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Université Abdelhamid Ben Badis - Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AnalyseI
Responsable : Prof. Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 4
(30 Octobre 2017)

Exercise 1 Montrer que pour toute suite convergente tn , nous avons
lim tn = lim jtn j :

n!1

n!1

Indice : Utilisez l’inégalité triangulaire inverse.
Exercise 2 Considérons une suite sn satisfaisant sn 6= 0 pour tout n et pour
existe.
laquelle la limite L = limn!1 sn+1
sn
(a) Si L < 1, montrez que lim sn 6= 0.
Indice : Expliquez pourquoi vous pouvez choisir a pour que L < a < 1 et prouver
qu’il existe N tel que n > N implique jsn+1 j < jsn j. Ensuite, utilisez
l’induction pour montrer que jsn j an N 1 jsN +1 j pour tout n > N .
(b) Si L > 1, montrer que lim jsn j = +1.
Indice : Expliquez pourquoi vous pouvez appliquer la partie (a) à la suite tn =
1
jsn j :
Exercise 3 Soit p > 0. Montrer que
8
0
<
an
+1
lim p =
n!1 n
: 0
n existe pas

si jaj 1
si a > 1 :
si a < 1

Indice : Pour jaj
1, utilisez le théorème des gendarmes (ou lemme de la
compression). Si jaj > 1 (a > 1 et a < 1), utilisez l’exercice 2. Dans les deux
cas, utiliser le fait que pour toute suite convergente non négative tn et p > 0,
limn!1 (tn )p = (limn!1 tn )p : la limite de la puissance est la puissance de la
limite. Pour prouver que la limite n’existe pas quand a > 1, vous devez montrer
que la suite ne converge pas, diverge vers +1, ou diverge vers 1. Montrez les
trois cas par l’absurde. Pour montrer qu’elle ne converge pas, l’exercice1 vous
sera utile.

1

Exercise 4 Montrez que limn!1 an!n = 0 pour tout a 2 R.
(Indice : utilisez le résultat que vous avez prouvé dans l’exo2.)
(Aussi: comparez à ce que vous avez prouvé dans l’exo3.)
Exercise 5 Dans ce problème, vous montrerez que toute expression décimale
non négative peut être considérée comme un raccourci pour la limite d’une suite
croissante bornée de nombres réels. Puisque toutes les suites monotones bornées
convergent, cela garantit que toute extension décimale à laquelle vous pouvez
penser converge vers un nombre réel.
Supposons qu’on nous donne une expression décimale K; d1 d2 d3 d4 : : :, où K
est un entier non négatif et chaque dj 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g. Soit
sn = K +

d2
d1
+ 2+
101
10

+

dn
:
10n

(a) Montrez que sn est une suite croissante. (Ceci est presque évident. Votre
preuve doit être courte.)
(b) Montrer que sn est une suite bornée. Pour la borne supérieure, montrez
que sn < K + 1 pour tout n 2 N.
(Astuce: utilisez le fait que pour a 6= 1; 1 + a + a2 +
pouvez le véri…er par induction.)

an =

1 an
1 a

que vous

(c) Puisque 0:9 =: 0:999
et 1 sont toutes deux des extensions décimales,
d’après ce que vous avez montré, elles correspondent toutes les deux à un
nombre réel. Utilisez l’indice de la partie (b) pour montrer qu’ils correspondent réellement au même nombre réel.
Exercise 6 (a) Supposons que lim an = a pour a 2 R et que bn = an+1 . En
utilisant la dé…nition de la convergence, prouvez que lim bn = a.
(b) Énoncez le théorème selon lequel la limite d’un produit est le produit des
limites.
p
(c) Dé…nissons une suite sn comme suit : s1 = 1 et, sn+1 = sn + 1 pour
n 1. Il s’avère que la suite sn converge vers une limite s. (Vous n’avez
pas besoin de le prouver.) Utilisez l’induction pour prouver que sn
0
pour tout n.
(d) Considérons la séquence sn de la partie (c). D’aprés l’exo9 du TD4, si sn
0 pour tout n, alors s = lim snp 0. En utilisant ce fait avec les parties
(a) et (b), montrez que s = 1+2 5 : c’est le fameux nombre d’or.(Astuce:
p
utilisez la formule quadratique, à savoir s = ( b
b2 4ac)=2a.)
Exercise 7 Soit s1 = 1 et sn+1 =

n
n+2

(i) Calculez s2 et s3 :

2

s3n pour n > 1:

(ii) Montrez par induction que 0

sn

1 pour tout n.

