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Notions d’arithmétique dans l’ensemble des nombres entiers naturels

 0;1;2;3;...

L’ensemble des nombres entiers naturels est noté
L’ensemble des nombres entiers naturels non nuls est noté
*

est égal à l’ensemble

0 se lit singleton zéro.

*

privé du nombre zéro, on écrit

*

 1;2;3;...

*



\ 0

Un singleton est un ensemble composé d’un seul élément.
I.
Parité d’un nombre entier naturel
 On dit qu’un nombre entier naturel n est pair s’il est multiple de 2.
C’est-à-dire s’il existe un nombre entier naturel k tel que : n  2k .
 On dit qu’un nombre entier naturel n est un nombre impair s’il n’est pas pair, donc il existe un
entier naturel k tel que : n  2k  1 .
 Tout nombre entier naturel est soit pair soit impair.
 Etudier la parité d’un nombre entier naturel, c’est dire s’il est pair ou impair.
II.
Multiples d’un nombre entier naturel
1. Définition :
Soient a et b deux nombres entiers naturels.
On dit que le nombre b est multiple du nombre a s’il existe un entier naturel

k tel que : b  a  k

2. Multiples communs à deux entiers naturels
Soient x et y deux nombres entiers naturels.
On dit que le nombre m est un multiple commun aux deux nombres

m est un multiple de
'
m  k  x et m  k  y
x

et

x et y , si m est un multiple de
'
y , c’est-à-dire, s’il existe deux entiers naturels k et k tels que :

Exemple :

600  8  75 et 600  15  40
600 est un multiple commun aux deux nombres 8 et15 .

Donc

3. Plus petit commun multiple de deux entiers naturels : PPCM
Soient x et y deux nombres entiers naturels.
x et y admettent une infinité de multiples communs. Parmi ces multiples communs, il existe un plus
petit élément non nul appelé : Plus Petit Commun Multiple de
Exemple :

x et y est noté : PPCM ( x; y )

PPCM (50;70)  350

4. Propriétés
Si a est un multiple de b et b est un multiple de c , alors : a est un multiple de c .
Si a est un multiple de b , alors tout nombre p.a est un multiple de b .



 0 est un multiple de tout entier naturel.

III.
Diviseurs d’un nombre entier naturel
1. Définition

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Soit a et d deux nombres entiers naturels.
On dit que le nombre d est un diviseur du nombre a s’il existe un nombre entier naturel k tel que

a  d k

On dit que : d est un diviseur de a
ou d divise a
ou a est divisible par d
ou a est un multiple de d
2. Diviseur commun de deux entiers naturels
Soit a et b deux entiers naturels.
On dit que l’entier naturel d est un diviseur commun des deux nombres a et b si le nombre d divise à
la fois les nombres a et b .
3. Plus grand commun diviseur : PGCD
On dit qu’un entier naturel d est le Plus Grand Commun Diviseur PGCD de deux entiers naturels a et
b si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
 d est un diviseur commun de a et b .
 tout diviseur commun de a et b est un nombre inférieur à d .
On note d  PGCD(a; b)







4. Propriétés
Si a divise b et b divise c alors a divise c
Si a divise b alors a divise b.c
1 divise tout nombre entier naturel.
Si a divise b et b divise a alors a  b

PGCD(a; b)  PPCM (a; b)  a.b

5. Nombres premiers entre eux
Deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est 1.
Exemple :

PGCD(8;75)  1

Donc 8 et 75 sont premiers entre eux.
IV.
Nombres premiers
1. Définition :
On dit qu’un nombre entier naturel
On écrit

p est premier lorsqu’il n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Dp  1; p ( D p est l’ensemble des diviseurs du nombre p

Exemples : 0 et 1 ne sont pas premiers ; 2 et 3 sont premiers.
2. Liste des nombres premiers inférieurs à 100
Les nombres premiers inférieurs à 100, sont :
2
3
5
7
11
29
31
37
41
43
67
71
73
79
83

