sujet 1617 maths dl 4 .pdf


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M.P.S.I.

Pour le samedi 19 novembre 2016
Devoir libre no 4

AVERTISSEMENT. — Pour ˆetre prise en compte, la r´eponse devra commencer par l’´enonc´e pr´ecis du r´esultat
que l’on aura d´emontr´e et ˆetre suivie d’une d´emonstration dont le d´ebut sera indiqu´e par la locution adverbiale
en effet.

I
1)a) Soient g une fonction num´erique de classe Cr dans l’intervalle ferm´e [0, 1] de R, o`
u r d´esigne un nombre
entier naturel ou le symbole ∞, et n un nombre entier naturel < r. On note K le nombre r´eel tel que
g(1) = g(0) +

g 0 (0) g 00 (0)
g (n) (0)
K
+
+ ··· +
+
.
1!
2!
n!
(n + 1)!

On lui associe la fonction w d´efinie dans [0, 1] par la relation
w(t) = −g(1) +

n
X

g (k) (t)

k=0

(1 − t)k
(1 − t)n+1
+K
.
k!
(n + 1)!

Calculer w(0) et w(1), et d´emontrer qu’il existe un nombre r´eel θ tel que 0 < θ < 1 et K = g (n+1) (θ).
b) Soient f une fonction num´erique de classe Cr dans un intervalle I de R et n un nombre entier naturel < r.
` l’aide de la fonction g de la question pr´ec´edente, v´erifier que, pour tout ´el´ement a de I et tout nombre
A
r´eel h tel que a + h appartienne `
a I, il existe un nombre r´eel θ tel que 0 < θ < 1 et
f (a + h) = f (a) + f 0 (a)

h2
hn
hn+1
h
+ f 00 (a) + · · · + f (n) (a)
+ f (n+1) (a + θh)
.
1!
2!
n!
(n + 1)!

D´esormais, on d´esigne par f une fonction num´erique de classe C2 dans l’intervalle ferm´e I = [0, 1] de R,
telle que f (0) = f (1) = 0, f 0 (1) = 0. On suppose de plus que 1 en est une valeur. On note M2 la borne
sup´erieure de |f 00 |.
´
2) On suppose d’abord que f 00 admet une d´eriv´ee premi`ere constante. Etudier
f.
3) On suppose maintenant que f est de classe C3 .
a) D´emontrer que, pour tout ´el´ement x de I, il existe un ´el´ement c de I tel que f (x) = 16 f 000 (c)x(x − 1)2 .
b) En d´eduire qu’il existe un ´el´ement x de I tel que f 000 (x) >

81
2 .

c) Justifier l’existence d’un ´el´ement a de I tel que f 0 (a) = 0 et f (a) > 1.
d) On suppose a 6 31 . V´erifier qu’il existe un ´el´ement x de l’intervalle ouvert ]0, a[ tel que f 00 (x) 6 −18.
e) On suppose a > 31 . D´emontrer qu’il existe un ´el´ement x de l’intervalle ouvert ]a, 1[ tel que |f 00 (x)| > 9.
(On pourra se servir d’un nombre r´eel c tel que a < c < 1 et f (c) = 21 f (a) (apr`es en avoir ´etabli l’existence)
et l’on traitera deux cas, suivant la position de c par rapport au milieu de l’intervalle [a, 1].)
On pourra s’interroger sur le rˆ
ole de l’hypoth`ese d’apr`es laquelle f 00 admet une d´eriv´ee premi`ere continue.
4) On suppose seulement f de classe C2 .
a) D´emontrer qu’il existe un nombre r´eel x tel que

|f 00 (x)| > 2(3 + 2 2 ).

´
b) On a donc obtenu l’in´egalit´e M2 > 2(3 + 2 2 ). Etudier
les cas d’´egalit´e ?


c) Sans hypoth`ese suppl´ementaire sur f , existe-t-il un nombre r´eel C > 2(3 + 2 2 ), ind´ependant de f ,
pour lequel on a M2 > C ?

II
1) Soient f , g des fonctions num´eriques d´efinies dans un intervalle [a, b] de R (a < b). On suppose d’une
part, que f et g sont continues `
a valeurs > 0, d’autre part, qu’elles sont d´erivables en tout point x tel que
a < x < b, de sorte que
f 0 (x)
g 0 (x)
(∗)
6
.
f (x)
g(x)
D´emontrer la relation f (b)/f (a) 6 g(b)/g(a). Justifier que cette in´egalit´e est stricte si l’in´egalit´e (∗) est
stricte pour au moins une valeur de x.
´
2) Etablir
la double in´egalit´e 1 + x < esh x < 1/(1 − x) pour tout nombre r´eel x tel que 0 < x < 1.


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