si a = 10-2 , alors pour 0 1 x 1 a , on a
2 102 .
x
1
1
1
Comme sur @0 ; 1 @, 2 H , on a aussi 2 H 102 .
x
x
x
1
1
b. Si - 10-2 1 x 1 0 , alors
1 - 102 et 2 2 10 4 .
x
x
1
n
3 Pour 0 1 x 1 10-n , on a
2 10 .
x
4 On a lim f ^ x h =- 3 , lim g^ x h =+ 3
x "0
x 10

x"0
x 20

Exercices d’application
Savoir faire Démontrer en utilisant

les définitions
1

a. Il semble que :
lim x =+ 3 et lim
x "+3

x "-3

b. Pour tout réel x positif, x = x donc pour tout entier
naturel n non nul, si x H 10 n , alors x H 10 n .
Donc : lim x =+ 3 .
x "+3

On démontre de même que : lim

x =+ 3 .

x "-3

2 On pose f ^ x h =- x2 + 3x .

On a :
f ^ x h G - 10 n + - x2 + 3x G - 10 n + x2 - 3x - 10 n H 0.
2

Or ^- 10 nh - 3^- 10 nh - 10 n = 102n + 2 # 10 n 2 0 .

7

Comme la fonction x
x2 - 3x - 10 n est décroissante sur @ - 3 ; 1,5 @, pour tout réel x G - 10 n , on a  :
f ^ x h G - 10 n .
On a lim f ^ x h =- 3 .
x "-3

3 a. On pose : g^ x h = f ^ x h - ^- 1h =

0 G g^ x h G 10-n +

2
.
1 + x2

2
G 10-n
1 + x2

+ x2 H 2 # 10n - 1 .
2 # 10 n - 1 , on a :

Donc si x H A avec A =

et lim g^ x h =+ 3 .

x =+ 3 .

0 G g^ x h G 10-n .
On en déduit que : lim g^ x h = 0 ,

x "0
x 10

x "+3

5 Détermination d’une solution
de l’équation f (x) = 0 par balayage
Activité

Objectif : Mettre en place un algorithme de base pour la
résolution approchée d’une équation du type f ^ x h = 0 .

7

7

x - 1 sont strictex3 et x
ment croissantes sur R, donc la fonction f est strictement croissante sur R.
1 Les fonctions x

f est strictement croissante sur R, si
f ^ x h 1 0 , c’est-à-dire f ^ x h 1 f ^ah , on a x 1 a .
De même si f ^ x h 2 0 , c’est-à-dire f ^ x h 2 f ^ah , on a
x 2 a.
On a f ^0 h =- 1 et f ^1 h = 1 , donc d’après ce qui
précède, 0 1 a 1 1 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

2 Comme

3 a. et b. Comme la fonction f est croissante sur R, tant

que f ^ x h reste négatif, alors x 1 a .
Dès que f ^ x h 2 0 , alors on a dépassé a ; d’où un encadrement de a d’amplitude 1/10.
c. Il suffit de modifier l’affichage final par :
« Afficher^ x - 0,1h  ; ».
4 Il suffit d’ajouter « entrer n » , puis de modifier l’ins-

truction « x ! x + 0,1  » par « x ! x + 10 ^ ^- nh  ».

soit :

lim

x "+3

f ^ x h =- 1 .

La courbe f admet la droite d’équation y =- 1
comme asymptote en + 3 .
On démontre de même que est asymptote à f en
-3.
b. La fonction f est dérivable sur R et :
4x
,
f l^ x h =^1 + x2h2
d’où le tableau de variations de f ci-dessous.
x
f l^ x h
f ^xh

0

-3
+

-1

0
1

+3
-

-1

Pour tout réel x, - 1 G f ^ x h G 1 , donc f est bornée sur
R.
4 L’intervalle @ 0,5 ; 1,5 6 est ouvert et contient 1.

Comme lim f ^ x h = 1 , il existe un réel a tel que pour
x "+3

tout réel x 2 a , f ^ x h ! @ 0,5 ; 1,5 6 .
Donc pour tout réel x ! @ a ; + 3 6 , f ^ x h 2 0 .

Livre du professeur - CHAPITRE 2

Limites et fonctions continues

3

Savoir faire Déterminer une limite

en utilisant les opérations

x "+3

x+1
x
= lim
= 1.
x-1
x "+3 x

Donc lim f ^ x h = lim t = 1 .

5 On est en présence d’une forme indéterminée du

3
 ». Pour tout réel x non nul, on a :
3
1
1
x3 c1 - 2 m
c1 - 2 m
x
x
x3 - x
2
=
=x
.
2
2
x+2
a1 + k
x a1 + k
x
x
1
c1 - 2 m
x
= 1,
lim x2 =+ 3 et lim
x "+3
x " + 3 a1 + 2 k
x
1
1
= 0.
car lim 2 = 0 et lim
x "+3 x
x "+3 x
x3 - x
=+ 3 .
Donc lim
x "+3 x + 2
type « 

6 Pour tout réel x H 0 ,

f ^ x h = x - x = x # x - x = x # ^ x - 1h .
Comme lim x =+ 3 et lim x - 1 =+ 3 , par
x "+3

◗ lim

x "+3

produit, on a : lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3

t "1

x "+3

b. ◗ lim f ^ x h =+ 3 , donc la courbe représentative de f
x "1

admet la droite d’équation x = 1 comme asymptote.
◗ lim f ^ x h = 1 , donc la courbe représentative de f
x "+3

admet la droite d’équation y = 1 comme asymptote.

Savoir faire Étudier la continuité

d’une fonction

11 ◗ On a : lim x = 1 et lim 1 = 1 et f ^1 h = 1 , donc
x "1
x 11

x "1
x 21

x

lim f ^ x h = f ^1 h . La fonction f est continue en 1.

x "1

◗ Comme f est continue sur @ - 3 ; 16 et sur @ 1 ; + 3 6 , f
est continue sur R.
x
1 1 , donc
x+1
f ^ x h = 0 . La fonction f est continue sur 60 ; + 3 6 .
12 Pour

tout réel

x H 0,

0G

13 a. Pour tout réel x H 0 , on a : x = x .

Savoir faire Déterminer une limite
7 On est en présence d’une forme indéterminée du

3
 ». Pour tout réel x strictement positif,
3
1
1
#
.
f ^xh =
1
x
1+
x
1
1
= 0 et lim
= 0 , en utilisant
Comme lim
x "+3 x
x "+3 x
les opérations sur les limites, lim f ^ x h = 0 .
type « 

x "+3

2
= 0 et lim 3 cos ^ X h = 3 .
X "0
x "+3 x
2
Donc par composition, lim 3 cos a k = 3 .
x
x "+3
8

lim

9 On est en présence d’une forme indéterminée du

type « 3 - 3  ». Pour tout réel x 1 - 2 ,
2

x2 - ^ 2x2 - 3 h
- x2 + 3
=
2
x - 2x - 3
x - 2x2 - 3
3
3
- x2 c1 - 2 m
c1 - 2 m
x
x
=
=- x #
,
3
3
x- x
2- 2
1+ 2- 2
x
x
car ici x =- x .
1
3
= 0 et lim 2 = 0 , en utilisant les
Comme lim
x
x "-3
x "-3 x
opérations sur les limites, lim f ^ x h =+ 3 .

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

f ^xh =

x "-3

10 a. ◗ lim ^ x + 1h = 2 et lim ^ x - 1h = 0 ,
x "1

x "1

x+1
=+ 3 , car x ! @ - 1 ; + 3 6 .
donc lim
x "1 x - 1
Donc lim f ^ x h = lim t =+ 3 .
x "1

4

t "+3

Livre du professeur - CHAPITRE 2

3x2 + 2x
.
x
Ainsi pour tout réel x 2 0 , f ^ x h = 3x + 2 .
Donc lim f ^ x h = 2 .
f ^xh =

Donc :

x"0
x 20

b. Pour tout réel x G 0 , on a : x =- x .
3x2 - 2x
= 3x - 2 .
Donc pour tout réel x 1 0 , f ^ x h =
x
=Donc lim f ^ x h
2.
x "0
x 10

c. lim f ^ x h ! lim f ^ x h . Il n’est pas possible de trouver
x"0
x 20

x"0
x 10

une fonction g continue telle que pour tout réel x ! 0 ,
f ^ x h = g^ x h .

Savoir faire Dénombrer

les solutions d’une équation f (x) = k
14 a. f l^ x h = 6x2 + 24x + 18 .

D = 144  ; x1 =- 3 et x2 =- 1 .
D’où le tableau :
x

-3

-3

f l^ x h

+

0

-1
-

0

9

+3
+
+3

f ^xh
-3

1

◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; - 3 @, la fonction f est strictement croissante, continue, et d’intervalle-image
@ - 3 ; 9 @ contenant 0.

Limites et fonctions continues

On en déduit que l’équation f ^ x h = 0 admet une
unique solution a sur @ - 3 ; - 3 @.

◗ Sur l’intervalle 6- 3 ; + 3 6 , le minimum de f est 1.
Donc l’équation f ^ x h = 0 n’admet pas de solution sur
cet intervalle.

