Chapitre1 Notions d'arithmétique .pdf
Nom original: Chapitre1 Notions d'arithmétique.pdfAuteur: MOHAMED
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Notions d’arithmétique dans l’ensemble des nombres entiers naturels
0;1;2;3;...
L’ensemble des nombres entiers naturels est noté
L’ensemble des nombres entiers naturels non nuls est noté
*
est égal à l’ensemble
0 se lit singleton zéro.
*
privé du nombre zéro, on écrit
*
1;2;3;...
*
\ 0
Un singleton est un ensemble composé d’un seul élément.
I.
Parité d’un nombre entier naturel
On dit qu’un nombre entier naturel n est pair s’il est multiple de 2.
C’est-à-dire s’il existe un nombre entier naturel k tel que : n 2k .
On dit qu’un nombre entier naturel n est un nombre impair s’il n’est pas pair, donc il existe un
entier naturel k tel que : n 2k 1 .
Tout nombre entier naturel est soit pair soit impair.
Etudier la parité d’un nombre entier naturel, c’est dire s’il est pair ou impair.
II.
Multiples d’un nombre entier naturel
1. Définition :
Soient a et b deux nombres entiers naturels.
On dit que le nombre b est multiple du nombre a s’il existe un entier naturel
k tel que : b a k
2. Multiples communs à deux entiers naturels
Soient x et y deux nombres entiers naturels.
On dit que le nombre m est un multiple commun aux deux nombres
m est un multiple de
'
m k x et m k y
x
et
x et y , si m est un multiple de
'
y , c’est-à-dire, s’il existe deux entiers naturels k et k tels que :
Exemple :
600 8 75 et 600 15 40
600 est un multiple commun aux deux nombres 8 et15 .
Donc
3. Plus petit commun multiple de deux entiers naturels : PPCM
Soient x et y deux nombres entiers naturels.
x et y admettent une infinité de multiples communs. Parmi ces multiples communs, il existe un plus
petit élément non nul appelé : Plus Petit Commun Multiple de
Exemple :
x et y est noté : PPCM ( x; y )
PPCM (50;70) 350
4. Propriétés
Si a est un multiple de b et b est un multiple de c , alors : a est un multiple de c .
Si a est un multiple de b , alors tout nombre p.a est un multiple de b .
0 est un multiple de tout entier naturel.
III.
Diviseurs d’un nombre entier naturel
1. Définition
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Soit a et d deux nombres entiers naturels.
On dit que le nombre d est un diviseur du nombre a s’il existe un nombre entier naturel k tel que
a d k
On dit que : d est un diviseur de a
ou d divise a
ou a est divisible par d
ou a est un multiple de d
2. Diviseur commun de deux entiers naturels
Soit a et b deux entiers naturels.
On dit que l’entier naturel d est un diviseur commun des deux nombres a et b si le nombre d divise à
la fois les nombres a et b .
3. Plus grand commun diviseur : PGCD
On dit qu’un entier naturel d est le Plus Grand Commun Diviseur PGCD de deux entiers naturels a et
b si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
d est un diviseur commun de a et b .
tout diviseur commun de a et b est un nombre inférieur à d .
On note d PGCD(a; b)
4. Propriétés
Si a divise b et b divise c alors a divise c
Si a divise b alors a divise b.c
1 divise tout nombre entier naturel.
Si a divise b et b divise a alors a b
PGCD(a; b) PPCM (a; b) a.b
5. Nombres premiers entre eux
Deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est 1.
Exemple :
PGCD(8;75) 1
Donc 8 et 75 sont premiers entre eux.
IV.
Nombres premiers
1. Définition :
On dit qu’un nombre entier naturel
On écrit
p est premier lorsqu’il n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Dp 1; p ( D p est l’ensemble des diviseurs du nombre p
Exemples : 0 et 1 ne sont pas premiers ; 2 et 3 sont premiers.