13
47
89

17
53
97

19
59

23
61

3. Décomposition en produit de facteurs premiers :

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Soit x un nombre entier naturel non premier et supérieur ou égal à 2.
On peut écrire le nombre x sous forme de produit de facteurs tous premiers, cette écriture unique
est appelée : Décomposition du nombre x en produit de facteurs premiers.
Exemple :
720 2
360 2
180 3
60 3
20 2
10 5
2 2
1

720  24  32  5
Applications :
Soit a et b deux nombres entiers naturels non premiers, décomposés en produits de facteurs
premiers.
 Le PGCD(a, b) est égal au produit des facteurs premiers communs dans les deux
décompositions en facteurs premiers élevés aux plus petits exposants.
 Le PPCM (a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers dans les deux décompositions
en facteurs premiers, élevés aux plus grands exposants.
Exemple :

a  1008
1008
504
252
126
63
21
7
1

b  1200

;

2
2
2
2
3
3
7

1200
600
300
150
75
25
5
1

2
2
2
2
3
5
5

b  1200  24  3  52
a  1008  24  32  7
PGCD(a, b)  24  3



Si

PPCM (a, b)  24  32  52  7
a  x11  x2 2  x33 ....xn n avec x1; x2 ; x3 ;...; xn des nombres premiers distincts.
et 1 ; 2 ;...; n des nombres entiers naturels non nuls, alors le nombre de diviseurs de

a est :
(1  1 )(1  2 )(1  3 );...;(1  n )
Exemple : a  1008  2  3  7
Le nombre de diviseurs de a est : (1  4)(1  2)(1  1)  5  3  2  30
4

2

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Série d’exercice N° :1
Notions d’arithmétique dans l’ensemble des nombres entiers naturels

Exercice 1 :

Soit n un entier naturel. On pose: A  7 n3  13n 2  9n  2016
En raisonnant par disjonction des cas, étudier la parité du nombre A.
Exercice 2 :

On donne: x  68600 et y  84672
1) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers chacun des deux nombres x et y
2) Déterminer: PGCD( x; y ) et PPCM( x; y )
3) Déterminer le nombre de diviseurs de x
4) Quel est le plus petit entier naturel p tel que le nombre p.x soit un carré parfait?
5) Quel est le plus petit entier naturel q tel que le nombre q.x soit le cube d'un nombre entier naturel?
6) Déterminer deux entiers naturels a et b tels que:

x. y  a b et b soit le plus petit possible.

Exercice 3 :

Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que: a  b. Développer (a  b)3 .
Déterminer le reste dans la division euclidienne du nombre 9999993 par le nombre 5.
Exercice 4 :

1) Donner tous les diviseurs du nombre 15
2) Déterminer en extension, l'ensemble E suivant: E   x; y  

2

/ xy  3x  y  12  0

Exercice 5 :

Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que: PGCD  a; b   24 et a.b  2880
1) Déterminer le PPCM  a; b 
2) Déterminer a et b. (Donner tous les cas possible)
Exercice 6 :

On considère un nombre entier naturel p de 3 chiffres noté: p  abc
où c est le chiffre des unités, b est le chiffre des dizaines et a est le chiffre des centaines.
c.à.d: p  100.a  10.b  c
1) Montrer que si le nombre a  b  c est un multiple de 9 alors 9 divise p
2) Montrer que si b  a  c alors le nombre p est un multiple de 11





3) Montrer que si a>c alors le nombre entier naturel abc  cba est divisible par 99

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Exercice 7 :

Montrer que pout tout nombre entier naturel n, les deux nombres suivants sont des carrés parfaits:
1)  2n3  8n 2  n  1 2n3  8n 2  n  11  25
2) n  n  1 n  2  n  3  1
Exercice 8 :

1) Montrer que le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est un nombre pair.
2) Soit n un nombre entier naturel impair.
a) Montrer que 8 divise n 2  1.
b) En déduire que le nombre n 4 -1est divisible par 16.
3) Soit a et b deux nombres entiers naturels impairs:
Montrer que le nombre entier naturel a 2  b 2  2 est un multiple du nombre 8.
Exercice 9 :