Travaux pratiques
17 Des limites en géométrie

1 Modéliser la situation et conjecturer

◗ Finalement, l’équation f ^ x h = 0 admet une unique
solution a sur R.
Par la calculatrice, a . - 4,05 .
b. Le tableau de signes de f ^ x h est sur R :
x

-3

f l^ x h

-

a
0

+3
+

D’où l’inéquation f ^ x h H 0 admet pour ensemblesolution 6a ; + 3 6 .
15 a. La fonction f est dérivable sur @ 0 ; + 3 6 et

3x - 2
, donc f l^ x h est du signe de 3x - 2 ,
x
d’où le tableau de variations ci-dessous.
f l^ x h =

On a m . - 1,17 .
x

0

f l^ x h

a

2
3

b

-

0

+

1
f ^xh

+3
1 Faire la construction (On a pris ici R = 3 ). Lorsque P se

+3
0

0
m

2
◗ Sur l’intervalle ;0 ; ; , la fonction f est strictement
3
décroissante, continue, et d’intervalle-image @ m ; 1 @
contenant 0.
On en déduit que l’équation f ^ x h = 0 admet une
2
unique solution a sur ;0 ; ; .
3
2
◗ Sur l’intervalle ; ; + 3 ; , la fonction f est strictement
3
croissante, continue et d’intervalle-image 6m ; + 3 6
contenant 0.
Donc l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution b
2
sur l’intervalle ; ; + 3 ; .
3
◗ Finalement, l’équation f ^ x h = 0 admet deux solutions sur R.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

b. 0,06 1 a 1 0,07 et 1,60 1 b 1 1,61 .
16 a. La fonction f n’est pas continue en - 1 , car :

lim f ^ x h = 1 ! f ^- 1h .

x "-1
x 1- 1

b. Pour tout réel k ! 6- 1 ; 2 @, l’équation f ^ x h = k admet
au moins une solution.
c. On remarque que la condition «  f continue sur
6a ; b @ » n’est pas nécessaire pour conclure.

rapproche de A, AP tend vers 0.
AP
2 Le rapport
tend vers 1.
AN
2 Élaborer une démarche
1 La droite ^PT h est tangente au cercle en T, donc le
triangle OPT est rectangle en T. Le théorème de Pythagore permet d’écrire :
OP2 = OT2 + PT2 ,
2
soit :
PT2 = OP2 - OT2 = ^ x + Rh - R2 ,

PT2 = x2 + 2xR .
%
PT
2 Dans le triangle OPT on a cosOPT =
et dans le
OP
%
PT
PN
PN
=
.
. Donc
triangle PNT, cosOPT =
OP
PT
PT
x2 + 2xR
PT2
=
.
On en déduit que PN =
OP
x+R
xR
.
On a donc AN = PN - x =
x+R
R
AN
=
.
Donc :
AP
x+R
AN
R
3 lim
= lim
= 1.
x " 0 AP
x "0 x + R
donc :

18 Résolution approchée d’une équation par

dichotomie
Objectif : Mettre en place un autre algorithme pour déterminer les valeurs approchées d’une solution de l’équation
f ^xh = 0 .
1 a. La fonction f est dérivable sur R et :

f l^ x h = 12x3 - 12x2 - 24x = 12x^ x + 1h^ x - 2h .
b. Le signe de f l^ x h donne le tableau de variations
ci-après.

Livre du professeur - CHAPITRE 2

Limites et fonctions continues

5

x
f l^ x h

0

-1

-3

0

-

0

+

2
0

-

14

+3

+3

f ^xh
- 18

2 a. ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; 0 6 , f possède un minimum

égal à 9, donc l’équation f ^ x h = 0 n’y a pas de solution.
◗ Sur l’intervalle 60 ; 2 6 , la fonction f est strictement
décroissante, continue, et d’intervalle-image @ - 18 ; 14 @
contenant 0. On en déduit que l’équation f ^ x h = 0
admet une unique solution a sur 60 ; 2 6 .
◗ Sur l’intervalle 62 ; + 3 6 , la fonction f est strictement
croissante, continue et d’intervalle-image 6- 18 ; + 3 6
contenant 0. Donc l’équation f ^ x h = 0 admet une
unique solution b sur l’intervalle 62 ; + 3 6 .
◗ Finalement, l’équation f ^ x h = 0 admet deux solutions sur R.
b. Par la calculatrice, 11 a 1 2 et 2 1 b 1 3 .
3 a. Si le produit f ^a h # f ^mh 1 0 , alors f ^a h et f ^mh
sont de signes contraires.
Si le produit f ^ah # f ^mh 2 0 , alors f ^ah et f ^mh sont
de même signe.
b. L’algorithme permet de déterminer des valeurs approchées par défaut ^ah et par excès ^b h de a avec une
précision de e, et pour cela, on prend a = 1 et b = 2 .
c. On obtient a . 1,042 par excès à 0,001 près.
d. On prend a = 2 et b = 3 . On obtient b . 2,605 à
0,001 près.
19 Comme une parabole ou comme une hyper-

bole ?
Objectif : Préciser la notion de courbe asymptote à une
autre.
x3
1 ◗ lim f ^ x h = lim
= lim x2 =+ 3 .
x "+3
x "+3 x
x "+3
=+
De même, lim f ^ x h
3.
x "-3

◗ lim ^ x
x "1

3- 2+

x

x h = 1 et lim ^ x - 1h = 0 .
x "1

Donc en utilisant le signe de x - 1 au voisinage de 1, on
obtient :
lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
x "1
x 11

x "1
x 21

2 Voir le graphique ci-dessous où on a tracé la parabole 1.

y

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S



0
6

x "1

d’équation y =

2x - 1
convient.
x-1

c. Voir ci-dessus.
d. Les points d’intersection des courbes 1 et ont
2x - 1
des abscisses qui vérifient x2 + 1 =
, soit
x-1
x^ x2 - x - 1h = 0 . L’équation x2 - x - 1 = 0 a pour
1+ 5
et
discriminant 5, donc elle a deux solutions
2
1- 5
.
2
Donc 1 et ont pour trois points d’intersec1+ 5 5+ 5 m
,
tion de coordonnées ^0 ; 1h , c
;
2
2
- 5 5-5 5
1
c
m.
;
2
2
20 Claudine a-t-elle raison ?

Objectif : Conjecturer et prendre des initiatives dans la
mise en œuvre de la démonstration.
Pour que Claudine ait raison, au voisinage de + 3 ,
f ^ x h doit être très proche de x - 2 . Un logiciel de
calcul formel donne le résultat ci-dessous qui semble
confirmer cette conjecture.



1

En posant g^ x h = f ^ x h - ^ x - 2h , on obtient :



1

ax3 + ^b - ahx2 + ^c - bhx + d - c
d
=
.
x-1
x-1
En identifiant, nous obtenons le système suivant :
Z =
Z =
]a 1
]a 1
] b - a =- 1
]b = 0
.
[
+
[
]c - b = 1
]c = 1
] - =
] =
\d c 0
\d 1
Donc pour tout réel x différent de 1 :
1
.
f ^ x h = x2 + 1 +
x-1
b. On considère la parabole 1 d’équation y = x2 + 1 .
1
= 0 , la
Comme lim ^ f ^ x h - ^ x2 + 1hh = lim
x "+3
x "+3 x - 1
parabole 1 est très proche de en + 3 .
On obtient le même résultat en - 3 .
4 a. Voir la courbe ci-dessus.
1
2
b. f ^1 + hh = ^1 + hh + 1 +
1+h-1
1 + 2h
= h2 + 2h +
.
h
2x - 1
2
.
Donc f ^ x h = ^ x - 1h + 2^ x - 1h +
x-1
2x - 1
= ^ x - 1h2 + 2^ x - 1h .
Donc f ^ x h x-1
2
Comme lim 6^ x - 1h + 2^ x - 1h@ = 0 , l’hyperbole
ax2 + bx + c +

+
+3

9

3 a. En réduisant au même dénominateur :

1

Livre du professeur - CHAPITRE 2

x
Limites et fonctions continues

g^ x h =

x

1
.
x-2

2+

26 1 Faux.

2 Vrai.
5 Faux.

4 Vrai.

lim ^ x2 + x - 2h =+ 3 . Donc lim g^ x h = 0 .
x "+3

x "+3

Donc lorsque l’on remplace f ^ x h par x - 2 , on commet
1
une erreur de l’ordre de 2 , qui est «  proche de 0  »
x
lorsque x est « grand » : Claudine a raison.
21 Prendre des initiatives

Objectif : Initier les élèves à des problèmes de recherche.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

7

x + x2 + f + x n - 1
est dérivable et f ln^ x h = 1 + 2x + f + nx n - 1 2 0 sur
l’intervalle 60 ; 1 @. Elle est donc strictement croissante et
continue.
f n^0 h =- 1 et f n^1 h = n - 1 , donc 0 ! @ f n^0 h ; f n^1 h 6 .
D’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f n^ x h = 0 admet une unique solution an dans l’intervalle 60 ; 1 @.
2 ◗ On a an - 1 + ^an - 1 h2 + f + ^an - 1 hn - 1 = 1 .
Donc f n^an - 1h = ^an - 1hn 2 0 .
Comme f n est strictement croissante sur 60 ; 1 @ et
f n^anh = 0 , on a an - 1 H an .
Donc la suite ^anh est décroissante.
1
1
1 2
1 n
+a k + f +a k - 1
◗ On a f na k =
2
2
2
2
1
1 n+1
-a k
1 n
2
- 1 =- a k 1 0 .
= 2
1
2
12
1
Donc pour tout entier n H 2 ,
G an . La suite ^anh est
2
1
minorée par .
2
◗ La suite ^anh est décroissante et minorée , donc elle
1
converge vers un réel , tel que
G , G an .
2
◗ Comme f n est strictement croissante sur 60 ; 1 @,
1
f n a k G f n^ , h G f n ^anh ,
2
1 n
- a k G f n^ , h G 0 .
soit :
2
Donc la suite de terme général f n^ , h converge vers 0
d’après le théorème des gendarmes.
n+1
, - ^, h
2
n
- 1,
◗ f n^ , h = , + ^ , h + f + ^ , h - 1 =
1-,
,
+
- 1 , car lim ^ , hn 1 = 0 .
qui converge vers
1-,
n "+3
,
1
- 1 = 0 , soit , = .
Donc on a
2
1-,
1 Pour n H 2 , la fonction f n : x

6 b.

2 c.
7 c.

3 a. et c.
8 c.

Exercices d’application
1 Limite d’une fonction à l’infini
27 1 a. Faux.

b. Vrai.

c. Faux.

2 Faux.

28 1 b.

2 b. et c.

Limites : lecture graphique
29 ◗ lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
1
1
x "+3

x "-3

◗ lim f 2^ x h = 2 et lim f 2^ x h =- 3 .
x "+3

x "-3

◗ lim f 3^ x h =- 3 et lim f 3^ x h =+ 3 .
x "+3

x "-3

◗ lim f 4^ x h = 2 et lim f 4^ x h =- 2 .
x "+3

x "-3

30 ◗ lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3

◗ lim g^ x h = 0 .
x "+3

◗ lim h^ x h n’existe pas.
x "+3

◗ lim k^ x h = 0 .
x "+3

Limite finie à l’infini
31 Démonstrations du cours
1 a. Soit un réel f strictement positif.