(iii) Prouvez directement (pas par induction) que la suite est décroissante. (Indice: utilisez la partie (ii).)
(iv) Montrez que sn converge.
(v) Montrez que limn!1 sn = 0:
Exercise 8 Soit (sn ) une suite croissante de nombres positifs et dé…nissons la
suite n = n1 (s1 + s2 +
+ sn ) :
(a) Montrez que

n

est une suite croissante.

(b) Montrez que
lim inf sn

lim inf

lim sup

n

n

lim sup sn :

(Indice : Pour la première inégalité, montrez que M > N implique
inf f

n

: n > Mg

N
M

1

inf fsn : n > N g :

Pour la dernière inégalité, montrez que M > N implique
sup f

n

: n > Mg

1
(s1 + s2 +
M

(c) Montrez que si lim sn existe, alors lim
(d) Donnez un exemple dans lequel lim

n

+ sn ) + sup fsn : n > N g :)
n

existe et lim

n

= lim sn .

existe mais lim sn n’existe pas.

Exercise 9 Supposons que sn et tn satisfassent lim sn = +1 et lim tn > 0
(c’est-à-dire que tn converge vers un nombre positif ou diverge vers +1). Prouvez que lim sn tn = +1:
(Indice: utilisez la densité de Q dans R et l’Exo10 du TD3, pour conclure que
sn est bornée inférieurement par un nombre positif quand n est su¢ samment
grand, puis utilisez ceci pour montrer que sn tn devient arbitrairement grand
comme n ! +1.)
Exercise 10 Montrez que lim jsn j = 0 si, et seulement si, lim sn = 0.
Exercise 11 (a) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes
pour toute suite sn :
9m; M 2 R tel que m

sn

M 8n 2 N , 9M0 2 R tel que jsn j

M0 8n 2 N:

(b) Montrer que sn est une suite bornée si et seulement si lim sup jsn j < +1.
Exercise 12 (a) Soit (sn ) une suite telle que jsn+1 sn j
n 2 N. Montrez que (sn ) est une suite de Cauchy.
3

4

n

pour tout

Indice : Utiliser l’astuce de l’exo5 et l’inégalité triangulaire pour plusieurs
termes.
(b) Est-ce que la suite (sn ) converge? Justi…ez votre réponse.
Exercise 13 Soit sn = 3 + cos

n
2

pour n 2 N.

(a) Listez les huit premiers termes de la séquence (sn ). ( Utilisez svp le cercle
trigonométrique)
(b) Donnez un exemple de sous-suite de (sn ) qui soit constante (c’est-à-dire
qui prend une seule valeur).
Exercise 14 Considérez les suites dé…nies comme suit :
n+1

an = ( 1)

;

bn =

1
n;

cn = 2n;

dn =

3n+1
4n 1 :

(a) Pour chaque suite, donnez un exemple de sous-suite monotone.
(b) Pour chaque suite, donnez son ensemble de points d’adhérence (voir Notes
du cours10). Justi…ez votre réponse.
(c) Pour chaque suite, donnez son lim inf et lim sup. Justi…ez votre réponse.
(d) Laquelle des suites : converge? diverge vers +1? diverge vers
n’avez pas besoin de justi…er votre réponse.)

1? (Vous

(e) Laquelle des suites est bornée? (Vous n’avez pas besoin de justi…er votre
réponse.)
Exercise 15 Mêmes questions que ceux de l’exercice précédent pour les suites
suivantes :
sn = cos

n
3

;

tn =

3
4n+1 ;

un =

4

1 n
2

;

n

vn = ( 1) + n1 :


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