2. Liste des nombres premiers inférieurs à 100
Les nombres premiers inférieurs à 100, sont :
2
3
5
7
11
29
31
37
41
43
67
71
73
79
83
13
47
89
17
53
97
19
59
23
61
3. Décomposition en produit de facteurs premiers :
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Soit x un nombre entier naturel non premier et supérieur ou égal à 2.
On peut écrire le nombre x sous forme de produit de facteurs tous premiers, cette écriture unique
est appelée : Décomposition du nombre x en produit de facteurs premiers.
Exemple :
720 2
360 2
180 3
60 3
20 2
10 5
2 2
1
720 24 32 5
Applications :
Soit a et b deux nombres entiers naturels non premiers, décomposés en produits de facteurs
premiers.
Le PGCD(a, b) est égal au produit des facteurs premiers communs dans les deux
décompositions en facteurs premiers élevés aux plus petits exposants.
Le PPCM (a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers dans les deux décompositions
en facteurs premiers, élevés aux plus grands exposants.
Exemple :
a 1008
1008
504
252
126
63
21
7
1
b 1200
;
2
2
2
2
3
3
7
1200
600
300
150
75
25
5
1
2
2
2
2
3
5
5
b 1200 24 3 52
a 1008 24 32 7
PGCD(a, b) 24 3
Si
PPCM (a, b) 24 32 52 7
a x11 x2 2 x33 ....xn n avec x1; x2 ; x3 ;...; xn des nombres premiers distincts.
et 1 ; 2 ;...; n des nombres entiers naturels non nuls, alors le nombre de diviseurs de
a est :
(1 1 )(1 2 )(1 3 );...;(1 n )
Exemple : a 1008 2 3 7
Le nombre de diviseurs de a est : (1 4)(1 2)(1 1) 5 3 2 30
4
2
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Série d’exercice N° :1
Notions d’arithmétique dans l’ensemble des nombres entiers naturels
Exercice 1 :
Soit n un entier naturel. On pose: A 7 n3 13n 2 9n 2016
En raisonnant par disjonction des cas, étudier la parité du nombre A.
Exercice 2 :
On donne: x 68600 et y 84672
1) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers chacun des deux nombres x et y
2) Déterminer: PGCD( x; y ) et PPCM( x; y )
3) Déterminer le nombre de diviseurs de x
4) Quel est le plus petit entier naturel p tel que le nombre p.x soit un carré parfait?
5) Quel est le plus petit entier naturel q tel que le nombre q.x soit le cube d'un nombre entier naturel?
6) Déterminer deux entiers naturels a et b tels que:
x. y a b et b soit le plus petit possible.
Exercice 3 :
Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que: a b. Développer (a b)3 .
Déterminer le reste dans la division euclidienne du nombre 9999993 par le nombre 5.
Exercice 4 :
1) Donner tous les diviseurs du nombre 15
2) Déterminer en extension, l'ensemble E suivant: E x; y
2
/ xy 3x y 12 0
Exercice 5 :
Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que: PGCD a; b 24 et a.b 2880
1) Déterminer le PPCM a; b
2) Déterminer a et b. (Donner tous les cas possible)
Exercice 6 :
On considère un nombre entier naturel p de 3 chiffres noté: p abc
où c est le chiffre des unités, b est le chiffre des dizaines et a est le chiffre des centaines.
c.à.d: p 100.a 10.b c
1) Montrer que si le nombre a b c est un multiple de 9 alors 9 divise p
2) Montrer que si b a c alors le nombre p est un multiple de 11
3) Montrer que si a>c alors le nombre entier naturel abc cba est divisible par 99
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Exercice 7 :
Montrer que pout tout nombre entier naturel n, les deux nombres suivants sont des carrés parfaits:
1) 2n3 8n 2 n 1 2n3 8n 2 n 11 25
2) n n 1 n 2 n 3 1
Exercice 8 :
1) Montrer que le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est un nombre pair.
2) Soit n un nombre entier naturel impair.
a) Montrer que 8 divise n 2 1.
b) En déduire que le nombre n 4 -1est divisible par 16.