1
1
1
ou x H
.
G f + x Gf
f
x2
b. ◗ Pour tout réel f strictement positif, dès que
1
1
1
, on a 2 G f donc : lim 2 = 0 .
xH
f
x
x "+3 x
1
◗ Pour tout réel f strictement positif, dès que x G ,
f
1
1
on a 2 G f donc : lim 2 = 0 .
x
x "-3 x
2 ◗ Soit un réel f strictement positif :
1
1
Gf+xH 2 .
f
x
1
b. ◗ Pour tout réel f strictement positif, dès que x H 2 ,
f
1
1
= 0.
on a
G f donc : lim
x
x "+3 x
6x
.
^1 + x2h2
La fonction f est croissante sur @ - 3 ; 0 @ et décroissante sur 60 ; + 3 6 .
3
2 a. f ^ x h - ^- 1h G 10-4 +
G 10-4 .
1 + x2
32 1 Pour tout réel x, f l^ x h =-

Faire le point
25 1 a.

3 Faux.
6 Vrai.

4 b.
9 c.

5 c.
10 b.

Livre du professeur - CHAPITRE 2

Limites et fonctions continues

7

3
G 10-4 + x G - 29 999 ou x H 29 999 .
1 + x2
Donc si x H 174 , alors f ^ x h - ^- 1h G 10-4 .
3
b. Soit f 2 0 , f ^ x h - ^- 1h G f +
G f.
1 + x2
3
3
3
- 1 ou x H
-1.
2 G f + x Gf
f
+
1 x
3
- 1 , alors f ^ x h - ^- 1h G f .
Donc si x H
f
Donc lim 6 f ^ x h - ^- 1h@ = 0 , soit lim f ^ x h =- 1 .
x "+3

x "+3

c. De même lim f ^ x h =- 1 .
x "-3

d. La droite d’équation y =- 1 est asymptote en + 3 et
en - 3 à la courbe représentative de f .
3 Le maximum de f sur R est f ^0 h = 2 .
Et pour tout réel x, f ^ x h 2 - 1 , car :
3
f ^xh + 1 =
2 0.
1 + x2

3
 : 2x - 3 = 3 - 2x .
2
2
3 - 2x
2
3 - 4x
=
=
Donc f ^ x h - 2 G 0.
x
x
x2
x2
2
Donc f ^ x h - 2 G .
x
2 2
b. Soit un réel f 2 0 . Pour tout x H ,
Gf;
f x
donc f ^ x h - 2 G f .
On en déduit lim f ^ x h = 2 .
◗ Si 11 x G

x "+3

c. La droite est asymptote à la courbe f en + 3 .
35 Comme la fonction f est décroissante sur @ 0 ; + 3 6

et

lim f ^ x h = 0 , 0 est un minorant de f , donc pour

x "+3

tout x 2 0 , on a f ^ x h H 0 .
36 1 a.

33 1 Il semble que la limite de f en + 3 est 3.

2 a. Pour tout réel x 2 - 2 ,

f ^xh - 3 =

-2
2
.
1 0 . Donc f ^ x h - 3 =
x+2
x+2

b. Pour tout réel f 2 0 ,
f ^xh - 3 1 f +

2
1f
x+2

+x2

2
- 2.
f

2
- 2 , on a pour tout réel x 2 A ,
f
f ^xh ! @ 3 - f ; 3 + f 6.
Donc la limite de f en + 3 est 3.
La courbe représentative de f présente une asymptote
d’équation y = 3 en + 3 .

En posant A =

34 1 Pour x ! @ 0 ; + 3 6 , f l^ x h = 6 - 2x qui est du
3

x

signe de 6 - 2x .
x

3

0

f l^ x h

+

0

+3
-

7
3

f ^xh
y
y=2
1

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

0

f
1

Livre du professeur - CHAPITRE 2

2 a. On a :

y
%
%
OA
2
OMl
=
= .
et tanOAMl =
tanOMA =
OM
x
OA
2
y
%
%
2
= .
Comme OMA = OAMl , on a
2
x
4
La fonction f qui à x associe y est telle que f ^ x h = .
x
-5
5
#
b. Dès que 0 1 x G 4 10 , f ^ x h H 10 .
c. Lorsque x H 105 , alors 0 1 f ^ x h 1 4 # 10-5 .
Limite infinie à l’infini

x

2 a. Il semble que lim f ^ x h = 2 .
x "+3
b. Voir ci-dessus.
2x - 3
3 a. Pour tout x 2 1 , f ^ x h - 2 =
.
x2
3
◗ Si x H  : 2x - 3 = 2x - 3 . Donc 2x - 3 G 2x , et
2
2
2x
f ^ x h - 2 G 2 , soit f ^ x h - 2 G .
x
x

8

b. ◗ Lorsque l’abscisse x devient « grande » le point Ml se
rapproche du point O.
◗ Lorsque l’abscisse x devient « proche de 0 » le point Ml
s’éloigne de O.
c. Le graphique ci-dessus, obtenu en créant le « lieu » du
point N lorsque M varie, confirme les résultats du b.

37 Démonstrations du cours
1 a. Soit A un réel strictement positif.
Sur 60 ; + 3 6 , x2 H A + x H A .
b. Pour tout réel A 2 0 , on a déterminé un réel B =
tel que dès que x H B on a x2 H A ; donc :
lim x2 =+ 3 .
x "+3

A,

c. Soit A un réel strictement positif.
Sur @ - 3 ; 0 @, x2 H A + x G - A .
b. Pour tout réel A 2 0 , on a déterminé un réel B =- A ,
tel que dès que x G B on a x2 H A ; donc :
lim x2 =+ 3 .

Limites et fonctions continues

x "-3

2 Soit A un réel strictement positif.
Sur 60 ; + 3 6 , x H A + x H A2 .
Pour tout réel A 2 0 , on a déterminé un réel B = A2 tel
que dès que x H B on a x H A donc :
lim x =+ 3 .

Représentations graphiques
y

44 a.

x "+3

38 P est la définition de lim f ^ x h =- 3 .
2
x "+3

1

39 ◗ lim f ^ x h =- 3 .

0

x "+3

x

1

◗ lim g^ x h =- 3 .
x "+3

◗ lim h^ x h =- 3 .
x "+3

y

b.

◗ lim f ^ x h =+ 3 .
x "-3

◗ lim g^ x h =+ 3 .

1

◗ lim h^ x h =- 3 .

0

x "-3
x "-3

x

1

40 1 Voir la figure ci-dessous.

lim x2 =+ 3 et lim x2 =+ 3 .

x "+3

x "-3

2 Voir la figure ci-dessous.
3 ◗ lim g^ x h =- 3 et lim g^ x h =- 3 .
x "+3

x "-3

◗ lim h^ x h =+ 3 et lim h^ x h =+ 3 .
x "+3

x "-3

y
45 ◗ lim f ^ x h = 1
x "-3

◗ lim f ^ x h =+ 3 ;

h

x "-2
x 1- 2

f

◗ lim f ^ x h =- 3 .
x "-2
x 2- 2

1
0

◗ lim f ^ x h =- 3 ;
x "2
x 12

x

1

◗ lim f ^ x h =+ 3 .
x "2
x 22

g

◗ lim f ^ x h = 1 .
x "+3

41 1 Pour tout réel x, - 1 G sin x G 1 , donc f ne peut

pas admettre de limite infinie en + 3 .

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

r
2 Pour tout entier k, sin kr = 0 et sin a
+ 2kr k = 1 .
2
3 Si la fonction f a pour limite , en + 3 alors :
pour x 2 A , f ^ x h ! @ , - 0,25 ; , + 0,25 6 ,
ce qui est impossible d’après les résultats du 2 .

46 1 Les asymptotes à sont :

la droite d’équation x = 0 , la droite d’équation y =- 1
en - 3 et la droite d’équation y = 3 en + 3 .
2

y
y=3
f

1

2 Limite d’une fonction en un point
42 1 Faux.

2 Vrai.

43 1 b., d.

2 a., b.

3 Faux.

0

1

x
y = –1

4 Faux.

Livre du professeur - CHAPITRE 2

Limites et fonctions continues

9

Utiliser les définitions

x

-3

-1

+3

47 Démonstration d’un résultat du cours

0
+3

2
+3

+3
+3

f ^ x h2

1 Soit A un réel strictement positif.

1
2 A +x2

1
1
.
1 x 1 0 ou 0 1 x 1
A
A
1
1
2 Pour tout réel A 2 0 , si x ! 0 et 1x1
,
A
A
1
1
alors 2 2 A . Donc lim 2 =+ 3 .
x
x"0 x

4
x

-3
0

1
f ^xh

-1

0

2
1

0
-

48 1 Il semble que lim f ^ x h =+ 3 .

1

1
2

+3

0

0

x "1

2
2 Pour tout réel x ! 1 , si x - 1 G a , alors ^ x - 1h G a2,

1
1
H 2 .
a
^ x - 1h2
3 a. Définition d’une fonction qui admet une limite
égale à + 3 en 1 :
« Pour tout réel A, il existe un réel f tel que si x - 1 G f
alors f ^ x h H A  ».
1
b. D’après la question 2 , en posant f =
on
A
=+
prouve que lim f ^ x h
3.
donc :

x "1

4 La courbe représentative de f admet la droite d’équa-

tion x = 1 comme asymptote.

49 1 lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 ,
x "0
x 10

x "+3

b. lim ^- x2 ^ x + 2h + 1h =+ 3 .
x "-3

54 a. On a lim 1 = 0 , lim
x "+3

x

x "+3

4
= 0 , donc :
x3

1
4
+ 3 mE =+ 3 .
lim ; x3 c1 x
x
x "+3
3
1
= 0 , donc lim a x + k =- 3 et
b. On a lim
x
x "-3 x
x "-3
3
donc lim - 3x a x + k =- 3 .
x
x "-3
55 1 On a :

x"0
x 20

donc la fonction inverse n’admet pas de limite en 0.
2 On a :

53 a. lim x^ x - 3h =+ 3 .

2
r
m = sin a + kr k .
2
r + k2r
k étant un entier relatif, quand k tend vers + 3 ,
r
sin a + kr k prend alternativement les valeurs 1 et
2
- 1 , donc la fonction f n’admet pas de limite en 0, ni en
0- , ni en 0+ .
fc

lim a

x "+3

1
- 4 k =- 4 et lim ^ x2 + 3h =+ 3 ,
x
x "+3

1
donc lim ^ x2 + 3ha - 4 k =- 3 .
x
+
x" 3
2
10
2 Pour tout réel non nul,
# ^ x + 5h = 2 +
.
x
x
10
2
# ^ x + 5h = 2 .
= 0 , on a lim
Comme lim
x "+3 x
x "+3 x
56 a. f est bien définie sur R (pas de valeur interdite).

Pour tout réel x ! 0 , f ^ x h = x3 c- 1 +

3 Détermination de limites

Comme lim x3 =+ 3

2
4
- 3 m.
x
x

x "+3

50 1 Faux.

