Maths A .pdf

Mathématiques A
Salim ALLOUN
2017-2018

Sommaire
1 Analyse
1.1 Suites numériques . . . . . . . . .
1.2 Séries numériques . . . . . . . . . .
1.3 Parties et applications convexes . .
1.4 Familles sommables . . . . . . . . .
1.5 Ensembles dénombrables et au plus

. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
dénombrables .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2
2
2
5
7
8

2 Algèbre
9
2.1 Structures algébriques usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Structure d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Probabilités
14
3.1 Aléatoire 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

1

Analyse
1.1

Suites numériques

______________________________________________________________

Proposition 3.9.(B)
Soit (an )n∈N une suite de réels positifs décroissante vers 0. Alors
Les suites des sommes partielles (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes et

P
(−1)n an converge vers S > 0.

S2n+1 6 S 6 S2n .
Enfin, le reste Rn est tel que |Rn | 6 an+1 .

______________________________________________________________

Proposition 6.7
K est dit complet, c’est-à-dire qu’une suite d’éléments de K est convergente si et seulement si elle
est de Cauchy.

______________________________________________________________

1.2

Séries numériques

______________________________________________________________

Proposition 1.4
L’ensemble des séries convergentes à valeurs dans K est un K-espace vectoriel et l’application qui à
une série associe sa somme est une forme linéaire sur cet espace.
2

______________________________________________________________

Proposition 1.11 (Critère de Cauchy)
Une série
seulement si

P

un est convergente si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy, c’est-à-dire si et
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, ∀p > 0, |un + un+1 + . . . + un+p | 6 ε.

______________________________________________________________

Proposition 3.6
Soient

P

vn et

P

vn des séries à termes positifs.

P
P
Si un = O(vn ) alors la convergence de
vn implique celle de
un .
Si un ∼ vn alors les deux séries sont de même nature.

______________________________________________________________

Proposition 3.8
L’ensemble des séries convergentes à valeurs dans K est un K-espace vectoriel et
S(u + v) 6 S(u) + S(v).

______________________________________________________________

Proposition 3.9-10 (Séries de Bertrand-Riemann)
P 1
Soient α, β des nombres réels. Alors
converge si et seulement si α > 1 ou α = 1 et β > 1.
nα lnβ
______________________________________________________________

Proposition 3.12
Soient (un ) et (vn ) deux suites à termes positifs telles que un ∼ vn .
Si

P

Si

P

un converge alors

P

vn aussi et
Rn (u) ∼ Rn (v).

un diverge alors

P

vn aussi et
Sn (u) ∼ Sn (v).

______________________________________________________________
3

Proposition 5.2
Si f est positive alors la fonction F , définie par F (x) =
R +∞
f (t)dt est convergente si et seulement si F est majorée.
a

Rx
a

f (t)dt, est croissante. Et dans ce cas-là

______________________________________________________________

Proposition 5.4 (Comparaison série-intégrale)
Soit f de R+ dans R une fonction continue par morceaux, décroissante et positive. On note
Z n
Un = f (1) + f (2) + . . . + f (n) −
f (t)dt.
0

La suite (Un ) est convergente et est la série associée à celle de terme général
Z n
f (t)dt.
un = f (n) −
n−1

La série

P

f (n) et l’intégrale

Rn

f (t)dt sont de même nature.

0

______________________________________________________________

Proposition 5.7 (Encadrements)
En notant Sn =

n
X

f (k) et Rn =

k=0

Z

∞
X

f (k). On a les encadrements

k=n+1
n+1

n

Z

f (t)dt 6 Sn 6 f (0) +
0

f (t)dt,
0

Z

+∞

Z

+∞

f (t)dt 6 Rn 6
n+1

f (t)dt.
n

______________________________________________________________

Proposition 6.2
Soient deux suites (un ), (vn ) à termes > 0. Supposons que pour n assez grand,
vn+1
un+1
>
.
un
vn
P
P
Si
u converge alors
v converge.
Pn
P n
Si
vn diverge alors
un diverge.

______________________________________________________________

4

Proposition 6.4 (Raabe-Duhamel)
Soient (un ) à termes > 0 à partir d’un certain rang et telle que
un+1
a
1
= 1 − + O( 2 ).
un
n
n
P
α
Alors il existe un nombre réel α tel que un ∼ a , et donc
un converge si et seulement si a > 1.
n
______________________________________________________________

Proposition 6.6 (Critère de d’Alembert)
un+1
−→ l.
un
P
P
Si l > 1 alors
un diverge grossièrement et si l < 1 alors
un converge.