3) Soit a et b deux nombres entiers naturels impairs:
Montrer que le nombre entier naturel a 2 b 2 2 est un multiple du nombre 8.
Exercice 9 :
Soit a et b deux nombres entiers naturels premiers tels que 2 a b. On pose: n a b
1) Montrer que le nombre entier naturel n n'est pas premier.
2) Déterminer le plus grand diviseur de n et qui soit différent de n.
3) Démontrer que tout diviseur de n, qui est différent de n, est inférieur au nombre b.
4) Le nombre a est-il un diviseur du nombre n ?
Exercice 10 :
Soit x et y deux nombres entiers naturels tels que: x 2 et 2 x 2 7 2 y 1 6 x 16844
1) Montrer que 2 x 2 .1 4.3x 16844 7 2 y 1
2) Montrer que le nombre 16844 7 2 y 1 est impair.
3) En déduire les valeurs de x et y.
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Solution : Série d’exercice N° :1
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Exercice 1 :
Soit n un entier naturel. On pose: A 7 n3 13n 2 9n 2016
Solution :
En raisonnant par disjonction des cas, étudier la parité du nombre A.
Si n est pair
donc n 2k ; k
On a: A 7 n3 13n 2 9n 2016
7 2k 13 2k 9 2k 2016
3
2
56k 3 52k 2 18k 2016
2 28k 3 26k 2 9k 1008
2k '
; k'
d'où A est pair.
Si n est impair
donc n 2k 1 ; k
On a: A 7 n3 13n 2 9n 2016
7 2k 1 13 2k 1 9 2k 1 2016
3
2
7 2k 1 2k 1 13 2k 1 9 2k 1 2016
2
2
7 4k 2 4k 1 2k 1 13 4k 2 4k 1 18k 9 2016
28k 2 28k 7 2k 1 52k 2 52k 13 18k 2025
56k 3 28k 2 56k 2 28k 14k 7 52k 2 70k 2038
56k 3 136k 2 112k 2045
(on a: 2045 2044 1 (2 1022) 1)
2 28k 3 68k 2 56k 1022 1
2k ' +1
; k'
d'où A est impair.
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Exercice 2 :
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On donne: x 68600 et y 84672
1) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers chacun des deux nombres x et y
2) Déterminer: PGCD( x; y ) et PPCM( x; y )
3) Déterminer le nombre de diviseurs de x
4) Quel est le plus petit entier naturel p tel que le nombre p.x soit un carré parfait?
5) Quel est le plus petit entier naturel q tel que le nombre q.x soit le cube d'un nombre entier naturel?
6) Déterminer deux entiers naturels a et b tels que:
Solution :
x. y a b et b soit le plus petit possible.
1) On a: x 68600 et y 84672
68600
34300
17150
8575
1715
343
49
7
1
2
2
2
5
5
7
7
7
x 23 52 73
84672
42336
21168
10584
5292
2646
1323
441
147
49
7
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
7
7
y 26 33 7 2
2) On a: x 23 30 52 73 et y 26 33 50 7 2
donc: PGCD ( x; y ) 23 7 2
PPCM ( x; y ) 26 33 52 73
3) On a: x 23 52 73
donc le nombre de diviseurs de x est: 3 1 2 1 3 1 48
4) On a: x 23 52 73
donc p 2 7
5) On a: y 26 33 7 2
donc q 7
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6) On a: x 23 52 73 et y 26 33 7 2
donc xy 29 33 52 75
d'où:
xy 29 33 52 75
=
2
=
2
4 2
4
2 32 3 52 7 2 7
2
3 5 72 2 3 7
2
= 24 3 5 7 2 2 3 7
donc a 24 3 5 7 2 et b 2 3 7
Exercice 3 :
Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que: a b. Développer (a b)3 .
Déterminer le reste dans la division euclidienne du nombre 9999993 par le nombre 5.