Soit a et b deux nombres entiers naturels premiers tels que 2  a  b. On pose: n  a  b
1) Montrer que le nombre entier naturel n n'est pas premier.
2) Déterminer le plus grand diviseur de n et qui soit différent de n.
3) Démontrer que tout diviseur de n, qui est différent de n, est inférieur au nombre b.
4) Le nombre a est-il un diviseur du nombre n ?
Exercice 10 :

Soit x et y deux nombres entiers naturels tels que: x  2 et 2 x 2  7 2 y 1  6 x  16844
1) Montrer que 2 x 2 .1  4.3x   16844  7 2 y 1
2) Montrer que le nombre 16844  7 2 y 1 est impair.
3) En déduire les valeurs de x et y.

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Solution : Série d’exercice N° :1
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Exercice 1 :

Soit n un entier naturel. On pose: A  7 n3  13n 2  9n  2016

Solution :

En raisonnant par disjonction des cas, étudier la parité du nombre A.
 Si n est pair
donc n  2k ; k 
On a: A  7 n3  13n 2  9n  2016
 7  2k   13  2k   9  2k   2016
3

2

 56k 3  52k 2  18k  2016
 2  28k 3  26k 2  9k  1008 
 2k '

; k' 

d'où A est pair.
 Si n est impair
donc n  2k  1 ; k 
On a: A  7 n3  13n 2  9n  2016
 7  2k  1  13  2k  1  9  2k  1  2016
3

2

 7  2k  1  2k  1  13  2k  1  9  2k  1  2016
2

2

 7  4k 2  4k  1  2k  1  13  4k 2  4k  1  18k  9  2016
  28k 2  28k  7   2k  1  52k 2  52k  13  18k  2025

 56k 3  28k 2  56k 2  28k  14k  7  52k 2  70k  2038
 56k 3  136k 2  112k  2045

(on a: 2045  2044  1  (2  1022)  1)

 2  28k 3  68k 2  56k  1022   1
 2k ' +1

; k' 

d'où A est impair.

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Exercice 2 :

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On donne: x  68600 et y  84672
1) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers chacun des deux nombres x et y
2) Déterminer: PGCD( x; y ) et PPCM( x; y )
3) Déterminer le nombre de diviseurs de x
4) Quel est le plus petit entier naturel p tel que le nombre p.x soit un carré parfait?
5) Quel est le plus petit entier naturel q tel que le nombre q.x soit le cube d'un nombre entier naturel?
6) Déterminer deux entiers naturels a et b tels que:

Solution :

x. y  a b et b soit le plus petit possible.

1) On a: x  68600 et y  84672
68600
34300
17150
8575
1715
343
49
7
1

2
2
2
5
5
7
7
7

x  23  52  73

84672
42336
21168
10584
5292
2646
1323
441
147
49
7
1

2
2
2
2
2
2
3
3
3
7
7

y  26  33  7 2

2) On a: x  23  30  52  73 et y  26  33  50  7 2
donc: PGCD ( x; y )  23  7 2
PPCM ( x; y )  26  33  52  73

3) On a: x  23  52  73
donc le nombre de diviseurs de x est:  3  1 2  1 3  1  48
4) On a: x  23  52  73
donc p  2  7
5) On a: y  26  33  7 2
donc q  7

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6) On a: x  23  52  73 et y  26  33  7 2
donc xy  29  33  52  75
d'où:

xy  29  33  52  75
=

2 

=

2

4 2

4

 2  32  3  52   7 2   7
2

 3  5  72   2  3  7 
2

=  24  3  5  7 2  2  3  7
donc a  24  3  5  7 2 et b  2  3  7

Exercice 3 :

Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que: a  b. Développer (a  b)3 .
Déterminer le reste dans la division euclidienne du nombre 9999993 par le nombre 5.