2 Faux.

3 Faux.

4 Faux.

51 1 Faux.

2 Faux.

3 Vrai.

4 Faux.

x

-3

-1

+3

0

2
-1

+3

+3

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

- f ^xh
2
x

-3

-3

-3
0

-1

+3

+3

2
+3

2
Livre du professeur - CHAPITRE 2

+3
+3

f ^xh

10

x "+3

De même, lim f ^ x h =+ 3 .
x "-3

Utiliser les opérations
52

2
4
- 3 m =- 1 , par produit, on a :
et lim c- 1 +
x
x
x "+3
lim f ^ x h =- 3 .

1

b. Pour tout réel x, on a 2 + 3x2 ! 0 . Donc g est définie
sur R.
Pour tout réel x ! 0 ,
x
1
=
.
g^ x h =
2
2
2
x c 2 + 3m
xc 2 + 3m
x
x
2
Comme lim x =+ 3 et lim c 2 + 3 m = 3 , par
x "+3
x "+3 x
quotient, on a : lim f ^ x h = 0 .
x "+3

De même lim f ^ x h = 0 .
x "-3

c. Pour x2 - 4x + 5 , D =- 4 . Donc pour tout réel x,
x2 - 4x + 5 ! 0 .
Donc h est bien définie sur R.

Limites et fonctions continues

Pour tout réel x ! 0 ,

1
1
x c9 + 3 m
x c9 + 3 m
x
x
=
.
h^ x h =
4
5
4
5
2
+ 2m
+ 2
x c1 1x
x
x
x
1
Comme lim x =+ 3 , lim c9 + 3 m = 9
x
x "+3
x "+3
4
5
+ 2 m = 1 , par quotient, on a :
et lim c1 x
x
x "+3
lim f ^ x h =+ 3 .
3

x "+3

De même lim f ^ x h =- 3 .
x "-3

57

-3

+3
0

g

+3
0

h

+3

-3

f+g

+3

0

f-g

+3

0

f

+3

g-h

-3

f /g

+3

+3

0

+3

58 a. On a lim ^4 - x2h = 0+ ; donc lim

x "2
x 12

x
=+ 3.
4 - x2

x
=- 3 .
x2
x "2 4
x
2 =+ 3 .
x "-2 4 - x

c. On a lim ^4 - x2h = 0- ; donc lim

x 1- 2
+

0 ; donc lim

x "2
x 12

x "+3

◗ lim f ^ x h = lim ^ x - 2h = 0 .
x "2

x "2

x
=- 3 .
4 - x2

x
1
=
4
4 - x2
- x c1 - 2 m
x
4
comme lim c1 - 2 m = 1 , donc :
x
x "+3
x
1
lim
2 = lim - x = 0 .
x
x "+3
x "+3 4

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

59 a. ◗ On a :

1
+ 2 k = 2 et lim ^ x2 - 1h =+ 3 ,
x
x "+3
par produit : lim f ^ x h =+ 3 .
lim a

x "+3

x "+3

1
◗ On a lim a + 2 k =+ 3 et lim ^ x2 - 1h =- 1 ,
x"0 x
x "0
x 20

x "+3

1
1
1
=et lim a- k =- 3 ,
4
x
x-4
x"0

donc par somme : lim f ^ x h =- 3 .
x"0
x 20

◗ On a lim

x"4
x14

1
1
1
=- 3 et lim a- k =- , donc par
x
4
x-4
x"4

somme lim f ^ x h =- 3 .
x"4
x14

b. Sur @ - 3 ; - 2 6 , f ^ x h =

4x + 1
.
^ x + 2h^ x + 3h
1
4x + 1
=- 3 ,
=- 7 et lim
◗ lim
+
+
2h
3h
x " - 2 ^x
x " - 2 ^x
x 1- 2

donc par produit : lim f ^ x h =+ 3 .
x "-2
x 1- 2

e. Si x est différent de 0,

par produit : lim f ^ x h =- 3 .

x 11

par somme : lim f ^ x h =+ 3 .

x 20

x 22

x "-2
x 2- 2

1
= 0 , par somme : lim f ^ x h =+ 3 .
x
1
x "-3
x "-3
1
2
m =+ 3,
◗ On a lim ^8x - 28x + 26h = 6 et lim cx-1
x "1
x "1

x "0

b. On a lim ^4 - x2h = 0- ; donc lim

d. On a lim ^4 - x

x "-3

60 a. ◗ On a lim

foh

2h =

c. ◗ Un logiciel de calcul formel donne pour x différent
de 1 :
^3 - 2x h3
1
= 8x2 - 28x + 26 .
1-x
x-1
◗ On a lim ^8x2 - 28x + 26h =+ 3

x "+3

0

x "-2
x 1- 2

x "0
x 10

x2 - 4x + 4
= x - 2.
x-2
◗ lim f ^ x h = lim ^ x - 2h =+ 3 .

0
0

x "2
x 22

x 10

par produit : lim f ^ x h =+ 3 .

d. ◗ On a pour x différent de 2,

f /h
g/h

x "2
x 12

x "+3

1
◗ On a lim a + 2 k =- 3 et lim ^ x2 - 1h =- 1 ,
x "0 x
x "0

x "1
x 11

0

fh

x "-3

et lim -

0

fg

1
+ 2 k = 2 et lim ^ x2 - 1h =+ 3 ,
x
x "-3
par produit : lim f ^ x h =+ 3 .
b. ◗ On a lim a

◗ lim

4x + 1

x " - 3 ^ x + 2h

= 11 et lim

x "-3
x 2- 3

1
=+ 3 , donc par
^ x + 3h

produit : lim f ^ x h =+ 3 .
x "-3
x 2- 3

c. Sur @ 5 ; + 3 6 , f ^ x h =

^ x - 5h^ x + 3h
^ x + 3h
=.
2
2^5 - x h

◗ lim f ^ x h =- 3 .
x "+3

◗ lim f ^ x h =- 4 .
x "5

d. ◗ lim ^2x - 1h =- 3 et lim
x " -1

x "-1
x 2- 1

3
=+ 3 , donc
^ x + 1h

par somme lim f ^ x h =+ 3 .
x "-1
x 2- 1

Livre du professeur - CHAPITRE 2

Limites et fonctions continues

11

3

◗ lim ^2x - 1h =+ 3 et lim

x " + 3 ^ x + 1h

x "+3

= 0 , donc par

Comme

somme lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3

x "+3

x"0
x 20
+

quotient lim f ^ x h =+ 3 .

x"0
x 20

x"0
x 20

1
1-3
1 - 3x
x .
3
#
=
◗ Sur @ 0 ; + 3 6 : f ^ x h = 2
x
1
x +x
1+
x
1
= 0 , par somme et produit :
Comme lim
x "+3 x
lim f ^ x h = 0 .
x "+3

◗ La courbe représentative de f admet deux asymptotes d’équations respectives x = 0 et y = 0 .
^3x + 1h^ x - 1h
3x2 - 2x - 1
3 ◗ f l^ x h =
=
.
2
2
^x + xh
^ x2 - x h2
b. c. f l^ x h est du signe de x - 1 sur @ 0 ; + 3 6 , d’où le
tableau de variations de f  :
x

0

1

f l^ x h

-

+3

0

c. lim ^ x2 + 1h =+ 3 , donc :
x "-3

lim

x "-3

x2 + 1 = lim

t "+3

t =+ 3

3
= 0.
x2 + 1
x
x
=
.
d. ◗ Pour x 2 0 ,
1
x+1
1+
x
1
= 0 , et lim x =+ 3 , on en
◗ Comme lim
x "+3
x "+3 x
x
=+ 3 .
déduit :
lim
x "+3 x + 1

donc par quotient : lim

x "-3

lim ^ x2 + 4h =+ 3 , donc :

x "-3

lim

x2 + 4 = lim

t "+3

t =+ 3  ;

2 En multipliant et en divisant f ^ x h par

x2 + 4 + x .

On obtient pour tout réel x :
4
.
f ^xh =
x2 + 4 + x
lim ^ x2 + 4 + x h =+ 3 ,
x "+3

donc lim f ^ x h = 0 par quotient de limites.
x "+3

c

v"c

v2
= lim t = 0+ ,
c2
t"0
v "+3
donc d’après le quotient des limites on obtient :
lim m =+ 3 .
donc lim

x "-3

lim f ^ x h = lim ^- 3x 4h =- 3 .
x "+3

1-

v"c

◗ lim f ^ x h = lim ^- 3x 4h =- 3 .
x "-3

b. ◗ lim g^ x h = lim 2x3 =+ 3 .
x "+3

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

t =+ 3

2
65 ◗ lim c1 - v m = 0 ,
2

On démontre de même que :
lim f ^ x h = lim an x n .

Théorèmes de comparaisons

x "+3

◗ lim g^ x h = lim 2x3 =- 3 .
x "-3

66 Démonstration du cours

1 ROC «  lim f ^ x h =+ 3  » signifie que pour tout réel

Composition de fonctions
2
63 a. ◗ Pour x 2 0 , x + 5 =
4x + 1

12

t "+3

lim f ^ x h =+ 3 .

x "+3

x "-3

x + 1 = lim

x "-3

Donc lim f ^ x h = lim an x n .

x "-3

x

lim

x "+3

x "-3

a
a
a1
+ 0 n E.
f ^ x h = an x n ;1 + n - 1 + f +
an x
an x
an x n - 1
1
Comme lim k = 0 pour tout entier naturel k non
x "+3 x
nul, on a :
a
a
a1
+ 0n E = 1.
lim ;1 + n - 1 + f +
an x
an x
an x n - 1
x "+3

x "-3

x "+3

2+

comme lim ^- x h =+ 3 , on a par somme :

62 1 Pour tout réel x non nul, et a ! 0 :
n

x "+3

x2 + 5
= lim t =+ 3 .
4x + 1
x "+3
t "+3
b. On a par somme, lim ^ x2 + x + 1h =+ 3 , donc :

◗ lim

x "-3

-1

2 a. ◗

x2 + 5
=+ 3 .
x " + 3 4x + 1

+3

f ^xh

x "+3

x "+3

64 1

+

+3

5
x2 = 1 .
1
4
4+
x

Donc par produit : lim

2 ◗ lim ^1 - 3x h = 1 et lim ^ x2 + x h = 0 , donc par
x "0

1
= 0 , on a par somme et quotient :
x

1+

lim

61 1 Il semble que lim f ^ x h = 0 et lim f ^ x h =+ 3.

lim

x "+3

x "+3

5
m
x2
.
1
4+
x

x c1 +

Livre du professeur - CHAPITRE 2

A, il existe un réel B tel que dès que x 2 B, alors f ^ x h 2 A.
2 Pour tout réel A, il existe un réel B tel que dès que
x 2 B , alors f ^ x h 2 A. Mais comme g^ x h H f ^ x h , on a
g^ x h 2 A . Donc lim g^ x h =+ 3 .