Soit

P

un une série à termes > 0. Supposons que

______________________________________________________________

Proposition 6.7 (Règle de Cauchy)
Soit

P

un une série à termes > 0. Supposons que

Si l > 1 alors

P

√
n

un −→ l.

un diverge grossièrement et si l < 1 alors

P

un converge.

______________________________________________________________

1.3

Parties et applications convexes

______________________________________________________________

Proposition 2.7
L’enveloppe convexe d’une partie A d’un R-espace vectoriel est l’ensemble des barycentres d’éléments
de A affectés de coefficients positifs.

______________________________________________________________

Proposition 3.8 (Caractérisations)
Soit f de I dans R. Les relations suivantes sont équivalentes.
(a) f est convexe dans I.
(b) Quels que soient x, y, z de I tels que x < y < z,
f (y) − f (x) f (z) − f (x) f (z) − f (y)
6
6
.
y−x
z−x
z−y
5

(c) Pour tout point a de I, la fonction
t 7−→

f (t) − f (a)
t−a

définie dans I − {a} est croissante.

______________________________________________________________

Proposition 3.10-11 (HP)
Une fonction convexe dans I est continue dans l’intérieur de I.
De plus, f est dérivable à droite et à gauche en tout point de l’intérieur de I, et quels que soient a, b
de l’intérieur de I tels que a < b,
fg0 (a) 6 fd0 (a) 6

f (b) − f (a)
6 fg0 (b) 6 fd0 (b).
b−a

______________________________________________________________

Proposition 4.6-9 (Inégalités remarquables)
Inégalité arithmético-géométrique. Quels que soient les réels positifs x1 , . . . , xn ,
√
n

x1 . . . xn 6

1
(x1 + . . . + xn ),
n

et l’égalité est vraie si et seulement si x1 = . . . = xn .
Inégalité de Hölder. Quels que soient les réels positifs x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn et les nombres strictement positifs p et q tels que p1 + 1q = 1,
n
X

xi yi 6

i=1

n
X

! p1
xi p

i=1

n
X

! q1
yi q

.

i=1

Inégalité de Minkowski. Quels que soient les réels positifs x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn et p > 1,
n
X

! p1
|xi + yi |

p

6

i=1

n
X

! p1
|xi |

p

i=1

+

n
X

! p1
|yi |

p

.

i=1

Inégalité de Jensen. Soient g une fonction continue par morceaux de [0, 1] dans I et f une fonction
convexe dans I. Alors
Z
Z
1

f

1

f ◦ g(t)dt.

g(t)dt 6
0

0

______________________________________________________________

6

1.4

Familles sommables

______________________________________________________________
Proposition 2.9 (Convergence commutative)
Si (ai )i∈I est une famille sommable positive et σ une permutation de I alors la famille (aσ(i) )i∈I est
sommable et
X
X
ai =
aσ(i) .
i∈I

i∈I

______________________________________________________________
Proposition 2.10 (Sommation par paquets)
Soit (ai )i∈I une famille positive sommable.
X Alors (ai )i∈I partitionnée de n’importe quelle manière est
également sommable de même somme que
ai .
i∈I

______________________________________________________________
Proposition 2.12 (Produit)
Soient (ai )i∈I et (bj )i∈J deux familles sommables. Alors (ai bj )(i,j)∈I×J est sommable et
X
X
X
ai bj =
ai ·
bj
i∈I

(i,j)∈I×J

j∈J

______________________________________________________________
Proposition 5.3
Si (ai )i∈I et (bi )i∈I sont de carrés sommables alors la famille (ai bi )i∈I est sommable.
______________________________________________________________
Proposition 5.10 (Espaces où p > 1)
L’ensemble, noté lp (I, K), des familles (ai )i∈I telles que (|ai |p )i∈I est sommable, est un sous-espace
vectoriel du K-espace vectoriel KI . De plus, l’application Np définie par
! p1
X
p
,
Np (a) =
|ai |
i∈I
p

est une norme sur l (I, K).
Par ailleurs, d’après la Proposition 5.3 l2 (I, K) est un espace préhilbertien réel muni du produit
scalaire défini par
X
< a, b > =
ai bi .
i∈I

L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
N1 (ab) 6 N2 (a)N2 (b).
7

______________________________________________________________

1.5

Ensembles dénombrables et au plus dénombrables

______________________________________________________________

Proposition 2.1
Un ensemble E est au plus dénombrable si et seulement s’il existe une surjection de N dans E.

______________________________________________________________

Proposition 2.5
Un ensemble est au plus dénombrable si et seulement s’il admet une suite exhaustive de parties finies.