1) On a :  a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
2) On a:

Solution :

3

9999993  106  1

3

= 106   3 106   1  3 106   12  13
3

2

=1018  3.1012  3.106  1
=1018  3.1012  3.106  5  4
=  5  2  1017    5  2  3  1011    5  2  3  105   5  4
On factorise par 5

=5  2  1017    6  1011    6  105   1  4
On a: 9999993  5q  r
avec q  2  1017  6  1011  6  105  1
et r  4
Exercice 4 :

1) Donner tous les diviseurs du nombre 15
2) Déterminer en extension, l'ensemble E suivant: E   x; y  

Solution :

2

/ xy  3x  y  12  0

1) Les diviseurs de 15 sont: 1; 3; 5 et 15

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2) On a: E=  x; y  

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2

/ xy  3 x  y  12  0

On a: xy  3 x  y  12  0
donc x( y  3)  y  3  3  12  0
x ( y  3)  ( y  3)  15  0
d'où ( y  3)( x  1)  15
 Si: ( y  3)  1 et ( x  1)  15
alors: y  2 et x  14
(Impossible car y  )
 Si: ( y  3)  15 et ( x  1)  1
alors: y  12 et x  0
d'où:  x; y    0;12 
 Si: ( y  3)  3 et ( x  1)  5
alors: y  0 et x  4
d'où:  x; y    4;0 
 Si: ( y  3)  5 et ( x  1)  3
alors: y  2 et x  2
d'où:  x; y    2;2 

donc l'écriture en extension de l'ensemble E : E   0;12  ;  2;2  ;  4;0 

Exercice 5 :

Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que: PGCD  a; b   24 et a.b  2880
1) Déterminer le PPCM  a; b 

Solution :

2) Déterminer a et b. (Donner tous les cas possible)
1) On a: PGCD  a; b   PPCM  a; b   a.b avec PGCD  a; b   24 et a.b  2880

donc: 24  PPCM  a; b   2880
2880
 120
24
 PGCD  a; b   24 = 23  3
2) On a: 
3
 PPCM  a; b   120  2  3  5
donc a  23  3 et b  23  3  5

d'où: PPCM  a; b  

ou bien a  23  3  5 et b  23  3

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Exercice 6 :

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On considère un nombre entier naturel p de 3 chiffres noté: p  abc
où c est le chiffre des unités, b est le chiffre des dizaines et a est le chiffre des centaines.
c.à.d: p  100.a  10.b  c
1) Montrer que si le nombre a  b  c est un multiple de 9 alors 9 divise p
2) Montrer que si b  a  c alors le nombre p est un multiple de 11





3) Montrer que si a>c alors le nombre entier naturel abc  cba est divisible par 99

1) On a a  b  c est un multiple de 9 et p  100.a  10.b  c

Solution :

donc: p  99a  a  9b  b  c
=  a  b  c   9(11a  b)
=9k  9(11a  b)
=9 11a  b  k 
donc 9 divise p.
2) On a b  a  c et p  100.a  10.b  c

donc: p  100.a  10( a  c)  c
=100.a+10.a+10.c+c
=110.a+11.c
=11(10.a+c)
donc 11 divise p.
par suite p est un multiple de 11.

3) On a abc-cba = 100.a  10.b  c   100.c  10.b  a 
=99.a -99.c



=99( a  c)

d'où: 99 divise abc-cba

Exercice 7 :



(avec a  c donc a - c  0)

Montrer que pout tout nombre entier naturel n, les deux nombres suivants sont des carrés parfaits:
1)  2n3  8n 2  n  1 2n3  8n 2  n  11  25
2) n  n  1 n  2  n  3  1

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1) On pose A   2n3  8n 2  n  1 2n3  8n 2  n  11  25 et a  2n3  8n 2  n  1

Solution :

donc A  a  a  10   25
=a 2  10.a  25
=  a  5

2

d'où:  2n3  8n 2  n  1 2n3  8n 2  n  11  25   2n3  8n 2  n  6 

2

2) On pose B  n  n  1 n  2  n  3  1
=  n  n  3   n  1 n  2    1
=  n 2  3n   n 2  3n  2  1
Prenons b  n 2  3n
donc B  b(b  2)  1
=b 2 2b  1
=  b  1

2

d'où: n  n  1 n  2  n  3  1   n 2  3n  1
Exercice 8 :

2

1) Montrer que le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est un nombre pair.
2) Soit n un nombre entier naturel impair.
a) Montrer que 8 divise n 2  1.
b) En déduire que le nombre n 4 -1est divisible par 16.
3) Soit a et b deux nombres entiers naturels impairs:
Montrer que le nombre entier naturel a 2  b 2  2 est un multiple du nombre 8.