Limites et fonctions continues

x "+3

67 Pour tout réel x, - 1 G sin x G 1 .

Donc x G f ^ x h G x + 2 .
lim x =+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3 d’après le théox "+3

rème de minoration.

x "+3

tout réel x, - 1 G sin x G 1, donc
x G f ^ x h G 3x2 , lim x2 =+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3
2

x "+3

x "+3

(Théorème de minoration).
b. Pour tout réel x, - 1 G cos x G 1 .
3x
3x
3x
=- 3 .
, lim Donc G f ^xh G 2
4 x "+3 4
Donc lim f ^ x h =- 3 (Théorème de majoration).
x "+3

1
1
= lim
= 0,
x2
x "+3 x
donc lim f ^ x h = 0 (Théorème des gendarmes).
71 1 Comme lim

1
=+ 3 ,
x"0 x

2 lim

x 20

donc lim f ^ x h =+ 3 (Théorème de minoration).
x "0

72 a. ◗ lim u^ x h =
x "+3

lim v^ x h = 3 ,

x "+3

x "+3

Donc 1 H - cos ^ x h H - 1 , et 3 H 2 - cos ^ x h H 1 .
1
1
Par passage à l’inverse,
G
G 1.
3
2 - cos ^ x h
x
x
2 a. Pour tout réel x H 0 , on a :
G
G x.
3
2 - cos ^ x h
x
=+ 3 , par le théorème de minoraComme lim
x "+3 3
x
=+ 3 .
tion, on a : lim
x " + 3 2 - cos ^ x h
b. Pour tout réel x 1 - 1 ,
x - 1 G x + cos ^ x h G x + 11 0.
Donc pour tout réel x 1 - 1 , on a :
x + cos ^ x h
x+1
.
x-1 G
G
3
2 - cos ^ x h
x+1
=- 3 , par le théorème de majoComme lim
x "-3 3
x + cos ^ x h
=- 3 .
ration, on a : lim
x " - 3 2 - cos ^ x h
70 1 Pour tout réel x H 1 , on pose f ^ x h =

x
.
x+1

1
2 0 , donc la fonction f est croissante
^ x + 1h2
sur 61 ; + 3 6 .
f l^ x h =

1

x "+3

donc lim f ^ x h = 3 (Théorème des gendarmes).

69 1 Pour tout réel x, - 1 G cos ^ x h G 1 .

f l^ x h

x "+3

x "+3

68 a. Pour

x

x
= 0 (théorème des gendarmes).
x ^ x + 1h

Donc lim

+3

◗ lim u^ x h =+ 3 ,
x "-3

donc lim f ^ x h =+ 3 (Théorème de minoration).
x "-3

b. Par exemple :
y

f

u

J
O

x

I

v

73 a. Par définition, pour tout réel x,

E^ x h G x G E^ x h + 1 .
Donc x - 1 G E^ x h .
En conséquence x - 1 G E^ x h G x .
E^ x h
1
b. Donc pour x 2 0 , 1 G
G 1.
x
x
1
= 0.
Comme lim
x "+3 x
Donc lim f ^ x h = 1 (Théorème des gendarmes).
x "+3

+
1

f ^xh

4 Continuité

1
x
G
G 1.
2
x+1
2 ◗ x H 0 . D’après ce qui précède :
x
x x
G
G x,
2
x+1
x
=+ 3 , on a :
donc comme lim
x "+3 2
x x
=+ 3 (théorème de minoration).
lim
x "+3 x + 1
1
x
1
,
◗ De même
G
G
2 x
x ^ x + 1h
x
1
1
= lim
= 0.
comme lim
x "+3 2 x
x "+3 x
On a donc

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

1
2

74 1 Vrai.

2 Vrai.

3 Faux.

4 Vrai.

75 1 Vrai.

2 Faux.

3 Vrai.

4 Faux.

76 1 Faux.

2 Vrai.

3 Vrai.

4 Vrai.

5 Faux.

Étudier la continuité
77 1 a. Vrai.
2 a. Vrai.
3 6- 3 ; 16 .

Livre du professeur - CHAPITRE 2

b. Faux.
b. Vrai.

c. Faux.
c. Vrai.

Limites et fonctions continues

13

78 f ^ x h = *

x pour 0 G x G 2
.
2 + 3^ x - 2h pour 2 1 x 1 5

On a f ^2 h = 2 et :
lim f ^ x h = lim 62 + 3^ x - 2h@ = 2 .
x "2
x 22

x "2

La fonction f est continue en 2.
79 a.

y

1

2 ◗ lim

x

x "-3
x 1- 3

x
La fonction f est continue sur R.
Z 2
]] x - 4 si x ! @ - 3 ; - 2 6 , @ 2 ; + 3 6
80 1 f ^ x h = [- x2 + 4 si x ! @ - 2 ; 2 6
.
]
0 pour x = 2 et pour x =- 2
\
y

1
1

x

2 La fonction f est-continue sur @ - 3 ; - 2 6 , @ - 2 ; 2 6
et @ 2 ; + 3 6 comme fonctions polynômes ; elle est aussi
continue en - 2 et 2, donc elle est continue sur R.
La fonction f n’est pas dérivable en - 2 et 2 (points
anguleux).
2
81 1 ◗ Si x ! - 1 , x - 1 = x - 1

x+1
◗ lim f ^ x h = lim ^ x - 1h =- 2 , donc pour que f
x " -1

soit continue en - 1 , il faut m =- 2 .
2 ◗ Pour x différent de 0,
-x
1 - x2 + 1
=
f ^xh =
x
1 + x2 + 1
en utilisant l’expression conjuguée du numérateur.
-x
◗ lim f ^ x h = lim c
m = 0 , donc pour que f
x "0
x " 0 1 + x2 + 1
soit continue en 0, il faut m = 0 .
Calculs de limite
82 1 Il semble que

la fonction f admette
- 1 comme limite en 1.
2 Pour
x2 - 3x + 2 ,
on a D = 1  ; x1 = 1 et
x2 = 2 .
Livre du professeur - CHAPITRE 2

x "-3

Donc lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =- 3 .

0 1

0

^ x - 1h =- 4 et lim ^ x + 3h = 0 .

x "-3

1

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

83 1 Pour x ! R \ "- 3 ; 3 , ,

f ^xh =

La fonction f est continue en 0 et sur R.
b.
y

14

x "1

^ x - 3h^ x - 1h
x2 - 4x + 3
x-1
=
=
.
2x+3
^ x - 3h^ x + 3h
x
9
x-1
1
= .
Donc lim f ^ x h = lim
+
3
x
3
x "3
x "3

0 1

x " -1

Donc x2 - 3x + 2 = ^ x - 1h^ x - 2h .
Donc pour tout réel x ! 1 , f ^ x h = x - 2 .
Donc lim f ^ x h = 1 - 2 =- 1 .

x "-3
x 2- 3

La courbe représentative de f admet la droite d’équation x =- 3 comme asymptote.
1
1x-1
x .
=
◗ Pour x ! R \ "- 3 ; 3 ; 0 , , f ^ x h =
3
x+3
1+
x
1
= 0 , on a lim f ^ x h = 1 .
Comme lim
x "+3 x
x "+3
La courbe représentative de f admet la droite d’équation y = 1 comme asymptote.
5
1+
x+5
x .
=
1
4x + 1
4+
x
1
= 0 , par somme et quotient de
Donc comme lim
x "+3 x
x+5
1
= .
limites, on a : lim
4
+
4
x
1
+
x" 3
x+5
1
= lim t = .
◗ lim
2
4x + 1
t " 1/4
x "+3
-1
x
=
pour x 1 0 .
b. ◗
1
x2 + 1
1+ 2
x
1
Donc comme lim 2 = 0 , par somme et quotient de
x "-3 x
x
=- 1 .
limites, on a : lim
2
x "-3
x +1
84 a. ◗

1
= 0,
2x + 1
1
m = lim cos t = cos 0 = 1 .
donc lim cos c
+1
2
x
t"0
x" 3
85 a. On a lim

x "-3

b. Pour x ! 0 , on a :

1
r+
rx + 1
x .
=
3
2x + 3
2+
x
1
= 0 , par somme et quotient de
Donc comme lim
x "+3 x
rx + 1
r
=
;
limites, on a : lim
2
x " - 3 2x + 3
donc lim sin c
x "-3

Limites et fonctions continues

rx + 1
m = lim sin t = 1 .
2x + 3
r
t"

2

Utiliser un tableau
86 1 Vrai.

◗ Pour tout x ! @ - 3 ; 0 6 , f ^ x h 1 1 , donc l’équation
f ^ x h = 1 n’admet pas de solution dans @ - 3 ; 0 6 .
◗ Pour tout x ! @ 2 ; + 3 6 , f ^ x h 1 1 , donc l’équation
f ^ x h = 1 n’admet pas de solution dans @ 2 ; + 3 6 .
◗ La fonction f est continue et strictement décroissante
sur @ 0 ; 2 6 à images dans @ - 3 ; + 3 6 qui contient 1.
Donc l’équation f ^ x h = 1 admet une unique solution
dans @ 0 ; 2 6 .
2 Faux. L’équation f ^ x h =- 3 admet deux solutions : 2
et un réel de l’intervalle @ - 1 ; 0 6 .
3 Faux. L’image par f de l’intervalle @ 0 ; 4 @ est l’intervalle 6- 3 ; + 3 6 .
4 Faux.
87 ◗ L’image de 6- 2 ; 1 @ par f est 6- 1 ; 1 @ .

◗ L’image de 6- 2 ; 2 @ par f est 6- 1 ; 1 @.
◗ L’image de 6- 3 ; 1 @ par f est 6- 1 ; 2 @.