1) On a : a b a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
2) On a:
Solution :
3
9999993 106 1
3
= 106 3 106 1 3 106 12 13
3
2
=1018 3.1012 3.106 1
=1018 3.1012 3.106 5 4
= 5 2 1017 5 2 3 1011 5 2 3 105 5 4
On factorise par 5
=5 2 1017 6 1011 6 105 1 4
On a: 9999993 5q r
avec q 2 1017 6 1011 6 105 1
et r 4
Exercice 4 :
1) Donner tous les diviseurs du nombre 15
2) Déterminer en extension, l'ensemble E suivant: E x; y
Solution :
2
/ xy 3x y 12 0
1) Les diviseurs de 15 sont: 1; 3; 5 et 15
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2) On a: E= x; y
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2
/ xy 3 x y 12 0
On a: xy 3 x y 12 0
donc x( y 3) y 3 3 12 0
x ( y 3) ( y 3) 15 0
d'où ( y 3)( x 1) 15
Si: ( y 3) 1 et ( x 1) 15
alors: y 2 et x 14
(Impossible car y )
Si: ( y 3) 15 et ( x 1) 1
alors: y 12 et x 0
d'où: x; y 0;12
Si: ( y 3) 3 et ( x 1) 5
alors: y 0 et x 4
d'où: x; y 4;0
Si: ( y 3) 5 et ( x 1) 3
alors: y 2 et x 2
d'où: x; y 2;2
donc l'écriture en extension de l'ensemble E : E 0;12 ; 2;2 ; 4;0
Exercice 5 :
Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que: PGCD a; b 24 et a.b 2880
1) Déterminer le PPCM a; b
Solution :
2) Déterminer a et b. (Donner tous les cas possible)
1) On a: PGCD a; b PPCM a; b a.b avec PGCD a; b 24 et a.b 2880
donc: 24 PPCM a; b 2880
2880
120
24
PGCD a; b 24 = 23 3
2) On a:
3
PPCM a; b 120 2 3 5
donc a 23 3 et b 23 3 5
d'où: PPCM a; b
ou bien a 23 3 5 et b 23 3
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Exercice 6 :
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On considère un nombre entier naturel p de 3 chiffres noté: p abc
où c est le chiffre des unités, b est le chiffre des dizaines et a est le chiffre des centaines.
c.à.d: p 100.a 10.b c
1) Montrer que si le nombre a b c est un multiple de 9 alors 9 divise p
2) Montrer que si b a c alors le nombre p est un multiple de 11
3) Montrer que si a>c alors le nombre entier naturel abc cba est divisible par 99
1) On a a b c est un multiple de 9 et p 100.a 10.b c
Solution :
donc: p 99a a 9b b c
= a b c 9(11a b)
=9k 9(11a b)
=9 11a b k
donc 9 divise p.
2) On a b a c et p 100.a 10.b c
donc: p 100.a 10( a c) c
=100.a+10.a+10.c+c
=110.a+11.c
=11(10.a+c)
donc 11 divise p.
par suite p est un multiple de 11.
3) On a abc-cba = 100.a 10.b c 100.c 10.b a
=99.a -99.c
=99( a c)
d'où: 99 divise abc-cba
Exercice 7 :
(avec a c donc a - c 0)
Montrer que pout tout nombre entier naturel n, les deux nombres suivants sont des carrés parfaits:
1) 2n3 8n 2 n 1 2n3 8n 2 n 11 25
2) n n 1 n 2 n 3 1
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1) On pose A 2n3 8n 2 n 1 2n3 8n 2 n 11 25 et a 2n3 8n 2 n 1
Solution :
donc A a a 10 25
=a 2 10.a 25
= a 5
2
d'où: 2n3 8n 2 n 1 2n3 8n 2 n 11 25 2n3 8n 2 n 6
2
2) On pose B n n 1 n 2 n 3 1
= n n 3 n 1 n 2 1
= n 2 3n n 2 3n 2 1
Prenons b n 2 3n
donc B b(b 2) 1
=b 2 2b 1
= b 1
2
d'où: n n 1 n 2 n 3 1 n 2 3n 1
Exercice 8 :
2
1) Montrer que le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est un nombre pair.