______________________________________________________________

8

2

Algèbre
2.1

Structures algébriques usuelles

______________________________________________________________

Proposition 3. (Résultats classiques)
— Des entiers a1 , . . . , an sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs
u1 , . . . , un tels que
a1 u1 + . . . + an un = 1.

— Si a, b, c sont trois entiers tels que a divise bc et a ∧ b = 1, alors a divise c.
— Si a est premier avec les entiers b1 , . . . , bn alors a est premier avec leur produit.
— Si a1 , . . . , an sont premiers entre eux deux à deux et b est un entier alors le produit a1 . . . an divise
b si et seulement si chaque ai divise b.
— Si a1 , . . . , an sont des entiers deux à deux premiers entre eux, leur ppcm est |a1 . . . an |.
— Soient a, b des entiers relatifs. Alors
pgcd(a, b) · ppcm(a, b) = |ab|.

— Soient p un nombre premier et a un entier naturel. Alors OU p|a OU p ∧ a = 1.
— Si un nombre premier divise un produit d’entiers alors il divise l’un de ces entiers.

______________________________________________________________

Proposition 3.10 (Petit théorème de Fermat)
9

Soient p un nombre premier et a un entier naturel. Alors
ap = a[p],
et si a ∧ p = 1 alors
ap−1 = 1[p].

______________________________________________________________

Proposition 6.7 (Surjection canonique)
L’application de (Z, +) dans (Z /n Z, +) qui à un nombre associe sa classe modulo n est un morphisme
surjectif de groupes.

______________________________________________________________

Proposition 6.13
Soit f un morphisme du groupe fini G dans le groupe G0 . Alors
|G| = | Ker f | · | Im f |.

______________________________________________________________

Proposition 7.4 (Groupe symétrique)
Si γ = (a1 , . . . , ap ) et σ ∈ Sn alors
σγσ −1 = (σ(a1 ), . . . , σ(ap )).
Les cycles engendrent Sn . Plus précisément, toute permutation distincte de l’identité se décompose
de manière unique comme produit de cycles à supports disjoints.

______________________________________________________________

Proposition 7.9 (Groupes monogènes)
Soit G =< a > un groupe monogène.
1. OU G est infini, G = {ak , k ∈ Z} et G est isomorphe au groupe (Z, +) ;
2. OU G est cyclique, G = {eG , a, . . . , an−1 } et G est isomorphe au groupe (Z /n Z, +).

______________________________________________________________

10

Proposition 7.22 (Produit)
Le produit direct de deux groupes cycliques d’ordres respectifs m et n est cyclique si et seulement si
m ∧ n = 1.

______________________________________________________________

Proposition 8.10 (Utile)
Soient A un anneau et a un élément n-nilpotent. Alors
(1A − a)−1 =

n−1
X

ak .

k=0

______________________________________________________________

Théorème 8.23 (Fondamental)
Soit K un corps. Alors l’anneau K[X] est principal.

______________________________________________________________

Théorème 8.34
Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal.
L’image réciproque d’un idéal par un morphisme d’anneaux est un idéal.
Si un morphisme d’anneaux est surjectif alors l’image d’un idéal par ce morphisme est un idéal.

______________________________________________________________

Théorème 9.3
Le cardinal de (Z /n Z)∗ est ϕ(n). D’où, car (Z /n Z)∗ est un groupe, si k ∧ n = 1 alors
k ϕ(n) = 1[n].

______________________________________________________________

Théorème 9.6 (Chinois)
Soient n et m des entiers > 2 et premiers entre eux. Alors
Z /nm Z ' Z /n Z × Z /m Z .
Ainsi, si k1 , . . . , kn sont des entiers > 2 premiers entre eux deux à deux alors
Z /k1 . . . kn Z ' Z /k1 Z × . . . × Z /kn Z .
11

2.2

Polynômes et fractions rationnelles

______________________________________________________________

Proposition 1.13
Soient K un corps et P1 , . . . , Pn des éléments de K[X]. Ces polynômes sont premiers entre eux si et
seulement s’il existe U1 , . . . , Un de K[X] tels que
U1 P1 + . . . + Un Pn = 1.

______________________________________________________________

Proposition 1.15 (Lemme de Gauß)
Soient K un corps et A, B et C des éléments de K[X]. Si A|BC et A ∧ B = 1 alors A|C.

______________________________________________________________

Théorème 2.15
Soit K un corps et P := an Xn + . . . + a1 X +a0 un polynôme scindé de K[X].
On a P = an (X −x1 ) . . . (X −xn ), où an 6= 0 et x1 , . . . xn sont les racines, répétées avec leur odre de
multiplicté, de P .
Pour tout entier 1 6 p 6 n,
X
an−p
σp =
xi1 . . . xip = (−1)p
.
an
1 6 i1 <...<ip 6 n

On en déduit que si P est unitaire alors
P = Xn −σ1 Xn−1 +σ2 Xn−2 + . . . + (−1)n−1 σn−1 X +(−1)n σn ,
σ1 est la somme des racines et |σn | est le produit des valeurs absolues des racines.