7

lim f ^ x h =+ 3, , donc

x "+3

l’ensemble-image est R. L’équation f ^ x h = 1 admet au
moins une solution.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

7

3- 2-

x
x
1 est définie et
dérivable sur R, f l^ x h = x^3x - 2h , d’où le tableau des
variations :
2
x
0
+3
-3
3
f l^ x h
0
0
+
+
-1

+3

f ^xh
-3

+

0

-

0

+3
+

0

+3

+3

g^ x h
-1
-1
D’après ce tableau l’équation g^ x h = 0 admet exactement trois solutions sur R : la première dans l’intervalle
@ - 3 ; 0 @, la seconde égale à 1, la troisième dans l’intervalle 62 ; + 3 6 .

-3

2

-2

+

0

-

0

6

+
144

9
- 16
b. L’équation f ^ x h = 30 admet une unique solution a
sur l’intervalle 6- 3 ; 6 @.
c. D’après le tableau, on a 4 1 a 1 5 .
d. En utilisant un balayage, on obtient 4,34 1 a 1 4,35 .

x x + 2 est définie et

continue sur 6- 2 ; 2 @.
Or f ^- 2h = 0 et f ^2 h = 4 . Comme 0 1 2 1 4 , l’équation f ^ x h = 2 admet au moins une solution sur 6- 2 ; 2 @.
2 La fonction f : x
^ x3 + 1hx2 est définie et continue

91 La fonction f : x

0

-

2

f ^xh

x5 - 5x + 2 est définie et dérivable sur 60 ; 1 @, f l^ x h = 5^ x 4 - 1h 1 0 , donc strictement décroissante sur 60 ; 1 @, à images dans 6- 2 ; 2 @ qui
contient 0. Donc l’équation f ^ x h = 0 admet une unique
solution dans 60 ; 1 @.

lim f ^ x h =- 3 et

gl^ x h

1

0

-3

16

7

x "-3

x

f l^ x h

89 1 ◗ f ^0 h = 2  ; f ^1 h =- 2 .

sur R,

x 4 - 4x3 + 4x2 - 1 est définie
et dérivable sur R, gl^ x h = 4x^ x - 1h^ x - 2h ; d’où le
tableau des variations :

x

Théorème des valeurs intermédiaires

7

7

d’où le tableau des variations de f sur 6- 3 ; 6 @ :

◗ L’image de 60 ; 2 6 par f est @ - 3 ; 2 @.
◗ L’image de @ - 3 ; 2 6 par f est @ - 3 ; 2 @.
◗ L’image de @ 2 ; + 3 6 par f est @ - 3 ; 16 .
2 a. L’équation f ^ x h = 0 admet deux solutions.
b. L’équation f ^ x h = 1 admet une solution.

90 1 La fonction f : x

92 La fonction g : x

93 a. Pour tout réel x dans 6- 3 ; 6 @ , f l^ x h = 3^ x2 - 4h ;

88 1 ◗ L’image de @ - 3 ; 0 6 par f est @ 1 ; 2 6 .

2 La fonction f : x

D’après ce tableau l’équation f ^ x h = 0 admet une solution unique notée a .
Or f ^1 h =- 1 et f ^2 h = 3 . Donc 11 a 1 2 .

-

31
27

94 1 La fonction f : x

7

x3 - 5x est définie et dérivable sur 6- 1 ; 0 @, f l^ x h = 3x2 - 5 1 0 sur cet intervalle,
donc la fonction f est strictement décroissante.
f ^- 1h = 4 et f ^0 h = 0 , donc l’intervalle-image est
60 ; 4 @ qui contient 3 ; donc l’équation f ^ x h = 3 admet
une unique solution a dans l’intervalle 6- 1 ; 0 @.
2

ALGO

Variables :
x, y : réels
Début
x ! - 1 ; y ! x3 - 5x ;
TantQue y 2 3 Faire
x ! x + 10-2
y ! x3 - 5x
FinTantQue ;
Afficher ^ x - 0,01 ; x h
Fin.

Livre du professeur - CHAPITRE 2

Limites et fonctions continues

15

3 On a le tableau des variations de f ci-dessous :

x

-3

f l^ x h

b

5
3

0

+

-

15
9

10

f ^xh

a

5
3
0

c

+3

+
+3

3
15
-3
9
=
L’équation f ^ x h 3 admet trois solutions  : a , mais
aussi - 2 1 b 1 - 1 et 2 1 c 1 3 .
◗ Pour obtenir une valeur approchée de b , on peut
initialiser « x » à - 2 . Il faut transformer la condition dans
la boucle Tant Que par : «  y 1 3  ».
◗ Pour obtenir une valeur approchée de c , on peut
initialiser « x » à 2. Il faut transformer la condition dans la
boucle Tant Que par : «  y 1 3  ».
3

3

- 10

95 La fonction f , continue sur R, a pour représenta-

tion graphique la courbe ci-dessous.
y
0

x

1
y=k

La droite d’équation y = k est parallèle à l’axe des
abscisses, donc :
◗ Si k ! @ - 3 ; - 5 6 , @ - 1 ; + 3 6 , l’équation f ^ x h = k
admet une unique solution.
◗ Si k ! @ - 5 ; - 16 , l’équation f ^ x h = k admet trois
solutions.
◗ Si k =- 5 ou k =- 1 , l’équation f ^ x h = k admet
deux solutions.
96 1 En utilisant la courbe donnée, il semble que

l’équation f ^ x h = 0 admette une solution : 1.
2 La fonction f est dérivable sur R et on a :
f l^ x h = 6x2 - 12x + 5,96 . Ce polynôme a un discri6
minant D = 0,96 , donc deux racines x1 = 1 et
30
6
, d’où le tableau des variations :
x2 = 1 +
30
x
f l^ x h

x2

x1

-3
+

0

-

0

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

M

+3
+
+3

f ^xh
-3
m
Avec m . 0,002 et m . 0,002 .
Donc l’équation f ^ x h = 0 admet trois racines sur R.
La conjecture n’est pas confirmée.
3 a. En développant f ^ x h = ^ x - 1h^ax2 + bx + c h et
en identifiant, on obtient a = 2 , b =- 4 et c = 1,96 ,
donc f ^ x h = ^ x - 1h^2x2 - 4x + 1,96h .
16

Livre du professeur - CHAPITRE 2

b. f ^ x h = 0 + x = 1 ou 2x2 - 4x + 1,96 = 0 .
Le discriminant de 2x2 - 4x + 1,96 est 0,32, donc les
2
2
, b = 1+
.
solutions sont a = 1 10
10
L’équation f ^ x h = 0 admet trois solutions a, 1 et b.
97 1 f l^ x h = 4x3 + 9x2 + 2 .
2 a. f ll^ x h = 12x2 + 18x = 6x^2x + 3h .

D’où le tableau :
x

0

- 3/2

-3

f l^ x h

0

+

-

0

+3
+

35,75

+3

f ^xh
-3
2
b. ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; - 3/2 @, la fonction f l est
strictement croissante, continue, et d’intervalle-image
@ - 3 ; 35,75 @ contenant 0.
On en déduit que l’équation f l^ x h = 0 admet une
unique solution a sur @ - 3 ; - 3/2 @.
◗ Sur l’intervalle 6- 3/2 ; + 3 6 , le minimum de f l est 2.
Donc l’équation f l^ x h = 0 n’admet pas de solution sur
cet intervalle.
◗ Finalement, l’équation f l^ x h = 0 admet une unique
solution a sur R.
Par la calculatrice, a . - 2,3 .
c. On en déduit le tableau de signes de f l^ x h sur R :
x
f l^ x h

-3

a

+3

- 0 +

3 D’où le tableau des variations de f sur R :

x

-3

a

+3
f ^xh

+3
+3

f ^ah

98 1 Le volume V de l’eau versée dans le récipient est

le volume du cylindre de rayon 10 et de hauteur 8 moins
le volume de la bille de rayon 4. Soit :
4
2 144
# r # 43 =
V = r # 102 # 8 r.
3
3
2 On doit avoir R ! @ 0 ; 10 @ .
3 Soit R le rayon de la nouvelle bille.
Le volume « eau + bille » est égal au volume du cylindre
de base de rayon 10 et de hauteur 2R, soit :
r # 102 # 2R = 200rR .
Ce volume est aussi égal à V plus le volume de la nouvelle
2 144
4
bille :
r + rR 3 .
3
3
Le rayon R de la nouvelle bille est solution du problème
si son rayon R vérifie l’équation :
(E) : x3 - 150x + 536 = 0 .
4 On pose f ^ x h = x3 - 150x + 536 . La fonction f est
dérivable et f l^ x h = 3^ x2 - 50h , d’où le tableau des
variations ci-après.

Limites et fonctions continues

x

0

f l^ x h

4

50

a

-

0

+

10

536

36
0

f ^xh

0

m
Avec m . - 171 , donc le problème a une solution a
entre 9 et 10.
Un balayage donne 9,74 1 a 1 9,75 ,
c’est-à-dire R . 9,7 cm à 0,1 près.

réel x est donné ci-dessous.
x -3
-2

5

5

-1

+3

+3

0

-3

Partie A

des variations :

gl^ x h

1
3
0

+

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

g^ x h

0

-

-3

26
27

-

0

x "0
x 10

1
=- 3 ,
x

x "0
x 10
^ 2+

◗ lim x
x "0

x h = 0 et lim

x"0
x 20

1
=+ 3 ,
x

x"0
x 20

g^ x h
1
1
, donc
2x + 1 - 2 m =
3c
x
3x 2
est du signe de g^ x h .
b.
x
0
-3
a
2 a. f l^ x h =

f l^ x h

-

-

0

+3

+

+3

+3

f l^ x h

+3

f ^xh
f ^ah

-3
3 a. d^ x h = f ^ x h - h^ x h =

1
= 0,
3
x "-3 x

Comme lim

1
.
3x

lim d^ x h = 0 .

x "-3

De même comme lim

1 Pour tout réel x, gl^ x h = 2x^3x + 1h ; d’où le tableau

x

donc lim f ^ x h =+ 3 par somme de limites.
x "-3
1
= 0,
◗ lim ^ x2 + x h =+ 3 et lim
x "+3
x "+3 x
donc lim f ^ x h =+ 3 par somme de limites.

1
= 0 , lim d^ x h = 0 .
3
x "+3 x
x "+3

+3

g^ x h
-3

1
= 0,
x

donc lim f ^ x h =+ 3 par somme de limites.

+3

3

-2

lim

x "-3

donc lim f ^ x h =- 3 par somme de limites.