2) Soit n un nombre entier naturel impair.
a) Montrer que 8 divise n 2 1.
b) En déduire que le nombre n 4 -1est divisible par 16.
3) Soit a et b deux nombres entiers naturels impairs:
Montrer que le nombre entier naturel a 2 b 2 2 est un multiple du nombre 8.
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Solution :
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1) Soient x et x 1 deux entiers naturels consécutifs:
Si x est pair alors x 2k ; k
On a: x( x 1) 2k (2k 1)
2 2k 2 k
2 k ' (avec k ' )
donc x( x 1) est pair.
Si x est impair alors x 2k 1; k
On a: x( x 1) 2k 1 2k 2
4k 2 4k 2k 2
4k 2 6k 2
2(2 k 2 3k 1)
2 k ' (avec k ' )
donc x( x 1) est pair.
Conclusion: Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est un nombre pair.
2) Soit n un nombre entier naturel impair.
a) On a: n 2k 1 avec k
donc n 2 1 2k 1 1
2
=4 k 2 4 k 1 1
=4 k 2 k
=4 k k 1
On sait que le produit de deux entiers consécutifs est pair
donc: k k 1 2k ' (avec k ' )
d'où: n 2 1 4 2k ' 8k '
Par suite: 8 divise n 2 1.
b) On a: n 4 -1 n 2 1 n 2 1
d'après la question a, on a 8 divise n 2 1
donc n 2 1 8k
On a n 2 1 2k 1 1
2
4k 2 4k 2
2 2 k 2 2 k 1
donc n 2 1 2.k '
(avec k ' )
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d'où: n 4 -1 8k .2k '
donc n 4 -1 16kk '
donc n 4 -1 est divisible par 16
3) Soit a et b deux nombres entiers naturels impairs:
On a a 2 b 2 2 a 2 1 b 2 1
d'après la question 2)a) on obtient:
8 divise a 2 1 donc a 2 1 8k
8 divise b 2 1 donc b 2 1 8k '
donc a 2 b 2 2 8k 8k ' 8 k k '
d'où le nombre entier naturel a 2 b 2 2 est un multiple du nombre 8.
Exercice 9 :
Soit a et b deux nombres entiers naturels premiers tels que 2 a b. On pose: n a b
1) Montrer que le nombre entier naturel n n'est pas premier.
2) Déterminer le plus grand diviseur de n et qui soit différent de n.
3) Démontrer que tout diviseur de n, qui est différent de n, est inférieur au nombre b.
4) Le nombre a est-il un diviseur du nombre n ?
Soit a et b deux nombres entiers naturels premiers tels que 2 a b
1) On a: a et b deux nombres entiers naturels premiers tels que 2 a b
donc ils sont impairs
par suite a b est un nombre pair
donc n est un nombre pair donc il n'est pas premier.
2) n est un nombre pair, donc n 2k avec k
*
d'où k est le plus grand diviseur de n différent de n avec k
n
2
3) Soit t un diviseur de n différent de n,
On sait que le plus grand diviseur de n, différent de n, est
n
2
d'où: 2t n
n
2
donc: t
(1)
Or: n a b et a b
donc: a b 2b
d'où: n 2b
(2)
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de (1) et (2) on déduit que: 2t 2b
donc t b
Conclusion: tout diviseur de n, qui est différent de n, est inférieur au nombre b.
4) Supposons que a est un diviseur de n
donc n k.a; avec k *
Or: n a b
d'où: b n a
a.k a
a(k 1)
d'où a divise b, ce qui est impossible vu que a b,
ainsi que b et a sont premiers.
donc le nombre a n'est pas un diviseur du nombre n.
Notions d'arithmétique dans l'ensemble des nombres entiers naturels
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