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Solution :

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1) Soient x et x  1 deux entiers naturels consécutifs:
 Si x est pair alors x  2k ; k 
On a: x( x  1)  2k (2k  1)
 2  2k 2  k 
 2 k ' (avec k '  )
donc x( x  1) est pair.
 Si x est impair alors x  2k  1; k 
On a: x( x  1)   2k  1 2k  2 
 4k 2  4k  2k  2
 4k 2  6k  2
 2(2 k 2  3k  1)
 2 k ' (avec k '  )
donc x( x  1) est pair.
Conclusion: Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est un nombre pair.

2) Soit n un nombre entier naturel impair.
a) On a: n  2k  1 avec k 
donc n 2  1   2k  1  1
2

=4 k 2  4 k  1  1
=4  k 2  k 
=4  k  k  1 
On sait que le produit de deux entiers consécutifs est pair
donc:  k  k  1   2k ' (avec k '  )
d'où: n 2  1  4  2k '  8k '
Par suite: 8 divise n 2  1.
b) On a: n 4 -1   n 2  1 n 2  1

d'après la question a, on a 8 divise  n 2  1
donc n 2  1  8k
On a n 2  1   2k  1  1
2

 4k 2  4k  2
 2  2 k 2  2 k  1
donc n 2  1  2.k '

(avec k '  )

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d'où: n 4 -1  8k .2k '
donc n 4 -1  16kk '
donc n 4 -1 est divisible par 16
3) Soit a et b deux nombres entiers naturels impairs:

On a a 2  b 2  2   a 2  1   b 2  1
d'après la question 2)a) on obtient:
8 divise a 2  1 donc a 2  1  8k
8 divise b 2  1 donc b 2  1  8k '
donc a 2  b 2  2  8k  8k '  8  k  k ' 
d'où le nombre entier naturel a 2  b 2  2 est un multiple du nombre 8.
Exercice 9 :

Soit a et b deux nombres entiers naturels premiers tels que 2  a  b. On pose: n  a  b
1) Montrer que le nombre entier naturel n n'est pas premier.
2) Déterminer le plus grand diviseur de n et qui soit différent de n.
3) Démontrer que tout diviseur de n, qui est différent de n, est inférieur au nombre b.
4) Le nombre a est-il un diviseur du nombre n ?

Soit a et b deux nombres entiers naturels premiers tels que 2  a  b
1) On a: a et b deux nombres entiers naturels premiers tels que 2  a  b
donc ils sont impairs
par suite a  b est un nombre pair
donc n est un nombre pair donc il n'est pas premier.
2) n est un nombre pair, donc n  2k avec k 

*

d'où k est le plus grand diviseur de n différent de n avec k 

n
2

3) Soit t un diviseur de n différent de n,
On sait que le plus grand diviseur de n, différent de n, est
n
2
d'où: 2t  n

n
2

donc: t 

(1)

Or: n  a  b et a  b
donc: a  b  2b
d'où: n  2b

(2)

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de (1) et (2) on déduit que: 2t  2b
donc t  b
Conclusion: tout diviseur de n, qui est différent de n, est inférieur au nombre b.
4) Supposons que a est un diviseur de n
donc n  k.a; avec k  *

Or: n  a  b
d'où: b  n  a
 a.k  a
 a(k 1)
d'où a divise b, ce qui est impossible vu que a  b,
ainsi que b et a sont premiers.
donc le nombre a n'est pas un diviseur du nombre n.

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