+ 0
- 0
+
f ^xh
2 a. La courbe admet une asymptote horizontale
d’équation y = 1 en - 3 .
b. ◗ Pour x ! @ - 3 ; 3 6 on a - 11 f ^ x h 1 1 , donc l’équation f ^ x h = 2 n’admet pas de solution sur l’intervalle
@- 3 ; 3 6.
◗ Sur l’intervalle 63 ; 10 @, la fonction f est continue et
strictement croissante et l’ensemble des images est
6- 1 ; 3 @ qui contient 2. Donc l’équation f ^ x h = 2 admet
une unique solution sur 63 ; 10 @.
3 Les fonctions f et g ont des variations contraires, car
f l^ x h
gl^ x h =2 . Donc on obtient le tableau :
f ^xh

100

x "-3

x "0

99 1 Le signe de f ^ x h suivant les valeurs du nombre

1

x "-3

◗ lim ^ x2 + x h = 0 et lim

Exercices guidés

-3

Partie B
1 ◗ lim ^ x2 + x h = lim x2 =+ 3 et

x "+3

Prépa Bac

x

dans cet intervalle ; donc l’équation g^ x h = 0 admet sur
R une unique solution.
◗ Comme g^0,65h 1 0 et g^0,66h 2 0 , on a :
0,65 G a G 0,66 .
3 Si x ! @ - 3 ; a 6 , alors g^ x h 1 0 et si x ! @ a ; + 3 6 ,
alors g^ x h 2 0 .

+3

On peut en déduire que les courbes et sont asymptotes au voisinage de - 3 et de + 3 .
b. ◗ Si x 1 0 , alors d^ x h 1 0 ; donc la courbe est sous
la courbe .
◗ Si x 2 0, alors d^ x h 2 0 ; donc la courbe est au-dessus
de la courbe .
4
y

+
+3


-1
-3
2 ◗ Sur @ - 3 ; 0 @ , g^ x h 1 0 , l’équation g^ x h = 0
n’admet pas de solution dans cet intervalle.
◗ Sur 60 ; + 3 6 la fonction g est continue et strictement
croissante à images dans 6- 1 ; + 3 6 qui contient 0,
donc l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution a
Livre du professeur - CHAPITRE 2

1
0

1

x

Limites et fonctions continues

17

101

Partie A
1 L’ensemble de définition de f est R\ "1 , .
2 La courbe admet la droite d’équation y = 1
comme asymptote horizontale en + 3 et en - 3 et la
droite 0 d’équation x = 1 comme asymptote verticale.
La courbe admet une tangente horizontale en
1
1
A a- ; - k .
2
3
1
1
3 a. lim
= 0 et lim
2 = 0.
x " + 3 ^ x - 1h
x "+3 x - 1
Donc lim f ^ x h = a , donc a = 1 .

Comme la fonction f est décroissante sur 60 ; 1 @, et s’an1
nule en a n ,on a a n G .
n
1
4 D’après les questions précédentes, 0 G a n G
.
n
1
= 0 , le théorème des gendarmes
Comme lim
n "+3 n
permet d’affirmer que la suite ^a nh converge vers 0.

Exercices d’entraînement
103

x "+3

b. ◗ f ^0 h = 0 , donc 1 - b + c = 0 , soit - b + c =- 1 .
1
b
c
1
1
+
=- ,
◗ f a- k =- , donc 1 +
9
3
3
2
3
2
4
2
4
4
- b + c =- .
soit :
3
9
3
◗ Après résolution du système, a = 4 et b = 3 .

1 Faux, car f ^0 h =- 2 .
2 Faux, car - 2 est le minimum de f sur R.
3 Vrai.
4 Faux, car la fonction f est décroissante sur 6 4 ; 9 @ par

exemple.
5 Faux, car les limites de f en - 3 et en + 3 sont infinies.
1
6 Faux, car lim
= 0.
x " + 3 f ^xh

Partie B

- 2^2x + 1h
qui est du signe de
^ x - 1h3
- 2^2x + 1h^ x - 1h , ce qui justifie le tableau des variations donné.
2 ◗ f l^0 h = 2 et f ^0 h = 0 , donc la tangente D à à
l’origine a pour équation y = 2x .
^2x - 5hx2
◗ On a d^ x h = f ^ x h - 2x =.
^ x - 1h2
5
et x ! 1 , alors d^ x h H 0 , donc la courbe
– si x 1
2
est au-dessus de la droite D  ;
5
alors d^ x h 1 0 , donc la courbe est en
– si x 2
2
dessous de la droite D  ;
5
alors d^ x h = 0 , donc la courbe coupe la
– si x =
2
droite D .
y
3

1 f l^ x h =


1
0 1

x

104

1 c.

105

Partie A

2 c.

1 P l^ x h = 6x2 - 6x = 6x^ x - 1h .

Comme lim P^ x h =- 3 et lim P^ x h =+ 3 , on a le
x "-3

x "+3

tableau des variations suivant :
x
P l^ x h
P^ x h

^ f nhl^ x h = 3x2 - 2n 1 0,
car 0 G x G 1 . La fonction f n est continue et strictement décroissante sur 60 ; 1 @ et l’ensemble des images
est 62 - 2n ; 1 @, qui contient 0.
Donc l’équation f n ^ x h = 0 admet une unique solution
a n dans 60 ; 1 @.
2 Par balayage :
0,254 1 a2 1 0,255 et 0,167 1 a3 1 0,168 .
1
1 - n3
3 On a f a k =
. Donc pour tout entier n H 2 ,
n
n3
1
f a k1 0.
n
18

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

1 Pour tout entier n H 2 ,

Livre du professeur - CHAPITRE 2

1

0

-3

0

+

-

+3

0

+

-1

+3
-2

-3

2 ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; 1 @ , le maximum de P est
- 1. Donc l’équation P^ x h = 0 n’a pas de solution sur
@ - 3 ; 1 @.
◗ Sur l’intervalle 61 ; + 3 6 , la fonction P est strictement
croissante et continue, d’intervalle-image 6- 2 ; + 3 6
contenant 0 . Alors l’équation P^ x h = 0 admet une
unique solution sur 61 ; + 3 6
◗ Conclusion  : l’équation P^ x h = 0 admet une unique
solution a sur R.
Comme P^1,6h =- 0,488 (négatif ) et P^1,7h = 0,156
(positif ) , on a : 1,6 1 a 1 1,7 .
3 D’après le tableau de variations de P, on a :

x
102

3 c.

-3

P^ x h

a

+3

- 0 +

Partie B
1 Pour tout réel x 2 1  :
-^1 + x3h - ^1 - x h^3x2h
P^ x h
=
.
2
3
^1 + x h
^1 + x3h2
Donc f l^ x h est du signe de P^ x h . D’où :
f l^ x h =

x

-1

f l^ x h
f ^xh

Limites et fonctions continues

-

a
0

+3
+

1
-1
x
, on a :
1
+ x2
x
lim f ^ x h = 0 .

2 Comme pour x ! 0 , f ^ x h =

x "+3

Comme lim ^1 - x h = 2 et lim ^1 + x3h = 0+ ,
x "-1
x 2- 1

x "-1
x 2- 1

lim f ^ x h =+ 3 .

x "-1
x 2- 1

On en déduit que admet une asymptote horizontale
d’équation y = 0 en + 3 , et une asymptote verticale
d’équation x =- 1 .
3 ◗ 1 : y = f l^0 h^ x - 0h + f ^0 h .
-1
1
=- 1 et f ^0 h =
= 1 , une
Comme f l^0 h =
1
1
équation de 1 est y =- x + 1 .
◗ Pour tout réel x 2 - 1 , on a :
^ x - 1hx3
, qui est négatif sur
f ^ x h - ^- x + 1h =
x3 + 1
@ 0 ; 16 , positif sur @ - 1 ; 0 6 et sur @ 1 ; + 3 6 , et nul en 0
et en 1. On en déduit que la courbe est en dessous de
la droite 1sur @ 0 ; 16 , et au-dessus de la droite 1 sur
@ - 1 ; 0 6 et sur @ 1 ; + 3 6 .
4 a. 2 : y = f l^1 h^ x - 1h + f ^1 h .
-2
1
=Comme f l^1 h =
et f ^1 h = 0 , une équa4
2
1
tion de 1est y =- ^ x - 1h .
2
b. Pour tout réel x 2 - 1 , on a :
1
1
1
- m
f ^ x h - ^1 - x h = ^1 - x hc
2
2
1 + x3
3
^1 - x h^1 - x h
=
.
2^1 + x3h
Or ^1 - x h^ x2 + x + 1h = 1 - x3 .
^1 - x h2 ^ x2 + x + 1h
1
.
Donc f ^ x h - ^1 - x h =
2
2^1 + x3h
c. Pour x2 + x + 1 , on a D =- 3 négatif.
Donc pour tout réel x, x2 + x + 12 0 .
On en déduit que pour tout réel x 2 - 1 ,
1
f ^ x h - ^1 - x h H 0 .
2
Ainsi la courbe est au-dessus de la droite 2 sur
@- 1 ; + 3 6.
y
5


©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

1
2

1 A
B
0

106

x

1

Partie A

1 gl^ x h = 12x2 - 3 = 3^4x2 - 1h .