2.3

Structure d’algèbre

______________________________________________________________

Proposition 1.12
Soient A une K-algèbre et a un élément de A. Si a est algébriquement libre alors P 7−→ P (a) est un
isomorphisme de K-algèbres entre K[X] et K[a].

______________________________________________________________

12

Proposition 1.13
Si A est une K-algèbre de dimension finie alors tout élément de A est algébriquement lié.

______________________________________________________________

Proposition 1.14 (Structure)
Soit a un élément algébriquement lié d’une K-algèbre et πa son polynôme minimal. Notons p = deg πa .
Alors K[a] est finie de dimension p et
K[a] = < 1A , a, . . . , ap−1 > .
De plus, si A est intègre alors K[a] est un corps et πa est irréductible dans K.

13

3

Probabilités
3.1

Aléatoire 1

______________________________________________________________

Proposition 2.6 (Formule du crible)
Soient (Ω, A , P ) un espace probabilisé et A1 , . . . , An des événements de A . Alors
!
n
n
[
X
X
P
Ak =
(−1)k+1
P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ).
k=1

1 6 i1 <...<ik 6 n

k=1

______________________________________________________________

Proposition 2.9-10 (Continuité monotone)
Soient (Ω, A , P ) un espace probabilisé et (An )n∈N une suite croissante (resp. décroissante) d’événements. Alors
!
∞
[
P
An = lim P (An )
n=0

( resp. P

∞
\

!
An

= lim P (An ) ).

n=0

______________________________________________________________

Proposition 2.15 (Caractérisation des probabilités)
Supposons Ω est dénombrable. Alors la donnée d’une probabilité est la donnée d’une série positive
convergente de sommeX
1.
En particulier, si
pω est une série convergente positive de somme 1 alors P , définie par
ω∈Ω

∀ω ∈ Ω, P (ω) = pω , est une probabilité.

______________________________________________________________
14

Proposition 3.6-8-10-11 (Lois classiques)
Probabilité de Bernoulli. Ω = {0, 1}, P (0) = p et
P (0) = 1 − p.
n k
Probabilité binomiale. Ω = {0, 1, . . . , n}, P (k) =
p (1 − p)n−k .
k
Probabilité géomètrique. Ω = N∗ , P (k) = p(1 − p)k−1 . Modélise le temps d’arrêt d’une loi
binomiale.
λk −λ
Probabilité de Poisson. Ω = N, P (k) =
e .
k!
______________________________________________________________

Proposition 4.8
Soient (Ω, A , P ) un espace probabilisé et (An )n∈N une suite d’événements mutuellement indépendants. Alors
!
∞
∞
\
Y
P
An =
P (An ).
n=0

n=0

______________________________________________________________

Théorème 5.1 (Lemme de Borel-Cantelli)
Soient (Ω,
XA , P ) un espace probabilisé et (An )n∈N une suite d’événements aléatoires.
Si la série
P (An ) converge alors P (lim sup An ) = 0. C’est-à-dire que presque sûrement au plus un
nombre fini de An sont réalisées.
On suppose que les événements An sont mutuellements indépendants.
P
Si la série
P (An ) diverge alors P (lim sup An ) = 1. C’est-à-dire que presque sûrement une infinité de
An sont réalisés.

______________________________________________________________

Proposition 6.4 (Inversion des conditionnements)
Soient (Ω, A , P ) un espace probabilisé, A et B des événements non négligeables. Alors
P (A|B) =

P (A)P (B|A)
.
P (B)

______________________________________________________________

Proposition 6.5 (Composition des conditionnements)
Soient (Ω, A , P ) un espace probabilisé et A1 , . . . , An des événements tels que

n−1
\
i=1

geable. Alors
P (A1 ∩ . . . ∩ An ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) . . . P (An |An−1 . . . A1 ).
15

Ai est non négli-

______________________________________________________________

Proposition 6.7 (Formule des probabilités totales)
Soient (Ω, A , P ) un espace probabilisé et (An )n∈N un système complet d’événements. Alors pour
tout événement B,
∞
∞
X
X
P (B) =
P (B ∩ An ) =
P (B|An )P (An ).
n=0

n=0

On en déduit la formule de Bayes, pour tout événement non négligeable B,
P (Ak |B) =

P (B|Ak )P (Ak )
.
∞
X
P (B|An )P (An )
n=0

16