Comme lim g^ x h =- 3 et lim g^ x h =+ 3 , on a le
x "-3

x

-3

-

gl^ x h
g^ x h

1
2

1
2

0

+

+3

0

-

+

-7

+3
-9

-3

2 ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; 1/2 @ , le maximum de g est
- 7. Donc l’équation g^ x h = 0 n’a pas de solution sur
@ - 3 ; 1/2 @.
◗ Sur l’intervalle 61/2 ; + 3 6 , la fonction g est strictement
croissante et continue, d’intervalle-image 6- 9 ; + 3 6
contenant 0. Alors l’équation g^ x h = 0 admet une
unique solution sur 61/2 ; + 3 6 .
◗ Conclusion  : l’équation g^ x h = 0 admet une unique
solution a sur R.
Comme g^1,45h . - 0,155 (négatif ) et g^1,46h . 0,068
(positif ), on a :
1,45 1 a 1 1,46 .
3 D’après le tableau de variations de g, on a :

x

-3

g^ x h

-

Partie B

a
0

+3
+

1
3
x
1 a. Comme pour x ! 0 , f ^ x h = x
, on a :
1
4- 2
x
x
=+ 3 .
lim f ^ x h = lim
x "+3
x "+3 4
1+

9
b. Comme lim ^4x2 - 1h = 0+ et lim ^1 + x3h = ,
8
x " 1 /2
x " 1 /2
x 2 1 /2

x 2 1 /2

on a :

lim f ^ x h =+ 3 .

x "-1
x 2- 1

On en déduit que la courbe admet une asymptote
1
verticale d’équation x = .
2
1
2 a. Sur C
; + 3 9,
2
x g^ x h
x^4x3 - 3x - 8h
=
,
f l^ x h =
2
2
^4x - 1h
^4x2 - 1h2
donc du signe de g^ x h .
b. On a le tableau des variations de f suivant :
a
+3
1
x
2
0
+
f l^ x h
+3
+3
f ^xh
m
3+
a
1
3a
=
c. Pour démontrer que
, on calcule :
8
4a2 - 1
8^a3 + 1h - 3a^4a2 - 1h = 8a3 + 8 - 12a3 + 3a
=- 4a3 + 3a + 8 .
Or par définition de a , g^ah = 4a3 - 3a - 8 = 0 .
Donc 8^a3 + 1h - 3a^4a2 - 1h = 0 .
On en déduit que 8^a3 + 1h = 3a^4a2 - 1h , soit :

x "+3

tableau de variations ci-après :

Livre du professeur - CHAPITRE 2

f ^ah =

a3 + 1
3a
=
.
28
4a
1

Limites et fonctions continues

19

Partie C
1 a. Il semble que la courbe soit au-dessus de la
1
droite sur C ; + 3 9 .
2
1
b. Pour tout réel x 2 , il semble que la distance MN,
2
lorsque x tend vers + 3 , tende vers 0.
x
x+4
2 On pose d^ x h = f ^ x h =
.
4
4^4x2 - 1h
1
◗ Pour tout réel x 2 , d^ x h 1 0 . Donc la courbe est
2
1
au-dessus de la droite sur C ; + 3 9 .
2
J
N
4
K 1+ x
1O
# O= 0.
◗ lim d^ x h = lim K
x
x "+3
x "+3 K 4 1 - 1
O
c
m
2
x
4
L
P
Donc les deux courbes sont asymptotes en + 3 .
107

1 Pour x différent de 2 et de 0, on a :

7
4
+ 2m
2x
x
.
f ^xh =
2
1x
1
1
= 0 et lim 2 = 0 , on a :
◗ Comme lim
x "+3 x
x "+3 x
7
4
c1 - 2x + 2 m
x
= 1.
lim
2
x "+3
1x
Donc lim f ^ x h = lim - 2x =- 3 .
◗ On a de même lim f ^ x h =+ 3 .
x "-3

2 ◗ lim ^- 2x
x "2

7x - 8h =- 2 et lim ^ x - 2h = 0- .
x "2
x 12

Donc lim f ^ x h =+ 3 .

x "3

La courbe est asymptote à la droite D en + 3 .
108

1 Pour tout réel x ! 1 , on a :

P^ x h
- 2x3 - 3x2 - 1
= 3
.
^ x3 - 1h2
^ x - 1h2
En posant P^ x h =- 2x3 - 3x2 - 1 .
2 a. Pour tout réel x, f l^ x h =- 6x2 - 6x =- 6x^ x + 1h ,
qui s’annule en 0 et - 1 .
D’où le tableau des variations :
0
x
+3
-3
-1
f l^ x h =

P^ x h

x "+3

2+

-2
1 0,
x-2
donc la courbe est en dessous de la droite D .
-2
= 0,
c. Comme lim
x
x "+3 - 2
lim 6 f ^ x h - ^- 2x + 3h@ = 0 .

P l^ x h

- 2x c1 -

x "+3

◗ Pour tout réel x appartenant à @ 2 ; + 3 6 ,

-2

1

-3

f l^ x h

+3

0

+

3
+

+3

0

+3
-

-5

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

f ^xh
-3
-3
3
4 a. Pour tout réel x ! 2 , on a :
- 2x2 + 7x - 8
- ^- 2x + 3h
f ^ x h - ^- 2x + 3h =
x-2
-2
=
.
x-2
-2
b. ◗ Pour tout réel x appartenant à @ - 3 ; 2 6 ,
2 0,
x-2
donc la courbe est au-dessus de la droite D .
20

-3

P^ x h

2

Livre du professeur - CHAPITRE 2

-3

b. ◗ P admet un maximum égal à - 1 sur @ - 1 ; + 3 6 ,
donc l’équation P^ x h = 0 n’admet pas de solution dans
cet intervalle.
◗ Sur @ - 3 ; - 16 , P est continue et strictement décroissante à images dans @ - 2 ; + 3 6 qui contient 0 ; donc
l’équation P^ x h = 0 admet une unique solution a dans
@ - 3 ; - 16 .
◗ Conclusion : L’équation P^ x h = 0 admet une unique
solution a dans .
◗ - 1,68 1 a 1 - 1,67 .
c. D’après le tableau de variations de P, on a :

◗ De même, lim f ^ x h =- 3 .
La courbe admet une asymptote d’équation x = 2 .
3 Pour tout réel x appartenant à @ - 3 ; 2 6 , @ 2 ; + 3 6 ,
- 2x2 + 8x - 6
qui est du signe de
f l^ x h =
^ x - 2h2
- 2x2 + 8x - 6 , qui admet deux racines 1 et 3, d’où le
tableau des variations de f  :

-

-1

x

x "2
x 22

0

+

+3

x "2
x 12

x

0

-

+3
a
+ 0 -

3 f l^ x h est du signe de P^ x h , d’où le tableau des varia-

tions :
x

-3

f l^ x h

1

a
+

0

+3

-

-

f ^ah

+3

f ^xh
0

-3

0

4 a. La droite T a pour équation y =- x - 1 .

x3 ^ x + 1h
.
^ x - 1h^ x2 + x + 1h
d^ x h est du signe de x^ x + 1h^ x - 1h .
◗ Pour x ! @ - 3 ; 0 6 , @ 0 ; 16 , d^ x h 1 0 . Donc la courbe
est sous la droite T.
◗ Pour x ! @ - 1 ; 0 6 , @ 1 ; + 3 6 , d^ x h 2 0 . Donc la courbe
est au-dessus de la droite T.
1
5 La droite a pour équation y =- ^ x + 1h .
2
On pose :
^ x + 1h2 ^ x2 - x + 1h
1
.
k^ x h = f ^ x h + ^ x + 1h =
2
2^ x - 1h^ x2 + x + 1h
b. Soit d^ x h = f ^ x h - ^- x - 1h =

Limites et fonctions continues

k^ x h est du signe ^ x - 1h , donc :
◗ si x 1 1 , alors k^ x h 1 0 et la courbe est en dessous
de la courbe  ;
◗ si x 2 1 , alors k^ x h 2 0 et la courbe est au-dessus de
la courbe .
6
y

T
1

0
x
1

109

3 La distance est minimum pour a .
4 a. En utilisant le tableau ci-dessus, les réels cherchés

a et b vérifient :
f l^ah 1 0 et f l^b h 2 0 , et b - a G e .
b. L’algorithme complété est ci-dessous :
ALGO

Variables :
e, a, b, m : réels ;
Début :
Entrer^ e h  ;
a ! 0  ; b ! 1  ;
TantQue b - a 2 e Faire
a+b
m!
2
l
Si f ^mh 1 0 Alors a ! m  ;
Sinon b ! m ;
FinSi ;
FinTantQue ;
Afficher^a ; bh  ;
Fin.

1 Pour tout réel x ! 0 ,

1
=- f ^ x h .
^- x h2
Donc la fonction f est impaire et la courbe f admet
l’origine O comme centre de symétrie.
2 ◗ Pour tout réel x 2 0 , g^ x h = x2 + 1 , donc :
lim g^ x h = 1 .
f ^- x h =- x

1+

x "0

1
◗ lim 2 = 0 , donc lim
x "+3 x
x "+3

1+

1
= 1.
x2

Donc lim g^ x h =+ 3 .
x "+3

3 Pour tout réel x de @ 0 ; + 3 6 , gl^ x h =

x

2 0,
x
1
donc la fonction g est croissante sur @ 0 ; + 3 6 .
4 Pour tout réel x 2 0 ,
g^ x h - 1
x2 + 1 - 1
x
=
=
,
2+ +
x
x
1 1
x
g^ x h - 1
= 0.
donc lim
x
x "0
La courbe g au voisinage du point A^0 ; 1h est très
proche de la droite d’équation y = 1 .
y
5
1

2+

c. On obtient :
e
a
b
m
0,01 0
1
Entrée dans la boucle « Tant Que »
0,5
1
0,5
0,5
0,75
0,75
0,5
0,625
0,625
0,5625
0,625
0,5625
0,5625
0,593 75 0,593 75
0,578 125
0,593 75 0,578 125
0,585 937 5 0,593 75 0,585 937 5
Sortie de la boucle « TantQue ».
Affichage de a = 0,585 937 5 et b = 0,593 75

f l^mh

- 0,5
1,1875
. 0,23
. - 0,16
. 0,02
. - 0,07
. - 0,02

g

A
0

Problèmes

x

1

111

110

2

2

1 f ^ x h = ^ x - 1h + ^ x2 - 0h .

Donc f ^ x h = x 4 + x2 - 2x + 1 .
2 a. ◗ Pour tout réel x, f l^ x h = 4x3 + 2x - 2 .
◗ Pour tout réel x, f ll^ x h = 12x2 + 2 2 0 .
b. ◗ lim f l^ x h =+ 3 et lim f l^ x h - 3 .

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

x "+3

x "-3

◗ La fonction f l est continue et strictement croissante
sur R, d’intervalle-image R qui contient 0. Donc l’équation f l^ x h = 0 admet une unique solution a dans R.
◗ f l^0 h =- 2 et f l^1 h = 4 , donc 0 1 a 1 1 .
c.
x -3
a
+3
0
+
f l^ x h
+3
+3
f ^xh
f ^ah

a. Vrai, car la fonction f est impaire.
x
= f ^0 h = 0 .
b. Vrai, lim
x "0 x + 1
f ^ x h - f ^0 h
1
= lim
= 1.
c. Vrai, lim
x-0
x "0
x "0 x + 1
x
= 1.
d. Vrai, lim f ^ x h = lim
x "+3 x + 1
x "+3
La droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe
en + 3 .
x
=- 1 .
e. Vrai, lim f ^ x h = lim
+1
x
x "-3
x "+3
La droite d’équation y =- 1 est asymptote à la courbe
en - 3 .
112

1 ◗

lim f ^ x h = lim

x "+3

x "+3

◗ lim f ^ x h = lim
x "-3

Livre du professeur - CHAPITRE 2

x "-3

x4
=+ 3 .
x3

x4
=- 3 .
x3

Limites et fonctions continues

21


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